1. 引言
对于初值问题
(1)
(2)
其中
是正的小参数，
与
是连续可微函数。
由文献 [1] 可知，若初值问题(1)，(2)的退化方程
有单根
，且
, 那么问题(1)，(2)存在唯一解，且有一致有效的渐近展开式
其中
是由初值问题
所定义的边界层函数，且知
估计
(，是与无关的正数)
进一步，若函数
充分光滑，那么，对于
，都可获得解
带有
估计的一致有效渐近展开表示式。
对于退化方程具有多个单根时的奇异摄动初值问题，已有较为深入的讨论 [2] [3] 。但对退化方程具有重根时的奇异摄动问题，由于保证渐近解的渐近稳定性条件一般并不满足，相关研究较少。KW Chang, FA Howes就此情形进行了讨论，在吉洪诺夫稳定性条件下得到了一致有效的边界层型解，文献 [4] [5] [6] 中
已经讨论了
，其退化方程有二重根的情况，但所得到的边界层函数是按幂律衰减的，渐
近误差估计的阶较低。
本文将研究初值问题(1)，(2)在
是退化方程的重根时解的渐近分析，且将获得具有指数衰减渐近特性的边界层函数，改进了已有的结果 [7] 。
以下就二重根的情形进行讨论。为了后面的讨论，作以下假设
A1：函数
具有形式
(3)
其中，
是充分光滑的函数。
2. 问题渐近解的构造
假设A1成立，我们采用经典的合成法求问题(1)，(2)形如
(2.1)
的形式渐近解，其中，
是正则项，
是边界层项，
为伸长变量。
把(2.1)代入(1)，再利用表达式
假设
(2.2)
(2.3)
把正则项
按
级数展开
(2.4)
把(2.4)和(3)代入(2.2)得
(2.5)
比较
同次幂系数，得
(2.6)
(2.7)
其中
假设A2：设在
上，方程(2.7)有两个实根，且
。
由韦达定理可知
，所以可得出
。
进一步，我们还可以推出以下关系式
(2.8)
考虑
，可得方程
(2.9)
类似地，我们还可以求出
再设边界层项
具有按
的形式级数展开
(2.10)
把(2.10)，(2.4)，(3)代入(2.3)，得
(2.11)
由(2)，(2.1)，(2.4)，(2.10)可知
(2.12)
比较
的同次幂系数，得
(2.13)
按照改进的边界层函数构造法, 由(2.11)和(2.13)可得
函数满足下述初值问题
(2.14)
得
(2.15)
假设A3：
。
再由A2易知
，且对于任意的
，当
时，
满足：
。即具有指数衰减特性。
继续使用上述方法，由(2.11)，(2.13)我们构造关于
的初值问题
(2.16)
其中
, 且有估计
解得
(2.17)
假若我们将
表示成
。 (2.18)
则可以得出估计
(2.19)
由此可以看出
估计增加了项
。然而，其将不利于后面上、下解的构造，因此我们将对方法再次改进，并尝试在构造
时增加项
，此时新获得的关于
的初值问题为
(2.20)
考虑到关系式：
所以问题(2.20)可以写成如下形式
(2.21)
其中
记(2.21)的解为
(2.22)
并可得出估计
对关于边界层函数
的奇摄动初值问题
(2.23)
。
其中
解得
(2.24)
比较(2.22)和(2.24)，得
类似地，关于边界层函数
的奇摄动初值问题
(2.25)
其中
解得
(2.26)
易得估计
类似地，我们还可以求出
并证得其满足的估计
3. 证明渐近解的有效性
定义初值问题(1)，(2)的形式渐近解为
(3.1)
利用此函数构造初值问题(1)，(2)的上、下解，继而得出其一致有效性。
引理：假设在
上，存在函数
，如果函数
在区域D：
上连续，且当
时，满足不等式
则对任意满足
的常数A，初值问题
在区间
上总有一个解
，并成立不等式
此时称
，
为初值问题的下、上解。
定理：假设A1-A3成立，那么对于充分小的
，初值问题(1)，(2)存在解
，且有一致有效的渐近估计：
其中
证明：构造
(3.2)
其中
，后面确定。
再由(2)得：
另有
将关于
和
的方程代入上述表达式，经计算得
(3.3)
由已知条件A1，A2可知，
，且
，故适当选取B可得不等
式
(3.4)
即
为初值问题(1)，(2)的下解。
类似地，可以证明函数
(3.5)
在
充分大时，是初值问题(1)，(2)的上解。
至此由引理我们便得出，初值问题(1)，(2)必存在解
满足：
再由(3.2)，(3.5)可得出
。
类似地，对更大的自然数k，我们可获得更高阶在
上一致有效的渐近表示式。
例：考虑奇摄动初值问题
其中
，
，
，
。
解得正则部分
。
边界层部分：
解得
。
。
解得
因此，问题的解可以表示成
致谢
感谢导师、审稿老师以及编辑老师的指导和提出的宝贵意见。
基金项目
研究生创新研究基金(20141031)；安徽省高校自然科学研究重点项目(KJ2016A084)。
*通讯作者。