基于灰色模型的重庆市老龄化人口预测

Application of Grey Model in the Aging Population Forecast in Chongqing

摘要: 根据2008~2017年重庆市统计年鉴数据，利用灰色预测模型对重庆市未来十年老龄化人口进行预测，预测2027年65岁及以上人口将达到511.03万人，老龄化系数逐年增加，老龄化程度继续加重。

Abstract: According to the statistical yearbook data of Chongqing in 2008-2017, the grey forecasting model is used to predict the aging population in Chongqing in the next decade. It is predicted that the population aged 65 and over will reach 5.1103 million in 2027, and the aging coefficient will in-crease year by year. Therefore, the degree of aging continues to increase.

1. 引言

联合国国际人口协会认为：一个地区65 (或60)岁及以上人口占总人口的比重(称为老龄化系数)超过7% (或10%)，称该地区为老年型社会 [1] 。按常住人口计算，2000年重庆市老龄化系数为8.84%，至2017年老龄化系数升至13.22%。

由于重庆市老龄化人口的递增，重庆市的经济结构调整、养老基金平衡等方面将深受影响。因此，准确预测重庆市65岁及以上人口和老龄化系数发展趋势，有着重要的现实意义。

本文根据灰色预测模型对未来十年重庆市老龄化人口进行了预测。通过实证分析，对模型进行了检验，预测误差小，应用效果比较符合实际。

2. 灰色GM(1,1)模型的建立

2.1. 灰色GM(1,1)模型的建立

灰色系统理论是用时间数据序列建立系统的动态模型，把一组离散的、随机的原始数据序列经m次累加生成，生成规律性较强的累加生成序列，从而达到使原始序列随机性弱化的目的。然后对累加生成序列建模，最后再进行m次累减生成还原成预测值。一般取 $m=1$ ，作一次累加生成序列建模，即 $GM\left(1,1\right)$ 模型 [2] 。模型的建立过程如下：

设 $X^{\left(0\right)}=\left\{X^{\left(0\right)}\left(1\right),X^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,X^{\left(0\right)}\left(n\right)\right\}$ 是原始数据序列，对 $X^{\left(0\right)}$ 进行一次累加生成，得到累加生成序列 $X^{\left(1\right)}=\left\{X^{\left(1\right)}\left(1\right),X^{\left(1\right)}\left(2\right),\cdots ,X^{\left(1\right)}\left(n\right)\right\}$ ，其中 $X^{\left(1\right)}\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{t}{\sum }}{X}^{\left(0\right)}\left(i\right)}$ ， $t=1,2,\cdots ,n$ 。

再以 $X^{\left(1\right)}=\left\{X^{\left(1\right)}\left(1\right),X^{\left(1\right)}\left(2\right),\cdots ,X^{\left(1\right)}\left(n\right)\right\}$ 为原始序列建立 $GM\left(1,1\right)$ 灰色微分方程模型

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{X}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\text{d}t}+a{X}^{\left(1\right)}\left(t\right)=u\\ X^{\left(1\right)}\left(1\right)=X^{\left(0\right)}(1)\end{array}$

应用最小二乘法可求得参数

$\hat{a}={\left[a,u\right]}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y$ ，

其中： $B=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}\left(X^{\left(1\right)}\left(1\right)+X^{\left(1\right)}\left(2\right)\right)& 1\\ -\frac{1}{2}\left(X^{\left(1\right)}\left(2\right)+X^{\left(1\right)}\left(3\right)\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -\frac{1}{2}\left(X^{\left(1\right)}\left(n-1\right)+X^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)& 1\end{array}\right]$ ， $Y={\left(X^{\left(0\right)}\left(1\right),X^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,X^{\left(0\right)}\left(n\right)\right)}^{\text{T}}$ 。

求出参数 $a,u$ ，则求解上述微分方程的响应函数

${\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(t+1\right)=\left(X^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}\right){\text{e}}^{-at}+\frac{u}{a}$ ， $t=1,2,\cdots ,n$ 。

再通过累减生成还原

${\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(t+1\right)={\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(t+1\right)-{\hat{X}}^{\left(1\right)}\left(t\right)$ ， $t=1,2,\cdots ,n$ 。

2.2. 模型精度的检验 [3]

1) 残差检验

残差： $e\left(k\right)=X^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)$ 。

相对误差： $\epsilon \left(k\right)=\frac{\left|X^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\hat{X}}^{\left(0\right)}\left(k\right)\right|}{X^{\left(0\right)}\left(k\right)}$ 。

平均相对误差： $\bar{\epsilon }\left(k\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\epsilon \left(k\right)}$ 。

2) 后验差检验

原始数据平均值： $\bar{x}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{X}^{\left(0\right)}\left(k\right)}$ 。

残差平均值： $\bar{e}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}e\left(k\right)}$ 。

原始数据方差： $s_1^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\left[X^{\left(0\right)}\left(k\right)-\bar{x}\right]}^2}$ 。

残差方差： $s_2^2=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\left[e\left(k\right)-\bar{e}\right]}^2}$ 。

后验差比值： $C=s_2/s_1$ 。

小误差概率： $P=\left\{\left|e\left(k\right)-\bar{e}\right|<0.6745s_1\right\}$ 。

一般 $e\left(k\right)$ 、 $\epsilon \left(k\right)$ 、C值越小，P值越大，则模型精度越好。模型精度等级见表1。

Table 1. Posterior accuracy standard

表1. 后验差精度标准

3. 利用灰色模型预测重庆市老龄化人口 [4] [5]

3.1. 研究区概况

重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨东经105˚11'~110˚11'、北纬28˚10'~32˚13'之间的青藏高原与长江中下游平原的过渡地带。根据重庆市统计年鉴资料显示，2017年末重庆市常住人口为3075.16万人，城镇人口为1970.68万人，占64.1%；乡村人口为1104.48万人，占35.9%。

3.2. 数据收集

根据《2018年重庆统计年鉴》获得2008~2017年重庆市总人口、65岁及以上人口和老龄化系数数据，见表2。

Table 2. Statistical table of total population, population aged 65 and above and aging coefficient of Chongqing from 2008 to 2017

表2. 2008~2017年重庆市总人口、65岁及以上人口和老龄化系数统计表

3.3. 重庆市老龄化人口预测

以2008~2017年重庆市65岁及以上人口的数据作为原始数据序列 $X^{\left(0\right)}$ ，建立灰色 $GM\left(1,1\right)$ 模型，通过Matlab软件编程可以得到该模型的残差、相对误差，结果见表3。

Table 3. Grey G M ( 1 , 1 ) model prediction value and relative error (ten thousand people)

表3. 灰色 $GM\left(1,1\right)$ 模型预测值及相对误差 (万人)

此外，通过Matlab软件还可以求出该模型平均相对误差为1.23%，后验差比值 $C=0.2196<0.35$ ，小误差概率 $P=1>0.95$ 。由此可以看出，该模型的精度较高，可以使用该模型对重庆市老龄化人口进行预测。

基于表2中2008~2017年重庆市65岁及以上人口数和老龄化系数的数据，用灰色 $GM\left(1,1\right)$ 模型对重庆市未来10年的65岁及以上人口数和老龄化系数进行预测，预测结果如表4所示。

Table 4. Prediction of population aged 65 and above and aging coefficient in Chongqing from 2018 to 2027

表4. 2018-2027年重庆市65岁及以上人口和老龄化系数预测

根据灰色 $GM\left(1,1\right)$ 模型预测结果可以看出，到2027年重庆市老龄化系数将达到15.14%，65岁及以上人口将达到511.03万人，老龄化系数逐年增加，且增速逐渐加快，老龄化程度继续加重。