具有自中心化正规子群的有限群的Coleman自同构

Coleman Automorphisms of Finite Groups with a Self-Centralizing Normal Subgroup

摘要: 设G为具有自中心化正规子群N的有限群。在这篇注记中，我们研究了自中心化正规子群N的性质对G的Coleman外自同构群结构的影响，证明了N在某些条件下G的Coleman自同构均为内自同构。这样的Coleman自同构对研究整群环的正规化子问题有着重要的作用。

Abstract: Let G be a finite group with a self-centered normal subgroup N. In this note, we studied the effects of the properties of the self-centered normal subgroup N on the structure of the Coleman outer automorphism group of G and proved that all Coleman automorphisms of G are inner when N is under some conditions. Such Coleman automorphisms play an important role in the research of normalizer problem for integral group rings.

1. 引言

设 $G$ 为有限群， $\sigma$ 为 $G$ 的一个自同构，如果 $\sigma$ 在 $G$ 的任意一个 $Sylow$ 子群上的限制等于 $G$ 的某个内自同构在其上的限制，则称 $\sigma$ 为 $G$ 的一个Coleman自同构。 $G$ 的所有的Coleman自同构组成了 $Aut\left(G\right)$ 的一个子群，记为 $Au{t}_{Col}\left(G\right)$ 。显然 $Inn\left(G\right)⊴Au{t}_{Col}\left(G\right)$ ，称商群 $Au{t}_{Col}\left(G\right)/Inn\left(G\right)$ 为 $G$ 的Coleman外自同构群，记为 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)$ 。在文献 [1] 中，Hertweck和Kimmerle证明了 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)$ 是交换群，给出了 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)$ 是 $p^{\prime }$ -群的一些充分条件。在文献 [2] 中，海进科等研究了因子群的性质对有限群 $G$ 的Coleman外自同构群的影响，也给出了 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)$ 是 $p^{\prime }$ -群的一些充分条件。在文献 [3] 中，李正兴等证明了具有唯一非平凡正规子群的有限群 $G$ 的Coleman自同构为内自同构。Antwerpen在文献 [4] 中研究了具有自中心化特征单的正规子群的有限群的Coleman自同构，证明了这样的群的Coleman自同构也为内自同构。在文献 [5] 中，赵文英等人也研究了具有自中心化正规子群的有限群的Coleman自同构，并给出了 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)=1$ 的一些充分条件。其它有关Coleman自同构方面的结果可参见文献 [6] [7] 。

设 $G$ 是一个有限群，我们用 $ZG$ 表示 $G$ 在整群环 $Z$ 上的整群环，用 $U\left(\text{Z}G\right)$ 表示 $ZG$ 的单位群，用 $N_{U\left(\text{Z}G\right)}\left(G\right)$ 表示 $G$ 在单位群 $U\left(\text{Z}G\right)$ 中的正规化子。对任意 $u\in N_{U\left(\text{Z}G\right)}\left(G\right)$ ，用 ${\phi }_u$ 表示由 $u$ 通过共轭诱导的 $G$ 的自同构，记 $Au{t}_Z\left(G\right)\text{=}\left\{{\phi }_u|u\in N_{U\left(ZG\right)}\left(G\right)\right\}$ ，令 $Ou{t}_Z\left(G\right)=Au{t}_Z\left(G\right)/Inn\left(G\right)$ 。由文献 [8] 中的问题43知， $G$ 具有正规化子性质当且仅当 $Ou{t}_Z\left(G\right)=1$ 。由著名的Coleman引理知 $Ou{t}_Z\left(G\right)\le Ou{t}_{Col}\left(G\right)$ ，所以只要能够证明 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)=1$ ，那么 $G$ 具有正规化子性质，这促使人们去研究什么样的有限群 $G$ 满足 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)=1$ 。

称 $G$ 为完全群，如果 $\mathcal{Z}(G)=1$ 且 $Aut\left(G\right)=Inn\left(G\right)$ 。称 $H$ 为几乎单群，如果存在非交换单群 $G$ ，使得 $G\le H\le Aut\left(G\right)$ 。称 $G$ 为有限群 $S$ 和有限群 $H$ 的圈积，如果 $G$ 是 $S^{\left|H\right|}$ 和 $H$ 的半直积，其中 $S^{\left|H\right|}=S\times \cdots \times S$ 为 $\left|H\right|$ 个 $S$ 的直积，记为 $G=SwrH$ 。本文我们继续研究自中心化正规子群 $N$ 的性质对 $G$ 的Coleman外自同构群结构的影响，证明了下面主要结果：

定理1.1：设 $N$ 为有限群 $G$ 自中心化的正规的子群。如果 $N$ 是完全群，则 $G$ 的Coleman自同构均为内自同构，即 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)=1$ 。

定理1.2：设 $N$ 为有限群 $G$ 的自中心化的正规子群。如果 $N$ 是几乎单群，则 $G$ 的Coleman自同构均为内自同构，即 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)=1$ 。

定理1.3：设 $G=SwrH$ 是 $S$ 和 $H$ 的圈积，其中 $S$ 为有限单群， $H$ 为 $n$ 阶有限群，则 $G$ 的Coleman自同构均为内自同构，即 $Ou{t}_{Col}\left(G\right)=1$ 。

本文所讨论的群均为有限群。设 $N\le G$ ， $\sigma \in Aut\left(G\right)$ ，用 $\sigma |{}_N$ 表示 $\sigma$ 在 $N$ 上的限制。若 $N\underset{\_}{⊲}G$ 且 $N^{\sigma }=N$ ，则用 $\sigma |{}_{{}_{G/N}}$ 表示 $\sigma$ 所诱导的 $G/N$ 的自同构。设 $g\in G$ ，用 $conj\left(g\right)$ 表示由 $g$ 通过共轭诱导的 $G$ 的内自同构。记 $\text{π}\left(G\right)=\left\{p\left|p\right|\left|G\right|\right\}$ ，其中 $p$ 为素数。本文使用的概念与术语是标准的，参见文献 [8] [9] 。

2. 定理的证明

定义2.1 [1] ：设 $\sigma \in Aut\left(G\right)$ ， $p\in \text{π}\left(G\right)$ 。如果存在 $P\in Sy{l}_p\left(G\right)$ ，使得 $\sigma {\left|{}_P=id\right|}_P$ ，则称 $\sigma$ 为 $G$ 上的 $p$ -中心自同构。

引理2.1 [1] ：设 $G$ 为单群，则存在一个素数 $q\in \text{π}\left(G\right)$ ，使得 $G$ 的 $q$ -中心自同构为内自同构。

引理2.2 [1] ：设 $G$ 为几乎单群，则存在一个素数 $q\in \text{π}\left(G\right)$ ，使得 $G$ 的 $q$ -中心自同构为内自同构。

引理2.3 [4] ：设 $G$ 为有限群， $p\in \text{π}\left(G\right)$ ， $\sigma$ 是 $G$ 上的一个 $p$ -方幂阶自同构。如果存在 $N\underset{\_}{⊲}G$ ，使得 $\sigma {\left|{}_N=id\right|}_N$ ， $\sigma {\left|{}_{G/N}=id\right|}_{G/N}$ ，并且存在 $G$ 的一个 $Sylow$ $p$ -子群 $P$ ，满足 $\sigma {\left|{}_P=id\right|}_P$ ，则 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

引理2.4 [2] ：设 $N$ 为有限群 $G$ 的正规子群。如果 $\sigma \in Au{t}_{Col}\left(G\right)$ ，则 $\sigma |{}_N\in Aut\left(N\right)$ 。

引理2.5 [9] ：设 $H\le G$ ， $H$ 在 $G$ 中的正规闭包是指 $G$ 中所有包含 $H$ 的正规子群的交，记为 $H^G$ ，即 $H^G\text{=}\cap \left\{K\underset{\_}{⊲}G|H\le K\right\}$ ，则

1) $$ 为 $G$ 中包含的唯一最小正规子群；

2) $H^G=\langle h^g|h\in H,g\in G\rangle$ 。

引理2.6 [9] ：设 $G$ 为有限群 $S$ 和有限群 $H$ 的圈积，则 $G$ 是 $S^{\left|H\right|}$ 和 $H$ 的半直积且 $C_G\left(S^{\left|H\right|}\right)\le \mathcal{Z}\left(S^{\left|H\right|}\right)$ ，其中 $\mathcal{Z}\left(S^{\left|H\right|}\right)$ 表示群 $S^{\left|H\right|}$ 的中心。

引理2.7：设 $G$ 是有限群， $\sigma$ 是 $G$ 的 $p$ -方幂阶自同构， $g\in G$ ，并记 ${\sigma }_1=\sigma conj\left(g\right)$ 。令 $o\left({\sigma }_1\right)=p^{j}m$ ，其中 $j,m$ 为非负整数，且 $\left(p,m\right)=1$ 。如果 ${\sigma }_1{}^m\in Inn\left(G\right)$ ，则 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

证明：因为 $\sigma$ 是 $p$ -方幂阶的Coleman自同构，所以可设 $o\left(\sigma \right)=p^i$ ，其中 $i$ 为非负整数。由题意可知 $\left(p^i,m\right)=1$ ，从而存在整数 $s,t$ ，使得 $s{p}^i+tm=1$ 。由于 $Inn\left(G\right)\underset{\_}{⊲}Aut\left(G\right)$ ，所以

${\sigma }_1{}^{tm}={\left(\sigma conj(h^{-1})\right)}^{tm}\in {\left(\sigma Inn\left(G\right)\right)}^{tm}={\sigma }^{tm}Inn\left(G\right)$ 。

因此可令 ${\sigma }_1{}^{tm}={\sigma }^{tm}conj\left(y\right)={\sigma }^{1-s{p}^i}conj\left(y\right)=\sigma conj\left(y\right)$ ，显然 ${\sigma }_1{}^{tm}\in Inn\left(G\right)$ ，故 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

定理1.1的证明：设 $\sigma$ 是 $G$ 的Coleman自同构。因为 $N\underset{\_}{⊲}G$ ，由引理4知 $\sigma |{}_N\in Aut\left(N\right)$ 。因为 $N$ 为完全群，所以 $\sigma |{}_N\in Inn\left(N\right)$ ，即存在 $n\in N$ ，使得 $\sigma {\left|{}_N=conj\left(n\right)\right|}_N$ 。记 $\beta =\sigma conj\left(n^{-1}\right)$ ，则 $\beta {\left|{}_N=id\right|}_N$ 。由于 $N\underset{\_}{⊲}G$ ，所以对任意的 $$ ，有

$x^{-1}nx={\left(x^{-1}nx\right)}^{\beta }={\left(x^{-1}\right)}^{\beta }{n}^{\beta }{x}^{\beta }={\left(x^{-1}\right)}^{\beta }n{x}^{\beta }$ ，

因此 $x^{\beta }{x}^{-1}\in C_G\left(N\right)\le N$ 。又因为 $\mathcal{Z}\left(N\right)=1$ ，所以 $x^{\beta }{x}^{-1}=1$ 。由 $x$ 的任意性可知 $\beta =id$ ，注意到 $\beta =\sigma conj\left(n^{-1}\right)$ ，故 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

定理1.2的证明：设 $\sigma$ 是 $G$ 的Coleman自同构， $Q$ 为 $N$ 的 $Sylow$ $q$ -子群。由 $Sylow$ 定理知，存在 $G$ 的 $Sylow$ $q$ -子群 $P$ ，使得 $Q\le P$ 。

由于 $\sigma \in Au{t}_{Col}\left(G\right)$ ，则存在 $h\in G$ ，使得 $\sigma {\left|{}_P=conj\left(h\right)\right|}_P$ 。记 ${\rho }_1=\sigma conj\left(h^{-1}\right)$ ，则 ${\rho }_1{\left|{}_P=id\right|}_P$ 。因为 $Q\le P$ ，所以 ${\rho }_1{\left|{}_Q=id\right|}_Q$ 。注意到且 ${\rho }_1\in Au{t}_{Col}\left(G\right)$ ，由引理4知， ${\rho }_1|{}_N\in Aut\left(N\right)$ 。因此 ${\rho }_1$ 为 $N$ 的 $q$ -中心自同构。

因为 $N$ 为几乎单群，由引理2知， ${\rho }_1|{}_N\in Inn\left(N\right)$ ，即存在 $g\in N$ ，使得 ${\rho }_1{\left|{}_N=conj\left(g\right)\right|}_N$ 。记 ${\rho }_2={\rho }_{1}conj\left(g^{-1}\right)$ ，则 ${\rho }_2{\left|{}_N=id\right|}_N$ 。由于 $N\underset{\_}{⊲}G$ ，则对任意的 $x\in G,n\in N$ ，有

$x^{-1}nx={\left(x^{-1}nx\right)}^{{\rho }_2}={\left(x^{-1}\right)}^{{\rho }_2}{n}^{{\rho }_2}{x}^{{\rho }_2}={\left(x^{-1}\right)}^{{\rho }_2}n{x}^{{\rho }_2}$ ，

因此 $x^{{\rho }_2}{x}^{-1}\in C_G\left(N\right)\le N$ 。又因为 $\mathcal{Z}\left(N\right)=1$ ，所以 $x^{{\rho }_2}{x}^{-1}=1$ 。由 $x$ 的任意性可知 ${\rho }_2=id$ ，注意到 ${\rho }_2={\rho }_{1}conj\left(g^{-1}\right)=\sigma conj\left(h^{-1}\right)conj\left(g^{-1}\right)$ ，故 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

定理1.3的证明：设 $\sigma$ 是 $G$ 的 $p$ -方幂阶Coleman自同构，我们只需证 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

因为 $G=SwrH$ ，并且 $H$ 为 $n$ 阶有限群，所以 $G=\left(S^n\right)⋊H$ ，其中 $S^n=S\times \cdots \times S$ 为 $n$ 个 $S$ 的直积。

设 $Q$ 为 $S$ 的 $Sylow$ $q$ -子群，则 $Q^n$ 为 $S^n$ 的 $Sylow$ $q$ -子群。由 $Sylow$ 定理知，存在 $G$ 的 $Sylow$ $q$ -子群 $P$ ，使得 $Q^n=Q\times \cdots \times Q\le P$ 。

由于 $\sigma \in Au{t}_{Col}\left(G\right)$ ，则存在 $h\in G$ ，使得 $\sigma {\left|{}_P=conj\left(h\right)\right|}_P$ 。记 ${\rho }_1=\sigma conj\left(h^{-1}\right)$ ，则 ${\rho }_1{\left|{}_P=id\right|}_P$ 。令 $k$ 表示 $\text{o}\left({\rho }_1\right)$ 的 $p^{\prime }$ 部分，记 ${\rho }_2={\rho }_1{}^k$ ，则 ${\rho }_2$ 是 $p$ -方幂阶的Coleman自同构且 ${\rho }_2{\left|{}_P=id\right|}_P$ 。由于 $Q^n=Q\times \cdots \times Q\le P$ ，所以 ${\rho }_2{\left|{}_Q=id\right|}_Q$ 。

先证 ${\rho }_2$ 为 $S$ 的 $q$ -中心自同构，即证 ${\rho }_2|{}_S\in Aut\left(S\right)$ 。此处记 $S^n=S_1\times S_2\times \cdots \times S_n$ ，其中 $S_1=S_2=\cdots =S_n=S$ ，相应的 $Q^n=Q_1\times Q_2\times \cdots \times Q_n$ ，其中 $Q_1=Q_2=\cdots =Q_n=Q$ 。因为 $Q_j\le S_j$ 且 $S_j$ 为单群，其中 $j=1,2,\cdots ,n$ ，由引理5知， $S_j=Q_j{}^S=\langle g^h|g\in Q_j,h\in S_j\rangle$ ，即对任意的 $z\in S_j$ ，可设 $z=g^h$ ，其中 $g\in Q_j$ ， $h\in S_j$ ， $j=1,2,\cdots ,n$ ，从而

$z^{{\rho }_2}={\left(h^{-1}gh\right)}^{{\rho }_2}={\left(h^{-1}\right)}^{{\rho }_2}{g}^{{\rho }_2}{h}^{{\rho }_2}={\left(h^{-1}\right)}^{{\rho }_2}g{h}^{{\rho }_2}$ 。

又因为 $S^n\underset{\_}{⊲}G$ ，由引理4知， ${\rho }_2|{}_{S^n}\in Aut\left(S^n\right)$ ，所以 $h^{{\rho }_2}\in S^n=S_1\times S_2\times \cdots \times S_n$ 。因此不妨设 $h^{{\rho }_2}=x_1{x}_2\cdots x_n$ ，其中 $x_j\in S_j$ ， $j=1,2,\cdots ,n$ ，所以

$z^{{\rho }_2}={\left(h^{-1}\right)}^{{\rho }_2}g{h}^{{\rho }_2}=x_n{}^{-1}···x_2{}^{-1}{x}_1{}^{-1}g{x}_1{x}_2\cdots x_n\in S_j$ ，

即 ${\rho }_2|{}_{S_j}\in Aut\left(S_j\right)$ 。这就证明了 ${\rho }_2|{}_S\in Aut\left(S\right)$ ，因此 ${\rho }_2$ 为 $S$ 的 $q$ -中心自同构。

由于 $S$ 为单群，由引理1知， ${\rho }_2|{}_S\in Inn\left(S\right)$ ，即存在 $g\in S$ ，使得 ${\rho }_2{\left|{}_S=conj\left(g\right)\right|}_S$ 。又因为 $Inn\left(S^n\right)=Inn\left(S\right)\times Inn\left(S\right)\times \cdots \times Inn\left(S\right)$ ，所以存在 $m\in S^n$ ，使得 ${\rho }_2{\left|{}_{S^n}=conj\left(m\right)\right|}_{S^n}$ 。

下分两种情形进行讨论：

情形1：如果 $S$ 为非交换单群，记 ${\rho }_3={\rho }_{2}conj\left(m^{-1}\right)$ ，则 ${\rho }_3{\left|{}_{S^n}=id\right|}_{S^n}$ 。因为 $S^n\underset{\_}{⊲}G$ ，所以对任意的 $x\in G,y\in S^n$ ，有 $x^{-1}yx={\left(x^{-1}yx\right)}^{{\rho }_3}={\left(x^{-1}\right)}^{{\rho }_3}{y}^{{\rho }_3}{x}^{{\rho }_3}={\left(x^{-1}\right)}^{{\rho }_3}y{x}^{{\rho }_3}$ ，因此 $x^{{\rho }_3}{x}^{-1}\in C_G\left(S^n\right)$ 。由引理6知， $C_G\left(S^n\right)\le \mathcal{Z}\left(S^n\right)\le S^n$ ，又因为 $\mathcal{Z}\left(S^n\right)=1$ ，所以 $x^{{\rho }_3}{x}^{-1}=1$ 。由 $x$ 的任意性可知 ${\rho }_3=id$ ，由于 ${\rho }_3={\rho }_{2}conj\left(m^{-1}\right)$ ，所以 ${\rho }_2\in Inn\left(G\right)$ 。注意到 ${\rho }_2={\rho }_1{}^k={\left(\sigma conj\left(h^{-1}\right)\right)}^k$ ，由引理7可知， $\sigma conj\left(h^{-1}\right)\in Inn\left(G\right)$ ，故 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

情形2：如果 $S$ 为交换单群，那么 $S=C_q$ ，其中 $C_q$ 为 $q$ 阶循环群。因为 $S$ 和 $S^n$ 都为交换群，且 ${\rho }_2|{}_{S^n}\in Inn\left(S^n\right)$ ，所以 ${\rho }_2{\left|{}_{S^n}=id\right|}_{S^n}$ 。由于 $S^n\underset{\_}{⊲}G$ ，则对任意的 $x\in G$ ， $y\in S^n$ ，有

$x^{-1}yx={\left(x^{-1}yx\right)}^{{\rho }_2}={\left(x^{-1}\right)}^{{\rho }_2}{y}^{{\rho }_2}{x}^{{\rho }_2}={\left(x^{-1}\right)}^{{\rho }_2}y{x}^{{\rho }_2}$ ，

从而 $x^{{\rho }_2}{x}^{-1}\in C_G\left(S^n\right)$ 。而由引理6知， $C_G\left(S^n\right)\le \mathcal{Z}\left(S^n\right)\le S^n$ 。因此任取 $l{S}^n\in G/S^n$ ，都有 ${\left(l{S}^n\right)}^{{\rho }_2}=l^{{\rho }_2}{S}^n=l{S}^n$ ，即 ${\rho }_2{\left|{}_{G/S^n}=id\right|}_{G/S^n}$ 。

对于这种情形，我们又可以将其分为两种情况：

① 如果 $q=p$ ，则 ${\rho }_2{\left|{}_P=id\right|}_P$ 。又 ${\rho }_2{\left|{}_{S^n}=id\right|}_{S^n}$ ， ${\rho }_2{\left|{}_{G/S^n}=id\right|}_{G/S^n}$ 且 ${\rho }_2$ ${\rho }_2={\rho }_1{}^k={\left(\sigma conj\left(h^{-1}\right)\right)}^k$ 是 $p$ -方幂阶的Coleman自同构，由引理3知， ${\rho }_2\in Inn\left(G\right)$ 。因为，由引理7可知， $\sigma conj\left(h^{-1}\right)\in Inn\left(G\right)$ ，故 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

② 如果 $q\ne p$ ，则对任意 $u\in G$ ，存在 $v\in S^n$ ，使得 $u^{{\rho }_2}=uv$ 。因为 ${\rho }_2$ 是 $p$ -方幂阶的，所以可设 $o\left({\rho }_2\right)=p^r$ ，其中 $r$ 为非负整数，那么 $u=u^{{\rho }_2{}^{p^r}}=u{v}^{p^r}$ ，因此 $v^{p^r}=1$ ，而 $S^n$ 为 $q$ -群，所以 $v=1$ 。由 $u$ 的任意性可知 ${\rho }_2=id$ 。又因为 ${\rho }_2={\rho }_1{}^k={\left(\sigma conj\left(h^{-1}\right)\right)}^k$ ，由引理7可知， $\sigma conj\left(h^{-1}\right)\in Inn\left(G\right)$ ，故 $\sigma \in Inn\left(G\right)$ 。

基金项目

国家自然科学基金(11871292)。

NOTES

^*通讯作者。