1. 引言
本文我们主要研究Banach空间E中P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题：
(1)
其中
，
是E中的零元，
是实数，
记作实数
的整数部分，
是常数满足
，
，
是P-Laplacian算子，即：
，
，
，其中
，
是Caputo导数，
，
是连续的。
多孔介质中的湍流是一个基本力学问题，为研究此类问题，Leibenson引入了下列带有P-Laplacian算子的微分方程：
. (2)
对微分方程(2)的研究具有非常重要的理论和实际意义，因此受到了广大学者的广泛关注，得到了许多有关微分方程在具有不同边值条件下的显著结果(见文献 [1] [2] [3] [4] )。随着研究的深入，人们开始关注非整数阶微分方程的边值问题，但是有关带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题的研究结果还是很少的。
2010年，文献 [5] 研究了下列带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题：
其中
，利用上下解的方法，作者得到了至少一个正解的存在性结果。
2013年，文献 [6] 研究了下列带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题：
其中
。由格林函数的性质及Guo-Krasnosel’Skii不动点定理，得到了正解的存在性及多重性的结果。
受以上文章启发，本文主要研究分数阶微分方程边值问题(1)解的存在性。与以往研究成果相比，本文我们所考虑的边值问题具有以下创新点。第一，我们是在Banach空间中研究边值问题(1)解的存在性。第二，本文中使用的主要工具是Kuratowski非紧性测度的性质和Sadovskii不动点定理，得到了解的存在性结果。最后，我们研究的微分方程带有P-Laplacian算子，特别是在Banach空间中，此类问题的研究成果尚不多见，因此研究边值问题(1)解的存在性是必要的。
2. 预备知识及主要引理
首先定义以下空间：
,
.
易见，空间
和
分别赋予范数
，
时，是Banach空间，其中
。
本文的基本空间是
。
下面给出本文用到的一些概念和引理。
定义1 [7] 函数
的
阶Captuto导数定义为：
,
其中
，
是实数
的整数部分，右端在
上是逐点定义的。
定义2 [8] (Kuratowski非紧性测度)令E是实Banach空间，S是E中的有界集，称
为集合S的非紧性测度，其中
是
的直径。显然
。
对Banach空间E中的任意有界集D，记
为E的Kuratowski非紧性测度。下面分别记空间
、
、
中的有界集的Kuratowski非紧性测度记作
、
和
。
定义3 [8] 令
和
是实Banach空间，
，
是连续有界的算子，
1) 如果存在常数
，对E中的任意有界集S，使得
，则称A是k-集压缩映像。当
时，则称A为严格集压缩映像。
2) 如果对E中任意非相对紧的有界集S，有
，则称A是凝聚映像。
为描述方便，列出以下条件：
(H1) 存在非负函数
，使得对任意
，有
,
;
(H2)对任意
，
，
在
上是一致连续的，其中
;
(H3) 存在
满足
，使得对任意
，E中的有界子集
，有
其中
,
,
.
引理1 [8] (Schauder不动点定理) 令K是Banach空间E中的有界闭凸子集，T是K到其自身内的任一全连续映像，则T在K内至少有一个不动点。
引理2给定
，若
，则边值问题：
(3)
有唯一解
.(4)
证明：由(3)知
。
对上式两边积分及
得
, (5)
对上式求导得
因此
,
.
再由边值问题(3)的边界条件，可得
, (6)
. (7)
将(6)、(7)代入(5)，可得(4)成立。
引理3假设条件(H1)成立，则边值问题(1)等价于下面的积分方程：
证明：引理3 的证明类似于引理2，在此略去。
对任意
，定义算子T：
. (8)
注1：引理3 说明边值问题(1)解的存在性等价于算子T的不动点的存在性。
引理4假设条件(H1)和(H2)成立，则算子
是连续有界的。
证明：首先，由(8)知
. (9)
由(H1)知，
，因此
在I中是有界的，即存在正常数A和B，使得
，
。
，即：
。再由(9)知
. (10)
由(8)知
. (11)
因此
.(12)
由(10)和(12)知，
是良定义的并且
。
其次，算子
将
中的有界集映成有界集。下面仅需证明对任意
，存在正常数
，使得对任意
，其中
，有
。令
,
.
根据(H1)和(9)知
. (13)
根据(H1)和(12)知
. (14)
由(13)和(14)知，算子
将
中的有界集映成有界集。
最后证明算子
在
中连续。令
，
。因此
是
中的有界子集，即：存在常数
，使得对任意
，有
，取极限得，
。另外，由(8)知
. (15)
由(H2)知，对任意
，存在
，使得当
时，有
, (16)
因此，对任意
，
，当
时，有
. (17)
同理，对任意
，
，当
时，有
.
所以
,
即：
是连续的。引理得证。
引理5假设条件(H1)成立并且
是
中的有界集，则
和
在
上是等度连续的。
证明：为了证明
和
在
上是等度连续的，仅需证明下面的结论即可：
a) 对任意
，
，存在
，使得对任意
，当
时，有
;
b) 对任意
，
，存在
，使得对任意
，当
时，有
.
首先证明
在
上是等度连续的。事实上，由条件(H1)知
.
由
的有界性，存在
，使得对任意
，有
。对任意
，不妨假设
，再由(8)及
关于
的单调性知
.
令
,
因此对任意
，
，当
时，有
.
当
时，同理可证上式成立。所以
在
上是等度连续的。
其次证明
在
上是等度连续的。对任意
，
，不妨假设
，由(11)知，
令
因此对任意
，
，当
时，有
.
当
时，同理可证上式成立。所以
在
上是等度连续的。
综上所述，引理得证。
引理6假设条件(H1)成立并且
是
中的有界集，则
.
3. 主要结果
下面给出边值问题(1)解的存在性。
定理1 假设(H1)-(H3)成立，则边值问题(1)在
中至少有一个解。
证明：我们仅需证明算子
在
中至少有一个不动点即可。由(H1)知，我们可以选择实数
，使得
.
令
.
首先证明
。事实上，对任意
，由(8)知
. (19)
同理可证，
。由引理4知，
。令
，即：
是
在
中的凸闭包。显然，
是
的非空有界凸闭包。由引理5知，
和
在
上是等度连续的，再由
的定义知，
和
在
上是等度连续的。
下证算子
是由
映到
的严格集压缩映像。由
，
，根据引理4知，
是有界连续的。最后证明对任意
，有
成立，其中
.
事实上，由引理6知，我们仅需证明
, (20)
. (21)
先证(20)成立。由(H2)及
的定义知
在
上是等度连续的。因此，由(H3)知，
.
因为
是任意的，所以(20)成立。同理可证(21)成立。由引理6及(19)，(20)知，
是由
映到
的严格集压缩映像。显然，
也是凝聚的。由引理1知，
在
中只有一个不动点，即：边值问题(1)在
中至少有一个解。
4. 结论
本文主要利用Kuratowski非紧性测度的性质和Sadovskii不动点定理，在Banach空间中得到了带有P-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题(1)解的存在性结果。
致谢
作者对审稿人提出的宝贵意见表示衷心的感谢。