一种获得二维光子晶体多个宽带隙的新方法

A New Method for Obtaining Multiband Band Gap between Two-Dimensional Photonic Crystals

摘要: 本文系统的研究了由圆柱介质构成的二维正方结构、三角形结构、六角形结构，在折射率分别为n = 1.5 (玻璃)，1.8 (石墨)，2.5 (石墨)，圆柱之间相切和不相切的条件下的带隙，得到了完整的带隙分布；通过把两种不同的正方形结构组合，以及三角形结构和六角形结构组合，得到组合后的带隙，发现两种不同的正方形结构组合后，这两种结构的带隙在组合后都得到完全的再现；三角形和六角形结构组合后，三角形结构的带隙得到完全再现，六角形结构的带隙得到部分再现。

Abstract: The two-dimensional tetragonal structure, triangular structure, and hexagonal structure composed of cylindrical dielectric were studied. The refractive index is n = 1.5 (glass), 1.8 (graphite), 2.5 (graphite) respectively. Between the cylinder is tangent or not tangent, the paper got the complete band gap distribution. Through the two different square structures combination, and triangular and hexagonal structure combination, the paper got band gap after combination, and found that after the combination of two different square structures, the gap was fully reproduced. After triangular and hexagonal structure combination, the band gap in triangular structure was completely reappeared; band gap of hexagonal structure was partly reappeared.

1. 引言

完整的晶体中的原子，由于周期性的排列，使晶体中运动的电子具有能带结构。由介质周期性排列形成的光子晶体对光的作用，类似于晶体对电子的作用，也让光在光子晶体中传播时，在一些波长范围内能够透射，而在另外的波长范围内不能透射。把不能透射的波长范围(也可以折算成对应的能量范围)叫带隙。光子晶体由于其优异的性能，成为光子学、光电材料研究的热门领域 [1] [2] 。研究光在光子晶体中传播性质的方法有平面波展开法，转移矩阵法，有限时域差分法(Finite Difference Time Domain，简称FDTD)。二维光子晶体是由介质柱在平面内周期性排列，在第三维无限延长构成的结构，它相对于三维光子晶体，计算量比较小，便于研究。如何利用二维光子晶体获得多个宽的带隙，使光子晶体的带隙满足工程的需要，是一个令人感兴趣的问题。Xiao-Jing Liu综述了函数光子晶体的带隙性质 [3] ，D. R. Sollia，J. M. Hickmann 研究了带隙作为填充率和折射率函数的性质 [4] ，Xiao-Jing Liu，Jing-Bin Lu，Ji Ma，Zhi-Guo Wang a研究了折射率作为半径函数的光子晶体的带隙的性质 [5] [6] 。本文希望用两种不同的光子晶体获得比较大的带隙的光子晶体。

2. 光子晶体的带隙理论和有限时域差分法

FDTD方法，是由K. S. Yee在1966年提出的 [7] ，其基本思想是把数学中的微分用差分代替，用中心差分法表达导数为 [8] ：

$\frac{\text{d}f\left(x\right)}{\text{d}x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x-\Delta x\right)}{2\Delta x}$ ,

由于计算机的储存容量的限制，计算的物理区间是有限的，用FDTD方法计算时，被广泛使用的是完全匹配吸收层 [9] (PML)，通过选择边界内的电导率和磁导率的比值：

$\frac{\sigma }{{\sigma }^{*}}=\frac{{\epsilon }_0}{{\mu }_0}$ ，使电磁波从介质入射到边界后，被完全吸收，不被反射。

用FDTD方法推导的2维TE模式的电磁波递推表达式 [10] ：

;

$E_x^{n+1}\left(i,j\right)=\frac{\frac{{\epsilon }_0}{\Delta t}-{\sigma }_y}{\frac{{\epsilon }_0}{\Delta t}+{\sigma }_y}{E}_x^{n-1}\left(i,j\right)+\frac{1}{\Delta y\left(\frac{{\epsilon }_0}{\Delta t}+{\sigma }_y\right)}\left[H_{zx}^n\left(i,j+1\right)+H_{zy}^n\left(i,j+1\right)-H_{zx}^n\left(i,j-1\right)-H_{zy}^n\left(i,j-1\right)\right]$ ;

$H_{zx}^{n+1}\left(i,j\right)=\frac{\frac{{\mu }_0}{\Delta t}-{\sigma }_x^{*}}{\frac{{\mu }_0}{\Delta t}+{\sigma }_x^{*}}{H}_{zx}^{n-1}\left(i,j\right)-\frac{1}{\Delta x\left(\frac{{\mu }_0}{\Delta t}+{\sigma }_x^{*}\right)}\left[E_y^n\left(i+1,j\right)-E_y^n\left(i-1,j\right)\right]$ ;

$H_{zy}^{n+1}\left(i,j\right)=\frac{\frac{{\mu }_0}{\Delta t}-{\sigma }_y^{*}}{\frac{{\mu }_0}{\Delta t}+{\sigma }_y^{*}}{H}_{zy}^{n-1}\left(i,j\right)+\frac{1}{\Delta y\left(\frac{{\mu }_0}{\Delta t}+{\sigma }_y^{*}\right)}\left[E_x^n\left(i,j+1\right)-E_x^n\left(i,j-1\right)\right]$ ;

在完全绝缘介质中，取 ${\sigma }_x={\sigma }_y={\sigma }_x^{*}={\sigma }_y^{*}=0$ 。

3. 由圆柱介质构成的二维光子晶体的透射谱

对于二维正方格子光子晶体的带隙已经有很多研究工作 [11] - [19] ，但是，不同结构的带隙的对比，以及三角形结构和六角形结构的带隙并没有系统的结果，下面分别进行研究。

3.1. 圆柱介质构成的正方形二维光子晶体的带隙

圆柱介质折射率分别设置为n = 1.5，1.8，2.5，介质柱半径设置为 $r=0.2\text{μm}$ ，介质柱构成正方形结构。研究两种不同的结构：介质柱相切排列，晶格常数 $a=0.4\text{μm}$ ；介质柱不相切排列， $a=0.6\text{μm}$ ，整个结构的背景介质是空气，等距离排列成 $20\times 30$ 和 $30\times 30$ 方阵，整个结构在Z方向没有长度，构成二维晶体。信号源是高斯型，波长范围设置为0.4~2.0 μm。使用PML边界，PML层数为14层，反射率0.0001。结构如图1：

(1) $a=0.4\text{μm}$ (2) $a=0.6\text{μm}$

Figure 1. The structure of (1): $20\times 20$ and (2): $$ two-dimensional square photonic crystals and light source

图1. (1)： $20\times 20$ 和(2)： $30\times 30$ 方阵二维光子晶体的结构和光波源

光波穿过光子晶体，在检测的一条线上被接收，检测抽样频率点500，计算区域网格最小步长为 $2.5\times {10}^{-10}\text{m}$ 。

后面计算例子的PML层的参数、计算网格参数的设置与此相同，不再赘述。位于光源正前方的接收处，坡印廷矢量与波长之间的关系如图2所示。

把计算结果列为表1。

Figure 2. Transmission properties of (a) $20\times 20$ and (b) $30\times 30$ two-dimensional square photonic crystal to light waves

图2. (a) $20\times 20$ 和(b) $30\times 30$ 方阵二维光子晶体对光波的传播性质

Table 1. Transmission properties of two-dimensional square photonic crystals

表1. 二维正方形光子晶体的透射性质

最大带隙分别为0.30 μm和0.26 μm，已经在表中用黑体字表示。

3.2. 圆柱介质构成的三角形二维光子晶体的带隙

圆柱介质折射率分别设置为n = 1.5，1.8，2.5，介质柱半径设置为 $r=0.2\text{μm}$ ，介质柱构成三角形结构。研究两种不同的结构：介质柱相切排列，晶格常数 $a=0.4\text{μm}$ ；介质柱不相切排列， $a=0.6\text{μm}$ ，整个结构的背景介质是空气，等距离排列成 $16\times 30$ 方阵，整个结构在Z方向没有长度，构成2维晶体。信号源是高斯型，波长范围设置为0.4~2.0 μm，使用PML边界，结构如图3。

高斯型光波穿过光子晶体，在检测的一条线上被接收。位于光源正前方的接收处，坡印廷矢量与波长之间的关系如图4所示。

紧密排列的三角形晶体，与不相切的三角形晶体，在圆柱介质具有不同的折射率时，对光的透射性质不同，把图4中的带隙数值，总结为表2。

3.3. 圆柱介质构成的六角形二维光子晶体(石墨烯结构)的带隙

为了研究石墨烯结构的二维光子晶体的带隙，圆柱介质折射率分别设置为n = 1.5，1.8，2.5，介质柱半径设置为 $r=0.2\text{μm}$ ，介质柱构成六角形(石墨烯)结构。研究两种不同的结构：介质柱相切排列，晶格常数 $a=0.4\text{μm}$ ；介质柱不相切排列， $a=0.6\text{μm}$ ，整个结构的背景介质是空气，等距离排列成 $15\times 30$ 方

Table 2. Transmission properties of two-dimensional triangular photonic crystals

表2. 二维三角形光子晶体的透射性质

最大带隙分别为0.07 μm和0.30 μm，已经在表中用黑体字表示。

(1) $a=0.4\text{μm}$ (2) $a=0.6\text{μm}$

Figure 3. The structure of $16\times 30$ two-dimensional triangle photonic crystals and light source

图3. $16\times 30$ 二维三角形光子晶体的结构和光波源

Figure 4. Transmission properties of $16\times 30$ 2-dimensional triangle photonic crystal to light waves

图4. $16\times 30$ 三角形二维光子晶体对光波的传播性质

阵，整个结构在Z方向没有长度，构成2维六角形晶体。信号源是高斯型，波长范围设置为0.4~2.0 μm，使用PML边界，结构如图5。

高斯型光波穿过光子晶体，在检测的一条线上被接收。位于光源正前方的接收处，坡印廷矢量与波长之间的关系如图6所示。

把六角形结构的二维光子晶体的对光的透射结果，总结在表3中。把最大的带隙用黑体字表示。

4. 由两种结构得到二维光子晶体的带隙叠加

在科研和工程实践中，我们往往需要宽度更大，范围更广的带隙，考虑到前面几种二维光子晶体的带隙，我们把具有比较宽大的带隙的结构进行组合，希望得到新的带隙。

4.1. 相切的正方形和不相切的正方形结构的组合

从表1数据可以看到，正方形二维结构中，相切的结构带隙最大的是n = 2.5，正方形不相切的结构，带隙最大的也是n = 2.5的结构，现在把这两种结构组合，观察组合后的光子晶体带隙(图7)。

从图8可以观察到，两种正方形结构的组合的带隙为λ = 0.5~0.53 μm，0.66~0.70 μm，0.88~0.97 μm，

(1) $a=0.4\text{μm}$ (2) $a=0.6\text{μm}$

Figure 5. The structure of $16\times 30$ two-dimensional triangle photonic crystals and light source

图5. $16\times 30$ 二维三角形光子晶体的结构和光波源

Figure 6. Transmission properties of $15\times 30$ 2-dimensional hexagonal photonic crystal to light waves

图6. $15\times 30$ 六角形二维光子晶体(石墨烯结构)对光波的传播性质

Figure 7. A combination of two square structures

图7. 两种正方形结构的组合

Figure 8. Transmission-wavelength relation

图8. 结构光的透射与波长关系

Table 3. Transmission properties of two-dimensional hexagonal photonic crystals (graphene structure)

表3. 二维六角形光子晶体(石墨烯结构)的透射性质

最大带隙分别为0.07 μm和0.30 μm，已经在表中用黑体字表示。

1.11~1.18 μm，1.56~1.75 μm，组合结构的带隙，再现了正方形结构的两种成份的全部的带隙。

4.2. 六角形结构和三角形结构的组合

从表2中可以看到，三角形结构中，带隙最大的是折射率n = 2.5，不相切的结构的带隙，带隙宽度

Figure 9. The combination of a triangle and a hexaganal structure

图9. 三角形和六角形结构的组合

Figure 10. The band gap of a two-dimensional photonic crystal with triangular and hexagonal structures

图10. 三角形和六角形结构组合的二维光子晶体的带隙

为0.3 μm；

表3中的数据显示，六角形结构中，带隙最大的是折射率n = 1.8，相切的结构，带隙宽度为0.2 μm，但波长位置不同。现在这把两种结构组合，结构如图9。

从图10的透射图中可以看到，这种组合结构的带隙在：λ = 0.65~0.72 μm，0.80~0.85 μm，1.02~1.13 μm，1.49~1.61 μm，把组合结构的带隙和原结构的带隙相比较，三角形不相切结构的带隙完全再现，六角形相切结构的带隙λ = 1.50~1.70 μm也得到部分再现。

5. 结论

本文系统的研究了由圆柱介质构成的二维正方结构、三角形结构、六角形结构，在折射率分别为n = 1.5 (玻璃)，1.8 (石墨)，2.5 (石墨)，圆柱之间相切和不相切的条件下的带隙，得到了完整的带隙分布；通过把两种不同的正方形结构组合后，这两种结构的带隙在组合后都得到完全的再现；三角形结构和六角形结构组合，得到组合后的带隙，三角形结构的带隙得到完全再现，六角形结构的带隙得到部分再现。六角形结构的带隙部分再现的原因，还需要进一步研究。通过分别设计两种不同带隙的材料，然后把这两种材料组合，可以得到两种材料的带隙的再现，为寻找多个宽带隙材料提供了一个新思路。

基金项目

湖北省教育科学“十二五”规划重大项目，编号2012A016。