Banach空间上凸集的k凸性

K-Convexity of Convex Sets in Banach Spaces

摘要: 本文突破了单位球的束缚，把Banach空间的凸性理论推广到内部不空的凸集上，它比Banach空间的k凸性研究更具有广泛性。

Abstract: This paper breaks through the shackles of the unit ball, and generalizes the convexity theory of Banach space to the convex set which is not empty internally. It is more extensive than the k-convexity research of Banach Spaces.

1. 引言

1977年，Sullian引入了k一致凸空间的概念，开始了对Banach空间的k凸性的研究 [1] 。Banach空间的各种k凸性有一个共同的特点，即以Banach空间的单位球作为研究对象 [2] 。本文把Banach空间的凸性理论推广到内部不空的凸集上。首先，引入下面定义 [3]

定义1：设A为Banach空间X上的一个内部不空的凸集，当 $x_1,x_2\in \partial A$ 时 $\left(x_1\ne x_2\right)$ ，有 $\frac{1}{2}{x}_1+\frac{1}{2}{x}_2\in \mathrm{int}\left(A\right)$ 成立，则称A是严格凸集。

定义2：设A为Banach空间X上的一个内部不空的凸集，任意 $x\in \partial A$ ， $y\in \bar{A}$ ，当 $f\left(x\right)\ge \sup f\left(\mathrm{int}A\right)$ 时(f为实泛函)，集合 $\left\{y:f\left(y\right)=f\left(x\right)\right\}$ 张成的实子空间维数不超过k，则称A是k严格凸集。

由集合的k严格凸的定义易证k严格凸集是 $k+1$ 严格凸集，严格凸集是1严格凸集。

定义3：设A是线性空间X上的一个凸集， $x_0\in A$ 称为A的k端点。如果 ${\left\{x_i\right\}}_{i=1}^{k+1}\subset A$ ， $0<t_i<1$ ， ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{t}_i}=1$ ， $x={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{t}_i}$ 时，存在不全为0的 $k+1$ 个实数 $r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ ，使得 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{r}_i{x}_i}=0$ 成立。

2. 主要结果

定理1：设A为Banach空间X上的一个凸集， $0\in \mathrm{int}A$ ，则下列条件等价：

1) 当 ${\mu }_A\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\mu }_A\left(x_i\right)},x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}\in \partial A$ 时，存在不全为0的 $k+1$ 个实数 $r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ ，使得 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{r}_i{x}_i}=0$ 成立。其中 ${\mu }_A$ 是A上的Minkowski泛函。

2) 任意 $x\in \partial \left(A\right)$ ，则x是A的k端点。

3) A是k严格凸集。

证明：1)⟹2)假设2)的结论不成立，则存在 $z_0\in \partial \left(A\right)$ ，

及 $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}\in A$ ， $0<t_i<1$ ， ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{t}_i}=1$ ，使得 $z_0={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{t}_i{x}_i}$ ，

但不存在一组不全为0的实数 $r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ ，使得 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{r}_i{x}_i}=0$ 成立。

令 ${\mu }_A$ 为A上的Minkowski泛函，且 $0\in \mathrm{int}\left(A\right)$ ，故 ${\mu }_A$ 为X上的连续泛函，且 $\mathrm{int}\left(A\right)=\left\{x:{\mu }_A\left(x\right)<1\right\}$ ，且有 $\overline{\mathrm{int}\left(A\right)}=\bar{A}$ 成立。所以

$1={\mu }_A\left(z_0\right)={\mu }_A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\sum }}{t}_i{x}_i}\right)\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\sum }}{t}_i{\mu }_A\left(x_i\right)}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\sum }}{t}_i}=1$

所以 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{t}_i{\mu }_A\left(x_i\right)}=1$ ，因此 ${\mu }_A\left(x_i\right)=1$ ， $i=1,2,\cdots ,k+1$ ，现在我们证明 ${\mu }_A\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\mu }_A\left(x_i\right)}$ ，假设 ${\mu }_A\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\right)<{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\mu }_A\left(x_i\right)}$ ，我们有

$\begin{array}{c}{\mu }_A\left(z_0\right)={\mu }_A\left({\left(t_1+\cdots +t_{k+1}\right)}^k{z}_0\right)={\mu }_A\left({\left(t_1+\cdots +t_{k+1}\right)}^k\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\sum }}{t}_i{x}_i}\right)\right)\\ ={\mu }_A\left(t_1^{k+1}{x}_1+\cdots +t_{k+1}^{k+1}{x}_{k+1}+\cdots +k!t_1{t}_2\cdots t_{k+1}\left(x_1+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\\ <t_1^{k+1}+\cdots +t_{k+1}^{k+1}+\cdots +k!t_1{t}_2\cdots t_{k+1}\left(k+1\right)\\ ={\left(t_1+\cdots +t_{k+1}\right)}^k\left(t_1+\cdots +t_{k+1}\right)=1\end{array}$

又 ${\mu }_A\left(z_0\right)=1$ ，即 $1<1$ ，矛盾。故 ${\mu }_A\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\mu }_A\left(x_i\right)}$ 成立。但不存在一组不全为0的实数 $r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ ，使得 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{r}_i{x}_i}=0$ ，同1)矛盾，故2)成立。

2)⟹3)任意 $x\in \partial \left(A\right)$ ，及实泛函f，满足 $f\left(x\right)\ge \sup f\left(\mathrm{int}A\right)$ ，任取 $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}\in \left\{y:f\left(y\right)=f\left(x\right)\right\}$ ，令 $z=\frac{1}{k+1}\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\right)$ ，易证 $z\in \left\{y:f\left(y\right)=f\left(x\right)\right\}$ ，则 $z\in \partial A$ (事实上，假设 $z\in \mathrm{int}A$ ，则存在 $r\in R$ ，且 $r>1$ ，

s.t $rz\in \mathrm{int}\left(A\right)$ ，由 $f\left(x\right)\ge \sup f\left(\mathrm{int}A\right)$ ， $\overline{\mathrm{int}A}=\bar{A}$ 知 $f\left(x\right)\ge \sup f\left(A\right)$ ， $r\left(z\right)\in A$ ，故 $f\left(x\right)=f\left(z\right)\ge f\left(rz\right)$ ，故 $1\ge r$ ，矛盾)通过2)知z是A的k端点。故不存在一组不全为0的实数 $r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ ，使得 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{r}_i{x}_i}=0$ ，故 $\left\{y=f\left(y\right)=f\left(x\right)\right\}$ 张成的实线性子空间维数不超过k。故3)成立。

3)⟹1)假设1)不成立，则存在 $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}\in \partial A$ ，使得 ${\mu }_A\left({\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\mu }_A\left(x_i\right)}$ ，但不存在一组不全为0的实数 $r_1,r_2,\cdots ,r_{k+1}$ ，使得 ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{r}_i{x}_i}=0$ ，令 $x_0=\frac{1}{k+1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{x}_i}\Rightarrow {\mu }_A\left(x_0\right)=\frac{1}{k+1}{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\mu }_A\left(x_i\right)}=1$ ，故 $x_0\in \partial A$ 。由分离定理存在实泛函f，使得 $f\left(x_0\right)\ge \sup f\left(\mathrm{int}A\right)$ ，故 $f\left(x_i\right)=f\left(x_0\right),i=1,2,\cdots ,k+1$ ，因此 ${\left\{x_i\right\}}_{i=1}^{k+1}\subset \left\{y:f\left(y\right)=f\left(x_0\right)\right\}$ 。由3)知 $\left\{y=f\left(y\right)=f\left(x_0\right)\right\}$ 张成的实线性子空间维数不超过k，矛盾。故1)成立。

定义4设A是Banach空间X上的一个内部不空的凸集，如果对任给的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得对任意 $x,y\in \partial \left(A\right)$ ，当 $B_{\delta }\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\right)\not\subset A$ 时，有 $\Vert x-y\Vert <\epsilon$ 成立。则称A为一致凸集。

下面我们给凸集加上限制条件把一致凸集的概念推广到k一致凸集。

定义5设 是Banach空间X上的一个内部不空的有界凸集，如果对任给的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得对任意 $x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}\in \partial \left(A\right)$ ，当 $B_{\delta }\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\not\subset A$ 时，有

$A\left(x_1,x_2,\cdots ,x_{k+1}\right)=\sup \left\{\Vert \begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ f_1\left(x_1\right)& f_1\left(x_2\right)& \cdots & f_1\left(x_{k+1}\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_{k+1}\left(x_1\right)& f_{k+1}\left(x_1\right)& \cdots & f_{k+1}\left(x_{k+1}\right)\end{array}\Vert :f_i\in S\left(X^{*}\right)\right\}<\epsilon$

成立。则称A为k一致凸集。

从k一致凸集的定义不难验证1一致凸集即为一致凸集，有界的一致凸集为1-一致凸集。

定理2设A是Banach空间X上的k一致凸集，则A为 $k+1$ 一致凸集。

证明：由k一致凸集的定义不难验证A为k一致凸集当且仅当属于A边界的 $\left(k+1\right)$ 个元列 $\left\{\left(x_1^{\left(n\right)},x_2^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)|n=1,2,\cdots \right\}$ ，当 $B_{{\delta }_n}\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\not\subset A$ 时，其中 ${\lim }_{n\to \infty }{\delta }_n=0$ 成立。则有 $A\left(x_1^{\left(n\right)},x_2^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)\to 0\left(n\to \infty \right)$ 成立。

设 $\left\{\left(x_1^{\left(n\right)},x_2^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+2}^{\left(n\right)}\right)|n=1,2,\cdots \right\}$ 是属于A边界的 $\left(k+2\right)$ 个元列，且存在实数列 ${\left\{{\delta }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ， ${\delta }_n\to 0\left(n\to \infty \right)$ ， $B_{{\delta }_n}\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\not\subset A$ 成立，则存在实数列 ${\left\{{{\delta }^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ， ${{\delta }^{\prime }}_n\to 0\left(n\to \infty \right)$ ，使得 $B_{{{\delta }^{\prime }}_n}\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\not\subset A$ 成立。(事实上，假设上述结论不成立，则存在 $\delta >0$ ，使得 $B_{\delta }\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\subset A$ 成立。即 $\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\in \mathrm{int}\left(A\right)$ ，不失一般性，不妨令 $0\in \mathrm{int}\left(A\right)$ ，令 ${\mu }_A$ 为A上的Minkowski泛函，则 ${\mu }_A$ 连续且 $\mathrm{int}\left(A\right)=\left\{x:{\mu }_A<1\right\}$ ，则

$\begin{array}{l}{\mu }_A\left(\frac{1}{k+2}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+2}\right)\right)={\mu }_A\left(\frac{k+1}{k+2}\left(\frac{x_1^{\left(n_k\right)}+\cdots +x_{k+1}^{\left(n_k\right)}}{k+1}\right)+\frac{1}{k+2}{x}_{k+2}^{\left(n_k\right)}\right)\\ =\frac{k+1}{k+2}{\mu }_A\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1^{\left(n_k\right)}+\cdots +x_{k+2}^{\left(n_k\right)}\right)+\frac{1}{k+2}{x}_{k+2}^{\left(n_k\right)}\right)=m<1\end{array}$

成立。

令 $y_{n_k}=\frac{1}{k+2}\left(x_1^{\left(n_k\right)}+\cdots +x_{k+2}^{\left(n_k\right)}\right)$ ，由 ${\mu }_A$ 的连续性知，存在0点的领域 $B_{{\delta }_1}\left(0\right)$ ，使得 ${\mu }_A\left(B_{{\delta }_1}\left(0\right)\right)<\frac{1}{2}\left(1-m\right)$ ，取 $y_{n_k}$ 的领域 $y_{n_k}+B_{{\delta }_1}\left(0\right)$ ，当 $y\in y_{n_k}+B_{{\delta }_1}\left(0\right)$ 时， ${\mu }_A\left(y\right)\le {\mu }_A\left(y-y_{n_k}\right)+{\mu }_A\left(y_{n_k}\right)\le \frac{1}{2}\left(1-m\right)+m<1$ ，故 $y_{n_k}+B_{{\delta }_1}\left(0\right)\subset \mathrm{int}\left(A\right)\subset A$ 。这与存在实数列 ${\left\{{\delta }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ， ${\delta }_n\to 0\left(n\to \infty \right)$ ， $B_{{\delta }_n}\left(\frac{1}{k+1}\left(x_1+x_2+\cdots +x_{k+1}\right)\right)\not\subset A$ 矛盾。)由A的k一致凸性知 $A\left(x_1^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)\to 0\left(n\to \infty \right)$ ，同理当 $\left(1\le i\le k+2\right)$ 时， $A\left(x_1^{\left(n\right)},\cdots ,x_{i-1}^{\left(n\right)},x_{i+1}^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)\to 0\left(n\to \infty \right)$ 。

由A的有界性知，存在 $M>0$ ，使得对任意 $f\in S\left(X^{*}\right)$ ， $x\in A$ ，有 $\left|f\left(x\right)\right|\le M$ 成立。

故由行列式的性质知， $A\left(x_1^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)\le {\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+2}MA\left(x_1^{\left(n\right)},\cdots ,x_{i-1}^{\left(n\right)},x_{i+1}^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)}$ ，所以 $A\left(x_1^{\left(n\right)},\cdots ,x_{k+1}^{\left(n\right)}\right)\to 0\left(n\to \infty \right)$ 。所以A为 $k+1$ 一致凸集。

故 $\begin{array}{l}\sup \left\{\Vert \begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ f_1\left(x_1\right)& f_1\left(x_2\right)& \cdots & f_1\left(x_{k+1}\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_k\left(x_k\right)& f_k\left(x_k\right)& \cdots & f_k\left(x_{k+1}\right)\end{array}\Vert :f_i\in S{\left(X,{\Vert \cdot \Vert }_1\right)}^{*}\right\}\\ =\Vert f_1\Vert \cdots \Vert f_k\Vert \sup \left\{\Vert \begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ \frac{f_1}{f_1}\left(x_1\right)& \frac{f_1}{f_1}\left(x_2\right)& \cdots & \frac{f_1}{f_1}\left(x_{k+1}\right)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{f_k}{f_k}\left(x_k\right)& \frac{f_k}{f_k}\left(x_k\right)& \cdots & \frac{f_k}{f_k}\left(x_{k+1}\right)\end{array}\Vert :f_i\in S{\left(X,{\Vert \cdot \Vert }_1\right)}^{*}\right\}\\ \le \Vert f_1\Vert \cdots \Vert f_k\Vert A\left(x_1,\cdots ,x_{k+1}\right)\le {\left(\frac{1}{m^{\prime }}\right)}^k{\Vert f_1\Vert }_1\cdots {\Vert f_k\Vert }_1\frac{\epsilon }{M}=\frac{1}{M}{\left(\frac{1}{m^{\prime }}\right)}^k\epsilon \end{array}$

故 $\left(X,{\Vert \cdot \Vert }_1\right)$ 是k一致凸。