1. 引言
本文讨论如下非线性泛函微分方程
, (1)
解的渐近行为。本文将假设如下条件成立：
，
，且满足
;(2)
且满足
；
为两个正奇整数之比。
，满足
，
；记
，
；
关于
在区间
内单调递减，满足
及
；
且存在一个正常数
使得：
.
称
是方程(1)的解，是指存在
，使得
, 
,
并且在
满足方程(1)。本文仅考虑方程(1)中，满足
的解。
称方程(1)的解是振动的，若它在
上有任意大的零点，否则称它为非振动的，若它的每一个解
是振动的或满足
，那么方程(1)称为弱振动。
近年来，对于泛函微分方程的解的振动性研究受到了国内外学者的广泛关注(见文献 [1] [2] [3] [4] )。
但是关于三阶中立型时滞微分方程的振动性结果相对较少。在文 [4] [5] 中，作者在
的假设下
给出了方程(1)振动的若干充分条件。在文 [6] 中，作者在
的情形下研究了方程(1)振动行为。本文的目的是在条件(2)下，利用推广的Riccati变换及Young不等式，运用积分平均方法，得到新的关于方程(1)解的振动准则，改进和推广文献 [5] [6] 中的相关结果。
2. 主要引理
引理1 设
是方程(1)的一个最终正解，那么当
充分大时，
必满足下面三种结构之一：
(I)
；
(II)
；
(III)
。
证明：设
是方程(1)的一个最终正解，当
充分大时，有
,
那么
是单调递减的，故当
充分大时，
定号的，由于
，则有
或
.
若
，则
是单调递减的，故当
充分大时，
定号，即：
或
。下面我们证明当
充分大时仅有：
。
事实上，如若不然，则
，而
。由泰勒公式可知，当
充分大时，
，这与
矛盾。
因此，当
充分大时，
最终有结构(I)或(II)或(III)。■
引理2若
是方程(1)的一个最终正解，设
满足结构(II)，如果
,(3)
则有
。
引理2的证明完全类似 [5] 引理2的证明，因而省略证明。 ■
3. 主要结论
记
，称二元函数
是属于
类函数，如果
满足
(i)
，
；
(ii)
，存在
，
，使得
.
定理1，若假设条件及(3)成立，并且存在
以及
，
，满足：
,(4)
其中
，
，
。那么，方程(1)的任何解
或者是振动的或者
。
证明：假设方程(1)存在非振动解
，则
为最终正解或最终负解.不失一般性，假设
为最终正解(若
为最终负解，用相同的方法得到同样的结论)。我们不妨假设对一切
有，
。
由引理1可知，
有结构(I)或(II)或(III)，若
有结构(II)。那么由引理2有
.
下面我们分别讨论
具有结构(I)或结构(III)的情形。
情形1：不妨假设当
时
满足结构(I)，即：
。
显然
是单调递增函数，且
。则有
. (6)
由假设条件得到
.
由于
是单调递减函数且
时
即
, (7)
两边同时对
在区间
上积分，可得
，则
是单调递减函数。因此，当
时，有
，即对任意的
，有
. (8)
将(8)式两边同时对
在区间
上积分，可得
，即
. (9)
由(8)、(9)得：对任意的
. (10)
取
，则有
.(11)
记
. (12)
由(11)式，有
.
则对任意的
有
. (13)
而
.
令
，由Young不等式得
,
即
. (14)
联立(13)式，有
.(15)
利用
的单调性，对任意
.
因而可得如下不等式：
.
这与(4)矛盾。
情形2：假设当
时，
满足结构(Ⅲ)，即：
。
同情形1，由于
是单调递减函数，则当
时有
即：
,
两边同时对
在区间
上积分，可得
，则
是单调递减函数，即
. (16)
由(6)，(9)得
,
结合(16)，因而有
.
用情形(1)取
，则有
.
类似于情形1的证明，我们可以得到与(4)矛盾，因此方程(1)振动。■
定理2 若假设条件及(3)成立，并且存在
，对任意
有
, (17)
. (18)
并且
, (19)
, (20)
其中
如定理1所定义，
，则方程(1)的解振动或趋于零。
证明：情形1：若
满足结构(I)，由假设对任意的
根据定理1的证明中定义
如(12)及
，由(13)有
,
则
, (21)
由(15)，有
有：
。
记
.
由(19)、(21)，则有
. (22)
现在假设
, (23)
由假设可知，存在
，使得
. (24)
由(23)式可知，对任意正常数
，存在
，使得对任意
有
.
那么，对任意的
.
由(22)式可知，存在一个
。使得对任意的
，有
.
故
.
由于
是任意正常数，因此
.
又完全类似 [4] ，有
.
这与(22)矛盾，所以
. (25)
由(20)式
.
这与(19)式矛盾。
情形2：假设
满足结构(Ⅲ)，由定理1的证明结果与情形1的证明类似，我们可以得到相应的结论。 ■
基金项目
长沙理工大学研究生科研创新项目(No: cx2016ss18)资助。