关于双线性Hardy算子的两个端点弱型估计

Two Weak Endpoint Estimates on Bilinear Hardy Operators

摘要: 通过严格的计算，对双线性Hardy算子在中心Morrey空间和加权Lebesgue空间上的边界进行了端点情形下的弱型估计，这是对现有理论的有益补充。

Abstract: By strict calculation, we mainly give the weak estimate for the boundary of the bilinear Hardy operator on the Morrey space and the weighted Lebesgue space, which is a useful supplement to the existing theory.

1. 引言和主要结果

对于上的局部可积函数f，经典的Hardy算子定义为

它满足如下积分不等式：

这里的常数是最优的。关于Hardy算子的其他经典结果及最新的一些进展可见文献 [1] - [18] ，本文拟将已知的一些关于高维Hardy算子的结果推广到多线性情形。

为叙述方便，我们引入一些定义和记号。对于，，记每个y_i的欧氏范数为，m元数组的欧氏范数为；同时，我们用表示上的以原点为中心，|x|为半径的球体，用表示n维单位球面，用和分别表示和的外测度，特别地，用表示；对于，我们用p'表示p的共轭指数，即。

设是实部为正的复数，记Gamma函数为。则。

定义1.1：设是上的一个非负局部可积函数，如果满足

则称为加权次可积函数，记作。

如果满足

则称为广义加权次可积函数，记作。

其中，。而，分别为加权空间和加权弱型空间。

定义1.2：设，称，如果满足

称函数，如果满足

其中，。

这里，我们称，分别为上的中心Morrey空间和中心弱型Morrey空间。

历史上，在1995年，Christ和Grafakos [19] 引入了n维Hardy算子

并得到了如下形式的Hardy不等式

。

Fu Z [20] 等研究了双线性函数的Hardy算子

。

他们得到了如下结论：

(1) [20] 设，，，，且。那么，是有界的，且其算子范数为

(2) [20] 设，，i = 1, 2,，且则是有界的，且其算子范数为

最近，Long R L [13] ，Xiao J [14] ，Gao G，Zhao F [21] 等研究了n维Hardy算子的弱型估计，并得到了如下的结果：

其中，。

受以上文章的启发，本文试图考虑多线性Hardy算子在加权Lebesgue空间和Morrey空间上的弱型估计。需要指出的是，本文的方法不同于Gao G [13] 等的研究方法。我们的结果如下：

定理1.1：设，且。那么，

注记：令，则有，，因此定理1.1蕴含了下面的不等式也是成立的，

定理1.2：设，，i = 1, 2,，且。那么

2. 主要结果的证明

首先，对于加幂权Lebesgue空间，我们证明了其乘积空间到弱型空间的Hardy算子范数是有界的。

定理1.1的证明：

易见，蕴含了，，从而，利用不等式，我们有如下的点态估计，

令

,

由可得

因此，

从而，

其次，对于Morrey空间，我们也证明了其乘积空间到弱型空间的Hardy算子范数是有界的。

定理1.2的证明：

类似于定理1.2的证明，由不等式，我们有如下点态估计，

令

，

由可以得到

若，那么，因为，从而

若，由可得

从而有

致谢

本文的写作感谢瞿萌老师指导！

基金项目

安徽师范大学本科生优秀毕业论文(设计、创作)培育计划项目资助。