1. 引言
近年来，城市内涝问题备受社会关注。城市内涝形成的主要原因，是城市下水管道设计建设依据的资料系列短、代表性差，排水系统建设标准低。随着城市建设规模的扩张，高楼林立，道路交错，辐射平衡打破，使城市上空局部小气候及下垫面发生明显变化，导致城区降雨过程、产汇流特性改变，产流量增大、汇流速度加快，加剧了雨洪灾害对城市的威胁。为提高城市的排涝能力，有必要用近年代表性好的降雨资料，建立符合当地客观实际的城市暴雨强度公式，供城市排水管网设计建设参考。
本文从暴雨选样方法、暴雨频率曲线选用、年频率与次频率的转换、暴雨公式的参数率定及暴雨公式的建立等方面对暴雨强度编制方法进行了阐述分析，以飨读者。
2. 暴雨选样方法及频率曲线模型
暴雨选样方法有年最大值法、年超大值法、年超定量法与年多个样法4种。年最大值法具有选样简单、独立性强的特点，一般要求暴雨资料系列较长，在水利工程、公路、铁路设计暴雨计算中广泛采用。1963年开始我国排水规范推荐采用年多个样法，GB50014-2006《室外排水设计规范》 [1] 仍推荐采用该方法。本文采用该规范推荐的年多个样法。根据此方法，黄山市屯溪站42年(1967~2008年)暴雨资料系列，平均每年约取4个样，不同降雨历时各取171个值。
暴雨强度公式统计中，常用的理论频率曲线为P-III型曲线、指数分布曲线等，选用何种分布曲线关键看原始数据与理论频率曲线的拟合程度 [2] [3] [4] 。图1为屯溪站t = 30 min时的雨量—频次直方图，从中可见分级暴雨量的出现次数随着雨量的增大而逐渐减少，其变化趋势像一条乙形曲线，这种分布符合P-III型频率曲线Cs = 2时数分布曲线的情况，故本文选择此线型作为理论频率曲线。
3. 次频率与年频率的转换
对于年最大值法其经验频率为：
Figure 1. t = 30 min Rainstorm amount histogram
图1. t = 30 min的暴雨量直方图
(1)
式中：PE——次频率；m——序次，
；N——次雨量系列的长度。
对于年多个样法系列，经验频率计算公式为：
(2)
规划设计时，要求是以年为单位的频率或重现期，故需进行换算，换算公式为：
或
(3)
如
，则
；
,
。
根据黄山市屯溪站42年(1967~2008年)暴雨资料系列的实际分布情况及合理性分析，频率曲线采用分段适线效果更好 [2] [4] ，即一段为P < 70% (适用于T = 2~100年)和另一段为P > 70% (适用于T = 0.25~1年)，具体做法是：
P < 70% (T = 2~100年)：取171个子样前42个，不做频率转换；
P > 70% (T = 0.25~1年)：取171个子样，做频率转换。
由于N = 171和n = 42，得：
(或N = 4n + 3)。
换算结果见表1。由此，将指定的TE年换算成PE次，再从次频率曲线上查得相应的H或i值，即为欲求的结果。
对各历时的暴雨量系列(N = 171)用矩法计算均值
、离差系数Cv和偏态系数Cs。Cs有一定的变化幅度，平均约为2.0，符合指数分布。
用同样的方法，在同一张概率格纸上，绘制几个不同历时暴雨强度的频率曲线，各曲线不得相交，要有合适的间距，分布趋势合理。如图2、图3。各条曲线是PE次和i的关系线，即次频率曲线。设计标准是以年为单位的，其相应重现期为TE年及其相应的频率为PE年。
这里的TE年与年最大法的重现期TM年大都不同，两个暴雨系列的最大项是重合的，次大项及以后几项可能重合、可能不重合。对各历时、各TE年，读取频率计算成果，将9个历时的暴雨量系列摘列成表(略)，将暴雨量H化算为暴雨强度i = H/t，备用。
Table 1. TEY and PET conversion table
表1. TE年和PE次转换表
Figure 2. Tunxi station rainstorm intensity frequency curve (n = 42)
图2. 屯溪站暴雨强度频率曲线图(n = 42)
Figure 3. Tunxi station storm rainfall frequency curve (N = 171)
图3. 屯溪站暴雨强度频率曲线图(N = 171)
4. 暴雨公式参数推求与公式建立 [5]
4.1. 城市暴雨公式
据《室外排水设计规范》 [1] ，城市暴雨公式为：
(4)
(5)
式中：S——雨力，
；i——暴雨强度(mm/min)；T——重现期(年)；b、n、A、C——待估参数。
4.2. 绘制暴雨强度与历时的关系曲线图
在双对数格纸上，以i为纵坐标，t为横坐标，根据在频率曲线上查得的T~i~t关系值，点绘暴雨强度与历时的关系曲线，如图4和图5。
4.3. 求b
如图4和图5的左图所示，T~lgi~lgt关系线不为直线，故需对各重现期在各历时t上加一个相同的值b (即t + b)，试算至各点的连线成为一条直线(如图4和图5的右图)，此时的数值即为所求的b值。经过多次试算，得到b = 8。
Figure 4. Correction graph of lgi-lgt and lgi-lg (t + b) for T = 2 - 100
图4. lgi-lgt和lgi-lg(t + b)相关图(T = 2~100)
Figure 5. Correction graph of lgi-lgt and lgi-lg (t + b) for T = 0.25 - 1
图5. lgi-lgt和lgi-lg(t + b)相关图(T = 0.25~1年)
4.4. 求n
由式(4)得出：
，当b已知后，用最小二乘法计算，得到lgS (同时得到S值)和n值。
其中：
当T = 2~100年，b = 8时，n值计算结果见表2。因n值相差不大，取其平均值n = 0.675。用同样方法计算T = 0.25~1年的n值，结果见表3。取其平均值n = 0.711。
4.5. 推求A和C
用T = 2~100年的S-T的关系数据，在半对数纸上点绘(S为均匀分格，T为对数坐标)，则S-lgT为直线关系(如图6)，即有S = A + C′lgT，其中，C′ = AC或C = C′/A，得到A = 8.964，C = C′/A = 7.453/8.964 = 0.831，从而可得暴雨强度公式。
同理，绘制T = 0.25~1年的S-T关系如图7，得到A = 11.333，C = C′/A = 6.728/11.333 = 0.594。
4.6. 建立城市暴雨强度公式
由上述计算结果得到暴雨强度公式如下：当T = 2~100年时，暴雨强度公式为：
(6)
当T = 0.25~1年时，暴雨强度公式为：
Table 2. Calculated value of n for T = 2 - 100 years
表2. n值计算结果表(T = 2~100年)
Table 3. The value of n calculation result table (T = 0.25 - 1 year)
表3. n值计算结果表(T = 0.25~1年)
S = 8.964 + 7.453 lgT
Figure 6. Correlation diagram of S-lgT for T = 2 - 100 years
图6. S-lgT相关图(T = 2~100年)
S = 11.333 + 6.728 lgT
Figure 7. Correlation diagram of S-lgT for T= 0.25 - 1 year
图7. S-lgT相关图(T = 0.25~1年)
(7)
5. 方法及研究成果评价
5.1. 适线法简单方便、分析成果精度高
由前述，黄山市暴雨强度频率曲线采用指数分布，理论依据充分，资料吻合度好。适线时只须固定Cs = 2，调整Cv即可，精度高，误差小，比目估适线简捷方便，同时克服了目估适线成果的任意性大的缺点。
5.2. 分段适线更合理性
分别点绘各历时N = 171和N = n = 42的H-lnT关系，可以发现其点群分布基本呈直线趋势，如果将点群细分为大强度和中小强度两部分拟合更好。如图8。分段适线优于不分段适线，更为合理，误差小，精度高。
本文取k = 1的超大值系列(N = n = 42，用于T ≥ 2年)及全部系列(N = 171，用于T ≤ 2年)，分别作为分析暴雨强度公式中参数的基本依据。
5.3. Cv值的调整与计算
由上述可知，指数分布的频率为
，令
，
(8)
对(8)式两端取对数，有：
,
(9)
对于指数分布模型，已知Cs = 2，均值
取矩法的计算值，只有Cv需要估计。
由
，
，
，知
。
对于均值，在水文水资源计算中，一般将其固定为矩法的计算值，不作调整。绘制
-t关系图，并将各点连线，
是随着历时t的增长而增大，如图9，其连线为一光滑线，变化规律性较好，可作为取用结果。
对于Cv初值的估计，方法较多，本文以N = n = 42 (用于T ≥ 2年)作为示例介绍如下，实际工作时，只需任取一、两种即可。先点绘
-t的关系图，再取式(9)进行(最小二乘)回归计算，即H与lnT相关，得斜率β值。
N = 171 N = n = 42
Figure 8. Relation diagramof H-lnT when t = 5 min
图8. t = 5min时的H-lnT关系图
记录各历时计算的β和Cv值。例如表4，再点绘Cv-t的关系见图10，按点群趋势进行连线。反复调整Cv，绘制频率曲线，使其拟合最佳，得到最终取用的Cv值。
5.4. 年最大值法与年多个样法的比较
年最大值法每年只取一个最大值，选样客观，独立性强，不需频率转换，计算简单方便，但分析所需资料
Table 4. Parameter analysis tables (N = n = 42)
表4. 参数分析表(N = n = 42)
系列更长。年多个样法没有现成的统计成果，需要重新大量收集、处理、统计资料，耗时费力，工作量大，但其分析成果更符合客观实际，成果可靠性更高。
6. 几点思考与体会
1) 可靠的资料和合适的频率曲线是研制暴雨强度公式的基础，分析计算的工作重点应建立在这个基础上。
2) 暴雨强度公式中参数的估计，属于计算技术问题，但必须结合统计原理和水文概念予以协调、合理性分析，才能得到比较满意的结果。要特别注意频率曲线适线的技巧及合理性分析。
3) 暴雨强度公式中，n是最敏感的参数，n微小的差别都会较大的影响雨力S值，从而影响A和C的值。也就是说，参数间有相互影响和相互补偿的作用。若能在相似或相邻地区固定n值，将有助于参数的地区综合。
4) 本例的频率分析中，关于Cs的选取和频率曲线的分段适线，是依据该市暴雨资料系列的分布趋势而定的，不同城市的资料条件不一定相同，可按具体情况而定。