3次复合曲面的分类及其标准方程

Classifications of 3-Order Composite Surfaces and Their Standard Equations

摘要: 本文展开了对3次复合曲面的一般研究，并成功地把3次复合曲面分成了5个大类，50个小类，顺便给出了其所有的150个标准方程。

Abstract: This paper carries out a general study of 3-order composite surfaces, and successfully divides 3-order composite surfaces into 5 major categories, 50 subclasses, and by the way presents all 150 standard equations.

1. 引言

一般来说，如果我们能把一个n次曲面分类成功，并得到其所有的标准方程，那么可以认为我们对这种曲面就认识清楚了。如几何学家们把二次曲面分成了5类，并成功地给出了其所有的17个标准方程 [1] 。这样任意给定一个二次曲面的方程，我们就知道它一定是17个方程之一，因此，在某种意义上，二次曲面对我们来说就没有任何秘密可言。对于三次曲面，有众多学者从不同角度进行了研究并取得了丰硕的成果 [2] [3] [4] [5] ，其中Wanseok，Euisung等研究了在任意特征的k代数闭合场下非正规三次超曲面的分类 [4] ；Bruce，Wall等重建了复射影三次曲面的分类 [5] 。但到目前为止，还未见有文献对复合曲面进行了分类研究或给出了其标准方程。

复合曲面简单地说，就是多个函数乘积形成的方程所确定的曲面 [6] ，是生活中最常见应用最广的曲面，简单如书就是由多个平面复合而成，复杂一点如绝大多数建筑物也是由多个简单的曲面复合而成 [7] 。三次复合曲面是复合曲面中的重要组成部分，它由二次曲面与平面复合而成，是复合曲面中较基础的部分。本文为了对3次复合曲面的分类问题进行深入的系统的研究，先把平面分类，然后在此基础上，把3次复合曲面分类。把其分为了5个大类，50个小类，并且在不对平面方程中的系数区分正负号的条件下，得到了三次复合曲面的所有150个标准方程。

本文研究的曲面方程都是指实系数方程。

2. 已有成果

为了阅读方便，我们先罗列一些本文常用到的概念及成果：

定义2.1 [6] ：由三元n (≥1)次方程

${\Phi }_n\left(x,y,z\right)={\displaystyle \underset{s=0}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{\begin{array}{l}i,j\\ i+j\le s\end{array}}{\sum }{a}_{\left(i,j,s-i-j\right)}}{x}^i{y}^j{z}^{s-i-j}}=0$ (1)

所表示的曲面叫做n次曲面，其中i，j及s都是非负整数，并且至少有一个n次项的系数不为0，其中

${\Phi }_n\left(x,y,z\right)$ 称为n次曲面函数。

当n = 2时，为了便于研究，通常把2次曲面的方程书写为

$F\left(x,y,z\right)=a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0$ (2)

定义2.2 [1] ：空间直角坐标变换的一般公式(直角坐标系的平移及转轴变换)：

$\{\begin{array}{l}x=x^{\prime }\cos {\alpha }_1+y^{\prime }\cos {\alpha }_2+z^{\prime }\cos {\alpha }_1+x_0\\ y=x^{\prime }\cos {\beta }_1+y^{\prime }\cos {\beta }_2+z^{\prime }\cos {\beta }_3+y_0\\ z=x^{\prime }\cos {\gamma }_1+y^{\prime }\cos {\gamma }_2+z^{\prime }\cos {\gamma }_3+z_0\end{array}$ (3)

定理2.1 [1] ：对二次曲面，通过适当选区直角坐标系，即进行恰当的直角坐标系的平移及转轴变换(3)，二次曲面的一般方程(2)总可化为下列5个简化方程中的一个：

1) $a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{33}}\ne 0;$

2) $a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{34}}\ne 0;$

3) $a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}\ne 0;$

4) $a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{24}}\ne 0;$

5) $a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{44}}=0,a_{\text{11}}\ne 0$ 。

定理2.2 [1] ：适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：

(1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$ (椭球面)；

(2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+1=0$ (虚椭球面)；

(3) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$ (点或虚母线二次锥面)；

(4) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}-1=0$ (单叶双曲面)；

(5) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}+1=0$ (双叶双曲面)；

(6) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ (二次锥面)；

(7) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2z=0$ (椭圆抛物面)；

(8) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-2z=0$ (双曲抛物面)；

(9) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ (椭圆柱面)；

(10) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+1=0$ (虚椭圆柱面)；

(11) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ (相交于一条实直线的一对共轭虚平面)；

(12) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0$ (双曲柱面)；

(13) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ (一对相交平面)；

(14) $x^2-2py=0$ (抛物柱面)；

(15) $x^2-a^2=0$ (一对平行平面)；

(16) $x^2+a^2=0$ (一对平行的共轭虚平面)；

(17) $x^2=0$ (一对重合平面)。

3. 三次复合曲面的分类

定义3.1：如果一个3次曲面能写成如下形式

${\Phi }_3\left(x,y,z\right)=F\left(x,y,z\right)\left(a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_4\right)=0$ (4)

其中 $F\left(x,y,z\right)$ 是2次曲面函数， $a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_4$ 是一次曲面(即平面)函数，则称这个3次曲面为3次复合曲面(或可分的3次曲面)；并分别称2次曲面 $F\left(x,y,z\right)$ = 0与平面 $a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_4=0$ 为这个3次复合曲面的二次分曲面与分平面；如果不能，则称为不可分的3次曲面。

为了对三次复合曲面进行分类，下面先对平面的分类进行讨论：

定义3.2：设平面的一般方程为

$Ax+By+Cz+D=0$ (5)

其中实常数A，B，C不全为0。如果在交换变元x，y，z及重新命名平面系数A，B，C与D的条件下，不能化为同一形式的任意两个平面方程，称为不同类型的平面方程。

定理3.1：如果平面方程(5)中的变元x，y，z可以自由交换，则平面方程可以分为以下6类：

(i) $Ax+By+Cz+D=0,ABCD\ne 0\left(与三个坐标轴都相交于非零点的平面\right)$

(ii) $Ax+By+Cz=0,ABC\ne 0\left(过原点的平面\right)$

(iii) $Ax+By+D=0,ABD\ne 0\left(平行于坐标轴的平面\right)$

(iv) $Ax+By=0,AB\ne 0\left(过坐标轴的平面\right)$

(v) $Ax+D=0,AD\ne 0\left(平行于坐标平面的平面\right)$

(vi) $Ax=0或x=0,A\ne 0\left(坐标平面\right)$

证明：在方程(5)中，当A，B，C与D都不为0就是第(i)类；当A，B与C都不为0，且D为0，则化为第(ii)类；当A，B与C中有一个为0，而D不为0，则化为第(iii)类；当A，B与C中有一个为0，且D为0，则化为第(iv)类；当A，B与C中有两个为0，而D不为0，则化为第(v)类；当A，B与C中有两个为0，且D为0，则化为第(vi)类。毫无疑问，(i)~(vi)属于不同的类，因为他们相互间在交换变元x，y，z及重新命名平面系数A，B，C与D的条件下，不能互化。 □

定理3.2：适当选取坐标系，三次复合曲面的一般方程(4)总可化为下列5大类简化方程中的一个：

(I) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{33}}\ne 0;$

(II) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{34}}\ne 0;$

(III) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}\ne 0;$

(IV) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,a_{\text{11}}{a}_{\text{24}}\ne 0;$

(V) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,a_{\text{11}}\ne 0;$

其中A，B，C不全为0。

证明：根据3次复合曲面(4)的2次分曲面 $F\left(x,y,z\right)=0$ 的特点，由定理2.1知，适当选取坐标系，即进行恰当的坐标的转轴与平移变换(3)，可以把 $F\left(x,y,z\right)=0$ 化为定理2.1中的5种形式，同时此变换把平面方程 $a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_4=0$ 化为了 $Ax+By+Cz+D=0$ 形式。由于平面方程在任何坐标系下都是一次方程，因此A，B，C不全为0。所以，适当选取坐标系后，任一3次复合曲面(4)都可以化为本定理描述的5大类形式之一。 □

定理3.2的分类是在平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 中的系数A，B，C不全为0的条件下得到的，并没有考虑A，B，C及D的具体情况。为了得到标准方程，我们有必要加以考虑。由定理3.1知，平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 可以分为6类，是否意味着能利用乘法原理，得到由定理3.2的5大类扩展成30小类的结论呢？我们说不能，因为定理3.1有一个先决条件：能自由交换变元x，y，z，而定理3.2中的平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$ 中的变元及其系数是不自由的，是被动得到的，因此如果仅考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下，我们有

定义3.3：在定理3.2的5大分类方程中，如果进一步考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下得到的方程称为三次复合曲面(4)的小类方程；如果在交换变元x，y，z及重新命名二次分曲面函数系数a_ij (不同大类有不同的a_ij)与平面系数A，B，C的条件下，不能化为同一形式的两个小类方程称为不同类型的小类方程。

从而，在进一步考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下，我们有下面引理3.1~3.5：

引理3.1：适当选取坐标系，定理3.2中的(I)式可化为下列6小类简化方程中的一个：

(1-1) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,ABCD\ne 0;$

(1-2) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz\right)=0,ABC\ne 0;$

(1-3) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+D\right)=0,ABD\ne 0;$

(1-4) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By\right)=0,AB\ne 0;$

(1-5) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+D\right)=0,AD\ne 0;$

(1-6) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)x=0,$

其中 $a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{33}}\ne 0$ 。

证明：在(I)式中的二次分曲面函数 $F\left(x,y,z\right)=a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{33}}{z}^{\text{2}}+a_{\text{44}}$ 关于 $x,y,z$ 对称，使得 $Ax+By+Cz+D$ 中的 $x,y,z$ 可以自由交换，满足定理3.1的条件，因此组合分配一下就可得到本引理中的6类简化方程。 □

引理3.2：适当选取坐标系，定理3.2中的(II)式可化为下列10小类简化方程中的一个：

(2-1) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,ABCD\ne 0;$

(2-2) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+By+Cz\right)=0,ABC\ne 0;$

(2-3) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+By+D\right)=0,ABD\ne 0;$

(2-4) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+Cz+D\right)=0,ACD\ne 0;$

(2-5) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+By\right)=0,AB\ne 0;$

(2-6) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+Cz\right)=0,AC\ne 0;$

(2-7) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Ax+D\right)=0,AD\ne 0;$

(2-8) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(Cz+D\right)=0,CD\ne 0;$

(2-9) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)x=0,$

(2-10) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)z=0,$

其中 $a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{34}}\ne 0$ 。

证明：(2-1)与(2-2)是显然的，因为分平面函数关于 $x,y,z$ 对称，因此只能形成这两个类。但(2-3)以下的方程与引理3.1中的(1-3)以下的有些不同，因为二次函数 $F\left(x,y,z\right)=a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z$ 仅关于 $x,y$ 对称，关于x与 $z,y$ 与z都不对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 $Ax+By+D$ 也仅关于 $x,y$ 对称，关于x与 $z,y$ 与z不对称，因此x与z或y与z不能交换，这就造成(2-3)与(2-4)是不一样的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能实现两个方程的互化，但曲面方程 $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z\right)\left(By+Cz+D\right)=0$ ， $BCD\ne 0$ ，不是全新的类，因为它中的x与y交换，并重新命名系数就可以得到(2-4)。因此，在二次分曲面函数为 $F\left(x,y,z\right)=a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{34}}z$ 及平面函数 $Ax+By+Cz+D$ 中的系数 $A,B,C$ 中仅有一个为0的条件下，会产生两个完全不同的类(2-3)与(2-4)。同理我们可以得到(2-5)~(2-10)等6个不同的类。 □

引理3.3：适当选取坐标系，定理3.2中的(III)式可化为下列10小类简化方程中的一个：

(3-1) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,ABCD\ne 0;$

(3-2) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+Cz\right)=0,ABC\ne 0;$

(3-3) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By+D\right)=0,ABD\ne 0;$

(3-4) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+Cz+D\right)=0,ACD\ne 0;$

(3-5) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+By\right)=0,AB\ne 0;$

(3-6) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+Cz\right)=0,AC\ne 0;$

(3-7) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Ax+D\right)=0,AD\ne 0;$

(3-8) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)\left(Cz+D\right)=0,CD\ne 0;$

(3-9) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)x=0,$

(3-10) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+a_{\text{22}}{y}^{\text{2}}+a_{\text{44}}\right)z=0,$

其中 $a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}{a}_{\text{44}}\ne 0$ 。

证明：与引理3.2的证明类似。 □

引理3.4：适当选取坐标系，定理3.2中的(IV)式可化为下列14小类简化方程中的一个：

(4-1) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+By+Cz+D\right)=0,ABCD\ne 0;$

(4-2) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+By+Cz\right)=0,ABC\ne 0;$

(4-3) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+By+D\right)=0,ABD\ne 0;$

(4-4) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+Cz+D\right)=0,ACD\ne 0;$

(4-5) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(By+Cz+D\right)=0,BCD\ne 0;$

(4-6) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+By\right)=0,AB\ne 0;$

(4-7) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+Cz\right)=0,AC\ne 0;$

(4-8) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(By+Cz\right)=0,BC\ne 0;$

(4-9) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Ax+D\right)=0,AD\ne 0;$

(4-10) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(By+D\right)=0,BD\ne 0;$

(4-11) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)\left(Cz+D\right)=0,CD\ne 0;$

(4-12) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)x=0,$

(4-13) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)y=0,$

(4-14) $\left(a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y\right)z=0,$

其中 $a_{\text{11}}{a}_{\text{24}}\ne 0$ 。

证明：(4-1)与(4-2)是显然的。二次分曲面函数 $F\left(x,y,z\right)=a_{\text{11}}{x}^{\text{2}}+\text{2}{a}_{\text{24}}y$ 关于 $x,y,z$ 都不对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 $Ax+By+D$ 仅关于 $x,y$ 对称，关于x与与z不对称，因此总体而言，x与y，x与z或y与z都不能交换，因此(4-3)与(4-4)是不一样的；另外，与引理3.2不一样的是(4-5)是全新的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能与(4-3)或(4-4)中的任意一个互换。同理我们可以得到(4-6)~(4-14)。 □

引理3.5：适当选取坐标系，定理3.2中的(V)式可化为下列10小类简化方程中的一个：

(5-1)

(5-2)

(5-3)

(5-4)

(5-5)

(5-6)

(5-7)

(5-8)

(5-9)

(5-10)

其中。

证明：(5-1)与(5-2)是显然的。由于二次分曲面函数仅关于y与z对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数关于对称，关于x与与z不对称，因此x与y及x与z都不能交换，这就造成(5-3)与(5-4)是不一样的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能互换，但曲面方程，不是全新的类，因为它中的y与z交换，并重新命名系数就可以得到(5-3)。同理我们可以得到(5-5)~(5-10)。 □

定理3.3：适当选取坐标系，三次复合曲面的一般方程(4)总可化为引理3.1~3.5中的50小类简化方程中的一个。

证明：由引理3.1~3.5知。 □

4. 标准方程

本节将探讨3次复合曲面的所有可能的标准方程。这里我们对平面方程中的实系数A，B，C及D仅考虑他们是否为0，而不考虑他们的正负号。

引理4.1：当引理3.1中的2次分曲面函数具体变为定理2.2中的方程(1)~(6)中的二次曲面函数时，共形成36个标准方程。

证明：当变为时，由引理3.1有下面6个标准方程：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)。

同理，当被二次曲面函数(2)，(3)，(4)，(5)，(6)依次代替后，我们可以再得到30个标准方程，不妨依次编号为(7)~(36)。 □

引理4.2：当引理3.2中的2次分曲面函数具体变为定理2.2中的方程(7) (8)中的二次曲面函数，或当引理3.3中的2次分曲面函数具体变为定理2.2中的方程(9)~(13)的二次曲面函数时，共形成70个标准方程。

证明：当具体变为时，由引理3.2有下面10标准方程：

(37)；

(38)。

(39)；

(40)。

(41)；

(42)；

(43)；

(44)；

(45)；

(46)。

当依次被二次曲面函数(8)，(9)，(10)，(11)，(12)，(13)代替时，我们可以再得到编号为(47)~(106)共60个标准方程。 □

引理4.3：当引理3.4中的2次分曲面函数具体变为定理2.2中的(14)时，共形成14个标准方程。

证明：当具体变为时，由引理3.4有下面14个标准方程：

(107)；

(108)。

(109)；

(110)；

(111)；

(112)；

(113)；

(114)；

(115)；

(116)；

(117)；

(118)；

(119)；

(120)。

引理4.4：当引理3.5中的2次分曲面函数具体变为定理2.2中的方程(15)~(17)中的二次分曲面函数时，共形成30个标准方程。

证明：当具体变为时，由引理3.5有下面10标准方程：

(121)；

(122)。

(123)；

(124)；

(125)；

(126)；

(127)；

(128)；

(129)；

(130)。

当依次被二次曲面函数(16)，(17)代替时，可以再得到编号为(131)~(150)共20个标准方程。 □

定理4.1：三次复合曲面(4)，在适当选取坐标系，并不考虑平面系数的正负号条件下，共有150个标准方程。

证明：由引理4.1得36个标准方程；由引理4.2得70个；由引理4.3得14；由引理4.4得30个；故共有150个标准方程。 □

基金项目

本研究得到云南省高校科技创新团队支持计划资助。