二阶差分方程x_n+1=a/x_n²+1/x_n-1 的全局渐近稳定性

Global Asymptotic Stability of the Second-Order Nonlinear Difference Equation x_n+1=a/x_n²+1/x_n-1

摘要: 本文研究了非线性差分方程x_n+1=a/x_n²+1/x_n-1 ，当参数a∈(0，∞) ，初值满足x_-1，x₀∈(0，∞)时的全局渐近稳定性。我们给出了方程的正平衡点和二周期解都不具有全局渐近稳定性的结论。特别的，解决了V. L. Kocic和G. Ladas著作[1]中的一个公开问题，部分解决了另一个公开问题。

Abstract: In this paper the global asymptotic stability of nonlinear difference equation x_n+1=a/x_n²+1/x_n-1 is investigated, where a and the initial conditions x_-1，x₀ are positive real numbers. We show that both of the unique positive equilibrium and the unique period-2 solution are not globally asymptotically stable. In particular, our results solve one open problem proposed by V. L. Kocic and G. Ladas in monograph [1], and partly solve another open problem proposed by them.

1. 引言

高阶非线性差分方程

自V. L. Kocic和G. Ladas在文献 [1] 中对方程解的全局行为做了深入的研究后，差分方程解的全局行为成为人们研究的热门课题。差分方程平衡点的全局渐近稳定性、解的有界性、半环的性质及周期解的存在性也是文献 [1] 研究的主要内容。同时V. L. Kocic和G. Ladas在文献 [1] 中给出了一些有趣的公开问题，希望能激起读者的兴趣并进行深入的研究。该领域现在仍处于未成熟阶段，国内李先义和朱德明在差分方程领域做出了一些很好的成果，详见文献 [2] 。关于差分方程定性理论的背景及一些研究成果，参阅文献 [3] [4] [5] [6] 。

这篇文章我们就文献 [1] 的一个公开问题进行了探讨，主要研究了差分方程

(1)

参数，初值满足的动力学行为。

如果对于(1)所有成立，我们就说是方程(1)的一个解。如果和是两个给定的正实数，方程(1)有唯一的一个解满足初值，。显然对于有成立。下面我们只考虑方程(1)的正解。

方程(1)有唯一的一个正平衡点，是三次方程的唯一正根。

在文献 [1] 中，V. L. Kocic和G. Ladas研究了方程(1)的局部渐近稳定性，和二周期解的性质，我们概括如下。

定理A：方程(1)的正平衡点当时是局部渐近稳定的，当时是不稳定的。当时，方程(1)有一个二周期解，，其中

，

公开问题1：

(a) 当参数取何值时，(1)的平衡点是全局渐近稳定的？

(b) 当参数取何值时，(1)的二周期解全局渐近稳定？

公开问题2：

考虑方程

(2)

参数，且初值是任意的正实数。

(a) 参数满足什么条件时方程(2)的平衡点全局渐近稳定？

2. 主要结论

定理1：当参数时，方程(1)的平衡点不是全局渐近稳定的。

证明：关于方程(1)的平衡点，由是三次方程的唯一正根，容易验证。对于正的初值，，我们有

，因此 (3)

，因此 (4)

(5)

由上面三式，可以得到

(6)

因此，对于给定的参数，我们选取且使得，因此。如此重复上述步骤，可得，当时，有，所以平衡点不是全局渐近稳定的。

同理：

定理2：当参数时，方程(1)的二周期解不是全局渐近稳定的。

定理3：当参数时，对于任意的参数，方程(2)的平衡点都不是全局渐近稳定的。

注1：定理1对公开问题1的(a)做出了一个否定的回答，定理2对公开问题1的(b)给出了一个否定的回答，从而由定理1和定理2彻底解决了公开问题1。

注2：定理3部分解决了公开问题2的(a)。