1. 引言
随机矩阵及其特征值定位在诸如计算机辅助设计、人口流动模型、有限马尔可夫过程等领域都有着重要应用 [1] [2] [3] ，其定义如下：
定义1：设为非负矩阵。若它的所有行和都为1，即
则称A为(行)随机矩阵。
由著名的Perron-Frobenius定理 [4] 知，1是随机矩阵的模最大特征值，称为占优特征值，且是其对应的一个特征向量。设为矩阵A的特征值}，若对任意，且，都有，则称是随机矩阵的次占优特征值。
由于随机矩阵的次占优特征值在随机过程收敛速度的估计中有重要作用，因此定位随机矩阵的非1特征值或估计次占优特征值的模具有重要意义。Li等在 [5] 中应用
和著名的Brauer矩阵特征值定位集，给出了下面五个随机矩阵非1特征值定位集。
定理2 [5] ：设为随机矩阵。若，则
其中
定理3 [5] ：设为随机矩阵。若，则
注意到都在区间上，自然要问：在该区间上可否选择其它值使得用其得到随机矩阵非1特征值的Brauer型定位集更为精确？本文就来讨论该问题，在第二节给出随机矩阵非1特征值的一个含有个参数的Brauer型定位集，当这些参数分别取时，该集合就分别成为定理2中的和定理3中的。在第三节应用该集合给出随机矩阵次占优特征值模的一个上界。
2. 随机矩阵非1特征值的含有n个参数的Brauer型定位集
本节我们给出一个新的随机矩阵非1特征值定位集。为讨论方便，先给出如下引理。
引理4 [6] ：设为随机矩阵，，则对任意的，是矩阵的特征值。
设，，取向量
, (1)
记
。
定理5：设为随机矩阵。若，则对任意的，，有
,
(2)
证明：令，记
.
设，由引理4知。再由Brauer矩阵特征值定位定理 [7] 得
，
即
由于对每个
故
于是
■
例1：考虑由MATLAB代码
生成的50个随机矩阵，应用MATLAB代码
产生向量，其中。并对和作图，得出它们的包含关系(见表1)。由表1知，其中有40个，9个，，1个。此表1表明定理5中得到的集合在大多数情况下含于Li等在 [5] 中所给的集合之中。
Table 1. The comparisons of and
表1.与比较表
注：(I) 当取，时，且，这时定理5中的就是定理3中的。
(II) 当取，时，且，这时定理5中的就是定理3中的。
(III) 当取，时，且，这时定理5中的就是定理2中的。
(IV) 当取，时，且，这时定理5中的就是定理2中的。
(V) 当取，时，且，这时定理5中的就是定理2中的。
因此，定理5是定理2及定理3的推广和改进。同时，由定理5易得下面结果。
定理6：设为随机矩阵，若，则
且
由于该定理中的集合涉及无穷多个参数，不易得到。在实际中，可选取特殊的参数来获得的近似集，下面我们用数值算例来进行说明。
例2. 考虑例1中的第31个随机矩阵，由表1知
且。
此包含关系也可见图1。进一步，通过MATLAB代码
生成3个参数向量
由定理6知，对任意，有
图2给出了。由图2知
Figure 1. and
图1.且
Figure 2.
图2.
该例表明，通过适当的选择参数 (不必太多)，可得到比 [5] 中更小的特征值包含集的近似。
下面应用定理5 (或定理6)给出随机矩阵的一个非奇异条件。
定理7：设为随机矩阵，若存在，使
(3)
则A是非奇异的。
证明：我们用反证法来证明。假若是奇异的，则。由定理5知，对任意的，有
因此，存在，使得
即对任意的有
这与(3)矛盾，故是非奇异的。
3. 随机矩阵次占优特征值模的一个上界
作为定理5的应用，下面我们给出随机矩阵次占优特征值的模的一个新上界。
定理8：设为随机矩阵，若，则
(4)
这里
同(2)。
证明：令
则每一个,都是在[0,1]上的连续函数，故存在，使得
(5)
对于这些由定理5知
因此，存在使得
又由(4)式得
下面用一个数值例子说明定理8所给(4)式是有效的。
例3. 考虑随机矩阵
经计算的特征值为1，0.1018，−0.3934。取，应用定理8所给(4)式计算得的次占优特征值−0.3934的模的一个上界为0.4797。此上界与次占优特征值的模0.3934较为接近。
基金项目
本文受国家自然科学基金资助项目(11361074, 11601473)资助。
参考文献