有限生成无挠幂零群的有限扩张的4阶自同构

A Finite Extension of a Finitely Generated Torsion-Free Nilpotent Groups with Automorphisms of Order Four

摘要: 设G是有限生成无挠幂零群的有限扩张，α是G的4阶自同构且φ:是满射，则G的二阶导群G''包含在G的中心Z(G)里且C_G(α²)是Abel群。

Abstract: Let G be a finite extension of a finitely generated torsion-free nilpotent group and α be an automorphism of order four of G. If the map G→G defined by G^φ=[g,α] is surjective, then the second derived subgroup G'' is included in the centre of G and C_G(α²) is an Abelian group.

1. 引言和主要结果

本文采用的符号和术语都是标准的，按照 [1] 。

在群论里，如果群的自同构没有非平凡的不动点，则称是正则自同构。

对于2阶正则自同构，Burnside [2] 证明了一个经典结果。即

命题1.1. 设是有限群，是的2阶正则自同构当且仅当是奇阶Abel群。

对于素数阶正则自同构，Higman [3] 用Lie环的方法证明了：如果局部幂零群的具有素数阶的正则自同构，那么是幂零类不超过的幂零群，其中是只与有关的函数。

舍去自同构的正则性，在满射的条件下，考虑自同构的阶数对群结构的影响，我们在 [4] 中研究了有限生成无挠幂零群的素数阶自同构，证明了：如果是有限生成无挠幂零群的阶自同构，且是满射，则是幂零类不超过的幂零群，其中是只与有关的函数。

在 [5] 中，我们考虑了有限生成无挠幂零群的4阶自同构的情况，得到了：

命题1.3. 设是有限生成无挠幂零群，是的4阶自同构且是满射，则以下结论成立

(i)；

(ii)是Abel群。

在本文中，我们研究了有限生成无挠幂零群的有限扩张的4阶自同构，得到了下面的结果，推广了命题1.3。

定理1.1. 设是有限生成无挠幂零群的有限扩张，是的4阶自同构且是满射，则以下结论成立:

(i)；

(ii)是Abel群。

2. 定理的证明

引理2.1. 设是一群，是的阶自同构且是满射，则对于任意的，有。

证明 因为是满射，所以对于任意的，存在某个，使得。因此

引理2.2. 设是有限群，是的一个自同构，如果映射是满射，则是的正则自同构。

证明 因为是有限群，所以是单射。任取，设，则有，进而。因此是正则自同构。

引理2.3. 设是一群，是的指数有限的特征子群。如果映射是满射，其中是的一个自同构，则在上诱导的自同构是正则的。

证明 因为是满射，所以是满射，由引理2.2知诱导了的正则自同构。

引理2.4. 设是有限生成无挠幂零群的有限扩张，是的阶自同构且是满射，则有一个指数有限的特征子群，使得以下结论成立

(i)；

(ii) 对于任意的正整数，诱导了的正则自同构。

证明 (i) 设是有限群，是有限生成的无挠幂零群。设的幂指数为，则是有限生成的无挠幂零群。记，则是有限群，由 [1] 的定理5.2.21可知是剩余有限p-群。因此 对于任意的正整数，是有限p-群且。

(ii) 易知是满射，由引理2.3可知是正则自同构。

引理2.5. [6] 设是局部有限群，是的4阶正则自同构，则包含在中。

定理1.1的证明 (i) 取，根据引理2.4的(ii)我们可以知道对于任意的正整数，诱导了的正则自同构。易知的阶数整除4。由命题1.1和引理2.5知道包含在的中心里。因此。即。从而

进而

因为，所以。

(ii) 记，只需证是Abel群即可。取，考虑。如果，则是的2阶正则自同构。由命题1.1知道是Abel群。因此对于任意的，有。

即。因为，所以。这表明是Abel群。显然也是Abel群。如果，则是-不变，因此是的1阶或2阶自同构。注意到

于是是的正则自同构。因为，所以是的2阶正则自同构。由 命题1.1知道是Abel群。注意到

我们有是Abel群。所以对于任意的，有。即。因为，所以。这表明是Abel群。

基金项目

国家数学天元青年基金(11626078)，河北省教育厅青年基金(QN2016184)和邯郸市科学技术研究与发展计划项目(1624230057-3)资助。

NOTES

^*通讯作者。