关于广义Keune符号的若干性质的研究

On Research for Some Properties of General Keune Symbol

摘要: 1981年，Keune给出了交换环的三元符号(我们称之为Keune符号)。2013年，范自强等将Keune符号推广到一般环(含单位元)，并讨论了该符号的一些关系。本文将讨论广义Keune符号的若干性质，这些性质对研究稳定秩1环的K₂群是非常重要的。

Abstract: Keune defined ternary symbol (named by Keune symbol) of commutative ring in 1981, Fan etc generated it to a general ring with identity, and some relations of this symbol are discussed in 2013. In this Paper, we discuss some its properties, these properties are very important to give the presentation of K₂ of stable range one ring.

1. 引言

设R是含有单位元1的环。环R的Steinberg群 $S{t}_n\left(R\right)$ ，其中 $n\ge 3$ ，由如下的生成元和关系所决定：

生成元： $x_{ij}\left(r\right)$ ，其中 $r\in R$ 且 $1\le i\ne j\le n$ ；

关系：

1) $x_{ij}\left(r\right)x_{ij}\left(s\right)=x_{ij}\left(r+s\right)$ ；

2) $\left[x_{ij}\left(r\right),x_{kl}\left(s\right)\right]=\{\begin{array}{ll}1,\hfill & i\ne l,j\ne k,\hfill \\ x_{ij}\left(rs\right),\hfill & i\ne l,j=k,\hfill \end{array}$

其中 $\left[u,v\right]=uv{u}^{-1}{v}^{-1}$ 是换位子。

由于 $e_{ij}\left(r\right)$ 是环R的初等群 $E_n\left(R\right)$ 的生成元，并且满足上述关系，在 [1] 中，J.Milnor定义了同态 $\phi :S{t}_n\left(R\right)\to E_n\left(R\right),x_{ij}\left(r\right)\mapsto e_{ij}\left(r\right)$ ，其中 $n\ge 3$ 。

在 [4] 中，范自强等基于 [2] [3] ，将Keune符号推广到非交换环的情形。而本文将研究广义Keune符号的若干性质，这些性质对研究稳定秩1环的 $K_2$ 群是非常重要的 [5] 。

2. 群K(R)的若干关系

以下本文中的R均为含单位元1的环，U(R)是R的单位群，i和j为互异的正整数。设 $u\in R$ 且 $u\in U\left(R\right)$ ，令

$w_{ij}\left(u\right)=x_{ij}\left(u\right)x_{ji}\left(-u^{-1}\right)x_{ij}(\; u\; )$

设 $a,b,c\in R$ 且 $u=a+c-abc\in U\left(R\right),v=a+c-cba$ ，令

$W_{ij}\left(a,b,c\right)=x_{ij}\left(-a\right)x_{ji}\left(b\right)x_{ij}\left(-c\right)x_{ji}\left(u^{-1}\left(1-ab\right)\right)x_{ij}\left(-v\left(1-bc\right)\right)$

令 $W_n\left(R\right)$ 是由 $W_{ij}\left(a,b,c\right)$ 生成的 $S{t}_n\left(R\right)$ 的子群，其中 $a,b,c\in R$ 且 $a+c-abc\in U\left(R\right)$ 。

设 $a,b,c\in R$ 且 $u=a+c-abc\in U\left(R\right),v=a+c-cba$ ，令

${\langle a,b,c\rangle }_1=W_{12}(a,b,c)w_{12}(\; v\; )$

称 ${\langle a,b,c\rangle }_1$ 为Keune符号。令K(R)是由Keune符号 ${\langle a,b,c\rangle }_1$ 生成的 $S{t}_n\left(R\right)$ 的子群。在 [4] 中给出了如下定理：

定理2.1：设R是环，在K(R)中符号 ${\langle a,b,c\rangle }_1$ 满足以下关系：

1) ${\langle a,b,c\rangle }_1={\langle c,b,a\rangle }_1^{-1}$ ；

2) ${\langle a,b,d\rangle }_1={\langle ub,d{u}^{-1},\left(1-ab\right)\rangle }_1$ ；

3) ${\langle a,b+c-bac,d\rangle }_1={\langle a,b,\left(1-ac\right)d\rangle }_1\cdot {\langle a,c,d\left(1-ba\right)\rangle }_1$ ；

4) ${\langle a,b,c\rangle }_1={\langle a{\gamma }^{-1},\gamma b,c{\gamma }^{-1}\rangle }_1$ ，其中 $\gamma \in U\left(R\right)$ ；

5) $x{\langle a,b,c\rangle }_1{x}^{-1}={\langle \pi a,b{\pi }^{-1},\pi c\rangle }_1$ ，其中 $x\in K\left(R\right)$ 且 $\pi =\phi \left(x\right)$ 。

3. 广义Keune 符号的若干性质

定义3.1：设R是环， $K_R$ 是由如下生成元和关系所决定的群：

生成元： $\langle a,b,c\rangle$ ，其中 $a,b,c\in R$ 且 $a+c-abc\in U\left(R\right)$ ；

关系：K1) ${\langle a,b,c\rangle }^{-1}=\langle c,b,a\rangle$ ；

K2) $\langle a,b,d\rangle =\langle ub,d{u}^{-1},\left(1-ab\right)\rangle$ ；

K3) $\langle a,b+c-bac,d\rangle =\langle a,b,\left(1-ac\right)d\rangle \cdot \langle a,c,d\left(1-ba\right)\rangle$ ；

K4) $\langle a,b,c\rangle =\langle a{\gamma }^{-1},\gamma b,c{\gamma }^{-1}\rangle$ ，其中 $\gamma \in U\left(R\right)$ ；

K5) $\langle A,B,C\rangle \langle a,b,c\rangle {\langle A,B,C\rangle }^{-1}={}^x\langle a,b,c\rangle$ ，

其中 $x=\left(A+C-ABC\right){\left(A+C-CBA\right)}^{-1}$ ， ${}^x\langle a,b,c\rangle =\langle xa,b{x}^{-1},xc\rangle$ 。称 $\langle a,b,c\rangle$ 为广义Keune符号。

显然存在同态 $\psi :K_R\to K\left(R\right)$ ， $\tau :K_R\to E_n\left(R\right)$ ， $\langle a,b,c\rangle \mapsto {\langle a,b,c\rangle }_1$ 。令 $\tau =\phi \psi$ ，即同态 $\tau :K_R\to E_n\left(R\right)$ 。

定义3.2：若 $a,b\in R$ ，且 $1-ab,u,v\in U\left(R\right)$ ， $\beta =1-ba$ 。定义

$\langle a,b\rangle =\langle a-1,-1,b-1\rangle$ ， $\left\{u,v\right\}=\langle u\left(v-1\right),u^{-1}\rangle$ ，我们称 $\langle a,b\rangle$ 为Dennis-Stein符号， $\left\{u,v\right\}$ 为Steinberg符号。

令 $D_R$ 是由所有 $\langle a,b\rangle$ 生成的 $K_R$ 的子群， $S_R$ 是由所有 $\left\{u,v\right\}$ 生成的 $K_R$ 的子群。若 $u\in U\left(R\right)$ ，记

${}^{u}a=ua{u}^{-1}$ ， ${}^u\left\{v,w\right\}=\left\{uv{u}^{-1},uw{u}^{-1}\right\}$ ， ${}^u\langle a,b\rangle =\langle ua{u}^{-1},ub{u}^{-1}\rangle$

由 [4] ，我们有

命题3.3：下列结论在 $D_R$ 中成立：

D1) ${\langle a,b\rangle }^{-1}=\langle b,a\rangle$ ；

D2) $\langle b+c-bac,a\rangle ={}^{1-ba}\langle c,a\rangle \cdot \langle b,a\rangle$ ；

D3) $\langle a,bc\rangle \langle b,ca\rangle \langle c,ab\rangle =1$ ；

D4) $\langle a,b\rangle \langle c,d\rangle {\langle a,b\rangle }^{-1}={}^{\pi }\langle c,d\rangle$ ，其中 $\pi =\left(1-ab\right){\left(1-ba\right)}^{-1}$ 。

命题3.4：下列结论在 $D_R$ 中成立：

S1) $\left\{u,1-u\right\}=1$ ；

S2) $\left\{u,-u\right\}=1$ ；

S3) $\left\{u,vw\right\}=\left\{u,v\right\}\cdot {}^v\left\{u,w\right\}$ ；

S4) $\left\{uv,w\right\}={}^u\left\{v,w\right\}\left\{u,w\right\}$ 。

由上述命题很容易得到如下两个命题：

命题3.5：下列结论在 $D_R$ 中成立：

D5) $\langle a+c,b\rangle =\langle c{\alpha }^{-1},{}^{\alpha }b\rangle \langle a,b\rangle$ ， $\langle a,b+c\rangle =\langle a,b\rangle \langle {}^{\beta }a,c{\beta }^{-1}\rangle$ ，其中 $\alpha =1-ab$ ， $\beta =1-ba$ ；

D6) $\langle a,0\rangle =\langle 0,b\rangle =1$ 。

命题3.6：下列结论在 $D_R$ 中成立：

S5) $\left\{u,v\right\}\left\{v,u\right\}=1$ ；

S6) $\left\{u,1\right\}=\left\{1,u\right\}=1$ ；

S7) $\left\{u,vw\right\}\left\{v,wu\right\}\left\{w,uv\right\}=1$ ；

S8) $\left\{v,u\right\}={}^u\left\{u^{-1},v\right\}=\left\{u^{-1},{}^{u}v\right\}$ ；

S9) $\left\{u,v\right\}\left\{u^{\prime },v^{\prime }\right\}{\left\{u,v\right\}}^{-1}={}^{\left[u,v\right]}\left\{u^{\prime },v^{\prime }\right\}$ 。

命题3.7：下列结论在 $D_R$ 中成立：

1) ${}^u\left\{v,v\right\}=\left\{v,v\right\}$ ，其中 $u,v\in U\left(R\right)$ ；

2) $\left\{uv,uv\right\}=\left\{u,u\right\}\left\{v,v\right\}$ ，其中 $u,v\in U\left(R\right)$ ；

3) ${}^u\left\{v,w\right\}=\left\{v,w\right\}\left\{x^{-1},u\right\}$ ，其中 $x=\left[v,w\right]$ ， $u\in U\left(R\right)$ ；

4) ${}^u\langle a,b\rangle =\langle a,b\rangle \left\{{\pi }^{-1},u\right\}$ ，其中 $\pi =\left(1-ab\right){\left(1-ba\right)}^{-1}$ ， $u\in U\left(R\right)$ ；

5) ${}^u\rho =\rho \left\{x^{-1},u\right\}$ ，其中 $x=\tau \left(\rho \right)$ ， $\rho \in D_R$ ， $u\in U\left(R\right)$ ；

6) $\left\{\alpha ,\alpha \right\}=\left\{\beta ,\beta \right\}$ ，其中 $a\in R$ 或者 $b\in R$ ， $\alpha =1-ab$ ， $\beta =1-ba$ ；

7) $\langle a,b\rangle =\left\{\alpha ,{\beta }^{-1}\right\}\langle -b{\alpha }^{-1},a\rangle =\langle b,-a{\beta }^{-1}\rangle \left\{{\alpha }^{-1},\beta \right\}$ ，其中 $\alpha =1-ab$ ， $\beta =1-ba$ 。

证明：1) 由D4知， $\left\{v,v\right\}$ 属于 $D_R$ 的中心，根据S3，S4得

${}^u\left\{v,v\right\}=\left\{uv{u}^{-1},uv{u}^{-1}\right\}=\left\{uv,v{u}^{-1}\right\}\left\{u^{-1},uvv\right\}=\left\{uvv,u^{-1}\right\}\left\{v,v\right\}\cdot \left\{u^{-1},uvv\right\}=\left\{v,v\right\}$

2) 由S3，S4得 $\left\{uv,uv\right\}=\left\{uv,u\right\}\cdot {}^u\left\{uv,v\right\}={}^u\left\{v,u\right\}\left\{u,u\right\}\left\{v,v\right\}\cdot {}^u\left\{u,v\right\}=\left\{u,u\right\}\left\{v,v\right\}$

3) 令 $x=\left[v,w\right]$ ，则 $wv=x^{-1}vw$ ， $\left\{u^{-1},uwv\right\}={}^{u^{-1}}\left\{uwv,u\right\}=\left\{wvu,u\right\}$ ，于是

${}^{x^{-1}vwu}\left\{u,u^{-2}\right\}=\left\{u,u^{-2}\right\}=\left\{u,u^{-1}\right\}\left\{u,u^{-1}\right\}=\left\{u,u\right\}\left\{u,u^{-1}\right\}=1$

因此由S7得

$\begin{array}{c}{}^u\left\{v,w\right\}=\left\{uv{u}^{-1},uw{u}^{-1}\right\}=\left\{uv,w{u}^{-1}\right\}\left\{u^{-1},uwv\right\}=\left\{u,vw{u}^{-1}\right\}\left\{v,w\right\}\left\{wvu,u\right\}\\ =\left\{v,w\right\}\cdot {}^{x^{-1}}\left\{u,vw{u}^{-1}\right\}\left\{wvu,u\right\}=\left\{v,w\right\}\cdot {}^{x^{-1}}\left\{u,vwu{u}^{-2}\right\}\left\{x^{-1}vwu,u\right\}\\ =\left\{v,w\right\}\cdot {}^{x^{-1}}\left\{u,vwu\right\}\cdot {}^{x^{-1}vwu}\left\{u,u^{-2}\right\}\cdot {}^{x^{-1}}\left\{vwu,u\right\}\left\{x^{-1},u\right\}\\ =\left\{v,w\right\}\left\{x^{-1},u\right\}\end{array}$

4) 令 $\alpha =1-ab$ ， $\beta =1-ba$ ，则 $\beta ={\pi }^{-1}\alpha$ ， $\left\{u^{-1},u\beta u^{-1}\right\}={}^{u^{-1}}\left\{u\beta u^{-1},u\right\}=\left\{\beta ,u\right\}$ ，因此由D3和D4得

$\begin{array}{c}{}^u\langle a,b\rangle =\langle ua{u}^{-1},ub{u}^{-1}\rangle =\langle ua,b{u}^{-1}\rangle \langle ba{u}^{-1},u\rangle \\ =\langle uab,u^{-1}\rangle \langle a,b\rangle \langle u^{-1}\left(u\beta u^{-1}-1\right),{\left(u^{-1}\right)}^{-1}\rangle \\ =\langle u\left(\alpha -1\right),u^{-1}\rangle \langle a,b\rangle \left\{u^{-1},u\beta u^{-1}\right\}\\ =\left\{u,\alpha \right\}\langle a,b\rangle \left\{\beta ,u\right\}=\langle a,b\rangle \cdot {}^{{\pi }^{-1}}\left\{u,\alpha \right\}\left\{{\pi }^{-1}\alpha ,u\right\}\\ =\langle a,b\rangle \cdot {}^{{\pi }^{-1}}\left\{u,\alpha \right\}\cdot {}^{{\pi }^{-1}}\left\{\alpha ,u\right\}\left\{{\pi }^{-1},u\right\}=\langle a,b\rangle \left\{{\pi }^{-1},u\right\}\end{array}$

5) 由S4，S9得 $\left\{w,u\right\}\rho \left\{x^{-1},u\right\}=\rho \cdot {}^{x^{-1}}\left\{w,u\right\}\left\{x^{-1},u\right\}=\rho \left\{x^{-1}w,u\right\}$ ，归纳可证得。

6) 因为 $\left\{\beta ,\beta \right\}$ 属于 $D_R$ 的中心， $\alpha a=a\beta$ ， $b{\alpha }^{-1}={\beta }^{-1}b$ ，由定义3.2和D3得

$\begin{array}{c}\left\{\alpha ,\alpha \right\}=\langle \alpha \left(\alpha -1\right),{\alpha }^{-1}\rangle =\langle \alpha ab,{\alpha }^{-1}\rangle =\langle \alpha a,b{\alpha }^{-1}\rangle \langle -b,-a\rangle \\ =\langle a\beta ,{\beta }^{-1}b\rangle \langle -b,-a\rangle =\langle a,b\rangle \langle ba\beta ,{\beta }^{-1}\rangle \langle -b,-a\rangle \\ =\langle a,b\rangle \langle \beta \left(\beta -1\right),{\beta }^{-1}\rangle \langle -b,-a\rangle \\ =\langle a,b\rangle \left\{\beta ,\beta \right\}\langle -b,-a\rangle =\left\{\beta ,\beta \right\}\end{array}$

7) 在D5中，令 $c=-a$ ，则 $\langle 0,b\rangle =\langle -a{\alpha }^{-1},\alpha b{\alpha }^{-1}\rangle \langle a,b\rangle =1$ ，因此由D1有

$\begin{array}{c}\langle a,b\rangle ={\langle -a{\alpha }^{-1},\alpha b{\alpha }^{-1}\rangle }^{-1}=\langle -\alpha b{\alpha }^{-1},a{\alpha }^{-1}\rangle =\langle -\alpha b{\alpha }^{-1}a,{\alpha }^{-1}\rangle \langle -b{\alpha }^{-1},a\rangle \\ =\langle -\alpha ba{\beta }^{-1},{\alpha }^{-1}\rangle \langle b{\alpha }^{-1},a\rangle =\langle -\alpha \left(\beta -1\right){\beta }^{-1},{\alpha }^{-1}\rangle \langle -b{\alpha }^{-1},a\rangle \\ =\langle \alpha \left({\beta }^{-1}-1\right),{\alpha }^{-1}\rangle \langle -b{\alpha }^{-1},a\rangle =\left\{\alpha ,{\beta }^{-1}\right\}\langle -b{\alpha }^{-1},a\rangle \end{array}$

同理，在D5中，令 $c=-b$ ，得 $\langle a,0\rangle =\langle a,b\rangle \langle \beta a{\beta }^{-1},-b{\beta }^{-1}\rangle =1$ ，根据D1可证得

$\langle a,b\rangle =\langle b,-a{\beta }^{-1}\rangle \left\{{\alpha }^{-1},\beta \right\}$ 。

为了证明下述命题，我们在 $K_R$ 中加上一条关系：

K6) 若 $x\in U\left(R\right)$ ，则 $\langle xa,b{x}^{-1},xc\rangle =\langle a,b,c\rangle \left\{v{u}^{-1},x\right\}$ 。

在另一篇文章中，我们需要下述命题：

命题3.8：1) $\langle a,b,d^{\prime }\rangle \left\{v^{\prime },{u^{\prime }}^{-1}\right\}=\langle p,-\left(1-ab\right)v\rangle \cdot {}^{u{u^{\prime }}^{-1}}\langle a,b,d\rangle \cdot \left\{u{u^{\prime }}^{-1}v,u^{-1}\right\}$ ，其中 $a,b,d,p,d^{\prime }\in R$ ， $a,u,v,u^{\prime },v^{\prime }\in U\left(R\right)$ ；

2) $\langle a,b,d\rangle =\langle a-p,b{x}^{-1},x\left(d+p-dbp\right)\rangle \left\{xv,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\cdot {}^{y^{-1}{u}^{-1}}\langle p,b\rangle \left\{y^{-1}{u}^{-1},y\right\}\left\{u^{-1},v\right\}$ ，其中 $a,b,d,p,d^{\prime }\in R$ ， $u=a+d-abd$ ， $v=a+d-dba$ ， $x=1-pb$ ， $y=1-bp$ 。

证明：1) 令 $u^{\prime }=a+\left(1-ab\right)d^{\prime }\in U\left(R\right)$ ， $v=a+d\left(1-ba\right)$ ， $v^{\prime }=a+d^{\prime }\left(1-ba\right)$ ，则

$p=\left(1-b{d}^{\prime }\right){u^{\prime }}^{-1}-\left(1-bd\right)u^{-1}={v^{\prime }}^{-1}\left(\left(1-d^{\prime }b\right)u-v\left(1-bd\right)\right)u^{-1}$ $={v^{\prime }}^{-1}\left(d-d^{\prime }\right)u^{-1}=v^{-1}\left(d-d^{\prime }\right){u^{\prime }}^{-1}$

且

$\begin{array}{l}1-p\left(-\left(1-ab\right)v\right)=1+p\left(1-ab\right)v=1+{v^{\prime }}^{-1}\left(d-d^{\prime }\right)u^{-1}\left(1-ab\right)v\\ =1+{v^{\prime }}^{-1}\left(d-d^{\prime }\right)\left(1-ba\right)=1+{v^{\prime }}^{-1}\left(\left(v-a\right)-\left(v^{\prime }-a\right)\right)={v^{\prime }}^{-1}v\in U\left(R\right)\end{array}$ ，同理得 $1-\left(-\left(1-ab\right)v\right)p=u{u^{\prime }}^{-1}$

由于

$\begin{array}{c}\langle p,-\left(1-ab\right)v\rangle =\langle p\left(1-ab\right),-v\rangle \langle -vp,1-ab\rangle \\ =\langle \left(1-{v^{\prime }}^{-1}v\right){\left(-v\right)}^{-1},-v\rangle \langle -vp,1-ab\rangle \\ =\left\{{v^{\prime }}^{-1}v,-v\right\}\langle -vp,1-ab\rangle \\ ={}^{{v^{\prime }}^{-1}}\left\{v,-v\right\}\left\{{v^{\prime }}^{-1},-v\right\}\langle -vp,1-ab\rangle \\ =\left\{{v^{\prime }}^{-1},-v\right\}\langle -vp,1-ab\rangle \end{array}$

另注意到

$\begin{array}{l}-vp-1-ab+\left(vp+1\right)ab\\ =-1-vp\left(1-ab\right)=-vp-1+vpab=-1-vp\left(1-ab\right)\\ =-1-\left(d-d^{\prime }\right){u^{\prime }}^{-1}\left(1-ab\right)=-\left(v^{\prime }+\left(d-d^{\prime }\right)\left(1-ba\right)\right){v^{\prime }}^{-1}=-v{v^{\prime }}^{-1}\end{array}$

因此

$\langle -vp,1-ab\rangle =\langle -vp-1,-1,-ab\rangle =\langle v{v^{\prime }}^{-1},ab{v}^{\prime }{v}^{-1},-vp\rangle$

于是只需证明

$\left\{-v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}\langle a,b,d^{\prime }\rangle \left\{v^{\prime },{u^{\prime }}^{-1}\right\}=\langle v{v^{\prime }}^{-1},ab{v}^{\prime }{v}^{-1},-vp\rangle \cdot {}^{u{u^{\prime }}^{-1}}\langle a,b,d\rangle \left\{u{u^{\prime }}^{-1}v,u^{-1}\right\}$

由于 $\left\{-v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}\langle a,b,d^{\prime }\rangle =\langle a,b,d^{\prime }\rangle \cdot {}^{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1}}\left\{-v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}$ ，且

$\begin{array}{c}{}^{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1}}\left\{-v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{v^{\prime },{u^{\prime }}^{-1}\right\}={}^{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1}}\left\{-v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}\cdot {}^{v^{\prime }}\left\{{u^{\prime }}^{-1},{v^{\prime }}^{-1}\right\}={}^{v^{\prime }}\left({}^{{u^{\prime }}^{-1}}\left\{-v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{{u^{\prime }}^{-1},{v^{\prime }}^{-1}\right\}\right)\\ ={}^{v^{\prime }}\left\{-{u^{\prime }}^{-1}v,{v^{\prime }}^{-1}\right\}=\left\{v^{\prime },-{u^{\prime }}^{-1}v\right\}\end{array}$

因此只需证明

$\langle a,b,d^{\prime }\rangle \left\{v^{\prime },-{u^{\prime }}^{-1}v\right\}=\langle v{v^{\prime }}^{-1},ab{v}^{\prime }{v}^{-1},-vp\rangle \cdot {}^{u{u^{\prime }}^{-1}}\langle a,b,d\rangle \left\{u{u^{\prime }}^{-1}v,u^{-1}\right\}$

由K6，有 ${}^{u{u^{\prime }}^{-1}}\langle a,b,d\rangle =\langle a,b,d\rangle \left\{v{u}^{-1},u{u^{\prime }}^{-1}\right\}$ ，注意到 $v{v^{\prime }}^{-1}-vp+vpab{v}^{\prime }{v}^{-1}v{v^{\prime }}^{-1}=1$ ，

$\begin{array}{c}\langle v{v^{\prime }}^{-1},ab{v}^{\prime }{v}^{-1},-vp\rangle \langle a,b,d\rangle =\langle v{v^{\prime }}^{-1}a,b{v}^{\prime }{v}^{-1},-vpu+v{v^{\prime }}^{-1}d\rangle \\ =\langle v{v^{\prime }}^{-1}a,b{v}^{\prime }{v}^{-1},v{v^{\prime }}^{-1}{d}^{\prime }\rangle ={}^{v{v^{\prime }}^{-1}}\langle a,b,d^{\prime }\rangle \\ =\langle a,b,d^{\prime }\rangle \left\{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1},v{v^{\prime }}^{-1}\right\}\end{array}$

所以最终只需证明

$\left\{v^{\prime },-{u^{\prime }}^{-1}v\right\}=\left\{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1},v{v^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{v{u}^{-1},u{u^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{u{u^{\prime }}^{-1}v,u^{-1}\right\}=\left\{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1},v{v^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{v,{u^{\prime }}^{-1}\right\}$

根据S3和S7，其中

$\begin{array}{c}\left\{v^{\prime }{u^{\prime }}^{-1},v{v^{\prime }}^{-1}\right\}=\left\{v^{\prime },{u^{\prime }}^{-1}v{v^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{{u^{\prime }}^{-1},v\right\}=\left\{v^{\prime },-{u^{\prime }}^{-1}v\right\}\cdot {}^{-{u^{\prime }}^{-1}v}\left\{v^{\prime },-{v^{\prime }}^{-1}\right\}\left\{{u^{\prime }}^{-1},v\right\}\\ =\left\{v^{\prime },-{u^{\prime }}^{-1}v\right\}\cdot {}^{-{u^{\prime }}^{-1}v}\left({}^{-{v^{\prime }}^{-1}}\left\{-v^{\prime },v^{\prime }\right\}\right)\left\{{u^{\prime }}^{-1},v\right\}=\left\{v^{\prime },-{u^{\prime }}^{-1}v\right\}\left\{{u^{\prime }}^{-1},v\right\}\end{array}$

2) 因为 $a-p+x\left(d+p-dbp\right)-\left(a-p\right)b{x}^{-1}x\left(d+p-dbp\right)=uy$ ，

$1-\left(a-p\right)b{x}^{-1}=\left(x-\left(a-p\right)b\right)x^{-1}=\left(1-ab\right)x^{-1}$ ，且 $yb=bx$ ， $p{y}^{-1}=x^{-1}p$ ，

$\left(1-ab\right)\left(1-db\right)=1-\left(a+d-abd\right)b=1-ub$ ，于是有

$\begin{array}{l}\langle a-p,b{x}^{-1},x\left(d+p-dbp\right)\rangle \\ =\langle uyb{x}^{-1},x\left(d+p-dbp\right)y^{-1}{u}^{-1},\left(1-ab\right)x^{-1}\rangle \\ =\langle uyb,\left(d+p-dbp\right)y^{-1}{u}^{-1},\left(1-ab\right)\rangle \\ =\langle uyb,d{y}^{-1}{u}^{-1},\left(1-uybp{y}^{-1}{u}^{-1}\right)\left(1-ab\right)\rangle \langle uyb,p{y}^{-1}{u}^{-1},\left(1-ab\right)\left(1-db\right)\rangle \end{array}$

$\begin{array}{l}={}^{uy{u}^{-1}}\langle ub,d{u}^{-1},1-ab\rangle \langle ubx,x^{-1}p{u}^{-1},\left(1-ub\right)x^{-1}x\rangle \\ ={}^{uy{u}^{-1}}\langle a,b,d\rangle \langle ub,p{u}^{-1},\left(1-ub\right)x^{-1}\rangle \\ =\langle a,b,d\rangle \left\{v{u}^{-1},uy{u}^{-1}\right\}\langle ub,p{u}^{-1}\rangle \end{array}$

且

$\begin{array}{l}\left\{xv,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\cdot {}^{y^{-1}{u}^{-1}}\langle p,b\rangle \\ =\left\{xv,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\langle p,b\rangle \left\{y{x}^{-1},y^{-1}{u}^{-1}\right\}\\ =\langle p,b\rangle \cdot {}^{y{x}^{-1}}\left\{xv,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\left\{y{x}^{-1},y^{-1}{u}^{-1}\right\}\\ =\langle p,b\rangle \left\{yv,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\end{array}$

注意到

$\langle ub,p{u}^{-1}\rangle \langle p,b\rangle =\langle u,bp{u}^{-1}\rangle =\langle {\left(u^{-1}\right)}^{-1},u^{-1}\left(1-uy{u}^{-1}\right)\rangle =\left\{uy{u}^{-1},u^{-1}\right\}$

所以只需证明

$\begin{array}{c}1=\left\{v{u}^{-1},uy{u}^{-1}\right\}\left\{uy{u}^{-1},u^{-1}\right\}\left\{yv,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\left\{y^{-1}{u}^{-1},y\right\}\left\{u^{-1},v\right\}\\ =\left\{v{u}^{-1},uy{u}^{-1}\right\}\left\{uy{u}^{-1},u^{-1}\right\}\cdot {}^y\left\{v,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\left\{y,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\left\{y^{-1}{u}^{-1},y\right\}\left\{u^{-1},v\right\}\\ ={}^u\left\{u^{-1}v,y\right\}\cdot {}^u\left\{y,u^{-1}\right\}\cdot {}^y\left\{v,y^{-1}{u}^{-1}\right\}\left\{u^{-1},v\right\}\\ ={}^u\left\{u^{-1}v,y\right\}\cdot {}^u\left\{y,u^{-1}\right\}\left\{y,v\right\}\left\{v,u^{-1}\right\}\left\{u^{-1},v\right\}\\ ={}^u\left\{u^{-1}v,y\right\}\left\{u,y\right\}\left\{y,v\right\}=\left\{v,y\right\}\left\{y,v\right\}\end{array}$