1. 预备工作
定义1 区域 [1] ，被一单一线条所封闭的空间我们定义为区域：
Figure 1. A space enclosed by a single line
图1. 单一线条所封闭的空间
如何能在地图上表现一个区域呢？这就必须把区域绘在一张纸上(图1)，当纸与区域的颜色不同时，我们便可在纸上清楚地看见区域。如上图，我们把纸的颜色称为基色，如此便有：
定义2 基色，是指我们绘制地图用的纸张的颜色，显然，基色与地图上任何一区域的颜色是不同的，且基色无边界、无形状，他是因绘图需要而自然存在的。因此我们有：
推论1 要表示一个区域，最少有两种颜色，基色 + 区域色。
定义3 区域的边界线段，在区域的闭环上，从一个点到另一点间的区间称区域的边界线段，如图2，1 ® 2，2 ® 3，3 ® 1，如果一个区域的闭环上有n个线段，那么，当n是偶数时(图3)，只需要两种颜色的线段便可区分不同的线段，当n是奇数时(图2)，只需要三种不同颜色的线段便可区分不同的线段。
证：若奇数线段(1 ® 2)的颜色设为R，偶数线段(2 ® 3)的颜色设为Y，当n是偶数时(图3)，设段1 ® 2为R，段为2 ® 3 Y，则4 ® 1段为Y，1 ® 2段为R，那么当在区域闭环处，与第一段线段相连的线段是偶数段，那么，整个闭环中仅需R、Y两种颜色便可区分所有的线。
当n是奇数时(图2)，由于与第一段线段(1 ® 2)段相连的线段是3 ® 1奇数线段，此时便产生了R，R的相连处，所以此时我们只需增加一种颜色B把线段3 ® 1的颜色设为B，那么当n是奇数时，我们只需三种颜色的线段便可把闭环上的线段区分开。如图2，显然当，n > 4时奇数与偶数的分析方法是相同的。
因此我们可得到引理一，一个封闭的区域上当封闭线上的线段是偶数时，我们只需两种颜色便可以把所有的区段区分开，而当封闭线上的线段是奇数时，我们只需三种颜色便可以把所有的区段区分开。
定义4 边界 [2] ，如何才能知道两相邻区域相连接了呢？那么他的连接部分必须形成一条相交的边，因为两区域相交必须是确定的一条边，所以相交两区域的任一区域必须有一线段，此线段与另一区域的一个线段相组合，这样就产生了边界。因此，边界是由两种不同的颜色结合后的线段。
Figure 4. Intersection of three regions
图4. 三个区域的交点
定义5 交点。三个或更多个相邻区域两两相交的结合处，在图4中，O是交点，与引理一中线段的证明方法一样，只需A，B，C三种不同的颜色便可将不同的区域区分开。如果有n个这样的区域结合，则称为n个区域的交点，显然，当n是偶数时，我们只需两种颜色便可以把所有的区段区分，当n是奇数时，我们只需三种颜色便可以把所有的区段区分开，我们可以从O点放射线的数量来得知有几个区域在此相交，有n条放射线时，我们便可知道有n个区域在此相交。且这n个区域最多用R、Y、B三种不同的颜色使他们相邻的颜色互不相同。
定义6 基色被封闭，图5，M区域就叫做基色被封闭。由于基色无边界无大小，显然，图5中M收缩成一点后就是图4。
因此，我们可以得到引理二：当基色被n个区域封闭后，由于基色无大小无边界，所以被封闭的基色区域可收缩成一个交点，而不影响区域相交的本来结构。
这样，我们可以得到引理二的推论；相交区域的交点可膨胀为一个被封闭的基色区，而不影响区域相交的本来结构。
2. 命题证明
在任何一幅地图中，我们发现无论任何复杂的区域结构，也仅仅由四部分组成，
1) 区域，2) 被封闭的基色区，3) 交点，4) 边界。
然后使用不同的颜色来区分不同的区域。
根据引理二，我们将一幅地图中的所有交点膨胀为一封闭的基色区域。
图6，是n个区域交点膨胀后的示意图，我们取n ≥ 3，用同样的方法可以显示地图中的所有膨胀后的交点，那么把一幅地图中的每个交点膨胀之后，地图中所有的交点都变成了图6，这时，这幅地图就没有交点了。(地图中的交点膨胀后，地图中的区域结构不会改变)，这时，我们如何区分封闭的
Figure 6. After the intersection of n regions expands
图6. n个区域的交点膨胀后
基色区域与地图中的区域呢？由于基色区域是在三种颜色交点的前提下膨胀而来，显然，当一个区域的封闭线上的线段数量n是奇数时，那么该区域就是封闭的基色区域。
那么地图中区域的封闭线上的线段n是偶数，只能有两种不同的颜色(因基色可伸缩所以基色被忽略)，当区域的颜色是R时，封闭线上只能有Y、B两种颜色，当区域的颜色是B时，封闭线上只能有R、Y两种颜色，当区域的颜色是Y时，封闭线上只能有R、B两种颜色，因此，与本区域相交的区域只要与本区域的颜色不同即可找到共同的边界。如：颜色是R与颜色是B的两区域相交，也就是R区域封闭线上的B与B区域封闭线上的R相交产生边界。
这样我们便可得出结论，由于地图中的区域封闭线上只能有两种颜色，所以当多个区域相交时，区域间只要有三种颜色便可以区分所有的区域，因此，三个不同的颜色区域加上基本颜色可以区分地图的任何区域，3 + 1 = 4 [3] ，因此我们可以用四种颜色区分任何地图的任何区域。四种颜色包含一种基本颜色和三种区域颜色。证明完
NOTES
作者简介：出生年月：1959年9月，籍贯：广东省始兴县，学历：本科，职称：工程师。