基于直觉梯形模糊TOPSIS算法的西部民族地区高校贫困生评定方法

Evaluation Method of Impoverished Students in Western Ethnic Areas Based on Intuitionistic Trapezoidal Fuzzy TOPSIS Algorithm

摘要: 针对西部民族地区高校贫困生评定中界定模糊，难以精准这一实际问题，运用直觉梯形模糊数和TOPSIS算法综合评价，以提高贫困生评定的准确性与客观性。首先构建评定指标体系和混合模糊决策值表，定义直觉梯形模糊数得分函数，得出混合模糊决策矩阵，然后利用层次分析法确定各指标权重，根据TOPSIS算法对各学生进行综合比较排序，加以认定，最后通过数值算例对该评定方法的有效性与客观性进行了说明。

Abstract: In view of the fact that the definition of impoverished students in universities of the western ethnic areas is vague and difficult to be precise, the intuitionistic trapezoidal fuzzy number and TOPSIS algorithm are used to comprehensively evaluate the accuracy and objectivity of identification of impoverished students. Firstly, the evaluation index system and the table of hybrid fuzzy decision value are constructed, and the intuitionistic trapezoidal fuzzy number scoring function is defined to obtain the hybrid fuzzy decision matrix. Secondly, the analytic hierarchy process is used to determine the weights of each index. And according to the TOPSIS algorithm, the students are comprehensively compared and sorted. Finally, the validity and objectivity of the evaluation method are illustrated by numerical examples.

1. 引言

2013年，习近平总书记在湖南省湘西土家族苗族自治州考察时首次提出“精准扶贫”，教育扶贫作为精准扶贫的重要内容，引起了党和国家的高度重视。贫困大学生在我国高校普遍存在，西部民族地区地处偏僻，高校贫困生现象尤为突出，人数呈现逐年上升的趋势。

精准扶贫的前提是精准识贫，近年来，众多专家学者对贫困生评定方法进行了较为深入的研究。宋美喆 [1] 从家庭和个人情况建立指标体系，利用模糊综合评价对贫困生进行评定；薛单 [2] 基于模糊综合评价方法，设计并实现了助学金等级评定系统；胡景 [3] 提出了利用TPOPSIS法对贫困生进行评定；冯春明、彭德军 [4] [5] 利用层次分析法(AHP)、变权AHP对贫困生进行评定；柴政、谭浩、冯春苑 [6] [7] [8] 对学生在校消费数据进行数据挖掘建模，进行贫困生评定。西部民族地区高校较其他高校而言更为特殊，其农村生源比例和少数民族学生比例更大，从已有文献来看，针对西部民族地区高校贫困生的量化评定方法仍为空白。同时，贫困生评定是一项大工程，评价指标体系如果仅依据经济状况或学生消费数据，不能综合反映学生的状况，在实际评定过程中，一些定性数据存在模糊不清以及定性数据和定量数据夹杂的情况，加大了评定的难度。本文在信息模糊条件下对西部民族地区高校贫困生进行评定，基于对贫困生评定条件的分析，构建评定指标体系和混合模糊决策矩阵，将直觉梯形模糊TOPSIS的多属性决策应用在贫困生评定中，以期为西部民族地区高校贫困生评定提供参考思路。

2. 直觉梯形模糊数

2.1. 直觉梯形模糊数的定义

定义1 [9] 设 $\tilde{a}=\langle \left(a_1,a_2,a_3,a_4\right),\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right)\rangle$ 是一个实数集R上的直觉梯形模糊数，其参数满足

$b_1\le a_1\le b_2\le a_2\le b_3\le a_3\le b_4\le a_4$ 。

2.2. 直觉梯形模糊数的得分函数定义

为了进行合理的比较排序，需要尽可能多地对直觉梯形模糊数的信息采集。目前国内外对直觉模糊数的得分函数也有所研究，不过至今还没有得出被大家认可且能广泛运用的得分函数。本文仿照文献 [10] 对直觉梯形模糊数的得分函数做如下相关定义：

定义2设 $\tilde{\alpha }=\langle \left(a_1,a_2,a_3,a_4\right),\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right)\rangle$ 为一个直觉梯形模糊数，则称

1) $E_{\tilde{t}}\left(\tilde{\alpha }\right)=\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}$ 为 $\tilde{\alpha }$ 的隶属度期望值；

2) $E_{\tilde{f}}\left(\tilde{\alpha }\right)=\frac{b_1+b_2+b_3+b_4}{4}$ 为 $\tilde{\alpha }$ 的非隶属度期望值。

定义3若 $\tilde{\alpha }=\langle \left(a_1,a_2,a_3,a_4\right),\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right)\rangle$ 为一个直觉梯形模糊数，则 $\tilde{\alpha }$ 的得分函数的计算公式为：

$S\left(\tilde{\alpha }\right)=\left(E_{\tilde{t}}\left(\tilde{\alpha }\right)-E_{\tilde{f}}\left(\tilde{\alpha }\right)\right)\left(E_{\tilde{t}}\left(\tilde{\alpha }\right)+E_{\tilde{f}}\left(\tilde{\alpha }\right)\right)$ (1)

则有如下性质：

若 $\tilde{\alpha }=\langle \left(\text{1},\text{1},\text{1},\text{1}\right),\left(\text{0},\text{0},\text{0},\text{0}\right)\rangle$ ，则 $S\left(\tilde{\alpha }\right)=\text{1}$ ；

若 $a_1+a_2+a_3+a_4=b_1+b_2+b_3+b_4$ ，则 $S\left(\tilde{\alpha }\right)=0$ ；

若 $\tilde{\alpha }=\langle \left(\text{0},\text{0},\text{0},\text{0}\right),\left(\text{1},\text{1},\text{1},\text{1}\right)\rangle$ ，则 $S\left(\tilde{\alpha }\right)=-\text{1}$ 。

定义4设 ${\tilde{\alpha }}_1=\langle \left(a_1,a_2,a_3,a_4\right),\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right)\rangle$ 和 ${\tilde{\alpha }}_2=\langle \left(c_1,c_2,c_3,c_4\right),\left(d_1,d_2,d_3,d_4\right)\rangle$ 是两个任意的模糊数

直觉模糊数，则：

1) 若 $S\left({\tilde{\alpha }}_1\right)<S\left({\tilde{\alpha }}_2\right)$ ，则 ${\tilde{\alpha }}_1<{\tilde{\alpha }}_2$ ；

2) 若 $S\left({\tilde{\alpha }}_1\right)=S\left({\tilde{\alpha }}_2\right)$ ，则 ${\tilde{\alpha }}_1={\tilde{\alpha }}_2$ ；

3) 若 $S\left({\tilde{\alpha }}_1\right)>S\left({\tilde{\alpha }}_2\right)$ ，则 ${\tilde{\alpha }}_1>{\tilde{\alpha }}_2$ 。

3. 基于直觉梯形模糊TOPSIS的贫困生评定模型建立

在贫困生评定的过程中，首先应该建立贫困生评定的指标体系，拟定n个评价指标，并确定每个指标的权重，再对m个贫困生进行评价，最后用TOPSIS法对贫困生的贫困程度进行排序。

3.1. 西部民族地区高校贫困生评定指标体系的建立

指标选取有三个基本原则，分别是科学性原则，系统性原则，综合性原则。西部民族地区高校由于具有特殊性，在指标构建的过程中，需要综合考虑到学生生源所在地以及学生民族等因素。同时，教育扶贫的最终目的在于育人，故还需要考虑学生的在校表现以及感恩奉献精神。本文通过调查分析，综合文献 [1] - [8] 建立西部民族地区高校贫困生评定指标体系，其中包括定量指标、定性指标、是非评判指标，如表1所示：

Table 1. Evaluation index system for impoverished students in universities of western ethnic areas

表1. 西部民族地区高校贫困生评定指标体系

3.2. 评估模型建立

Step 1 构建混合模糊决策矩阵

设 $P=\left\{p_1,p_2,\cdots ,p_m\right\}$ 为m个贫困生组成的集合， $Q=\left\{q_1,q_2,\cdots ,q_n\right\}$ 为n个决策属性。由专家给出评

定值(定性指标以直觉梯形模糊数给出，定量指标以具体数据给出，是非评判指标以0和1给出)，构建混合模糊决策矩阵。

Step 2 构造得分函数矩阵

根据定义3，计算出各待评定学生在各评估指标属性下的得分函数值，构建得分函数矩阵 $S={\left(s_{ij}\right)}_{m\times n}$ .

Step 3 基于层次分析法确定各指标权重

1) 建立判断矩阵

层次分析法通过对各指标进行两两比较，构建成对比较矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ ，其中n表示指标的个数， $a_{ij}$

表示指标i与指标j对决策的重要性之比。Satty等给出了用数字1~9及其倒数作为标度，标度及其含义如表2所示。

Table 2. 1 - 9 scale and its meaning

表2. 1~9标度及其含义

2) 一致性检验

一般一致性指标CI用于衡量成对比较矩阵A的不一致程度，计算公式如下:

$CI=\frac{{\lambda }_{\max }\left(A\right)-n}{n-1}$ (2)

其中， ${\lambda }_{\max }\left(A\right)$ 表示成对比较矩阵A的最大特征值，n表示成对比较矩阵A的阶数。

i) 若CI = 0，则成对比较矩阵A具有完全的一致性；

ii) 若CI接近0，则成对比较矩阵A具有满意的一致性；

iii) CI越大，成对比较矩阵A的不一致性越高。

为此，引入随机一致性率CR衡量CI的大小，从而判断成对比较矩阵A的一致性。CR的计算公式如下：

$CR=\frac{CI}{RI}$ (3)

其中，RI表示平均随机一致性指标，Satty给出了RI的值，如表3所示。

Table 3. Average random consistency index

表3. 平均随机一致性指标

若 $CR<0.1$ ，则认为成对比较矩阵A的不一致程度在可以接受的范围之内，通过了一致性检验。

3) 得到各指标的权向量w

将成对比较矩阵A最大的特征值所对应的特征向量归一化即可得到各指标的权向量 $w={\left(w_1,w_2,\cdots ,w_n\right)}^{\text{T}}$ 。

Step 4 基于TOPSIS法确定各学生排序

1) 指标值规范化

文献 [11] 对TOPSIS中五种规范化方法进行了比较，本文选择文献 [11] 中的第一种方法对指标值进行

规范化。设规范化矩阵为 $Z={\left(z_{ij}\right)}_{m\times n}$ ，

对于效益型指标，变换公式为

$z_{ij}=\frac{y_{ij}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{y}_{ij}^2}}}$ (4)

对于成本型指标，变换公式为

$z_{ij}=\frac{1/y_{ij}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\left(1/y_{ij}\right)}^2}}}$ (5)

2) 构建加权规范阵

设加权规范阵为 $C={\left(C_{ij}\right)}_{m\times n}$ ，则计算公式为

$c_{ij}=w_j\cdot z_{ij}$ (6)

3) 确定正负理想解

设正理想解 $C^{+}$ 的第j个指标值为 $c_j^{+}$ ，负理想 $C^{-}$ 的第j个指标值为 $c_j^{-}$ ，则

正理想解 $c_j^{+}=\underset{i}{\max }{c}_{ij},j=1,2,\cdots ,n$ (7)

负理想解 $c_j^{-}=\underset{i}{\min }{c}_{ij},j=1,2,\cdots ,n$ (8)

4) 计算各位学生到正负理想的距离

设学生 $p_i$ 到正理想解的距离 $d_j^{+}$ ，学生 $p_i$ 到负理想解的距离 $d_j^{-}$ ，则计算公式如下:

$d_j^{+}=\sqrt{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\left(c_{ij}-c_j^{+}\right)}^2}},i=1,2,\cdots ,m$ (9)

$d_j^{-}=\sqrt{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\left(c_{ij}-c_j^{-}\right)}^2}},i=1,2,\cdots ,m$ (10)

5) 计算综合评价指数 $f_i^{*}$ 并排序

各学生的综合评价指数计算公式为

$f_i^{*}=\frac{{\text{d}}_i^{-}}{{\text{d}}_i^{-}+{\text{d}}_i^{+}},i=1,2,\cdots ,m$ (11)

最后将 $f_i^{*},i=1,2,\cdots ,m$ 从大到小排序即可。

4. 数值算例分析

现有某西部民族地区高校某班 $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ 五位学生参与贫困生评定，建立如表1所示的精准扶贫绩效评估指标体系,得出了针对五位同学在各个指标下的属性值，其中，定量指标由具体数值给出，定性指标由直觉梯形模糊数给出，是非评判指标用0和1表示(1表示“是”，0表示“非”)，如表4所示。

Table 4. Hybrid fuzzy decision value table of five students under various indicators

表4. 5位同学在各个指标下的混合模糊决策值表

表4中具体数值的得分函数用该数值表示，而对于表4中的定性指标的直觉梯形模糊数应用定义3得

到得分函数矩阵 $\left[S\left({\tilde{a}}_{ij}\right)\right]$ ，其中矩阵 $\left[S\left({\tilde{a}}_{ij}\right)\right]$ 从左到右表示 $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ 五位学生在 $u_{\text{12}},u_{\text{22}},u_{\text{23}},u_{\text{24}},u_{\text{25}}$ 的得分。

$\left[S\left({\tilde{a}}_{ij}\right)\right]=\left[\begin{array}{r}\hfill 0.059375\\ \hfill 0.033594\\ \hfill 0.055000\\ \hfill 0.060469\\ \hfill 0.093750\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.043125\\ \hfill 0.028906\\ \hfill 0.011875\\ \hfill 0.038281\\ \hfill 0.055000\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.022500\\ \hfill 0.027500\\ \hfill 0.070000\\ \hfill 0.046875\\ \hfill 0.039375\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.065000\\ \hfill 0.117773\\ \hfill 0.065000\\ \hfill 0.065625\\ \hfill 0.065625\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.039375\\ \hfill 0.031875\\ \hfill 0.078125\\ \hfill 0.070000\\ \hfill 0.060000\end{array}\right]$

从而，原具体数值矩阵与 $\left[S\left({\tilde{a}}_{ij}\right)\right]$ 构成混合模糊决策矩阵S。

$S=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}1.20\\ 1.50\\ 1.10\\ 1.20\\ 1.40\end{array}\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.059375\\ \hfill 0.033594\\ \hfill 0.055000\\ \hfill 0.060469\\ \hfill 0.093750\end{array}\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\begin{array}{c}500\\ 580\\ 550\\ 540\\ 560\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.043125\\ \hfill 0.028906\\ \hfill 0.011875\\ \hfill 0.038281\\ \hfill 0.055000\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.022500\\ \hfill 0.027500\\ \hfill 0.070000\\ \hfill 0.046875\\ \hfill 0.039375\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.065000\\ \hfill 0.117773\\ \hfill 0.065000\\ \hfill 0.065625\\ \hfill 0.065625\end{array}\begin{array}{r}\hfill 0.039375\\ \hfill 0.031875\\ \hfill 0.078125\\ \hfill 0.070000\\ \hfill 0.060000\end{array}\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

贫困程度由家庭因素和个人因素共同影响，构成一级判断矩阵为 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$ ，即影响参半，一级指标权向量为 $w={\left[\begin{array}{cc}0.5& 0.5\end{array}\right]}^{\text{T}}$ 二级指标成对比较矩阵 $A_1,A_2$ 如下：

$A_1=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1/3& 1& 6/5\\ 1& 1& 1/2& 1/2& 2& 4/3\\ 1& 2& 1& 1& 2& 5/4\\ 3& 2& 1& 1& 3& 2\\ 1& 1/2& 1/2& 1/3& 1& 1\\ 5/6& 3/4& 4/5& 1/2& 1& 1\end{array}\right]$ ， $A_{\text{2}}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 5/4& 5/4& 5/3& 5/3& 1/2\\ 4/5& 1& 4/3& \text{2}& 5/4& 3/4\\ 4/5& 3/4& 1& 4/3& \text{1}& 5/8\\ 3/5& 1/2& 3/4& 1& 5/6& 1/3\\ 3/5& 4/5& 1& 6/5& 1& 1/2\\ \text{2}& 4/3& 8/5& \text{3}& \text{2}& 1\end{array}\right]$

利用MATLAB软件得到 $C{R}_{A_1}=0.0243<0.1$ ， $C{R}_{A_2}=0.0073<0.1$ 通过了一致性检验，权向量分别为

$w_1={\left[0.135803,0.146002,0.208071,0.283990,0.103017,0.123116\right]}^{\text{T}}$

$w_2={\left[0.181076,0.177610,0.140611,0.099271,0.128252,0.273180\right]}^{\text{T}}$

因此，各二级指标的权重如表5所示；

Table 5. Weight value table of secondary indicators

表5. 二级指标权重值表

是非评判指标不需要进行规范化，在一级指标 $u_1$ 和 $u_{\text{2}}$ 的定性和定量指标中， $u_{1\text{1}},u_{\text{1}2},u_{21},u_{\text{2}2}$ 是成本型

指标，利用(5)式进行规范化， $u_{23},u_{24},u_{25}$ 是效益型指标，利用(4)式进行规范化，得到规范化矩阵 $Z={\left(z_{ij}\right)}_{m\times n}$ ，其中矩阵Z从左到右的每一列表示规范化的 $u_{11},u_{12},u_{21},u_{22},u_{23},u_{24},u_{25}$ 。

$Z=\left[\begin{array}{ccccccc}\begin{array}{r}\hfill 0.468048\\ \hfill 0.374438\\ \hfill 0.510598\\ \hfill 0.468048\\ \hfill 0.401184\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.387651\\ \hfill 0.685151\\ \hfill 0.418487\\ \hfill 0.380640\\ \hfill 0.245512\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.486554\\ \hfill 0.419443\\ \hfill 0.442322\\ \hfill 0.450513\\ \hfill 0.434423\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.233775\\ \hfill 0.348767\\ \hfill 0.848973\\ \hfill 0.263355\\ \hfill 0.183301\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.226018\\ \hfill 0.276244\\ \hfill 0.703166\\ \hfill 0.470870\\ \hfill 0.395531\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.369570\\ \hfill 0.669623\\ \hfill 0.369570\\ \hfill 0.373123\\ \hfill 0.373123\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.300494\\ \hfill 0.243257\\ \hfill 0.596219\\ \hfill 0.534212\\ \hfill 0.457896\end{array}\end{array}\right]$

从而，根据(6)式得到一级指标 $u_1$ 和 $u_{\text{2}}$ 的加权规范化矩阵 $C^1={\left(C_{ij}^1\right)}_{m\times n}$ 和 $C^2={\left(C_{ij}^2\right)}_{m\times n}$ ，

$C^1=\left[\begin{array}{cccccc}\begin{array}{r}\hfill 0.031781\\ \hfill 0.025425\\ \hfill 0.034670\\ \hfill 0.031781\\ \hfill 0.027241\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.028299\\ \hfill 0.050017\\ \hfill 0.030550\\ \hfill 0.027787\\ \hfill 0.017923\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.104036\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.104036\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.000000\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.000000\\ \hfill 0.141995\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.141995\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.051509\\ \hfill 0.051509\\ \hfill 0.051509\\ \hfill 0.051509\\ \hfill 0.000000\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.061558\\ \hfill 0.061558\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.000000\end{array}\end{array}\right]$

$C^2=\left[\begin{array}{cccccc}\begin{array}{r}\hfill 0.044052\\ \hfill 0.037975\\ \hfill 0.040047\\ \hfill 0.040788\\ \hfill 0.039332\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.020760\\ \hfill 0.030972\\ \hfill 0.075393\\ \hfill 0.023387\\ \hfill 0.016278\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.015890\\ \hfill 0.019422\\ \hfill 0.049437\\ \hfill 0.033105\\ \hfill 0.027808\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.018344\\ \hfill 0.033237\\ \hfill 0.018344\\ \hfill 0.018520\\ \hfill 0.018520\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.019269\\ \hfill 0.015599\\ \hfill 0.038233\\ \hfill 0.034257\\ \hfill 0.029363\end{array}& \begin{array}{r}\hfill 0.136590\\ \hfill 0.136590\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.000000\\ \hfill 0.136590\end{array}\end{array}\right]$

根据(7)式和(8)式可以得到一级指标 $u_1$ 和 $u_{\text{2}}$ 的正负理想解分别为：

$c_{j1}^{+}=\left[0.034670,0.050017,0.104036,0.141995,0.051509,0.061558\right]$

$c_{j2}^{+}=\left[0.044052,0.075393,0.049437,0.033237,0.038233,0.136590\right]$

$c_{j1}^{-}=\left[0.025425,0.017923,0.000000,0.000000,0.000000,0.000000\right]$

$c_{j2}^{-}=\left[0.037975,0.016278,0.015890,0.018344,0.015599,0.000000\right]$

根据(9)~(11)式可以得到各位学生到正负理想的距离及综合评价指数如下表6所示：

Table 6. Distance value and comprehensive evaluation index table

表6. 距离值及综合评价指数表

因此， $p_2\succ p_5\succ p_1\succ p_3\succ p_4$ ，故可知学生 $p_2$ 的助学金等级应较其他人高。

5. 数值算例分析

本文基于直觉梯形模糊数理论，对西部民族地区高校贫困生评定进行研究。通过建立评估指标体系，给出了基于直觉梯形模糊TOPSIS方法的评估方法，并通过数值算例表明了该评估模型的有效性，对西部民族地区高校贫困生评定具有一定的实践和理论价值。

基金项目

湖南省大学生研究性学习和创新性实验计划项目“‘大数据’环境下的西部民族地区高校贫困生精准助学体系研究”(项目编号557号)和湖南省普通高等学校教学改革研究课题“新工科背景下民族地区地方大学创新创业教育实践研究——以吉首大学为例”(项目编号410号)。

NOTES

^*通讯作者。