概率框架下恒等算子的线性n-宽度

Linear n-Width of Identity Operators in Probabilistic Setting

摘要: 本文讨论了恒等算子在概率框架I_p,q:l_p,r→{1≤q≤q＜∞,r＞1/q-1/p }下的线性(n, δ)-宽度，并计算了其精确渐近阶。

Abstract: In this paper, we discuss the Linear (n, δ)-width of identity operator in probabilistic setting I_p,q:l_p,r→{1≤q≤q＜∞,r＞1/q-1/p }, and obtained its accurate asymptotic degree.

1. 引言及主要结果

宽度是函数逼近论在现代发展中所形成的主要方向之一，也是国内外研究的热点之一，它与计算复杂性有着密切的联系 [1]。宽度问题的研究开始于1936年，A. N. Kolmogorov [2] 做了开创性的工作，并且首先计算出Sobolev函数类 $B_2^r$ 到 $L_2$ 上的Kolmogorov宽度的精确渐近阶。到1954年吗，S. R Stechkin [3] 研究了在 $p=1,q=2$ 特殊情况下有限维空间的Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶。再到1960年，V. M. Tikhomirov [4] 给出了 $d_n{\left(B_{\infty }^{\gamma }\right)}_{\infty }$ 宽度的精确渐近阶，其后发表了许多关于宽度问题的论文，使得宽度这方面的探究活跃起来。此后两年，A. Pietsch [5] 和M. I. Stein [6] 研究了在一般情形下当 $p\ge q$ 时Kolmogorov n-宽度的精确渐近阶与线性n-宽度的精确渐近阶，到1974年，Ismagilov [7] 研究了当 $q>p$ 时的精确渐近阶估计，这样有关有限维空间在 $1\le p,q\le \infty$ 条件下的经典n-宽度的精确渐近阶的估计已得到了非常优美的结果，关于经典n-宽度的其他结果可见参考文献 [8]。2018年，王桐心 [9] 等讨论了无穷维恒等算子的Kolmogorov n-宽度。本文主要讨论概率框架下恒等算子的线性n-宽度。首先，介绍线性n-宽度的定义。

定义1.1. 设W为赋范性线性空间 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 的一非空子集， $n=0,1,2,\cdots$，称

${\lambda }_n\left(W,X\right)=\underset{T_n}{\inf }\underset{x\in W}{\sup }\Vert x-T_{n}x\Vert$

为W在X中的线性n-宽度，其中 $T_n:X\to X$ 取遍X中的秩不超过n的所有线性算子。

定义1.2. 设B为W的全部开子集所生成的Borel域，在B上赋予概率测度 $\mu$，即 $\mu$ 为定义在B上的 $\sigma$ -可加的非负函数，且有 $\mu \left(W\right)=1$，令 $\delta \in [0,1)$，则称

${\lambda }_{n,\delta }\left(W,\mu ,X\right)=\underset{G_{\delta }}{\inf }{\lambda }_n\left(W/G_{\delta },X\right)$

为W在X中的线性概率 $\left(n,\delta \right)$ -宽度，其中的 $G_{\delta }$ 表示取遍B中所有测度不超过 $\delta$ 的子集。

定义1.3. 设 $X,Y$ 为两个赋范线性空间，其范数分别为 ${\Vert \cdot \Vert }_X$ 与 ${\Vert \cdot \Vert }_Y$，T是X到Y的有界线性算子。令 $B_X:=\left\{x\in X|{\Vert x\Vert }_X\le 1\right\}$， $n=0,1,2,\cdots$，称 ${\lambda }_n\left(T:X\to Y\right)={\lambda }_n\left(T\left(B_X\right);Y\right)$，为算子T的线性n-宽度， ${\lambda }_{n,\delta }\left(T:W\to Y,\mu \right)=\inf {\lambda }_n\left(T\left(W/G_{\delta }\right),Y\right)$ 为算子T的线性 $\left(n,\delta \right)$ -宽度。

设 $1\le p\le \infty ,\forall x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，令 $l_p=\left\{x|{\Vert x\Vert }_{l_p}<\infty \right\}$，其中

${\Vert x\Vert }_{l_p}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{n\ge 1}{\sup }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

可知 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p}$ 为 $l_p$ 上的一个范数，且 $l_p$ 为Banach空间，且当 $1\le p\le q\le \infty$ 时， $l_p\subset l_q$，而 $l_q\not\subset l_p$，所以无穷维恒等算子是 $I:l_p\to l_q$ 的有界线性算子，而不是 $l_q$ 到 $l_p$ 的有界线性算子。对于 $1\le p\le \infty ;\gamma >0,x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in l_p$，令 $x^r:={\left\{n^r{x}_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，

${\Vert x\Vert }_{l_{p,\gamma }}:={\Vert x^r\Vert }_{l_p}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left|n^r{x}_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{n\ge 1}{\sup }\left|x_n\cdot n^r\right|,p=\infty \end{array}$

$l_{p,r}:=\left\{x\in l_p|{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}<\infty \right\}$。

可知 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_{p,r}}$ 为 $l_{p,r}$ 上的范数，且 $l_{p,r}$ 为Banach空间，记 $B_{p,r}$ 为 $l_{p,r}$ 中的单位球。令 $1\le p<q\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ 时，对 $\forall x\in l_{p,r}$ 由Hȍlder不等式：

${\Vert x\Vert }_{l_q}\le \{\begin{array}{l}{\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\cdot {\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-\frac{pr}{p-q}}}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}<\infty ,1\le p<q\le \infty \\ {\Vert x\Vert }_{l_{p,r}}\cdot {\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}^{-\gamma q}}\right)}^{\frac{1}{q}}<\infty ,p=\infty \end{array}$

因此 $x\in l_q$。令 $1\le q<p\le \infty ,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，定义无穷维恒等算子：

$\begin{array}{l}{I}_{p,q}:l_{p,r}\to l_q\\ x\mapsto x\end{array}$

则 $I_{p,q}$ 为 $l_{p,\gamma }$ 到 $l_q$ 上的有界线性算子 [1]。

在下文中，令 $c_i,i=0,\text{1},\cdots$，是和参数 $p,q,r$ 有关的任意正常数。对两个正函数 $a\left(y\right)$ 和 $b\left(y\right)$， $y\in D$，如果存在正常数 $c_1$ 满足条件 $a\left(y\right)\le c_{1}b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$。若存在正常数 $c_2$ 满足条件 $c_{2}a\left(y\right)\ge b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$，若 $a\left(y\right)\ll b\left(y\right)$ 且 $a\left(y\right)\gg b\left(y\right)$，则记 $a\left(y\right)\succ \prec b\left(y\right)$。

本文利用离散化的方法讨论了概率框架下恒等算子的线性n-宽度，并得到其精确渐近阶。这就是本文的主要结果：

定理1：设 $1\le q<p\le 2,r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$， $n\in \mathbb{N}$， $\forall \delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，且数列 $\left\{n_k\right\},\left\{{\delta }_k\right\}$ 满足 $0\le n_k\le m_k$， ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n$， ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }_n}\le \delta$，则

定理2：设 $1\le q<2,2n\le m,\delta \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，则

${\lambda }_{n,\delta }\left({ℝ}^m,\gamma ,l_q^m\right)\succ \prec m^{\frac{1}{q}-\frac{1}{2}}\sqrt{m+\ln \frac{1}{\delta }}$

2. 主要结果的证明

首先介绍有限维空间的线性 $\left(n,\delta \right)$ -宽度的相关结论。

令 ${ℝ}^m=\left\{x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)|x_i\in ℝ,i=1,\cdots ,m\right\}$。设 $1\le p\le \infty ,x=\left(x_1,\cdots ,x_m\right)\in {ℝ}^m$，

${\Vert x\Vert }_{l_p^m}=\{\begin{array}{l}{\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{m}{\sum }}{\left|x_n\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}},1\le p<\infty \\ \underset{1\le n\le m}{\max }\left|x_n\right|,p=\infty \end{array}$

${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 为 ${ℝ}^m$ 上的范数， $l_p^m$ 表示 ${ℝ}^m$ 按范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{l_p^m}$ 所构成的Banach空间。记为 $l_p^m$ 的单位球，则易知 ${\left\{{e^{\prime }}_n\right\}}_{n=1}^m$ 为 $l_p^m$ 的基，其中 ${e^{\prime }}_n=\left(0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)\in {ℝ}^m$。

引理1 [8] ：设 $1\le p<q\le \infty ,n=0,1,2,\cdots$，则

${\lambda }_n\left(B_p^m,l_q^m\right)=\{\begin{array}{l}{\left(m-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}},0\le n\le m\\ 0,n>m\end{array}$

定理1的证明：

首先建立离散化定理：对 $\forall k\in \mathbb{N}$，其中 $\mathbb{N}\in \left\{1,2,\cdots \right\}$，记 $S_k=\left\{n\in \mathbb{N}|2^{k-1}\le n<2^k\right\}$，则 $\forall k,k^{\prime }\in \mathbb{N}$，且 $k\ne k^{\prime }$，有 $S_k\cap S_{k^{\prime }}=\varnothing ,\mathbb{N}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\cup }}{S}_k}$，用 $m_k$ 表示 $S_k$ 中元素的个数，则 $m_k=\left|S_k\right|=2^{k-1}$。 $\forall x={\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\in l_p$，有 $x={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_n}{e}_n$ 这里 $e_n=\left(0,\cdots ,\underset{\underset{n}{\downarrow }}{1},\cdots 0\right)$，且 ${\left\{e_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 为 $l_p\left(1\le p\right)\le \infty$ 的Schauder基。记 $E^{m_k}$ 是由 ${\displaystyle {\sum }_{n\in {\Delta }_k}{x}_{n}e}$ 构成的向量空间。

在 ${ℝ}^m$ 中赋予标准Guassiam测度

$\gamma \left(G\right):={\gamma }_m\left(G\right)={\left(2\text{π}\right)}^{-\frac{m}{2}}{\displaystyle {\int }_G\exp \left(-\frac{1}{2}{\Vert x\Vert }_2^2\right)\text{d}x}$

对 $\forall n\in S_k$，记 ${\sigma }_n=\langle c_{\mu }{e}_n,e_n\rangle ={\lambda }_n=n^{-\rho },\rho >0$， $c_{\mu }$ 为所对应特征向量， $e_k=\left\{0,\cdots ,\underset{\underset{k}{\downarrow }}{1},0,\cdots \right\}$，则：

$\frac{1}{2^{k\rho }}<{\sigma }_n\le \frac{2^{\rho }}{2^{k\rho }},C_{\mu }{e}_k={\lambda }_k{e}_k$

记 $\sigma =\frac{1}{2^{k\rho }},{\sigma }^{\prime }=\frac{2^{\rho }}{2^{k\rho }}$。于是 ${\lambda }_k=k^{-\rho }$。

定理1的上界估计：

对于 $\forall k\in \mathbb{N}$， $T_{n_k}$ 是 $l_q^{m_k}$ 上的一个秩不大于 $n_k$ 的线性算子，使得

$\gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}{|\Vert y-T_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>{\lambda }_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},\gamma \right)\right\}\le {\delta }_k$

存在映射： $I_k:{ℝ}^{m_k}\to E^{m_k}$。对于 $T_{n_k}$，则存在一个线性映射 ${T^{\prime }}_{n_k}$，满足 $I_k:T_{n_k}{ℝ}^{m_k}\to {T^{\prime }}_{n_k}{E}^{m_k}$。显然：， ${\Vert y-T_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}={\Vert z-{T^{\prime }}_{n_k}z\Vert }_q$。

考察集合 $E^{m_k}$ 中子集

$G_k=\left\{z\in E^{m_k}|{\Vert z-{T^{\prime }}_{n_k}x\Vert }_q>{\sigma }^{\frac{1}{2}}{\lambda }_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},\gamma \right)\right\}$

由Gaussian测度 $\mu$ 和标准Gaussian测度 $\gamma$ 的定义可得

$\begin{array}{l}\mu \left(G_k\right)={\gamma }_{m_k}\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert \left(y_{2^{k-1}}{\sigma }_{2^{k-1}}^{\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{\sigma }_{2^{k-1}}^{\frac{1}{2}}\right)-T_{n_k}\left(y_{2^{k-1}}{\sigma }_{2^{k-1}}^{\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{\sigma }_{2^k-1}^{\frac{1}{2}}\right)\Vert }_{l_q^{m_k}}\\ \underset{{}_{{}_{}}}{\overset{{}^{}}{}}>{\sigma }^{\frac{1}{2}}{\lambda }_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{n_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\}\\ \le {\gamma }_{m_k}\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert \left(y_{2^{k-1}},\cdots ,y_{2^k-1}\right)-T_{n_k}\left(y_{2^{k-1}},\cdots ,y_{2^k-1}\right)\Vert }_{l_q^{m_k}}>{\lambda }_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},v_{m_k}\right)\right\}\\ \le {\delta }_k\end{array}$。

令 $G={\displaystyle {\cup }_k{G}_k},T_n={\displaystyle {\sum }_k{T}_{n_k}}$，则 $\text{rank}{T}_n\le n$， $\mu \left(G\right)\le {\displaystyle {\sum }_k\mu \left(G_k\right)}\le {\displaystyle {\sum }_k{\delta }_k}\le \delta$，从而有：

$\begin{array}{c}{\lambda }_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_p\to l_q,\mu \right)\ll \underset{x\in l_p/G}{\sup }{\Vert x-T_{n}x\Vert }_q\\ \ll \underset{x\in \left\{n_{k}x\right\}/\left\{G_k\right\}}{\sup }{\displaystyle \underset{k}{\sum }{\Vert x-{I^{\prime }}_{n_k}x\Vert }_q}\\ \ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\underset{x\in \left\{n_{k}x\right\}/G_k}{\sup }{\Vert x-{I^{\prime }}_{n_k}x\Vert }_q}\\ \ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(r+\frac{\rho }{2}\right)k}}\cdot {\lambda }_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\end{array}$

定理1的下界估计：

对 $\forall k\in \mathbb{N}$，有

$\mu \left\{x\in l_2\cap E^{m_k}:{\Vert x-{T^{\prime }}_{n_k}x\Vert }_q>{\lambda }_{n,\delta }\right\}\le \delta$

其中 ${\lambda }_{n,\delta }={\lambda }_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)$。

设 ${G^{\prime }}_k=\left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert y-T_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}{\lambda }_{n,\delta }\right\}$，则有

$\begin{array}{c}\gamma \left({G^{\prime }}_k\right)=\gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert y-T_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}{\lambda }_{n,\delta }\right\}\\ =\gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert {{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}y-{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}{T}_{n_k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}>{\lambda }_{n,\delta }\right\}\\ \le \gamma \left\{y\in {ℝ}^{m_k}|{\Vert \left(y_{2^{k-1}}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}\right)-T_{n_k}\left(y_{2^{k-1}}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}},\cdots ,y_{2^k-1}{{\sigma }^{\prime }}^{-\frac{1}{2}}\right)\Vert }_{l_q^{m_k}}>{\lambda }_{n,\delta }\right\}\\ =\mu \left\{x\in F_k\cap l_q^{m_k}:{\Vert x-{T^{\prime }}_{n_k}x\Vert }_q>{\lambda }_{n,\delta }\right\}\le \delta \end{array}$

即：

${\lambda }_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\gamma \right)\ge 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}\cdot {\lambda }_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)$

综上，定理1得证。

定理2的证明：

首先建立数列：

$$， $\delta =\{\begin{array}{l}0k\le k^{\prime }\\ 2^{k-k^{\prime }}\delta k>k^{\prime }\end{array}$

其中 $k^{\prime }=\left[{\log }_2^n\right]+1$ 且 $0<\beta <\rho -\frac{1}{q}$，则

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k\ll {\displaystyle \underset{0<k\le k^{\prime }}{\sum }{2}^{k-1}}}+n{\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{\beta \left(k^{\prime }-k\right)}}\ll n$

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\delta }_k}\ll \delta {\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{k^{\prime }-k}}\ll \delta$

定理2的上界估计：

$\begin{array}{c}{\lambda }_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}\cdot {\lambda }_{n,\delta }\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\\ \ll {\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}\cdot {\left[m_k^{\frac{1}{q}}\left(\left(1+\frac{1}{n_k}\ln \frac{1}{{\delta }_k}\right)\ln \frac{e{m}_k}{n_k}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \ll {\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}\cdot \left[m_k^{\frac{1}{q}}{\left(\ln \frac{e{m}_k}{n_k}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]+{\left[{\displaystyle \underset{k>k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}}{m}^{\frac{1}{q}}\cdot \frac{1}{n_k}\ln \frac{1}{{\delta }_k}\ln \frac{e{m}_k}{n_k}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \ll 2^{k^{\prime }\left(-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}\right)}\cdot 2^{{}^{\left(-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}\right)}}+2^{k^{\prime }\left(-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}\right)}\sqrt{\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\\ \ll 2^{{}^{-\left(-\frac{\rho -1}{2}-r+\frac{1}{q}-\frac{1}{2}\right)}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}=2^{{}^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$。

定理2的下界估计：

设 $k=\left[{\log }_2^n\right]+3$，则 $m_k\ge 2n$，且 $2^k\gg n$，于是

$\begin{array}{c}{\lambda }_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\ge 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}\cdot {\lambda }_{n_k,{\delta }_k}\left(I_k:{ℝ}^{m_k}\to l_q^{m_k},{\gamma }_{m_k}\right)\\ \gg 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k}\cdot m_k^{\frac{1}{q}}\sqrt{1+\left(\frac{1}{m_k}\right)\ln \frac{1}{{\delta }_k}}\\ \gg 2^{-\left(\frac{\rho }{2}+r\right)k+\frac{k}{q}}\cdot \sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)\ln \frac{1}{\delta }}\\ \gg n^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}\end{array}$

于是得到

${\lambda }_{n,\delta }\left(I_{p,r}:l_{p,r}\to l_q,\mu \right)\succ \prec n^{-\frac{\rho }{2}-r+\frac{1}{q}}\sqrt{1+\frac{1}{n}\ln \frac{1}{\delta }}$

综上，定理2得证。