场代数弱局部性与商空间的研究

On the Weak Locality of a Field Algebra and Its Quotient Space

摘要: 本文对场代数的弱局部性进行了研究，给出了一个具体的例子，用于比较算子的弱局部性与非局部性。对场代数关于其双边理想做商得到商空间，并探究了场代数商空间的若干基本性质。

Abstract: In this paper, we investigate the weak locality of a field algebra and give a concrete example which relates to weak locality and non-locality. The quotient space of a field algebra is obtained by its bilateral ideals. Finally, some theorems on the quotient space of a field algebra are explored.

1. 引言

场代数是顶点代数概念的“非局部性”推广。在顶点代数的定义中，局部性是一个基本的条件，把它换成较弱的结合性条件，将得到一个新的代数结构——场代数。由于场代数与顶点代数之间有着如此密切的联系，对场代数的研究将有助于更好的理解顶点代数及其相关领域。

在文献 [1] 中，作者系统讨论了态场对应、场代数的定义及初等性质，并且研究了场代数和顶点代数之间的关系，研究了态场对应的弱局部性和莱布尼兹共形代数上的张量代数等等。文献 [2] 研究了场代数的结合性，文献 [3] 和 [4] 分别引进了局部共形场代数和全场代数。本文将在上述文献给出的基本概念的基础上，探讨弱局部性与非局部性之间的关系，并给出具体实例加以说明。另外，本文对场代数的商空间也进行了描述，并讨论了一些基本性质。

本文假设所讨论的向量空间与各种代数结构都是指某个固定的域F上的，F可以是一般的域，必要时还可以假定它是复数域，从而保障线性变换特征值与特征向量的存在性。关于顶点代数的系统讨论，以及本文用到的一些术语与记号，参见文献 [5] [6] [7] [8] [9]。

设V是一个向量空间， $0\ne |0\rangle \in V$，若有线性映射：

$\begin{array}{l}Y:V\to glf\left(V\right)=\left\{a\left(z\right)={\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }{a}_n{z}^{-n-1}};a_n\in EndV,n\in Z\right\}\\ a\to Y\left(a,z\right)\end{array}$

及自同态 $T\in EndV$，使得下列条件成立：

1) 真空性 $Y\left(|0\rangle ,z\right)=I_V$， $Y\left(a,z\right)|0\rangle =a+T\left(a\right)z+\cdots \in V〚z〛$，其中 $I_V\left(\in EndV\right)$ 是恒等变换；

2) 平移不变性 $\left[T,Y\left(a,z\right)\right]=Y\left(Ta,z\right)={\partial }_{z}Y\left(a,z\right)$ (称T是V上的平移算子)；

则称三元组 $\left(V,|0\rangle ,Y\right)$ 是态场对应。

进一步，若态场对应 $\left(V,|0\rangle ,Y\right)$ 满足结合性公理：对 $a,b,c\in V$，有

${\left(z-w\right)}^{N}Y\left(Y\left(a,z\right)b,-w\right)c={\left(z-w\right)}^N{i}_{z,w}Y\left(a,z-w\right)Y\left(b,-w\right)c,N\gg 0，$

则称三元组 $\left(V,|0\rangle ,Y\right)$ 为场代数。

2. 预备知识

定义2.1 [1]：对 $a\left(z\right),b\left(z\right)\in glf\left(V\right)$，若有正整数N，使得 $\mathrm{Re}{s}_z\left(z-w\right){}^N\left[a\left(z\right),b\left(w\right)\right]=0$，则称二元对 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是N-弱局部的。若对充分大的N，总有 $\mathrm{Re}{s}_z\left(z-w\right){}^N\left[a\left(z\right),b\left(w\right)\right]=0$，则称二元对 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是弱局部的。

定义2.2 [5]：(局部性)对 $a\left(z\right),b\left(z\right)\in glf\left(V\right)$，若存在自然数 $N\in {\rm N}$，使得下列等式成立：

${\left(z-w\right)}^N\left[Y\left(a,z\right),Y\left(b,w\right)\right]=0，$

其中 $\left[Y\left(a,z\right),Y\left(b,w\right)\right]={\displaystyle \underset{n,m\in Z}{\sum }\left[a_n,b_m\right]z^{-n-1}{w}^{-m-1}}$，则称 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是相互局部的。

定义2.3 [1]：设V是场代数，I是V的子空间，且 $TI\subset I$。若有 $a_{n}b\in I$， $\forall n\in {\rm Z},a\in V,b\in I$，则称I是V的一个左理想。如果有 $a_{n}b\in I$， $\forall n\in {\rm Z},b\in V,a\in I$，则称I是V的一个右理想。若I既是左理想又是右理想，则I是V的一个双边理想。

3. 主要结果及证明过程

设V是域F上的向量空间，定义V上的算子向量空间

$glf\left(V\right)=\left\{a\left(x\right)={\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }{a}_n{x}^{-n-1}}|a_n\in EndV;\forall v\in V,a_{n}v=0,n>>0\right\}，$

其加法和数乘运算都是自然定义的。称 $glf\left(V\right)$ 是向量空间V上的场空间，其中的元素 $a\left(x\right)$ 为V上的场或算子。定义 $glf\left(V\right)$ 上的双线性n-运算如下：

$\begin{array}{l}n:glf\left(V\right)\times glf\left(V\right)\to glf\left(V\right)\\ \left(a\left(x\right),b\left(x\right)\right)\to a{\left(x\right)}_{n}b(x)\end{array}$

$a{\left(x\right)}_{n}b\left(x\right)=\mathrm{Re}{s}_{x_1}\left\{{\left(x_1-x\right)}^{n}a\left(x_1\right)b\left(x\right)-{\left(-x+x_1\right)}^{n}b\left(x\right)a\left(x_1\right)\right\}$

此时， $glf\left(V\right)$ 是F上的非结合代数，其中的算子也称为是下方截断的，见文献 [1]。

引理3.1：定义算子 $a\left(z\right)\in EndV〚z,z^{-1}〛$，使得 $a\left(z\right)$ 的系数 $a_0,a_1,\cdots ,a_N$ 与 $b\left(z\right)$ 的任何系数可交换，则有 $\mathrm{Re}s{\left(z-w\right)}^N\left[a\left(z\right),b\left(w\right)\right]=0$。此时，算子 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是N-弱局部的。

进一步，若还有 $a_{N+j}=0,j\ge 1$，则算子 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是弱局部的。

证明：设 $a\left(z\right)={\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }{a}_n}{z}^{-n-1},b\left(z\right)={\displaystyle \underset{m\in Z}{\sum }{b}_m}{z}^{-m-1}$，其中 $a_n,b_m\in EndV,\forall n,m\in Z$。根据引理的条件，有下列等式：

$\begin{array}{c}\mathrm{Re}{s}_z{\left(z-w\right)}^N\left[a\left(z\right),b\left(w\right)\right]=\mathrm{Re}{s}_z\left[{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N}{\sum }}{\left(-1\right)}^i{z}^{N-i}{w}^i}{\displaystyle \underset{n,m\in Z}{\sum }\left[a_n,b_m\right]z^{-n-1}{w}^{-m-1}}\right]\\ =\mathrm{Re}{s}_z\left[{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N}{\sum }}{\left(-1\right)}^i}{\displaystyle \underset{n,m\in Z}{\sum }\left[a_n,b_m\right]z^{N-i-n-1}{w}^{i-m-1}}\right]\\ =\mathrm{Re}{s}_z\left[{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N}{\sum }}{\left(-1\right)}^i}{\displaystyle \underset{n,m\in Z}{\sum }\left[a_{N+n-i},b_{m+i}\right]z^{-n-1}{w}^{-m-1}}\right]\\ ={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N}{\sum }}{\left(-1\right)}^i}{\displaystyle \underset{m\in Z}{\sum }\left[a_{N-i},b_{m+i}\right]w^{-m-1}}\\ =0\end{array}$

即，等式 $\mathrm{Re}{s}_z{\left(z-w\right)}^N\left[a\left(z\right),b\left(w\right)\right]=0$ 成立，算子 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是N-弱局部的。

定理3.2：设算子 $a\left(z\right)$， $b\left(z\right)$ 如上，且 $b\left(z\right)$ 是下方截断的。若有正整数 $N_1$ 使得 $b_{N_1}\ne 0,b_{N_1+j}=0$， $\forall j=1,2,\cdots$，且算子 $a\left(z\right)$ 满足条件：对任意的正整数 $N_2$，存在非负整数n，使得系数 $a_{N_2+n}$ 与 $b_{N_1}$ 不可交换，则 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 不是局部的。

证明：对任意正整数 $N_2$，要证明 ${\left(z-w\right)}^{N_2}\left[a\left(z\right),b\left(w\right)\right]\ne 0$。根据前面的计算式，只要证明

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N_2}{\sum }}{\left(-1\right)}^i\left[a_{N_2+n-i},b_{m+i}\right]}\ne 0,\exists n,m\in Z$

选取 $m=N_1$，上述不等式化简为 $\left[a_{N_2+n},b_{N_1}\right]\ne 0$。再根据定理条件： $a_{N_2+n}$ 与 $b_{N_1}$ 不可交换，前面的不等式确实成立，从而算子 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 不是局部的。

注记：上述定理中的 $a\left(z\right)$ 不具有下方截断性。若要求 $a\left(z\right)$ 满足下方截断性，可选取正整数 $K>N_1$，使得 $a_K\ne 0$，且 $a_{K+j}=0,j\ge 1$。此时，对任意的正整数 $N_2$ 及整数k，满足： $0\le k\le N_2$，使得 $a_{N_2+n-k}\ne 0$，且 $a_{N_2+n-k+j}=0,j\ge 1$，这里 $n=k-N_2+K$。取 $b_{N_1}$，使它与 $a_K$ 不可交换。再令 $m=N_1-k$，则有下列式子：

$\left[a_{N_2+n-k},b_{m+k}\right]=\left[a_{N_2+n-k},b_{N_1}\right]\ne 0,$

从而有

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{N_2}{\sum }}{\left(-1\right)}^i\left[a_{N_2+n-i},b_{m+i}\right]}=\left[a_{N_2+n-k},b_{m+k}\right]\ne 0.$

因此，算子 $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 不是局部的。

下面我们以二阶矩阵为例，给出一个具体的例子。

例3.3：1) 构造算子 $a\left(z\right)$ ：当 $s<0$ 时， $a_s$ 为任意矩阵。当 $0\le s\le N_1$ 时，令 $a_s=\left(\begin{array}{cc}{b}_s& 0\\ 0& b_s\end{array}\right),b_s\in F$。当 $N_1+1\le s\le K$，令 $a_s=\left(\begin{array}{cc}s& s\\ 0& s\end{array}\right)$。当 $s\ge K+1$，令 $a_s=0$。2) 构造算子 $b\left(z\right)$ ：当 $s<N_1$ 时， $b_s$ 为任意矩阵。当 $s=N_1$ 时， $b_{N_1}=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$， $b_{21}\ne 0$ 或者 $b_{12}\ne b_{22}$。当 $s>N_1$ 时， $b_{N_1+j}=0,j\ge 1$。此时， $\left(\begin{array}{cc}s& s\\ 0& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s& s\\ 0& s\end{array}\right)$。因此， $\left(a\left(z\right),b\left(z\right)\right)$ 是 $N_1$ -弱局部的，但是它们不是局部的。

讨论算子的弱局部性是为了构造场代数，而局部性的研究是顶点代数要面临的问题。下面的例子给出了一些说明，其详细讨论见文献 [1] 和文献 [8]。

例3.4：设子空间W是向量空间 $glf\left(V\right)$ 的一个弱局部子空间，它包含恒等变换 $I\left(x\right)=I{d}_V$，且对n运算封闭，则 $\left(W,Y,I\left(x\right)\right)$ 是一个态场对应。这里线性映射 $Y:W\to EndW〚z,z^{-1}〛$ 定义如下：

$Y\left(a\left(x\right),z\right)={\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }a{\left(x\right)}_n{z}^{-n-1}},$

其中 $a{\left(x\right)}_{n}b\left(x\right)$ 定义如上。若 $\left(W,Y,I\left(x\right)\right)$ 满足结合性公理，则它是场代数。若还满足弱局部性，则它是强场代数。

引理3.5：设 $\left(V,|0\rangle ,Y\right)$ 是场代数，I是V的T不变的双边真理想，则 $\left(V/I,\left[|0\rangle \right],\tilde{Y}\right)$ 也是一个场代数。相应的线性映射可以如下给出：

$\begin{array}{l}\tilde{Y}:V/I\to End\left(V/I\right)〚z,z^{-1}〛\\ \left[u\right]\to Y\left(\left[u\right],z\right)={\displaystyle \underset{n\in {\rm Z}}{\sum }{\left[u\right]}_n{z}^{-n-1}},n\in Z,u\in V\end{array}$

证明：1) 合理性：商空间 $V/I$ 中的n运算定义为： ${\left[u\right]}_n\left[v\right]=\left[u_{n}v\right],\forall u,v\in V$。若 $\left[a\right]=\left[b\right]$， $\left[u\right]=\left[w\right]$，则 $a-b\in I,u-w\in I$，I是V的双边理想，必有 ${\left(a-b\right)}_{n}u\in I,b_n\left(u-w\right)\in I$。

$a_{n}u-b_{n}w=a_{n}u-b_{n}u+b_{n}u-b_{n}w={\left(a-b\right)}_{n}u+b_n\left(u-w\right)\in I,$

于是， $\left[a_{n}u\right]=\left[b_{n}w\right]$，运算的定义是合理的。

2) 真空性： $Y\left(\left[|0\rangle \right],z\right)=I_{V/I}$， $Y\left(\left[a\right],z\right)|0\rangle =\left[a\right]+T\left(\left[a\right]\right)z+\cdots \in V/I〚z〛$，其中 $I_v\in EndV$ 是恒等变换。

3) 平移不变性： $\left[T,Y\left(\left[a\right],z\right)\right]=Y\left(T\left[a\right],z\right)={\partial }_{z}Y\left(\left[a\right],z\right)$，T是 $V/I$ 上的平移算子。

4) 因为 $\left(V,|0\rangle ,Y\right)$ 是场代数，对所有的 $a,b,c\in V$，有下列结合性等式：

${\left(z-w\right)}^{N}Y\left(Y\left(a,z\right)b,-w\right)c={\left(z-w\right)}^N{i}_{z,w}Y\left(a,z-w\right)Y\left(b,-w\right)c,N\gg 0$

${\left(z-w\right)}^{N}Y\left({\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }{a}_{n}b{z}^{-n-1}},-w\right)c={\left(z-w\right)}^N{i}_{z,w}{\displaystyle \underset{m\in Z}{\sum }{a}_m{\left(z-w\right)}^{-m-1}}{\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{b}_k}c{\left(-w\right)}^{-k-1}$

将上式变形，得到下列等式：

${\left(z-w\right)}^N{\displaystyle \underset{s,n\in Z}{\sum }{\left(a_{n}b\right)}_{s}c{z}^{-n-1}}{\left(-w\right)}^{-s-1}={\left(z-w\right)}^N{i}_{z,w}{\displaystyle \underset{m,k\in Z}{\sum }{a}_m}\left(b_{k}c\right){\left(z-w\right)}^{-m-1}{\left(-w\right)}^{-k-1}.$

对商空间 $V/I$ 中的任意元素 $\left[a\right],\left[b\right],\left[c\right]$，必有

${\left(z-w\right)}^N{\displaystyle \underset{s,n\in Z}{\sum }{\left({\left[a\right]}_n\left[b\right]\right)}_s\left[c\right]z^{-n-1}}{\left(-w\right)}^{-s-1}={\left(z-w\right)}^N{i}_{z,w}{\displaystyle \underset{m,k\in Z}{\sum }{\left[a\right]}_m}\left({\left[b\right]}_k\left[c\right]\right){\left(z-w\right)}^{-m-1}{\left(-w\right)}^{-k-1}$

${\left(z-w\right)}^{N}Y\left(Y\left(\left[a\right],z\right)\left[b\right],-w\right)\left[c\right]={\left(z-w\right)}^N{i}_{z,w}Y\left(\left[a\right],z-w\right)Y\left(\left[b\right],-w\right)\left[c\right],N\gg 0$

故 $\left(V/I，\left[|0\rangle \right],Y\right)$ 也是一个场代数。

可以按照通常的方式定义场代数的同态，并且同态的核是理想，同态的像是场代数。

引理3.6：场代数的同态基本定理：设 $f:V\to W$ 是场代数 $V,W$ 之间的同态，I是V的一个理想，并且 $I\subset \ker f$，则有唯一的场代数同态 $\tilde{f}:V/I\to W$，使得 $\tilde{f}\pi =f$。这里 $\pi :V\to V/I,a\to \left[a\right]$ 是典范同态，而 $\tilde{f}\left(\left[a\right]\right)=\tilde{f}\pi \left(a\right)=f\left(a\right),\forall a\in V$。

特别，若 $I=\ker f$，则 $\tilde{f}$ 是单射，此时 $\tilde{f}:V/I\to \mathrm{Im}f$ 是同构。

证明：

1) 令 $\tilde{f}\left(\left[x\right]\right)=f\left(x\right),\forall x\in V$。映射 $\tilde{f}$ 定义合理：若 $\left[a_1\right]=\left[a_2\right]$，即 $a_1~a_2$， $a_1-a_2\in I\subset \ker f$，有

$f\left(a_1-a_2\right)=0$。 $f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)$， $\tilde{f}\left(\left[a_1\right]\right)=\tilde{f}\left(\left[a_2\right]\right)$。

2) $\tilde{f}$ 是同态： $V/I\to W$。首先，它是向量空间的线性映。另外，它保持n运算：

$\tilde{f}\left(\left[|0\rangle \right]\right)=|0\rangle ,\tilde{f}\left({\left[a\right]}_n\left[b\right]\right)=f\left(a_{n}b\right)=f{\left(a\right)}_{n}f\left(b\right)=\tilde{f}{\left(\left[a\right]\right)}_n\tilde{f}\left(\left[b\right]\right).$

3) 由 $\tilde{f}$ 的定义直接看出： $\tilde{f}\pi =f$。

4) 唯一性：若还有另外一个同态 $g:V/I\to W$，使得 $g\pi =f$。则 $\left(g\pi \right)\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in V$。即 $g\left(\left[x\right]\right)=f\left(x\right),\forall \left[x\right]\in V/I$。由此可知， $g=\tilde{f}$。

5) $\tilde{f}:V/I\to \mathrm{Im}f$ 是双射：由定义直接看出。因此， $\tilde{f}:V/I\to \mathrm{Im}f$ 是场代数的同构映射。

引理3.7：设 $\left(V,|0\rangle ,Y\right)$ 是场代数，I是V的真理想，则商代数 $V/I$ 的理想构成的集合B与V包含I的理想构成的集合A之间有一一对应。特别地， $V/I$ 的理想形如 $L/I$，这里L是V的包含I的理想。

证明：考虑典范态场对应同态 $\pi :V\to V/I,a\to \left[a\right]$，由此定义集合之间的映射

$\sigma :A\to B,L\to \pi \left(L\right)=L/I.$

1) $\sigma$ 是单射：设理想 $L_1,L_2\in A$，且 $L_1/I=L_2/I$。 $\forall a\in L_1$，必有。故存在，使得。于是，从而，同理可得，则。

2)是满射：设，令，现证。，。从而。，则，同理可证。因此，L是V的理想。另外，L是V的包含I的理想，即。最后由于典范映射是满射，必有，即是满射。

因此，是双射，引理结论成立。

引理3.8：设是场代数，其中I，J为场代数的两个双边真理想，且有理想的包含关系：，则有场代数之间的同构映射：。

证明：由双边理想的定义可以验证是的双边理想，利用同态基本定理可以验证引理的结论成立。