基于未知权重的TOPSIS区间直觉模糊多属性决策

TOPSIS Interval-Valued Intuitionistic Fuzzy Multi-Attribute Decision Making Based on Unknown Weights

摘要: 对于属性权重完全未知的区间直觉模糊多属性决策问题，运用TOPSIS决策方法，由属性值之间的相离度来确定属性权重，利用区间模糊数之间的欧式距离，给出区间直觉模糊数的贴近度公式，根据贴近度的大小对方案优劣进行排序，通过例子表明了该方法的有效性。

Abstract: For interval-valued intuitionistic fuzzy multiple-attribute decision making problems whose at-tribute weights is completely unknown, using TOPSIS decision-making method, the attribute weight is determined by the phase degree between attribute values. Using the Euclidean distance between interval fuzzy numbers, the proximity degree formula of interval-valued intuitionistic fuzzy number is given. According to the size of the degree of solution for ranking, the effectiveness of this method is shown by examples.

1. 引言

随着事物复杂性的增加，在解决多属性决策问题中，直觉模糊数已经不能精确的描述不确定决策信息，于是提出了区间直觉模糊数，它可以做到极好的表达不确定的决策信息，再结合TOPSIS法来解决此类问题，使得在处理不确定决策信息更灵活、使用。

1989年Atanassov和Gargov [1] 提出了区间直觉模糊集，并被应用到各个领域。龚日朝等 [2] 将区间直觉模糊集用于汽车、食品、电脑、军火这四个行业的资金投资方面；杨少康等 [3] 把区间直觉模糊集应用到信息管理系统的评估与优选方面；侯西倩等 [4] 将区间直觉模糊集运用到空战训练评估中；汪瑞 [5] 在土地资源配置中用到了区间直觉模糊集。麻诗雪等 [6] 针对多无人机在不确定环境下面向SEAD约束的任务分配问题，提出一种基于区间直觉模糊决策的多无人机任务分配方法。本文将区间直觉模糊集用到了对4个公司投资方面。

对区间模糊多属性决策问题中属性权重的求取是很重要的一部分。李福恒等 [7] 提出权重信息不完全确定，并且评价信息为区间直觉模糊集的多属性排序法，他们利用不完全确定的权系数来建立线性规划模型，用matlab求解得到优化模型，得到了最优准则权系数。尹胜等 [8] 利用改进的模糊熵来计算属性的权重值，使属性的客观值有所提高。李沃源等 [9] 提出了用方案属性值的得分函数和方案偏好得分函数间的偏差进行求权重的方法。段传庆 [10] 将把直觉模糊集化为区间数来表示，并引进了风险因子k，构建了一种新的模型把区间数化为联系数，计算出属性权重。李广博等 [11] 用线性规划的决策方法和模糊投影的决策方法，用加权属性离差最大化建立模型得到了属性权重。张英俊等 [12] 对属性权重在条件约束下的决策问题，给出了关于区间直觉模糊集精确函数的线性规划方法，用其来计算属性权重。汪伦焰等 [13] 利用联系数的理论，构建了联系数间的距离公式，把区间数属性转化为联系数，不用计算属性权重。郭子雪等 [14] 用离差最大化的方法来确定权重。

对区间直觉模糊多属性决策的排序问题。徐泽水 [15] 在区间直觉模糊多属性决策中用得分函数和精确函数，得到了区间直觉模糊数的比较法则。王子迪等 [16] 提出了一种新的区间直觉模糊交叉熵，并联系正理想解，计算出每个方案和正理想解之间的加权相关系数，根据相关系数进行排名。李光博 [11] 运用投影模型法对方案进行排序。汪伦焰 [13] 根据矩阵相对相离度的行向量相加后的向量进行归一化，由归一化向量进行排序。本文利用TOPSIS思想，计算了任意区间直觉模糊数与正理想点和负理想点的欧氏距离，接着计算了相对正理想点的贴近度，根据贴近度的大小对所有方案进行排序。

2. 预备知识

2.1. 区间直觉模糊集

定义1 [17] 设X是一个非空集合， $A=\left\{\langle x,{\mu }_A\left(x\right),v_A\left(x\right)\rangle |x\in X\right\}$ 为直觉模糊集，其中 ${\mu }_A\left(x\right)$ 和 $v_A\left(x\right)$ 分

别表示X中的元素x属于X隶属度 ${\mu }_A:X\to \left[0,1\right]$ 和非隶属度 $V_A:X\to \left[0,1\right]$，且满足 $0\le {\mu }_A\left(x\right)+v_A\left(x\right)\le 1$, $\forall x\in X$。此外 ${\pi }_A\left(x\right)=1-{\mu }_A\left(x\right)-v_A\left(x\right)$ 表示X中的元素x属于X的犹豫度。

定义2 [1] 设X是一个给定的论域，定义X上的一个区间直觉模糊集A为： $A=\left\{\langle x,{\tilde{\mu }}_A\left(x\right),{\tilde{v}}_A\left(x\right)\rangle |x\in X\right\}$。其中， ${\tilde{\mu }}_A\left(x\right):X\to \left[0,1\right]$， ${\tilde{v}}_A\left(x\right):X\to \left[0,1\right]$，且对A上一切 $x\in X$，满足 $0\le \sup \left({\tilde{\mu }}_A\left(x\right)\right)+\sup \left({\tilde{v}}_A\left(x\right)\right)\le 1$。

把区间直觉模糊集A记为 $A=\left\{\langle x,\left[{\mu }_A^l\left(x\right),{\mu }_A^u\left(x\right)\right],\left[v_A^l\left(x\right),v_A^u\left(x\right)\right]\rangle |x\in X\right\}$。称 ${\tilde{\pi }}_A\left(x\right)=\left[{\pi }_A^l\left(x\right),{\pi }_A^u\right]$ 为X中元素x属于A的犹豫度，其中 ${\pi }_A^u\left(x\right)=1-{\mu }_A^l\left(x\right)-v_A^l\left(x\right)$， ${\pi }_A^{\text{l}}\left(x\right)=1-{\mu }_A^u\left(x\right)-v_A^u\left(x\right)$。

定义3 [17] 设 $\tilde{\alpha }=\left(\left[a_1,b_1\right],\left[c_1,d_1\right]\right),\beta =\left(\left[a_2,b_2\right],\left[c_2,d_2\right]\right)$ 为两个区间直觉模糊数，则他们之间的欧氏距离为

$d\left(\alpha ,\beta \right)=\sqrt{\frac{1}{4}\left[{\left(a_1-a_2\right)}^2+{\left(b_1-b_2\right)}^2+{\left(c_1-c_2\right)}^2+{\left(d_1-d_2\right)}^2\right]}$ (1)

定义4 [18] 记 ${\tilde{\alpha }}_{\text{1}}=\left(\left[a_1,b_1\right],\left[c_1,d_1\right]\right),{\tilde{\alpha }}_{\text{2}}=\left(\left[a_2,b_2\right],\left[c_2,d_2\right]\right)$ 为两个任意区间直觉模糊数，则

1) ${\tilde{\alpha }}_1+{\tilde{\alpha }}_2=\left(\left[a_1+a_2-a_1{a}_2,b_1+b_2-b_1{b}_2\right],\left[c_1{c}_2,d_1{d}_2\right]\right)$ ；

2) ${\tilde{\alpha }}_{\text{1}}\cdot {\tilde{\alpha }}_{\text{2}}=\left(\left[a_1{a}_2,b_1{b}_2\right],\left[c_1+c_2-c_1{c}_2,d_1+d_2-d_1{d}_2\right]\right)$ ；

3) $\lambda {\tilde{\alpha }}_1=\left(\left[1-{\left(1-a_1\right)}^{\lambda },1-{\left(1-b_1\right)}^{\lambda }\right],\left[c_1^{\lambda },d_1^{\lambda }\right]\right),\lambda >0$ ；

4) ${\tilde{\alpha }}_1^{\lambda }=\left(\left[a_1^{\lambda },b_1^{\lambda }\right],\left[1-{\left(1-c_1\right)}^{\lambda },1-{\left(1-d_1\right)}^{\lambda }\right]\right),\lambda >0$。

定义5 [19]

设 $A=\left\{\langle x,\left[{\mu }_A^l\left(x\right),{\mu }_A^u\left(x\right)\right],\left[v_A^l\left(x\right),v_A^u\left(x\right)\right]\rangle |x\in X\right\}$, $B=\left\{\langle x,\left[{\mu }_B^l,{\mu }_B^u\right],\left[v_B^l,v_B^u\right]\rangle |x\in X\right\}$，称 $d\left(A,B\right)$ 是区间直觉模糊集A和B的加权Hamming距离

$d\left(A,B\right)=\frac{1}{4}{\displaystyle \sum {\omega }_j}\left[\left|{\mu }_A^l\left(x_j\right)-{\mu }_B^l\left(x_j\right)\right|+\left|{\mu }_A^u\left(x_j\right)-{\mu }_B^u\left(x_j\right)\right|+\left|v_A^l\left(x_j\right)-v_B^l\left(x_j\right)\right|+\left|v_A^u\left(x_j\right)-v_B^u\left(x_j\right)\right|\right]$ (2)

2.2. 确定属性权重

区间直觉模糊多属性决策矩阵 $R={\left(\langle \left[{\mu }_{ij}^l,{\mu }_{ij}^u\right],\left[v_{ij}^l,v_{ij}^u\right]\rangle \right)}_{m\times n}$，对属性 $G_j$ 来说，方案 $Y_i$ 和其他方案 $Y_k$ 间的距离记为 $D_{ij}\left(w\right)$ [14]，定义为

$\begin{array}{l}{D}_{ij}\left(w\right)={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}d\left(R_{ij},R_{kj}\right)}=\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{w}_j}\left[\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right]\\ \left(i,k=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n\right)\end{array}$ (3)

令

$\begin{array}{l}{D}_j\left(w\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{D}_{ij}\left(w\right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}d\left(R_{ij},R_{kj}\right)}}\\ =\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{w}_j}}\left[\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right]\left(i,k=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n\right)\end{array}$ (4)

则 $D_j\left(w\right)$ 表示对属性 $G_i$ 而言，所有方案和其他各个方案的总离差。

因此，求属性权重向就相当于求解下列最优模型：

$\{\begin{array}{l}\max D\left(w\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{D}_j\left(w\right)=\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{w}_j\left(\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right),}}}}\\ \text{s}\text{.t}.{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_j^2}=1,w_j\ge 0\left(j=1,2,\cdots ,n\right)\end{array}$ (5)

构造Lagrange函数：

$L\left(w,\lambda \right)=\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{w}_j}}\left[\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right]+\frac{\lambda }{\text{8}}\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_j^2}\right)$ (6)

对(6)求偏导，得

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial \lambda }={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left(\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right)+\frac{1}{4}\lambda w_j=0}}\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=\frac{1}{8}\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_j^2-1}\right)=0\end{array}$ (7)

解得

$w_j^{\ast }=\frac{{\displaystyle \underset{i}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k}{\overset{m}{\sum }}\left(\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right)}}}{\sqrt{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left(\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right)}}\right]}^2}}}$ (8)

对 $w_j^{\ast }$ 归一化，得

$w_j=\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left(\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right)}}}{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\left(\left|{\mu }_{ij}^l-{\mu }_{kj}^l\right|+\left|{\mu }_{ij}^u-{\mu }_{kj}^u\right|+\left|v_{ij}^l-v_{kj}^l\right|+\left|v_{ij}^u-v_{kj}^u\right|\right)}}}}$ (9)

3. TOPSIS法的基本原理

Hwang最早在1981年给出了基于理想点的TOPSIS方法。这种方法的解题思路是按照评价值发现正、负理想。然后计算各方案与正、负理想解的距离，从而得到各方案到正、负理想解的贴近度，最后按照贴近度对方案进行排序。

3.1. 区间直觉模糊集的正理想解和负理想解的确定

区间直觉模糊正理想方案和负理想方案 [20] 分别为：

$A^{+}=\left({\alpha }_1^{+},{\alpha }_2^{+},\cdots ,{\alpha }_n^{+}\right)$，其中 ${\alpha }_i^{+}=\left(\left[{\mu }_i^{+l},{\mu }_i^{+u}\right],\left[v_i^{+l},v_i^{+u}\right]\right)$

$A^{-}=\left({\alpha }_1^{-},{\alpha }_2^{-},\cdots ,{\alpha }_n^{-}\right)$，其中 ${\alpha }_i^{-}=\left(\left[{\mu }_i^{-l},{\mu }_i^{-u}\right],\left[v_i^{-l},v_i^{-u}\right]\right)$

下面的公式确定了区间直觉正、负理想解 ${\alpha }_i^{+}$ 和 ${\alpha }_i^{-}$。

${\alpha }_i^{+}=\{\begin{array}{l}{\mu }_i^{+l}=\underset{j}{\max }{\mu }_{ij}^l\\ {\mu }_i^{+u}=\underset{j}{\max }{\mu }_{ij}^u\\ v_i^{+l}=\underset{j}{\min }{v}_{ij}^l\\ v_i^{+u}=\underset{j}{\min }{v}_{ij}^u\end{array}$ (10)

${\alpha }_i^{-}=\{\begin{array}{l}{\mu }_i^{-l}=\underset{j}{\min }{\mu }_{ij}^l\\ {\mu }_i^{-u}=\underset{j}{\min }{\mu }_{ij}^u\\ v_i^{-l}=\underset{j}{\max }{v}_{ij}^l\\ v_i^{-u}=\underset{j}{\max }{v}_{ij}^u\end{array}$ (11)

3.2. 区间模糊数和正、负理想间的距离公式

根据定义3，任意一个区间直觉模糊数 $\tilde{\alpha }$ 与 ${\tilde{\alpha }}^{+},{\tilde{\alpha }}^{-}$ 之间的欧氏距离分别为

$d^{+}=d\left({\tilde{\alpha }}_i,{\tilde{\alpha }}^{+}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{\left({\mu }_{ij}^l-{\mu }_i^{+l}\right)}^2+{\left({\mu }_{ij}^u-{\mu }_i^{+u}\right)}^2+{\left(v_{ij}^l-v_i^{+l}\right)}^2+{\left(v_{ij}^u-v_i^{+u}\right)}^2}}$ (12)

$d^{-}=d\left({\tilde{\alpha }}_i,{\tilde{\alpha }}^{-}\right)=\sqrt{\frac{1}{4}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}{\left({\mu }_{ij}^l-{\mu }_i^{-l}\right)}^2+{\left({\mu }_{ij}^u-{\mu }_i^{-u}\right)}^2+{\left(v_{ij}^l-v_i^{-l}\right)}^2+{\left(v_{ij}^u-v_i^{-u}\right)}^2}}$ (13)

3.3. 贴近度

定义6 [21] 设 $\tilde{\alpha }=\left(\left[a,b\right],\left[c,d\right]\right)$ 为任意一个区间直觉模糊数，则 $\tilde{\alpha }$ 相对于区间直觉模糊数 ${\alpha }_i^{+}=\left(\left[{\mu }_i^{+l},{\mu }_i^{+u}\right],\left[v_i^{+l},v_i^{+u}\right]\right)$ 的贴近度为

$C\left(\tilde{\alpha }\right)=\frac{d^{-}}{d^{+}+d^{-}}$ (14)

4. 问题的概述与决策方法

4.1. 问题概述

设 $Y=\left\{Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m\right\}$ 为区间直觉模糊多属性决策的方案集， $G=\left\{G_1,G_2,\cdots ,G_n\right\}$ 为评价每个方案的属性集，属性 $G_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 的权重向量为 $\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$，信息权重完全未知。记 $R_{ij}=\langle \left[{\mu }_{ij}^l,{\mu }_{ij}^u\right],\left[v_{ij}^l,v_{ij}^u\right]\rangle \left(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n\right)$ 为方案 $Y_i\in Y$ 关于属性 $G_j\in G$ 的评价值， $R_{ij}$ 为区间直觉模糊集， $\left[{\mu }_{ij}^l,{\mu }_{ij}^u\right]$ 和 $\left[v_{ij}^l,v_{ij}^u\right]$ 分别表示方案 $Y_i\in Y$ 满足属性 $G_j\in G$ 的程度和不满足属性 $G_j\in G$ 的程度。则矩阵 $R_1={\left(\langle \left[{\mu }_{ij}^l,{\mu }_{ij}^u\right],\left[v_{ij}^l,v_{ij}^u\right]\rangle \right)}_{m\times n}$ 为该多属性决策问题的区间直觉模糊矩阵。下面给出区间直觉模糊多属性决策的TOPSIS决策方法。

4.2. 决策步骤

Step 1 属性权重可由式(9)来计算。

Step 2 计算加权后的决策矩阵。加权的属性值为：

${\bar{r}}_{ij}={\omega }_j{r}_{ij}\left(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n\right)$ (15)

根据定义4中的3)式得到加权区间直觉模糊评价矩阵。

Step 3 据式(10)、(11)计算正、负理想方案。

Step 4 据式(12)、(13)分别计算 ${\tilde{\alpha }}_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 与 ${\alpha }^{+},{\alpha }^{-}$ 之间的欧氏距离，得到和。

Step 5 据式(14)求出相对贴近度，根据的大小进行排序。

5. 实例分析

某公司打算从4个投资项目中选择一个进行投资，记投资方案集为A1、A2、A3、A4。该公司打算从一下4个方面来进行考虑决策：C1财务状况，C2经营情况，C3债务情况，C4盈利能力。投资公司对于每个方案在每个决策因素下的估计采用了区间直觉模糊集的形式，提供的决策信息如表1：

Table 1. Decision matrix

表1. 决策矩阵

Step 1运用式(9)计算属性权重：

，，，。

Step 2根据式(15)得到加权区间直觉模糊评价矩阵如表2。

Table 2. Weighted decision matrix

表2. 加权决策矩阵

Step 3根据式(10)、(11)得正、负理想方案：

Step 4求方案A1、A2、A3、A4与正、负理想解间的距离，见表3。

Table 3. Each scheme has a large distance from the positive and negative ideal point

表3. 各方案到正负理想点的距离

Step5 求方案A1、A2、A3、A4与理想点、的贴近度，见表4，进行排名。

Table 4. The degree of relative closeness between each scheme and the ideal point

表4. 各方案与理想点的相对贴近度

从表(4)可以得到C1 > C4 > C2 > C3，由于贴近度越大体现了备选方案的优异程度越高，那么4个备选方案的排序为A1 > A4 > A2 > A3，所以A1是最好的方案。

6. 结论

本文对属性权重完全未知的区间直觉模糊多属性决策问题，用总离差最大化模型求得各属性权重，然后联系TOPSIS方法，计算出各方案与正理想点和负理想点之间的距离，最后根据相对贴近度进行择优，通过例子验证了该方法的有效性。

基金项目

国家自然科学基金(61463027，61463026)，甘肃省自然科学基金(1610RJZA038)。

NOTES

^*通讯作者。