具有时变传输时滞的高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络的周期解

Periodic Solution for a Class of Higher-Order Cohen-Grossberg-Type BAM Neural Networks with Periodic Coefficients and Time-Varying Delays

摘要: 本文研究了具有周期系数和时变传输时滞的高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络，利用拓扑度中的Mawhin延拓定理，讨论了系统周期解的存在性，并通过构造适当的Lyapunov泛函，给出了周期解全局稳定的充分条件。

Abstract: A class of higher-order Cohen-Grossberg-type BAM neural networks with periodic coefficients and time-varying delays is studied in this paper. By using the continuation theorem of Mawhin’s coincidence degree theory, the existence of periodic solutions of networks is discussed, and by constructing appropriate Lyapunov functional, sufficient conditions are established for the global stability of the periodic solution.

1. 引言

近年来，随着神经网络研究的不断深入，为提高网络的逼近能力和收敛速度，许多学者通过研究高阶神经网络动力学模型以提高网络性能 [1] [2] 。文献 [1] 研究了一类具有时滞的高阶Cohen-Grossberg神经网络。通过构造Lyapunov泛函并利用LMI方法给出了保证系统平衡点全局指数稳定的充分条件。文献 [2] 研究了一类高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络，并通过构造Lyapunov泛函并结合微积分中值定理以及Poincaré映射，分别得到了系统存在唯一全局指数稳定的周期解的充分条件。值得注意的是，文献 [1] 和 [2] 均假定神经元之间的连接权系数为常数，但事实上，考虑系统的长时间动力行为以及环境的季节性变化时，网络的连接权常会随时间的变化而变化。因此，研究具有周期系数的高阶神经网络更具实际意义。在文 [3] 中，Ren和Cao研究了一类具有周期系数和常时滞的高阶BAM神经网络的周期解的存在性和全局稳定性，但在递归神经网络的实际应用中，受放大器转换速度的限制和电子回路发生故障的影响，时滞常会随时间的变化而变化 [4] [5] 。

基于文献 [2] 和 [3] 的建模思想，本文将研究如下具有周期系数和时变传输时滞的高阶Cohen-Grossberg型BAM神经网络

(1.1)

其中，和为网络中第层和第层中神经元的个数，和分别表示第层和第层中第个神经元和第个神经元在时刻的状态变量，和均为连续的-周期函数，其中和表示正的连续有界的放大函数，和为行为函数，和分别为第个和第个神经元在时刻的激励函数，和为网络的一阶连接权，和为网络的二阶连接权，和为轴突信号的传输时滞。在系统(1.1)中，我们作如下假设：

(A1.1) 存在和使得

(A1.2) 存在和使得

(A1.3) 存在常数和使得

(A1.4)和是非负连续可导的-周期函数且满足和.

记

系统(1.1)满足的初始条件为

(1.2)

这里和是有界的连续函数。

2. 预备知识

在本节，我们先介绍一些下节研究中将要用到的一些符号和结论。

定义2.1 [6] 令和是两个实Banach空间，为一个线性算子，为一个连续映射。若下述条件成立：

(i)是中的闭集；

(ii)，

则称为具有零指标的Fredholm算子。

定义2.2 [7] 令是具有零指标的Fredholm算子。若存在连续投影算子和，使得

则称是可逆的，它的逆映射记为.令是一个有界开集，若和分别为和中的相对紧集，则称在上为勒贝格紧的。

引理2.1 [8] (Mawhin延拓定理)设是实Banach空间，是具有零指标的Fredholm算子，是中的有界开集，是上的勒贝格紧算子。若下述条件

(i) 对任意，，有；

(ii) 对任意，有；

(iii)，

成立，则方程在中至少存在一个解。

引理2.2 [9] 设是非奇异-矩阵且有，则。

为简便起见，在下面的讨论中，对每个连续的-周期函数，我们记

3. 周期解的存在性

本节中，我们将应用引理2.1讨论系统(1.1)周期解的存在性。

定理 3.1 对系统(1.1)，若(A1.1)~(A1.4)成立，且

是一个非奇异-矩阵，其中

则系统(1.1)至少存在一个-周期解。

证明：令。为应用引理2.1，我们首先取

且赋以范数

易证和为Banach空间。

对，分别定义线性算子和非线性算子为

(3.1)

和

(3.2)

另定义两个连续投影算子和分别为：

这里。从而有

则为中的闭集且有，故由定义2.1可知是一个具有零指标的Fredholm算子。另外，容易验证算子和满足

则由定义2.2可知的逆映射存在，且有

(3.3)

则和可分别表示为

(3.4)

和

(3.5)

显然，和均连续，且对，为上的勒贝格紧集。

现在来考虑算子方程

(3.6)

易知方程(3.6)等价于如下方程

(3.7)

其中。

接下来，首先证明系统(3.7)的所有-周期解所组成的集合是有界集。为方便起见，定义范数

(3.8)

假设对某个，是系统(3.7)的解，将(3.7)中两个方程分别同乘以和，再由0到积分可得

(3.9)

由于(A1.1)~(A1.3)成立，将(3.9)移项整理可得

和

应用积分不等式和(A1.4)有

(3.10)

和

(3.11)

注意到

由(3.10)和(3.11)可得

(3.12)

和

(3.13)

由(3.8)中范数的定义可知(3.12)和(3.13)分别等价于

(3.14)

其中

(3.15)

进一步由(3.14)可得

(3.16)

其中

，

这里，和由(3.15)所定义。

注意到是一个非奇异-矩阵，于是根据引理2.2可知

从而有

(3.17)

即有

(3.18)

由微分中值定理可知，存在使得

(3.19)

这里，进一步由(3.7)可得

(3.20)

注意到

(3.21)

于是结合(3.19)和(3.20)，对任意，我们有

(3.22)

其中。记，并取

显然，对每个，有，即引理2.1中条件(i)成立。

当时，是中的一个常向量，且满足，于是有

(3.23)

和

(3.24)

以下来证明引理2.1中的条件(ii)也成立。为此，不妨设，即由(3.4)可得

(3.25)

和

(3.26)

成立。

由于(A1.1)~(A1.4)成立，因此由(3.25)和(3.26)整理可得

(3.27)

注意到，将其代入到(3.27)中则有

(3.28)

另一方面，由于，所以存在某个和使得

或

显然，这与(3.28)相矛盾，也即存在某个和，使得

或 (3.29)

从而有

因此，当时，有，即引理2.1中条件(ii)成立。

最后来证明引理2.1中条件(iii)成立。为此，定义连续函数

其中。当时，由(3.29)可知

(3.30)

因此，由同伦不变性可得

综上所述，满足引理2.1中的所有条件，从而由引理2.1可知系统(1.1)至少存在一个-周期解。

4. 周期解的稳定性

本节，我们将通过构造适当的Lyapunov泛函研究系统(1.1)的周期解的全局稳定性。

定理4.1 对系统(1.1)，假定(A1.1)~(A1.4)成立且定理3.1中的所有条件均满足。若是一个非奇异-矩阵，其中

，

这里

，，，

其中

(4.1)

则系统(1.1)的-周期解是全局稳定的。

证明：由定理3.1可知，系统(1.1)至少存在一个-周期解，记为

。假设是系统(1.1)的任意解。令，和

，

则系统(1.1)可化为

(4.2)

构造函数

(4.3)

计算和沿系统(4.2)的解的全导数可得

(4.4)

和

(4.5)

其中和的定义见(4.1)，和分别表示和的界，这里

记

则由(4.4)和(4.5)可得

(4.6)

其中

，

这里

，，，

由于是一个非奇异-矩阵，于是由引理2.1可得

(4.7)

定义向量

(4.8)

对(4.8)关于求导可得

即有

， (4.9)

对(4.9)中两式两端分别从0到积分可得

(4.10)

因此有

(4.11)

由(4.3)和(4.9)则有

进一步由(4.8)可知，从而有

即有

(4.12)

这意味着和是有界的。结合(1.1)可知和也有界，因此，由Barbalat引理 [10] 可知

，

定理证毕。

基金项目

国家自然科学基金项目(11371368，61305076)；河北省自然科学基金项目(A2014506015)。