1. 引言
考虑下面的带非线性的粘性Cahn-Hilliard方程
(1)
(2)
(3)
的长时间行为，其中非线性，对于几乎处处，是局部有界可测函数。
1958年，Novick Cohen等人为了描述带粘性物质的相互扩散运动，首次提出了粘性Cahn-Hilliard方程。这类方程在非牛顿流体力学理论中有着广泛的应用。董超雨等在 [1] 中采用了一种新的验证紧性的方法讨论了粘性Cahn-Hilliard方程全局吸引子的存在性。带有可加白噪音的Cahn-Hilliard方程的吸引子在 [2] 中给出了严密的论证。近几年来，许多学者对于Cahn-Hilliard方程产生了浓厚的兴趣，详见 [1] [2] [3] [4] [5] 。但是，对于较高正则性的研究还没有任何结果。本文在较高的正则性空间中，采用 [6] [7] [8] 中提到的新的紧性方法，研究了具有非线性项的问题(1)~(3)整体吸引子的存在性。
我们假设非线性项满足下面的条件。
(H1)
(H2)，
(H3)，
其中满足：，当；，当。
此外，对于非线性项，我们假设下列条件成立。
(G1)，
(G2)，
(G3)，
(G4)
其中为正常数，，且。
本文的主要结果是。
定理1.1 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)，则问题(1)~(3)对应的解半群在中存在吸引子。
全文结构如下：第二部分是文章的预备知识；在第三部分中，我们证明了相应于解半群的吸引子的存在性。
2. 预备知识
下面介绍本文将要用到的一些概念和结论。
让和分别表示和中的范数。对于空间，我们定义。
引理2.1 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)。则对于任意的和问题(1)~(3)存在唯一解
该引理利用Faedo-Galerkin方法可证，参见 [5] ，进而由定理1.1定义了一个连续的算子半群，即：。
引理2.2 集合，
其中是中以0为中心以为半径的球，是在中的有界吸收集。即对于任意的均成立，且对于任意的有界集，存在，使得对于每一个，有。
证明：将与(1)式做内积，可得：
(4)
用(H1)~(H3)及Poincare不等式，可得：
再由(G1)~(G4)，
(5)
整理得：
(6)
根据Gronwall不等式，可得：
(7)
故而，存在，使得对于一切的，有。
本文运用参考文献 [9] 中新的验证紧性的方法，证明了半群的整体吸引子是一个紧的不变集。
定义2.1 [9] Banach空间中的连续半群满足条件C，是指对于任意及中任何的有界集，存在和一个有限维的子空间，使得是有界的，并且，，是一个规范投影。
定理2.1 [9] 设是Hilbert空间中的连续半群，如果下面条件成立，
1)在中存在有界吸收集；
2)满足条件C。
那么在中存在整体吸引子，且吸引中的一切有界集。
3. 整体吸引子的存在性
3.1.中有界吸收集的存在性
将和(1)式做内积，得：
(8)
由于
可得：
(9)
其中：
用(H1)~(H3)，可得：
(10)
取适当的，使得，根据Gronwall不等式，可得：
(11)
所以，对于任意的存在，使得对于一切的，有。
定理3.1 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)。以为半径的球是问题(1)~(3)生成的解半群在中的有界吸收集，即对于任意的有界集，存在，使得当时，。
3.2. H2中整体吸引子的存在性
本节，记为的特征值，为对应于的特征向量，当时，，且构成了的正交基，令，，记为标准投影。
(12)
易知是紧嵌入和中的，所以对于任意的，存在，使得：
因此，有
同理可得：
综上，
(13)
(14)
所以存在，使得对于一切的，有
定理3.2 假设满足(H1)~(H3)，满足(G1)~(G4)。对于，问题(1)~(3)在中存在整体吸引子。这里在的范数下吸引了中的一切有界集。
基金项目
山西省自然科学基金资助项目(2014011005-4；2015011006)，太原理工大学教育教学改革研究项目。
参考文献