期权契约下风险规避零售商参与的供应链协调问题

Supply Chain Coordination with a Loss-Averse Retailer Based on Option Contract

摘要: 本文运用分段线性效用函数分别评价的建模方法，研究了由一个风险规避零售商和一个风险中性供应商组成的二级供应链在期权契约下的协调问题。研究发现，采用分别评价的方法具有更好的理论解析解；且契约参数满足一定条件时，期权契约可以有效的协调供应链。最后通过数值例子对理论结果进行了验证。

Abstract: By using the modeling method of piecewise linear utility function evaluation, we studied the coor-dination problem of a two-stage supply chain composed of a risk-averse retailer and a risk-neutral supplier under the option contract. It is found that the method of separate evaluation has a better theoretical analytic solution, and when the contract parameters meet certain conditions, the option contract can effectively coordinate the supply chain. Finally, the theoretical results are verified by numerical examples.

1. 引言

行为运作管理是把非理性行为问题集成到传统经营管理领域的一门新兴边缘学科 [1]，目前，行为运作的研究已逐渐成为运作管理领域的一个新的热点，研究行为因素对供应链的影响是一个十分有意义的课题 [2]。风险规避作为一种非理性的行为被广泛的应用到经济管理决策中，且相关理论与实证的研究表明，决策者的决策行为受风险态度的影响。因此，在供应链的研究中，考虑决策者的风险偏好特性，更贴近于供应链管理的实际情况 [3]。

Schweitzer等 [4] 根据Kahneman [5] 提出的前景理论，最早将损失规避行为引入到报童模型中，随后损失规避这一行为在供应链的研究中受到关注。张芳慧 [6] 等证明了批发价格契约不能协调零售商为损失厌恶的供应链；胡支军 [7] 等基于收益共享契约，研究了零售商具有损失厌恶行为的供应链协调问题，研究发现零售商的最优订购量随其损失厌恶程度的增加而减少；Vipin [8] 等研究了紧急订购契约下由损失规避零售商参与的供应链的协调问题；刘咏梅 [9] 等将数量弹性契约引入到损失规避零售商参与的供应链中，研究发现调整契约参数可以实现供应链协调；刘云志 [10] 等建立了损失规避与促销行为的VMI的供应链协调模型；孙浩 [11] 等对价格影响需求下零售商具有损失规避行为的闭环供应链进行研究；Deng [12] 等对零售商的损失规避程度不对称的情形进行研究，研究发现，损失规避程度的不对称降低了产品的生产量；王勇 [13] 等研究了信息不对称下由风险中性供应商和损失规避零售商组成的二级供应链的决策问题，并用数值算例说明信息共享可以有效提高供应链成员的期望效用；林志炳 [14] 等则对零售商和供应商均是损失厌恶的供应链进行研究，研究发现零售商的最优订购量随损失厌恶程度的增加而减少；Chen [15] 将期权契约引入到由风险规避零售商和风险中性的供应链中。

上述文献中的研究，均采用效用函数整体评价的建模方法，难以求出模型的解析解。Becker-Peth [16] 等则采用效用函数分别评价的方法，研究了损失规避零售商的订购问题； 在此基础上，顾波军 [17] 等将收益共享契约引入到零售商具有损失规避行为的供应链中，研究发现采用效用函数分别评价的方法，使理论结果具有更好的解析特征。 本文基于多重心理账户，采用效用函数分别进行评价的方法，研究期权契约下零售商具有损失规避行为的供应链，并用数值例子来说明模型的可行性。

2. 问题描述与基本假设

本文考虑由一个风险规避零售商和一个风险中性供应商组成的二级供应链在期权契约下的协调问题。在销售季节前，供应商首先公布产品的期权购买价格 $w_o$ 和期权的执行价格 $w_e$ ；零售商根据对市场需求的预测以及供应商提供的价格信息来确定期权的购买量Q；供应商根据零售商的订单安排生产。在销售季节末，零售商获得完全市场需求信息，并确定期权的最终执行量；在零售商执行期权后剩余的产品拥有一定残值v。

本文将风险规避效用函数定义为

$U\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x,\hfill & x\ge 0;\hfill \\ \lambda x,\hfill & x<0,\hfill \end{array}$ (1)

其中： $\lambda >1$，为损失规避的程度，x为所关注的经济指标，如利润，收益，成本，超订成本，缺货损失等。

本文其它相关变量与符号如下：

本文建立的模型，对参数的假设条件如下：

1) 不失一般性， $p>w>c>v$ ；

2) $w_o+w_e<p$，期权契约下，确保零售商能够盈利。

3. 集中决策模型

在集中决策下，将零售商和供应商看作同一个经济实体，并认为供应链是风险中性的,决策者以供应链系统期望利润最大化为目标进行决策。

供应链系统的期望利润函数为：

$\Pi \left(Q\right)=pE\min \left(x,Q\right)+vE{\left(Q-x\right)}^{+}-gE{\left(x-Q\right)}^{+}-cQ$ , (2)

其中，第一项为销售收入，第二项为剩余产品的残值，第三项为缺货风险费，第四项为生产成本费。

定理1 [18] 在集中决策下，存在唯一的最优订购量 $Q_c$ 使 $\Pi \left(Q\right)$ 达到最大，且 $Q_c$ 满足：

$Q_c=F^{-1}\left(\frac{p+g-c}{p+g-v}\right)$ , (3)

4. 分散决策模型

在分散决策模式下，零售商作为独立的经济利益主体，且具有风险规避行为，关注的是效用的大小，会以自身期望效用最大化为目标来确定订购量。

4.1. 批发价格契约

批发价契约分散模式下，风险规避零售商的效用和期望效用分别为：

$U{\pi }_r^0=\{\begin{array}{ll}\left(p-w\right)x-\lambda \left(w-v\right)\left(Q-x\right),\hfill & x\le Q;\hfill \\ \left(p-w\right)Q-\lambda g\left(x-Q\right),\hfill & x>Q,\hfill \end{array}$ (4)

$EU{\pi }_r^0=\left(p-w+\lambda g\right)Q-\left\{p-w+\lambda \left(w-v+g\right)\right\}{\displaystyle {\int }_0^{Q}F\left(x\right)\text{d}x}-\lambda \mu g$ ,(5)

供应商的期望利润为

. (6)

定理2 在批发价分散模式下，对于给定的 $\lambda$，存在唯一的 $Q_w^{*}$ 使 $EU{\pi }_r^0$ 最大，且满足：

$Q_w^{*}=F^{-1}\left\{\frac{p-w+\lambda g}{p-w+\lambda \left(w-v+g\right)}\right\}$ . (7)

证明：对(5)式分别关于Q求一阶导数和二阶导数得：

$\frac{\text{d}EU{\pi }_r^0}{\text{d}Q}=\left(p-w+\lambda g_r\right)-\left\{p-w+\lambda \left(w-v+g_r\right)\right\}F\left(Q\right)$ , (8)

$\frac{{\text{d}}^{2}EU{\pi }_r^0}{\text{d}{Q}^2}=-\left\{p-w+\lambda \left(w-v+g_r\right)\right\}f\left(Q\right)$ , (9)

显然， ${\text{d}}^{2}EU{\pi }_r^0/\text{d}{Q}^2<0$，即 $\text{d}EU{\pi }_r^0/\text{d}Q$ 是关于Q的减函数。又

$\underset{Q\to 0}{\lim }\frac{\text{d}EU{\pi }_r^0}{\text{d}Q}=p-w+\lambda g_r>0$ , $\underset{Q\to \infty }{\lim }\frac{\text{d}EU{\pi }_r^0}{\text{d}Q}=-\lambda \left(w-v\right)<0$ ,

由零点存在定理知，存在 $Q_w^{*}$，使得 $\text{d}EU{\pi }_r^0/\text{d}Q=0$，且满足 式。

由 ${\text{d}}^{2}EU{\pi }_r^0/\text{d}{Q}^2<0$ 可知： $Q_w^{*}$ 为 $EU{\pi }_r^0$ 的唯一最大值点。

零售商在考虑契约时会与批发价契约进行比较，若契约下零售商的期望效用低于批发价契约的期望效用，则零售商不接受契约，因此，本文定义批发价契约下损失规避零售商的最大期望效用为零售商的保留效用，记作 $EU{\pi }_r^{*}=EU{\pi }_r^0\left(Q_w^{*}\right)$ 。

由于零售商在供应链中占主导地位，供应商按照零售商的订单组织生产，故将批发价下供应商的期望利润定义为他的保留利润，记作 ${\Pi }_s^{*}={\Pi }_s^0\left(Q_w^{*}\right)$ 。

4.2. 期权契约

在期权契约下，零售商根据供应商提供的价格情况以及市场环境来确定期权购买量；销售季节末，零售商根据实际需求来执行期权，供应商按订单生产，且具有完全供货能力。

期权契约分散模式下，风险规避零售商的效用和期望效用分别为：

$U{\pi }_r=\{\begin{array}{ll}\left(p-w_e-w_o\right)x-\lambda w_o\left(Q-x\right)\hfill & x\le Q\hfill \\ \left(p-w_e-w_o\right)Q-\lambda g\left(x-Q\right)\hfill & x>Q\hfill \end{array}$ (10)

$EU{\pi }_r=\left(p-w_e-w_o+\lambda g\right)Q-\left\{p-w_e-w_o+\lambda \left(w_o+g\right)\right\}{\displaystyle {\int }_0^{Q}F\left(x\right)\text{d}x}-\lambda \mu g$ (11)

定理3 对于给定的 λ (λ > 1)，在期权契约下，存在唯一的最优订购量 $Q_o^{*}$ 使 $EU{\pi }_r$ 最大，且满足:

$Q_o^{*}=F^{-1}\left\{\frac{p-w_e-w_o+\lambda g}{p-w_e-w_o+\lambda \left(w_o+g\right)}\right\}$ (12)

证明: 对 $EU{\pi }_r$ 关于Q求一阶导数得：

$\frac{\text{d}EU{\pi }_r}{\text{d}Q}=p-w_e-w_o+\lambda g-\left\{p-w_e-w_o+\lambda \left(w_o+g\right)\right\}F\left(Q\right)$ (13)

由假设条件(2)

$\underset{Q\to 0}{\lim }\frac{\text{d}EU{\pi }_r}{\text{d}Q}=p-w_e-w_o+\lambda g>0$ , $\underset{Q\to +\infty }{\lim }\frac{\text{d}EU{\pi }_r}{\text{d}Q}=-\lambda w_o<0$ ,

则存在 $Q_o^{*}$，使得 $\text{d}EU{\pi }_r/\text{d}Q=0$，且 $Q_o^{*}$ 满足(12)式。

又

$\frac{{\text{d}}^{2}EU{\pi }_r}{\text{d}{Q}^2}=-\left\{p-w_e-w_o+\lambda \left(w_o+g\right)\right\}f\left(Q\right)$ , (14)

由假设条件(2)得： ${\text{d}}^{2}EU{\pi }_r/\text{d}{Q}^2<0$，即 $EU{\pi }_r$ 为Q的严格凹函数，且在 $Q_o^{*}$ 处达到最大。

期权契约下，风险中性供应商的期望利润函数可以表示为：

${\Pi }_s\left(Q\right)=w_{e}E\min \left(x,Q\right)+w_{0}Q+vE{\left(Q-x\right)}^{+}-cQ$ , (15)

即

${\Pi }_s\left(Q\right)=\left(w_e+w_0-c\right)Q-\left(w_e-v\right){\displaystyle {\int }_0^{Q}F\left(x\right)\text{d}x}$ . (16)

5. 基于期权契约的供应链协调

定义1对于一个风险规避的零售商和风险中性的供应商组成的供应链，通过契约实现协调是指在契约下：

1) 零售商的期望效用和供应链系统的期望利润同时达到最大；

2) 零售商的期望效用不低于自己的保留效用；

3) 供应商的期望利润不低于自己的保留利润。

定理4对于给定的风险规避程度 $\lambda$，若契约参数 $\left(w_e,w_o\right)$ 满足

$w_e=p-w_o+\lambda \left(w_o+g\right)-\frac{\lambda w_o\left(p+g-v\right)}{c-v}$ , (17)

时，供应链系统的期望利润以及风险规避零售商的期望效用同时达到最大

证明：对于给定的 $\lambda$，令 $Q_o^{*}=Q_c$，得

$F^{-1}\left\{\frac{p-w_e-w_o+\lambda g}{p-w_e-w_o+\lambda \left(w_o+g\right)}\right\}=F^{-1}\left(\frac{p+g-c}{p+g-v}\right)$ ,

整理即得(17)式。

当 $\lambda =1$ 时，供应链模型变为零售商和供应商均为风险中性的期权契约模型，即传统的期权契约模型，此时

$w_e=p+g-\frac{w_o\left(p+g-v\right)}{c-v}$ ,

与Wang [19] 得出的协调条件一致。

定理4表明，当契约参数 $\left(w_e,w_o\right)$ 满足定理条件时，在零售商的期望效用达到最大的基础上，供应链系统的期望利润也可以达到最大。此外，由定义1可知，要使期权契约能够协调供应链，还应满足

$\{\begin{array}{l}U{\pi }_r\left(Q_o^{*}\right)\ge EU{\pi }_r^{*}\hfill \\ {\Pi }_s\left(Q_o^{*}\right)\ge {\Pi }_s^{*}\hfill \end{array}$ (18)

定理5对于给定的风险规避程度 $\lambda$，若契约参数 $\left(w_e,w_o\right)$ 满足(17)式，且 $w_{\min }\le w_o\le w_{\max }$ 时，供应链可以实现协调。其中

$w_{\min }=\frac{EU{\pi }_r^{*}+\lambda \mu g}{\frac{\lambda \left(p+g-c\right)}{c-v}{Q}_c-\frac{\lambda \left(p+g-v\right)}{c-v}{\displaystyle {\int }_0^{Q_c}F\left(x\right)\text{d}x}}$ , $w_{\max }=\frac{\left(p-c+\lambda g\right)Q_c-\left(p+\lambda g-v\right){\displaystyle {\int }_0^{Q_c}F\left(x\right)\text{d}x}-{\Pi }_s^{*}}{\frac{\lambda \left(p+g-c\right)}{c-v}{Q}_c-\frac{\lambda \left(p+g-v\right)+\left(c-v\right)}{c-v}{\displaystyle {\int }_0^{Q_c}F\left(x\right)\text{d}x}}$ 。

证明：当契约参数 $\left(w_e,w_o\right)$ 满足(17)式时， $Q_o^{*}=Q_c$，零售商和供应链系统的期望效用都会达到最大，由 $EU{\pi }_r\left(Q_o^{*}\right)\ge EU{\pi }_r^{*}$ 得

$w_o\ge \frac{EU{\pi }_r^{*}+\lambda \mu g}{\frac{\lambda \left(p+g-c\right)}{c-v}{Q}_c-\frac{\lambda \left(p+g-v\right)}{c-v}{\displaystyle {\int }_0^{Q_c}F\left(x\right)\text{d}x}}$ ,

即 $w_o\ge w_{\min }$ 。由 $E{\pi }_s\left(Q_o^{*}\right)\ge {\Pi }_s^{*}$ 得

$w_o\le \frac{\left(p-c+\lambda g\right)Q_c-\left(p+\lambda g-v\right){\displaystyle {\int }_0^{Q_c}F\left(x\right)\text{d}x}-{\Pi }_s^{*}}{\frac{\lambda \left(p+g-c\right)}{c-v}{Q}_c-\frac{\lambda \left(p+g-v\right)+\left(c-v\right)}{c-v}{\displaystyle {\int }_0^{Q_c}F\left(x\right)\text{d}x}}$ ,

即 $w_o\le w_{\max }$ 。

故当 $w_{\min }\le w_o\le w_{\max }$ 时，零售商的期望效用均大于它的保留效用，供应商的期望利润大于它的保留利润。由定义1可知，此时供应链实现协调。

6. 数值算例

为了阐述以上理论结果，下面结合数值例子进行分析验证，模型中参数取值如 $p=14$， $w=8$， $c=4$， $g=0.5$， $v=0.5$，并假设市场需求x服从 $\left[0,200\right]$ 的均匀分布。

取 $\lambda =1.5$，当 $w_o=1.2$ 时，由(17)可得： $w_e=8.1500$，此时满足假设(2)，由(3)式和(12)式可得： $Q_o^{*}=Q_c=150.0000$，从图1中可以看出，风险规避零售商的期望效用和供应链系统的期望利润在 $Q=150.0000$ 均达到最大，由此验证了定理4的有效性。

Figure 1. Risk averse retailer’s expected utility and supply chain system’s expected profit curve

图1. 风险规避零售商的期望效用和供应链系统的期望利润曲线

给定 $w_o$， $w_e$ 由(17)式给出。假设风险规避程度 $\lambda =1.5$，则 $EU{\pi }_r^{*}=178.1250$， ${\Pi }_s^{*}=300.0000$，由定理5可知， $w_{\min }=0.7500$， $w_{\max }=1.3974$，以 $w_o=0.3618$ 为起点，0.1294为间隔讨论 $w_o$，对 $w_e$ 以及零售商、供应商期望效用的影响，由此可得表1。

Table 1. The influence of w o on w e , retailer’s expected utility and supplier’s expected profit

表1. $w_o$ 对、零售商期望效用、供应商期望利润的影响

由表1可知， $w_e$ 随 $w_o$ 的增加而减少， $EU{\pi }_r$ 随 $w_o$ 的增加而增加， ${\Pi }_s$ 随 $w_o$ 的增加而减少，且 $w_o$ 在 $\left[0.7500,1.3970\right]$ 内取值时，有 $EU{\pi }_r\ge EU{\pi }_r^{*}$ 且 ${\Pi }_s>{\Pi }_s^{*}$，且契约参数满足(17)式。此时，供应链实现了协调，由此验证了定理5。

由图2可知，当 $\lambda >1$ 时，随着零售商风险规避程度的增加，零售商的期望效用会增加，而供应商的期望利润会减少。

Figure 2. The influence of $\lambda$ on $EU{\pi }_r$ and ${\Pi }_s$

图2. $\lambda$ 对 $EU{\pi }_r$ , ${\Pi }_s$ 的影响

7. 小结

对于一个由风险规避零售商和风险中性供应商组成的二级供应链, 采用效用函数分别评价的建模方法，研究了期权契约下供应链的协调问题。研究表明：1) 理论部分具有解析解；2) 期权契约能够协调供应链；3) 当供应链协调时，随着期权购买价格的增大，零售商的期望效用逐渐增大，供应商的期望效用逐渐减少；4) 随着风险规避程度的增加，零售商的期望效用会增加，供应商的期望效用会降低。

基金项目

广西高校中青年教师科研基础能力提升项目(2019KY1142)。