1. 引言
近年来，随着纳米结构制造技术的发展，金属纳米结构的表面等离子体共振(surface plasmon resonance, SPR)现象并由此引发的许多奇特的纳米光学性质，受到了不同领域研究者的广泛关注 [1] [2] [3] [4] [5] 。SPR是指当光与金属纳米结构相互作用时在金属表面的一种由自由电子和光子形成的混合激发态 [6] [7] 。在这种相互作用中，自由电子在与其共振频率一致的光波照射下发生集体振荡。
金属纳米光栅(MNG)是一种光波激发SPR的器件，其光学性质可由改变纳米光栅的周期、槽深槽宽、入射光波长等加以操控，因此其结构参数与入射光参数的选择都是十分关键的。H. Raether详细研究了正弦型金属光栅的振幅、周期以及入射光波长和角度等对SPR光学特性的影响 [8] 。H. Hori等人研究了双面矩形和等腰梯形槽深及等腰梯形底角对SPR的影响 [9] 。本文作者也曾研究过几种高斯面型光栅的SPR光学特性并分析了其传感性能 [10] [11] [12] 。
然而光栅形状各式各样，如何实现与入射参数最佳耦合更需要对多种面形光栅的光学传播特性进行比较分析，并研究总结SPR共振模式及变化规律。本文基于此计算了几种常见形状的金属纳米光栅近场光强分布及反射率透射率，并分析了结构参数对SPR的影响规律，为根据需要设计金属纳米光栅提供支持和依据。
2. 几种典型沟槽形状MNG的光学传播特性
我们考虑了几种典型沟槽形状的MNG的光学特性，结构示意图见图1。因为银是在可见光波段性能最好的金属，可以将等离子体激元沿表面传播100微米 [13] ，因此我们选用的模型为上表面刻有周期分布的沟槽的银纳米薄膜。其纳米褶皱剖面分别为高斯形、矩形、圆形和三角形，银的介电常数参考文献 [14] 的实验测量值。其中，光栅周期为p，光栅未刻透的深度为t，槽宽为w (半宽值)，槽深为H，入射光波长λ。
为了方便比较分析，我们将几种结构的光栅参数尽量设成一致，这里，银膜周围均为空气，其相对折射率n = 1.006。在TE偏振下，因电场矢量
沿边界连续，不能激发表面等离子体共振 [15] ，因此文中
(1) 高斯形(gaussion) 
(2) 矩形(rect)
(3) 圆形(circular) 
(4) 三角形(triangle)
Figure 1. Schematic models of MNG with several classic groove shapes
图1. 几种不同沟槽形状截面MNG结构示意图
入射光为TM偏振态平面波垂直入射。采用多重多级子程序法(MMP)求解麦克斯伟方程。MMP是20世纪80年代初期由瑞士皇家技术学院的hafner及其合作者开创的一种进行电磁场计算的数值技术，适用于求解电磁场各领域的问题 [16] [17] 。MMP是一种边界法，它的基本思想是首先对求解区域中各个子域的界面进行多极子离散，子区域内部的场可以展开为一组由N个已知解析解的函数的线性叠加，利用区域间分界面处的边界条件，最后形成多级子函数方程组供求解计算。MMP的这一特征在数值计算中是极其重要的，它可以大大减少存储空间，降低计算量，从而极大地提高求解效率。MMP法和其他数值解法最大的不同点是模拟电磁场时的灵活性，因为模拟场可以自由选取本征函数。MMP法还可以衡量解的误差，于是不再需要考虑费时的收敛问题。
为了比较几种结构的光学传播特性的不同，我们把计算得到的透射率随入射波长的变化关系放在同一个图中，见图2(a)。把反射率随入射波长的变化关系放在同一个图中，见图2(b)。当入射光波长处于300 nm到800 nm之间时，表面等离子体激元穿透深度约为
，这里
为表面等离子体共振角频率，对于银Ag，
= 1.3463 × 1016 rad/s，
。所以当薄膜未刻透厚度t大于11 nm时，透射率应该是非常小的。然而，由于金属光栅的SPR引发了光隧道效应，进而出现了光的异常透射现象。
从图2的结果可以看出，每种光栅结构在入射光为300 nm到800 nm之间，有两个主要的透射峰值和反射低谷值。峰值1的波长位置几乎不随光栅形状而改变。我们知道，对于光栅的SPR而言，可以用下式表达其中的关系
(1)
(a) 
(b)
Figure 2. Transmission (a) and reflectivity (b) as fuctions of incident wavelength; (Structure parameters of MNG are P = 300 nm, t = 15 nm, H = 40 nm, w = 30 nm)
图2. 几种形状下的(a) 透射率和(b) 反射率随波长的变化关系。(MNG的结构参数P = 300 nm, t = 15 nm，H = 40 nm，w = 30 nm)
其中
为入射波矢，
为入射角，P为光栅周期，
为表面等离子体波矢。
为银介电函数，
为光栅上表面介质的介电常数。共振峰的波长位置依赖于结构周期和入射横向波矢。前面为垂直入射，因此
为0，所以共振波长影响因素是光栅周期，和沟槽形状基本没有关系。因此我们判断第一个峰值为SPR，它的光谱响应频带相对较窄的，只有几纳米到十几纳米之间。同时，我们也能看出峰值2却随着光栅形状的改变出现了明显的频移，下面我们分析一下第二个峰值反应的物理本质。
为此，我们模拟了矩形金属纳米光栅中两种共振下的近场磁场分布，光栅剖面结构参数设置与图2一致，结果如图3所示。图中，黄色框图代表了光栅中的一个周期，而中间白色部分是沟槽形状为矩形的银薄膜区域。其中图3(a)和图3(b)分别对应着第一个窄带透射峰值的共振模式和第二个宽带透射峰值的共振模式。从图中的近场磁矢量近场分布可以看出，第一个共振处的光场分布在银薄膜的上下表面，这说明当光从上表面入射时，引发了上表面的等离子体产生共振进而引发下表面的等离子体产生共振，也正是由于SPR导致了光的隧穿效应，使得矩形MNG出现了特殊的光学响应。而第二个共振处的光场有绝大部分都集中在沟槽内部，这说明光从上表面入射时，引发矩形沟槽表面的等离子体产生共振并和入射光子耦合，进而引起了强烈的光近场局域增强，这种效应类似于金属纳米粒子的SPR效应，也就是局域化表面等离子体共振(LSPR)效应。从图2中，我们可以看到LSPR有相对较宽(约几十纳米)的光谱响应。这时的透射率约0.5，而反射率小于0.1，说明LSPR伴随着强烈的光的吸收。
公式(1)描述了SPR波矢
和光栅结构周期之间的关系，在平面波垂直入射的情况下，光栅周期越大，
越小，因此共振波长也越大。下面我们主要以矩形MNG为例，进一步讨论光栅的槽深槽宽等结构参数对SPR和LSPR两种共振模式的影响。
3. 矩形MNG的光学传播特性
矩形剖面MNG的结构示意图见前面图1(2)，其中槽深为H，槽宽为w。
3.1. 槽深对MNG光学特性的影响
图4给出了矩形沟槽银纳米光栅在槽深H从20 nm到100 nm变化下的透射率、反射率和入射光波长的对应关系。从计算结果可以看出，在入射波长约373 nm处，出现了第一个反射低谷值和透射峰值，此处为SPR，共振峰值波长几乎不随光栅槽深H的变化而变化，但透射率随着槽深H的增大而减小。第二个透射峰为LSPR，共振峰值波长随着沟槽深度的增大而增大，到H = 100 nm时，其透射峰值甚至超出了800 nm，透射率也随着槽深H的增大而减小。
(a) 
(b)
Figure 3. The magnetic near field distribution of MNG with rectangle groove shapes; (a) λ1 = 373 nm, (b) λ2 = 556 nm (P = 300 nm, t = 15 nm, w = 30 nm, H = 40 nm)
图3. 矩形沟槽MNG的磁场的近场分布特性。(a) λ1 = 373 nm, (b) λ2 = 556 nm (P = 300 nm, t = 15 nm, w = 30 nm, H = 40 nm)
(a) 
(b)
Figure 4. Transmission (a) and reflectivity (b) as functions of incident wavelength with different groove depths (P = 300 nm, w = 30 nm, t = 15 nm)
图4. 不同槽深H下的透射率(a)和反射率(b)随波长的变化关系(P = 300 nm, w = 30 nm, t = 15 nm)
3.2. 槽宽对MNG光学特性的影响
矩形沟槽银纳米光栅在不同槽宽w下的透射率、反射率和入射光波长的对应关系见图5。从计算结果同样可以看到有两个明显的共振透射峰，每个峰值处对应着反射低谷值。第一个SPR共振峰值波长约373 nm，基本不随光栅槽宽的变化而变化，而且从图5(a)可以看出，透射率随着槽宽的增大而缓慢增大。第二个LSPR透射峰值显示随着沟槽宽度w的增加，对应的共振透射波长向短波长方向移动。和前面槽深变化相类似的情况是，SPR透射曲线相比LSPR透射曲线呈现相对窄的光谱响应。再根据图4和图5的分析，说明LSPR对光栅的槽深槽宽变化非常敏感，随着槽深由20 nm增加至100 nm，共振峰向长波方向大幅移动(红移约300 nm)，随槽宽由15 nm增加至250 nm，共振峰向短波方向大幅移动(蓝移约200 nm)。
4. 结论
利用多重多级子程序法计算了高斯形、三角形、圆形和矩形等几种典型沟槽形状的金属纳米光栅的光波传播特性。分析了光栅形状、槽宽、槽深、入射光波长等相关参数对光透反射率的影响。结果说明，
(a) 
(b)
Figure 5. Transmission (a) and reflectivity (b) as fuctions of incident wavelength with different groove widths. (P = 300 nm, H = 40 nm, t = 15 nm)
图5. 不同槽宽w下的透射率(a)和反射率(b)随波长的变化关系(P = 300 nm, H = 40 nm, t = 15 nm)
在平面波垂直入射的情况下，金属纳米光栅存在表面等离子体共振和局域化表面等离子体共振两种共振模式，并由此引发了光的异常透射。SPR透射峰值波长随光栅槽深和槽宽的变化都很小，并呈现窄光谱响应机制。LSPR能将主要的光能量局域在光栅沟槽内部，在较宽的光谱区域都能响应。LSPR峰值波长强烈依赖着槽深和槽宽的大小，随槽深增加而红移，随槽宽增加而蓝移。分析总结金属纳米光栅结构参数对其表面等离子体共振模式的影响规律有助于实现光栅与入射光的更有效的耦合，为根据实际需要合理地设计金属纳米光栅提供相应的支持和依据。
基金项目
河北省科技计划项目(15210917)。