一类无穷拉普拉斯方程边界爆破解的渐近行为

Boundary Behavior of Blow-Up Solutions to Infinity-Laplacian Equation

摘要: 基于Karamata正规变化理论，采用上下解的方法，本文主要考虑了当非线性项f和权函数b满足适当的条件时，一类无穷拉普拉斯方程边界爆破问题 (其中Ω是R^N中具有光滑边界的有界区域)的解在区域边界附近的精确渐近行为。

Abstract: In this paper, by upper-lower solution method, under suitable conditions on general nonlinearities f and weight functions b, we consider the exact boundary behavior of solutions to boundary blow-up elliptic problems , where Ω is a bounded domain with smooth boundary in R^N . Our analysis is based on Karamata regular variation theory.

1. 引言

本文中考虑下列边界爆破椭圆型问题的解在区域边界附近的精确渐近行为：

(1)

其中为无穷Laplacian算子，是由下列式子

给出的一个高度退化的椭圆型微分算子，是在上光滑边界的有界域，权函数满足

(b₁)：，且在中是正的；

且非线性项满足

(f₁)：，，在上是递增的；

(f₂)：存在使得。

无穷Laplacian的概念是由Aronsson [1] 在考虑将边界(是在中的有界区域)上的函数延拓到内时提出的。他指出恰好是上述延拓问题的Euler-Lagrange方程。由于无穷Laplacian算子的高度退化性，相关的Dirichlet问题可能没有古典解。鉴于此，Crandall和Lions [2] 、Crandall等 [3] 和Crandall等 [4] 提出了粘性解的概念(粘性解的定义可见第2节)。随后Jensen [5] 借助于粘性解的概念，证明了无穷调和方程Dirichlet问题解的惟一存在性。在此之后，无穷调和方程引起了广大学者的关注，读者可参考文献 [6] [7] [8] 。

若非负函数在粘性意义下满足(1)中的方程，且当距离函数时，函数满足条件，像这样的函数称为问题(1)的边界爆破解。A. Mohammed和 S. Mohammed [9] [10] 首次给出了问题(1)解的存在性的充分必要条件是

(2)

椭圆方程边界爆破解的研究有着很长的历史，早期的研究主要集中于古典的Laplacian算子，即

(3)

问题(3)源于椭圆几何、数学物理或者种群动态，许多作者已对此问题进行了讨论和延伸，可参考文献 [11] - [16] 及里面所涉及的参考文献。

当非线性项在上满足条件(f₁)且时，Keller和Osserman [13] [14] 首次对方程(3)解的存在性给出了充分必要条件

(4)

Loewner和Nirenberg [15] 证明了如果且，，则问题(3)有唯一的解满足。

当满足(f₁)，(f₀₂)：存在使得

及(f₃)：存在使得在上是递增的，

并且在中是大于零的，且满足

(b₀₁)：存在使得。

Garcia-Melian [16] (通过非线性变换、摄动方法和比较原则)给出了下列结论：

(i) 若，对问题(1)的任意解满足

(5)

其中

且满足

(6)

(ii) 若且对充分小的有，结论(i)仍然成立。

受上述研究结果的启发，本文将考虑当权函数和非线性项满足适当的条件时，问题(1)的解在区域边界附近的精确渐近行为。

本文中，假设满足条件

(b₂)：存在正常数，使得，其中。

本文的主要结论如下：

定理1.1：如果非线性项满足(f₁)-(f₂)，权函数满足(b₁)-(b₂)，则问题(1)的解满足

(7)

其中函数由下列积分方程

唯一确定。

注1.1 关于问题(1)解的存在性的结论，可参见参考文献 [9] [10] 。

在第2节和第3节里，我们给出本文所涉及的定义与辅助结论作为预备知识，然后把这些预备知识运用到全文中，且定理1.1的证明将在第4节中给出。

2. 预备知识

本文的研究主要依赖于由Karamata在1930年所创立的Karamata正规变化理论，这个理论是随机过程理论的基本工具(参考文献 [17] [18] [19] )。本节将对Karamata 正规变化理论中的一些定义及正规变化函数的一些性质做一个简单的叙述。

定义2.1 定义在上的函数，若是正的可测函数，则称在处以指数正规变化，记。如果对每一个，有

(8)

特别是，当时，称在处缓慢变化。

若，则在远处缓慢变化。

定义2.2 定义在上的函数，若是正的可测函数，则称在远处快速变化。若对每一个，有

(9)

一些基本的在远处缓慢变化的函数如下：

1) 定义在上且在远处有正极限值的可测函数；

2)和；

3)。

一些基本的在远处快速变化的函数如下：

1)和；

2)和；

3)和；

4)和。

同样可以得到，定义在上的正的可测函数，称为在点0处以指数正规变化，记，如果属于，同样的，如果快速变化，函数称在点0处快速变化。

命题2.1：(一致收敛定理) 若，则式(8)关于一致收敛.而且，当时，式(8)在区间上对一致成立;当时，式(8)在区间上对一致成立。

命题2.2：(表示定理) 函数在远处是缓慢变化的，当且仅当它可以写成以下形式

(10)

其中，函数和均是可测的，且当时，；当时，。

我们称函数

(11)

在远处标准的缓慢变化的函数；

并称函数在远处是以指标标准的正规变化的函数。

同样的，函数称为在点0处以指数标准的正规变化的函数，记，如果属于。

函数，若，当且仅当对某一，有

且

(12)

命题2.3：若函数为在远处缓慢变化的函数，则

(i)均在无穷远处缓慢变化；

(ii) 对每一个，当时，有。

(iii) 对每一个，有且。

命题2.4：以下结论成立：

(i) 若且，则。

(ii) 若，则对每一个，有。

命题2.5：(渐近行为) 若函数在远处缓慢变化，则当且时，有

(i) 当时，；

(ii) 当时，。

命题2.6：(渐近行为) 若函数在点0处缓慢变化，则当且时，有

(i) 当时，；

(ii) 当时，。

接下来，我们给出问题(1)粘性解的精确定义。

定义2.3：若函数，对，在处有局部最大值，使得，则称函数是偏微分方程在内的粘性下解。

定义2.4：若函数，对，在处有局部最小值，使得，则称函数是偏微分方程在内的粘性上解。

定义2.5：若函数既是粘性上解又是粘性下解，称函数是偏微分方程在内的粘性解。最后，若是偏微分方程的解，使得在上，则称为问题(1)的解。

3. 一些辅助结论

本节将介绍定理证明过程中用到的一些辅助结论。

引理3.1：假设满足(f₁)-(f₂)，是积分方程

的解，则

(i)

；

(ii)；

(iii)。

证明：(i) 由满足的积分方程，通过简单计算可知(i)成立。

(ii) 由式子(12)和命题2.4 (ii)的证明知。

定义，则是缓慢变化的。

由于，则。因此，结合命题2.5，有

因此，

即。

(iii) 由条件和(i)可知

即。

4. 定理的证明

首先，我们引入下列结果：

引理4.1 (比较原理) ( [10] ，定理2.5) 设满足(b₁)，且满足(f₁)。假设，使得在粘性意义下在内成立和；若在的边界上成立且，则在内成立。

对任意的，定义。因为是光滑的，所以存在，使得且，从而在粘性意义下在内成立。

定理1.1的证明：固定一小常数。设，。

定义

和

其中，。

令。注意到和在它们各自定义的范围内分别是递增和递减的，因此可选取充分小的使得在区间上是递减的。令是的反函数，容易验证

(13)

(14)

令在的某领域内满足，并且。因此在内成立且。

由于在内满足，因此可得出。通过简单计算有

由和，可得

此外，当，有，且在处有局部最大值，所以有

即

由公式(13)和(14)，可进一步得到

由得

当时， (趋于的边界)，因此，结合引理3.1以及条件(b₂)和(f₁)可得当时，

因此，根据的取值，可选取充分小使得。从而，即是问题(1)在内的上解。同样的证明方法，可以证明是问题(1)在内的下解。

现在设是问题(1)的任意一解。可以断言存在正的常数使得

(15)

(16)

事实上，我们可选取使得在

上成立。

由条件(f₁)可知也是方程(1)在内的一上解。又因为在上成立，则由比较原理(引理4.1)可得式子(15)成立。

同样的，可证式子(16)成立。

因此，对成立，当时

和

此外，根据引理3.1知，因此可得

和

在上两式中令，有

(17)

另一方面，由引理3.1 (ii)可知

(18)

结合公式(17)和(18)可知定理的结论成立。

基金项目

本文由临沂大学大学生创新创业训练计划项目(编号：201610452004)部分资助。