1. 引言
1977年,Sullian引入了k一致凸空间的概念,开始了对Banach空间的k凸性的研究 [1] 。Banach空间的各种k凸性有一个共同的特点,即以Banach空间的单位球作为研究对象 [2] 。本文把Banach空间的凸性理论推广到内部不空的凸集上。首先,引入下面定义 [3]
定义1:设A为Banach空间X上的一个内部不空的凸集,当
x1,x2∈∂A 时
(x1≠x2) ,有
12x1+12x2∈int(A) 成立,则称A是严格凸集。
定义2:设A为Banach空间X上的一个内部不空的凸集,任意
x∈∂A ,
y∈ˉA ,当
f(x)≥supf(intA) 时(f为实泛函),集合
{y:f(y)=f(x)} 张成的实子空间维数不超过k,则称A是k严格凸集。
由集合的k严格凸的定义易证k严格凸集是
k+1 严格凸集,严格凸集是1严格凸集。
定义3:设A是线性空间X上的一个凸集,
x0∈A 称为A的k端点。如果
{xi}k+1i=1⊂A ,
0<ti<1 ,
∑k+1i=1ti=1 ,
x=∑k+1i=1ti 时,存在不全为0的
k+1 个实数
r1,r2,⋯,rk+1 ,使得
∑k+1i=1rixi=0 成立。
2. 主要结果
定理1:设A为Banach空间X上的一个凸集,
0∈intA ,则下列条件等价:
1) 当
μA(∑k+1i=1xi)=∑k+1i=1μA(xi), x1,x2,⋯,xk+1∈∂A 时,存在不全为0的
k+1 个实数
r1,r2,⋯,rk+1 ,使得
∑k+1i=1rixi=0 成立。其中
μA 是A上的Minkowski泛函。
2) 任意
x∈∂(A) ,则x是A的k端点。
3) A是k严格凸集。
证明:1)⟹2)假设2)的结论不成立,则存在
z0∈∂(A) ,
及
x1,x2,⋯,xk+1∈A ,
0<ti<1 ,
∑k+1i=1ti=1 ,使得
z0=∑k+1i=1tixi ,
但不存在一组不全为0的实数
r1,r2,⋯,rk+1 ,使得
∑k+1i=1rixi=0 成立。
令
μA 为A上的Minkowski泛函,且
0∈int(A) ,故
μA 为X上的连续泛函,且
int(A)={x:μA(x)<1} ,且有
¯int(A)=ˉA 成立。所以
1=μA(z0)=μA(k+1∑i=1tixi)≤k+1∑i=1tiμA(xi)≤k+1∑i=1ti=1
所以
∑k+1i=1tiμA(xi)=1 ,因此
μA(xi)=1 ,
i=1,2,⋯,k+1 ,现在我们证明
μA(∑k+1i=1xi)=∑k+1i=1μA(xi) ,假设
μA(∑k+1i=1xi)<∑k+1i=1μA(xi) ,我们有
μA(z0)=μA((t1+⋯+tk+1)kz0)=μA((t1+⋯+tk+1)k(k+1∑i=1tixi))=μA(tk+11x1+⋯+tk+1k+1xk+1+⋯+k!t1t2⋯tk+1(x1+⋯+xk+1))<tk+11+⋯+tk+1k+1+⋯+k!t1t2⋯tk+1(k+1)=(t1+⋯+tk+1)k(t1+⋯+tk+1)=1
又
μA(z0)=1 ,即
1<1 ,矛盾。故
μA(∑k+1i=1xi)=∑k+1i=1μA(xi) 成立。但不存在一组不全为0的实数
r1,r2,⋯,rk+1 ,使得
∑k+1i=1rixi=0 ,同1)矛盾,故2)成立。
2)⟹3)任意
x∈∂(A) ,及实泛函f,满足
f(x)≥supf(intA) ,任取
x1,x2,⋯,xk+1∈{y:f(y)=f(x)} ,令
z=1k+1(∑k+1i=1xi) ,易证
z∈{y:f(y)=f(x)} ,则
z∈∂A (事实上,假设
z∈intA ,则存在
r∈R ,且
r>1 ,
s.t
rz∈int(A) ,由
f(x)≥supf(intA) ,
¯intA=ˉA 知
f(x)≥supf(A) ,
r(z)∈A ,故
f(x)=f(z)≥f(rz) ,故
1≥r ,矛盾)通过2)知z是A的k端点。故不存在一组不全为0的实数
r1,r2,⋯,rk+1 ,使得
∑k+1i=1rixi=0 ,故
{y=f(y)=f(x)} 张成的实线性子空间维数不超过k。故3)成立。
3)⟹1)假设1)不成立,则存在
x1,x2,⋯,xk+1∈∂A ,使得
μA(∑k+1i=1xi)=∑k+1i=1μA(xi) ,但不存在一组不全为0的实数
r1,r2,⋯,rk+1 ,使得
∑k+1i=1rixi=0 ,令
x0=1k+1∑k+1i=1xi⇒μA(x0)=1k+1∑k+1i=1μA(xi)=1 ,故
x0∈∂A 。由分离定理存在实泛函f,使得
f(x0)≥supf(intA) ,故
f(xi)=f(x0),i=1,2,⋯,k+1 ,因此
{xi}k+1i=1⊂{y:f(y)=f(x0)} 。由3)知
{y=f(y)=f(x0)} 张成的实线性子空间维数不超过k,矛盾。故1)成立。
定义4设A是Banach空间X上的一个内部不空的凸集,如果对任给的
ε>0 ,存在
δ>0 ,使得对任意
x,y∈∂(A) ,当
Bδ(12x+12y)⊄A 时,有
‖x−y‖<ε 成立。则称A为一致凸集。
下面我们给凸集加上限制条件把一致凸集的概念推广到k一致凸集。
定义5设 是Banach空间X上的一个内部不空的有界凸集,如果对任给的
ε>0 ,存在
δ>0 ,使得对任意
x1,x2,⋯,xk+1∈∂(A) ,当
Bδ(1k+1(x1+x2+⋯+xk+1))⊄A 时,有
A(x1,x2,⋯,xk+1)=sup{‖11⋯1f1(x1)f1(x2)⋯f1(xk+1)⋮⋮⋱⋮fk+1(x1)fk+1(x1)⋯fk+1(xk+1)‖:fi∈S(X*)}<ε
成立。则称A为k一致凸集。
从k一致凸集的定义不难验证1一致凸集即为一致凸集,有界的一致凸集为1-一致凸集。
定理2设A是Banach空间X上的k一致凸集,则A为
k+1 一致凸集。
证明:由k一致凸集的定义不难验证A为k一致凸集当且仅当属于A边界的
(k+1) 个元列
{(x(n)1,x(n)2,⋯,x(n)k+1)|n=1,2,⋯} ,当
Bδn(1k+1(x1+x2+⋯+xk+1))⊄A 时,其中
limn→∞δn=0 成立。则有
A(x(n)1,x(n)2,⋯,x(n)k+1)→0(n→∞) 成立。
设
{(x(n)1,x(n)2,⋯,x(n)k+2)|n=1,2,⋯} 是属于A边界的
(k+2) 个元列,且存在实数列
{δn}∞n=1 ,
δn→0(n→∞) ,
Bδn(1k+1(x1+x2+⋯+xk+1))⊄A 成立,则存在实数列
{δ′n}∞n=1 ,
δ′n→0(n→∞) ,使得
Bδ′n(1k+1(x1+x2+⋯+xk+1))⊄A 成立。(事实上,假设上述结论不成立,则存在
δ>0 ,使得
Bδ(1k+1(x1+x2+⋯+xk+1))⊂A 成立。即
1k+1(x1+x2+⋯+xk+1)∈int(A) ,不失一般性,不妨令
0∈int(A) ,令
μA 为A上的Minkowski泛函,则
μA 连续且
int(A)={x:μA<1} ,则
μA(1k+2(x1+x2+⋯+xk+2))=μA(k+1k+2(x(nk)1+⋯+x(nk)k+1k+1)+1k+2x(nk)k+2)=k+1k+2μA(1k+1(x(nk)1+⋯+x(nk)k+2)+1k+2x(nk)k+2)=m<1
成立。
令
ynk=1k+2(x(nk)1+⋯+x(nk)k+2) ,由
μA 的连续性知,存在0点的领域
Bδ1(0) ,使得
μA(Bδ1(0))<12(1−m) ,取
ynk 的领域
ynk+Bδ1(0) ,当
y∈ynk+Bδ1(0) 时,
μA(y)≤μA(y−ynk)+μA(ynk)≤12(1−m)+m<1 ,故
ynk+Bδ1(0)⊂int(A)⊂A 。这与存在实数列
{δn}∞n=1 ,
δn→0(n→∞) ,
Bδn(1k+1(x1+x2+⋯+xk+1))⊄A 矛盾。)由A的k一致凸性知
A(x(n)1,⋯,x(n)k+1)→0(n→∞) ,同理当
(1≤i≤k+2) 时,
A(x(n)1,⋯,x(n)i−1,x(n)i+1,⋯,x(n)k+1)→0(n→∞) 。
由A的有界性知,存在
M>0 ,使得对任意
f∈S(X*) ,
x∈A ,有
|f(x)|≤M 成立。
故由行列式的性质知,
A(x(n)1,⋯,x(n)k+1)≤∑k+2i=1MA(x(n)1,⋯,x(n)i−1,x(n)i+1,⋯,x(n)k+1) ,所以
A(x(n)1,⋯,x(n)k+1)→0(n→∞) 。所以A为
k+1 一致凸集。
故
sup{‖11⋯1f1(x1)f1(x2)⋯f1(xk+1)⋮⋮⋱⋮fk(xk)fk(xk)⋯fk(xk+1)‖:fi∈S(X,‖ ⋅ ‖1)*}=‖f1‖⋯‖fk‖sup{‖11⋯1f1f1(x1)f1f1(x2)⋯f1f1(xk+1)⋮⋮⋱⋮fkfk(xk)fkfk(xk)⋯fkfk(xk+1)‖:fi∈S(X,‖ ⋅ ‖1)*}≤‖f1‖⋯‖fk‖A(x1,⋯,xk+1)≤(1m′)k‖f1‖1⋯‖fk‖1εM=1M(1m′)kε
故
(X,‖ ⋅ ‖1) 是k一致凸。