模糊数的三角模糊数幂级数展开

Fuzzy Number Expands to a Power Series of Triangular Fuzzy Number

摘要: 本文研究了模糊数表示成三角模糊数的幂级数问题。通过引入H差虚模糊数，使得模糊数之间的H差可以作形式计算，进而得到了模糊数展开成三角模糊数幂级数的公式。

Abstract: In this paper, it is studied that fuzzy number expands to power series of triangular fuzzy numbers. By introducing the definition of H-difference imaginary fuzzy number, the H difference between the fuzzy numbers can be calculated as the form. And then it is shown that formula of fuzzy number expands to power series of triangular fuzzy numbers.

1. 引言

自从模糊数的概念1972年被Chang提出，很多模糊分析学家对相关研究问题给予了很大的关注，并做出了很多贡献 [1] [2] [3] 。2009年，Mila Stojaković [4] 研究了特定条件下的模糊集项级数，扩大了研究对象的范围，即将模糊数水平集的闭性和紧性换成了弱闭性和弱紧性，得到了更加广泛的结论。

本文主要研究了模糊数项级数求和的反问题，研究了在一定条件下，模糊数展开成三角模糊数幂级数的展开公式问题。该问题的解决有助于模糊数的近似表示，以及计算机储存问题。

2. 预备知识

记 $E$ 为模糊数空间。对 $u\in E$ ，令 ${\left[u\right]}^r=\left\{x\in R:u\left(x\right)\ge r\right\}$ ， $r\in \left(0,1\right]$ ， ${\left[u\right]}^0=cl\left\{x\in R:u\left(x\right)>0\right\}$ 。称 ${\left[u\right]}^r$ 为水平集，记为 $\left[L_u\left(r\right),R_u\left(r\right)\right]$ 。根据模糊数的定义可知 $L_u\left(r\right)$ 为关于水平 $r$ 的单调递增函数， $R_u\left(r\right)$ 为关于水平 $r$ 的单调递减函数， $r\in \left[0,1\right]$ 。根据Zadeh扩张原理得到的加法运算，若存在模糊数 $w$ 使得 $w+v=u$ ，则称 $u,v$ 的H差存在，称 $w$ 为 $u,v$ 的H差，记为 $u{-}_{h}v=w$ 。记 $\hat{a}$ 为隶属函数是单点集合 $\left\{a\right\}$ 特征函数的模糊数。

定理2.1 [5] ：如果 $u,v\in E$ ， $k\in R$ ，则 ${\left[u+v\right]}^r={\left[u\right]}^r+{\left[v\right]}^r=\left[L_u\left(r\right)+L_v\left(r\right),R_u\left(r\right)+R_v\left(r\right)\right]$ ，并且 $k\ge 0$ 时， ${\left[ku\right]}^r=k{\left[u\right]}^r=\left[k{L}_u\left(r\right),k{R}_u\left(r\right)\right]$ ， $k<0$ 时 ${\left[ku\right]}^r=k{\left[u\right]}^r=\left[k{R}_u\left(r\right),k{L}_u\left(r\right)\right]$ 。

定理2.2 [5] ：如果 $u,v\in E$ ， $u{-}_{h}v$ 存在，则 ${\left[u{-}_{h}v\right]}^r=\left[L_u\left(r\right)-L_v\left(r\right),R_u\left(r\right)-R_v\left(r\right)\right]$ 。

3. 模糊数的三角模糊数幂级数展开

根据参考文献 [6] 的论证可知：模糊数的H差可能不存在，并且Zadeh扩张原理下，模糊数的线性组合无法表示H差，这使得含有H差的算式不能利用线性组合表示。为了计算表达的便捷性，我们引入下述概念：

定义3.1：如果 $u,v\in E$ ，记 $u{-}_{h}v=u+\left(-1\right)*v$ ，称 $\left(-1\right)*v$ 为H差虚模糊数。

定理3.1：如果 $u\in E$ ，则 ${\left[\left(-1\right)*u\right]}^r=\left[-L_u\left(r\right),-R_u\left(r\right)\right]$ 。

证明：根据定理2.1和定理2.2可得。

对于任意的 $u\in E$ ， $r\in \left[0,1\right]$ ，有 $L_u\left(r\right)\le R_u\left(r\right)$ ，因此 $\left[-L_u\left(r\right),-R_u\left(r\right)\right]$ 并不存在。可知 $\left(-1\right)*v$ 是不存在的，只是一个形式符号。

记 $L\left(u\right)=u\cap \left[L_u\left(0\right),L_u\left(1\right)\right]$ ， $R\left(u\right)=u\cap \left[R_u\left(1\right),R_u\left(0\right)\right]$ ，因此 $u=L\left(u\right)\cup \left[L_u\left(1\right),R_u\left(1\right)\right]\cup R\left(u\right)$ ，为了表述方便，这里我们称 $L\left(u\right),R\left(u\right)$ 分别称为模糊数 $u$ 的左部和右部，根据定义可知， $L\left(u\right),R\left(u\right)$ 均为模糊数。

定理3.2：如果 $u_n\in E$ ， ${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{u}_n}$ 收敛，则 ${\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{u}_n}\right]}^r=\left[{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{L}_{u_n}\left(r\right)},{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_n{R}_{u_n}\left(r\right)}\right]$ ，其中 $a_n<0$ 时，模糊数的运算为H差。

证明：根据定理2.1，定理2.2，以及文献 [5] 中的定理7，可知结论成立。

定理3.3：对 $u\in E$ ，任意的 $r\in \left[0,1\right]$ ， $L_u\left(r\right)$ 关于变量 $r$ 能展开成麦克劳林级数，则 $L\left(u\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n$ ，其中 $\left(0,a,a\right)$ 为三角模糊数。

证明：设三角模糊数 $v=\left(a_1,a_2,a_2\right)$ ，根据已知及定理3.2，可知对任意的 $r\in \left[0,1\right]$ ，有

$L_u\left(r\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}{r}^n}={{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\left(\frac{L_v\left(r\right)-a_1}{a_2-a_1}\right)}}^n={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\frac{1}{{\left(a_2-a_1\right)}^n}{\left(L_v\left(r\right)-a_1\right)}^n}$

$R_u\left(r\right)=L_u\left(1\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)\cdot 1^n}{n!}}={{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\left(\frac{a_2-a_1}{a_2-a_1}\right)}}^n={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}}\frac{1}{{\left(a_2-a_1\right)}^n}{\left(L_v\left(1\right)-a_1\right)}^n$

根据定理2.1和定理2.2，可知 ${\left[\left(a_1,a_2,a_2\right){-}_h{\hat{a}}_1\right]}^r=\left[L_v\left(r\right)-a_1,L_v\left(1\right)-a_1\right]$ ，对任意的 $r\in \left[0,1\right]$ 成立。因此

$L\left(u\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}*\frac{1}{{\left(a_2-a_1\right)}^n}{\left(\left(a_1,a_2,a_2\right){-}_h{\hat{a}}_1\right)}^n}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{{\left(a_2-a_1\right)}^{n}n!}*{\left(0,a_2-a_1,a_2-a_1\right)}^n}$

其中 $\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{{\left(a_2-a_1\right)}^{n}n!}$ 为正数时， $*$ 运算表示模糊数的数乘运算， $\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{{\left(a_2-a_1\right)}^{n}n!}$ 为负数时， $*$ 运算表示H差虚模糊数运算。记 $a=a_2-a_1$ ，由此可知 $L\left(u\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n$ 。

定理3.4：对 $u\in E$ ，任意的 $r\in \left[0,1\right]$ ， $R_u\left(r\right)$ 关于变量 $r$ 能展开成麦克劳林级数，则 $R\left(u\right)=-{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{-R_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n$ ，其中 $\left(0,a,a\right)$ 为三角模糊数。

证明：根据定理2.1及左部右部的定义， $R\left(u\right)=-L\left(-u\right)$ ，并且有 $L_{-u}\left(0\right)=-R_u\left(0\right)$ ，根据定理3.3，可知

$R\left(u\right)=-L\left(-u\right)=-{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_{-u}^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n=-{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{-R_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n$

其中，连加号前面的负号表示模糊数的数乘。

定理3.5：对 $u\in E$ ，任意的 $r\in \left[0,1\right]$ ， $L_u\left(r\right)$ 与 $R_u\left(r\right)$ 能展开成麦克劳林级数，则

$u={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n\cup \left[L_u\left(1\right),R_u\left(1\right)\right]\cup \left(-{\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{-R_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n\right)$

证明：根据定理3.3和定理3.4及模糊数左部右部的定义可知结论成立。

4. 模糊数展开成三角模糊数幂级数的应用

例4.1：设模糊数 $u$ 的 $L_u\left(r\right)=\sin r$ ， $R_u\left(r\right)=\sin 1$ ，利用三角模糊数近似表示 $u$ ，并估计误差。

解：根据 $u$ 的隶属函数可知， $u=L\left(u\right)$ 。利用定理3.3，可得

$u={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{L_u^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\sin }^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!a^n}}*{\left(0,a,a\right)}^n\approx \frac{1}{a}*\left(0,a,a\right)+\frac{-1}{3!a^n}*{\left(0,a,a\right)}^3$

取 $a=1$ ，则有 $u\approx \left(0,1,1\right)+\frac{-1}{3!}*{\left(0,1,1\right)}^3=\left(0,1,1\right){-}_h\frac{1}{3!}*{\left(0,1,1\right)}^3$ ，根据 [6] 中的结论可知，上述H差存在。而实际上

$u=\left(0,1,1\right){-}_h\frac{1}{3!}*{\left(0,1,1\right)}^3+\frac{1}{5!}*{\left(0,1,1\right)}^5{-}_h\frac{1}{7!}*{\left(0,1,1\right)}^7+\cdots$

根据 [5] 中关于收敛模糊数项级数的结论可知，该模糊数项级数收敛，取前两项作为 $u$ 的近似值，上确界度量下的误差 $\left|r_2\right|\le \frac{1}{5!}=\frac{1}{120}$ 。

5. 总结

本文通过引入H差虚模糊数的概念，使得多个模糊数的连加连减运算可以做形式运算。虽然有些中间结果是H差虚模糊数，但最终的运算结果仍可能是模糊数。这使得三角模糊数项级数的表达式可以涵盖某些项是H差虚模糊数的情况，大大强化了三角模糊数项级数的表示能力。这里还证明了一般的模糊数展开成三角模糊数项级数公式，即定理3.5。这个结论为模糊数的近似计算，以及在计算机中的储存提

供了工具。比如例4.1中的模糊数 $u$ 可以近似储存为向量 $\left(0,1,1,0,1,0,\frac{-1}{3!}\right)$ ，这样在计算机中储存模糊数比直接储存模糊数的隶属函数简化了，更便于模糊数在计算机中的应用。

基金项目

国家自然科学基金项目(61572011)；河北省自然科学基金项目(F2016201161)；河北省高等学校科学技术研究重点项目(ZD2017005)；河北省教育厅青年基金(QN2014039)。