轴向运动曲梁的次谐分岔和混沌

Subharmonic Bifurcations and Chaos for the Buckled Beam at Axial Motion

摘要: 研究了一类轴向运动屈曲梁的次谐分岔和混沌行为。利用Melnikov方法，给出了屈曲梁异宿轨道Melnikov函数和次谐Melnikov函数的表达式，得到系统出现次谐分岔和超次谐分岔的参数条件，给出系统混沌区域和非混沌区域的分界曲线。根据参数的取值范围做数值模拟，结果验证了理论分析。

Abstract: The subharmonic bifurcations and chaos for one kind of buckled beam model subjected to para-metric excitations are investigated. The critical curves separating the chaotic and non-chaotic re-gions are obtained by utilizing Melnikov method. The conditions for subharmonic bifurcations are also obtained. Numerical results are given, which verify the analytical ones.

1. 引言

屈曲梁结构在军事、航空航天、土木、机械等工程中有广泛的应用，拱形结构当受到动态负荷时，会展示出丰富的动力学现象，包括次谐波、超谐振荡、极限环、混沌运动等 [1] [2]。1983年，Moon [3] [4] 等研究了非线性边界条件下的梁受到周期载荷后的混沌运动。Suire [5] 用数值方法研究了大扰度粘弹性梁的周期和混沌。冯志华，胡海岩研究了内共振条件下直线运动梁的动力稳定性，基于凯恩方程建立非线性动力学方程，得出非线性振动的Hopf分岔以及极限环。Danida [6]、Anantha [7]、Neukirch [8] 等研究了弹性屈曲梁的周期解和混沌动力学行为。张等 [9] [10] 研究了两端简支的非线性弹性梁受周期载荷作用后，发生次谐分岔和混沌运动的条件。Pinto [11] [12] 等分析了弹性屈曲梁在强迫力作用下出现马蹄混沌行为。

本文研究一类轴向载荷作用下梁的次谐分岔和混沌行为，对梁的单模态方程，应用Melnikov方法，得到了系统发生次谐分岔和超次谐分岔的参数范围，及混沌区域和非混沌区域的分界线。

2. 问题描述

Figure 1. A buckled beam at axial motion

图1. 屈曲梁结构模型

如图1所示，考虑梁的长度为L，横截面积为A，横截转动惯量为J，材料的弹性模量为E，轴向力为P。假定梁的横截面是均匀的，材质均相同．轴向位移采用u表示，横向位移采用w表示，u和w是空间坐标x的函数，文献 [11] 得到弯曲梁的运动方程为

$\begin{array}{l}\ddot{v}+v^{iv}+4{\text{π}}^2{v}^{″}-2b^2{\text{π}}^3\cos 2\text{π}x{\displaystyle {\int }_0^1{v}^{\prime }\sin 2\text{π}x\text{d}x}\\ =b{\text{π}}^2\cos 2\text{π}x{\displaystyle {\int }_0^1{v^{\prime }}^2\text{d}x}+b\text{π}{v}^{″}{\displaystyle {\int }_0^1\sin 2\text{π}x\text{d}x}+\frac{1}{2}{v}^{″}{\displaystyle {\int }_0^1{v^{\prime }}^2\text{d}x}-c\stackrel{\dot{}}{v}+F\cos \Omega t\end{array}$ (1)

边界条件为

$x=0$ 和 $x=1$ 时， $v=0$ ， $v^{\prime }=0$

利用伽辽金法，单模态的运动方程为

$\ddot{q}+{\omega }^{2}q=-c\stackrel{\dot{}}{q}+b{a}_2{q}^2+a_3{q}^3+f\cos \Omega t$ (2)

这里考虑 $a_2=0$ 的情况，令 $x=q$ ， $c=\epsilon c$ ， $f=\epsilon f$ ，则方程(2)变成

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{x}=y\\ \stackrel{\dot{}}{y}=-{\omega }^{2}x+a_3{x}^3-\epsilon cy+\epsilon f\cos \Omega t\end{array}$ (3)

当 $\epsilon =0$ 时，系统(3)的未扰动系统为

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{x}=y\\ \stackrel{\dot{}}{y}=-{\omega }^{2}x+a_3{x}^3\end{array}$ (4)

(4)是Hamiltonian系统，其Hamiltonian量为

$H=\frac{1}{2}{y}^2+\frac{{\omega }^2}{2}{x}^2-\frac{a_3}{4}{x}^4$ (5)

3. 系统的次谐分岔与混沌

$a_3>0$ 的混沌行为

当 $a_3>0$ 时，利用如下变换

$u=p\frac{\sqrt{a_3}}{\omega }$ ， $t\to \frac{1}{\omega }t$ (6)

将(6)代入(3)式，得到

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{u}=v\\ \stackrel{\dot{}}{v}=-u+u^3-\epsilon \bar{c}q+\epsilon \bar{f}\cos \left(\bar{\Omega }t\right)\end{array}$ (7)

其中 $$ ， $\bar{f}=\frac{f\sqrt{a_3}}{{\omega }^3}$ ， $\bar{\Omega }=\frac{\Omega }{\omega }$ 。当 $\epsilon =0$ 时，未扰动系统为

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{u}=v\\ \stackrel{\dot{}}{v}=u-u^3\end{array}$ (8)

其Hamilton量为

$H\left(u,v\right)=\frac{1}{2}{v}^2+\frac{1}{2}{u}^2-\frac{1}{4}{u}^4$ (9)

该系统有三个平衡点，通过定性分析可知， $\left(0,0\right)$ 为(8)的中点， $\left(-1,0\right)$ 和 $\left(1,0\right)$ 是鞍点。当 $h=\frac{1}{4}$ 时，存在两条连接 $$ 的异宿轨道，形成一个异宿环，如图2所示。

Figure 2. The phase portrait of system (8)

图2. 系统(8)的相图

该异宿轨道的参数表达式为

$\{\begin{array}{l}u\left(t\right)=\pm \tanh \left(\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)\\ v\left(t\right)=\pm {\mathrm{sech}}^2{\frac{\sqrt{2}}{2}}^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)\end{array}$ (10)

以 $h=h\left(k\right)$ 为参数的周期轨道为

$\{\begin{array}{l}{u}_k\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{1+k^2}}sn\left(\frac{t}{\sqrt{1+k^2}},k\right)\\ v_k\left(t\right)=\frac{\sqrt{2}k}{1+k^2}cn\left(\frac{t}{\sqrt{1+k^2}},k\right)dn\left(\frac{t}{\sqrt{1+k^2}},k\right)\end{array}$ (11)

其中sn，dn，cn为Jacobian椭圆函数，k为椭圆函数的模， $0<k<1$ ，k满足关系式 $h=h\left(k\right)=\frac{k^2}{{\left(1+k^2\right)}^2}$ ，定义轨道的周期为 $T_k=4\sqrt{1+k^2}K\left(k\right)$ ， $K\left(k\right)$ 是第一类完全椭圆积分。

下面计算系统(7)沿着异宿轨道的Melnikov函数

$M\left(t_0\right)=-{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\bar{c}{v}^2\left(t\right)\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\bar{f}v\left(t\right)\cos \bar{\Omega }\left(t+t_0\right)\text{d}t}=-\bar{c}{J}_0-\bar{f}{J}_1\cos \bar{\Omega }{t}_0$ (12)

其中

$J_0=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ， $J_1=\sqrt{2}\text{π}\bar{\Omega }\mathrm{csch}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\text{π}\bar{\Omega }\right)$

由(12)可知，当参数 $$ ， $\bar{f}$ 满足

(13)

即参数 $c,f$ 满足参数条件

$\frac{c}{f}\le \frac{\sqrt{a_3}}{{\omega }^2}\left|\frac{J_1}{J_0}\right|$

$M\left(t_0\right)$ 存在零点，系统发生混沌。取不同的 $\omega$ 值，比如 $\omega =0.5,1,1.5,2$ ，得到系统发生混沌的临界曲线，如图3所示。在曲线下方是发生混沌的区域，在曲线上方是非混沌区域。

Figure 3. The critical curves for chaotic motions

图3. 系统发生混沌的临界曲线

4. 通向混沌的道路

对于任给的一对互素的正整数 $\left(m,n\right)$ ，存在唯一的k，满足 $T_k=2\sqrt{2-k^2}K\left(k\right)=\frac{2\text{π}m}{\omega n}$ ，沿这个周期为 $T_k$ 的轨道计算次谐波Melnikov函数得

$\begin{array}{c}{M}^{m/n}\left(t_0\right)={\displaystyle {\int }_0^{mT}\left(-\bar{c}\right)v_k^2\left(t\right)\text{d}t}+\bar{f}{\displaystyle {\int }_0^{mT}{v}_k\left(t\right)\cos \bar{\Omega }\left(t+t_0\right)\text{d}t}\\ =-\bar{c}{J}_0\left(m,n\right)+\bar{f}{J}_1\left(m,n\right)\cos \bar{\Omega }{t}_0\end{array}$ (14)

其中

$J_0\left(m,n\right)={\displaystyle {\int }_0^{mT}{v}_k^2\left(t\right)\text{d}t}=\frac{8n\left[\left(k^2-1\right)K\left(k\right)+\left(k^2+1\right)E\left(k\right)\right]}{3{\left(k^2+1\right)}^{\frac{3}{2}}}$ (15)

$J_1\left(m,n\right)={\displaystyle {\int }_0^{mT}{v}_k\left(t\right)\sin \bar{\omega }t\text{d}t}=\{\begin{array}{l}0,n\ne 1或m为偶数\\ \frac{{\text{π}}^{2}m}{\sqrt{2k^2-1}K\left(k\right)}\mathrm{csch}\left(\frac{\text{π}m{K}^{\prime }\left(k\right)}{2K\left(k\right)}\right),n=1或m为奇数\end{array}$ (16)

$K^{\prime }\left(k\right)=K\left(k^{\prime }\right)=K\left(\sqrt{1-k^2}\right)$ ， $E\left(k\right)$ 为第二类椭圆积分。

当参数满足条件

$\frac{\bar{c}}{\bar{f}}<\left|\frac{J_1\left(m,n\right)}{J_0\left(m,n\right)}\right|\equiv R_m^1\left(\omega \right)$ (17)

系统发生奇数阶次谐分岔。

5. 数值模拟

对系统(2)使用龙格库塔法做数值模拟来验证屈曲梁是否存在混沌现象。根据前面理论的分析来选取参数 $\omega =1$ ， $c=0.01$ ， $a_3=0.5$ ，， $f=1.2$ ，初始点选取为，相图和时间历程图如图4所示。再令参数 $$ ，其它参数值不变，得到系统相图和时间历程图如图5所示。

Figure 4. The phase portrait of system (2) for $\omega =1$

图4. 当 $\omega =1$ 时，系统的相轨迹图和时间历程图

Figure 5. The phase portrait of system (2) for $\omega =2$

图5. 当 $\omega =2$ 时，系统的相轨迹图和时间历程图

6. 结论

研究了受轴向载荷和附加载荷弹性屈曲梁的次谐分岔和混沌行为。利用Melnikov方法，给出了屈曲梁同宿轨道Melnikov函数和次谐Melnikov函数的表达式，得到系统出现次谐分岔和超次谐分岔的参数条件，给出系统混沌区域和非混沌区域的分界曲线。根据参数的取值范围做数值模拟，结果验证了理论分析。

基金项目

本论文受山东省自然科学基金资助(ZR2018MA002)和2018大学生创新创业项目资助(51819220)。

参考文献