Calderón-Zygmund型奇异积分算子的Lorentz估计

Lorentz Estimates for Calderón-Zygmund Type Singular Integral Operators

摘要: Lorentz估计是偏微分方程中新的正则性估计，本文我们主要研究Calderón-Zygmund型奇异积分算子的Lorentz估计。

Abstract: Lorentz estimate is a new regularity estimate in the partial differential equations. In this paper, we mainly study Lorentz estimates for Calderón-Zygmund type singular integral operators.

1. 介绍

解的存在唯一性及其正则性研究是偏微分方程中的经典问题，其中 $L^p$ 估计在正则性理论的研究中起着重要的作用。Wang [1] 在Caffarelli和Peral [2] 基础上利用紧方法、Vitali覆盖引理、极大函数等技巧给出了Poisson方程和热传导方程的 $L^p$ 内估计的几何化证明方法；后来，Byun和Wang利用类似技巧在 [3] [4] [5] [6] 中得到了各类二阶散度型椭圆方程与抛物方程在不同区域中的全局 估计。

随着 L^p 估计理论的推广，越来越多的人感兴趣于新的正则性估计—Lorentz估计。Baroni在 [7] 中通过引入Calderón-Zygmund算子和水平集证明了退化的和非退化的具有VMO系数的散度型椭圆和抛物型方程组的局部Lorentz估计；另外，p-Laplacican型椭圆和抛物方程的全局Lorentz估计被作者 [8] [9] 证明；Yao在 [10] 中将方程估计推广到一类非线性抛物方程的Lorentz估计。

类似地，奇异积分算子的正则性估计也是调和分析中重要的课题。作者 [11] [12] [13] 得到了Calderón-Zygmund型奇异积分算子的 $L^p$ 估计，Yao在 [14] 中进一步得到了在加权Orlicz空间下奇异积分的正则性估计，本文的目的是对Calderón-Zygmund型奇异积分算子的正则性理论进行进一步拓展。

本文我们研究以下的Calderón-Zygmund型奇异积分算子

$T_{\epsilon }f\left(x\right):={\displaystyle \underset{\left|x-y\right|>\epsilon }{\int }\frac{\Omega \left(x-y\right)}{{\left|x-y\right|}^n}f\left(y\right)\text{d}y}$, (1.1)

对任意的 $\epsilon >0$ 成立，其中 $\Omega \left(x\right):{ℝ}^n\text{}\left\{0\right\}\to ℝ$ 满足

(a) $\left|\Omega \left(x\right)\right|\le A_1$， $\Omega \left(rx\right)=\Omega \left(x\right)$ 对任意的 $r>0$ 成立；

(b) ${\displaystyle {\int }_0^1\frac{\theta \left(\sigma \right)}{\sigma }\text{d}\sigma }\le A_2$，其中 $A_1$， $A_2$ 是两个正常数且

$\theta \left(\sigma \right):=\underset{\begin{array}{c}\left|x-y\right|\le \sigma \\ \left|x\right|=\left|y\right|=1\end{array}}{\sup }\left|\Omega \left(x\right)-\Omega \left(y\right)\right|$ ;

(c) ${\displaystyle \underset{S^{n-1}}{\int }\Omega \left(x\right)\text{d}\theta }=0$，其中 $S^{n-1}:=\left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|=1\right\}$。

根据经典理论 [11] [12] [13]，若 $\Omega \left(x\right)$ 满足条件(a)~(c)，那么我们可以得到

(1) $T_{\epsilon }f$ 是强(p,p)的，即 ${\Vert T_{\epsilon }f\left(x\right)\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}\le C{\Vert f\left(x\right)\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}$，对任意的 $p>1$。 (1.2)

(2) $T_{\epsilon }f$ 是弱(1,1)的，即 $\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}\right|\le \frac{C}{\lambda }{\Vert f\left(x\right)\Vert }_{L^1\left({ℝ}^n\right)}$，对任意的 $\lambda >0$。

本文的主要目的是得到奇异积分算子 $T_{\epsilon }f$ 在Lorentz空间下的如下估计

${\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q\le C{\Vert f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q$，这里 $C>0$ 与 $\epsilon$ 和f无关。 (1.3)

下面给出Lorentz空间的定义 [7]。

定义1.1 对于开集 $\Omega \subset {ℝ}^n$，对任意的 $1<\gamma <\infty$ 和 $0<q\le \infty$，Lorentz空间 $L\left(\gamma ,q\right)\left(\Omega \right)$ 是包含所有满足下式的可测函数 $g:\Omega \to ℝ$ 组成的空间

${\Vert g\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left(\Omega \right)}<\infty$,

其中

事实上，当 $q=\infty$，Marcinkiewicz空间 ${\mathcal{M}}^{\gamma }\left(\Omega \right)=L\left(\gamma ,\infty \right)\left(\Omega \right)$ ；当 $q=\gamma$，Sobolev空间 $L^{\gamma }\left(\Omega \right)=L\left(\gamma ,\gamma \right)\left(\Omega \right)$。

下面给出本文所要证明的主要结论。

定理1.2 假设 $\epsilon >0$，对任意的 $2<\gamma <\infty$ 和 $0<q\le \infty$，如果 $f\in L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)$ 且 $\Omega \left(x\right)$ 满足条件(a)~(c)，那么 $T_{\epsilon }f\in L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)$ 且有估计式(1.3)。

2. 准备工作

在这部分，我们将给出证明所需的引理。

引理2.1 [13] $E\subset {ℝ}^n$ 为一可测集，有一族球 $\left\{B_{\lambda }\right\}$ 覆盖E，即 $E\subset {\displaystyle \underset{\lambda }{\cup }{B}_{\lambda }}$，假如 $\underset{\lambda }{\sup }\left\{diam\left(B_{\lambda }\right)\right\}<\infty$，则存在互不相交的可数子集 ${\left\{B_{{\lambda }_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }$，使得 $E\subset {\displaystyle \underset{k}{\cup }5B_{{\lambda }_k}}$。

另外，我们需要以下的Hardy不等式 [15] 和反Hölder不等式 [16]。

引理2.2 可测函数 $g:\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 使得 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }g\left(\lambda \right)\text{d}\lambda }<\infty$，那么对于任意的 $\alpha \ge 1$ 和 $r>0$ 都有

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\lambda }^r}{\left({\displaystyle {\int }_{\lambda }^{\infty }g}\left(\mu \right)\text{d}\mu \right)}^{\alpha }\frac{\text{d}\lambda }{\lambda }\le {\left(\frac{\alpha }{r}\right)}^{\alpha }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\lambda }^r{\left[\lambda g\left(\lambda \right)\right]}^{\alpha }\frac{\text{d}\lambda }{\lambda }}$.

引理2.3 若 $g:\left[0,+\infty \right)\to \left[0,+\infty \right)$ 是一个不增可测函数，其中 ${\alpha }_1\le {\alpha }_2\le \infty ,r>0$，那么

(1) 当 ${\alpha }_2<\infty$ 时，有 ${\left[{\displaystyle {\int }_{\lambda }^{\infty }{\left[{\mu }^{r}g\left(\mu \right)\right]}^{{\alpha }_2}\frac{\text{d}\mu }{\mu }}\right]}^{\frac{1}{{\alpha }_2}}\le \epsilon {\lambda }^{r}g\left(\lambda \right)+\frac{C}{{\epsilon }^{\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1}-1}}{\left[{\displaystyle {\int }_{\lambda }^{\infty }{\left[{\mu }^{r}g\left(\mu \right)\right]}^{{\alpha }_1}\frac{\text{d}\mu }{\mu }}\right]}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}$，对每个 $\epsilon \in \left(0,1\right]$ 和任意 $\lambda \ge 0$ 成立。

(2) 当 ${\alpha }_2=\infty$ 时，有 $\underset{\mu >\lambda }{\sup }\left[{\mu }^{r}g\left(\mu \right)\right]\le \epsilon {\lambda }^{r}g\left(\lambda \right)+C{\left({\displaystyle {\int }_{\lambda }^{\infty }{\left[{\mu }^{r}g\left(\mu \right)\right]}^{{\alpha }_1}\frac{\text{d}\mu }{\mu }}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_1}}$，其中当 ${\alpha }_2<\infty$ 时，常数C依赖于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,r$ ；当 ${\alpha }_2=\infty$ 时，常数 $C\equiv C\left({\alpha }_1,r\right)$。

现在定义

${\lambda }_0^2={\displaystyle \underset{{ℝ}^n}{\int }{\left|T_{\epsilon }f\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{{ℝ}^n}{\int }{\left|f\right|}^2\text{d}x}$, (2.1)

其中 $\delta \in \left(0,1\right)$ 是一个充分小且待定的一个数。记

$f_{\lambda }=f/\left({\lambda }_0\lambda \right)$ 且 $T_{\epsilon }{f}_{\lambda }=T_{\epsilon }f/\left({\lambda }_0\lambda \right)$，对任意 $\lambda >\text{0}$。 (2.2)

引理2.4 对 $\lambda >\text{0}$，则存在一族互不相交的球 ${\left\{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right\}}_{i\ge 1}$，其中 $x_i\in E_{\lambda }\left(1\right):=\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }\right|>1\right\}$， $0<{\rho }_i={\rho }_i\left(x_i,\lambda \right)\le {\rho }_0$，且满足 ${\lambda }^2\left|B_{{\rho }_0}\right|=1$ 使得

$J_{\lambda }\left[B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right]=1$, $J_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x_i\right)\right]<1$, (2.3)

对任意的 $\rho >{\rho }_i$ 成立，且

$E_{\lambda }\left(1\right)\subset {\displaystyle \underset{i\ge 1}{\cup }{B}_{5{\rho }_i}}\left(x_i\right)$, (2.4)

其中

$J_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x\right)\right]=\frac{1}{\left|B_{\rho }\left(x\right)\right|}{\displaystyle \underset{B_{\rho }\left(x\right)}{\int }{\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{{\delta }^2\left|B_{\rho }\left(x\right)\right|}{\displaystyle \underset{B_{\rho }\left(x\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}$, (2.5)

对任意的 $\lambda >\text{0}$ 和 ${ℝ}^n$ 中任意的球 $B_{\rho }\left(x\right)$ 成立。另外，我们还可得

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left({\displaystyle \underset{B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}\right)}\le \frac{8{\delta }^2\cdot 5^n}{{\mu }^2}\left({\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t+\frac{1}{{\delta }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right)$. (2.6)

证明. 1. 固定任意的 $x\in {ℝ}^n$ 和 $\rho \ge {\rho }_0={\rho }_0\left(\lambda \right)>0$ 且满足 ${\lambda }^2\left|B_{{\rho }_0}\right|=1$，利用式(2.2)和式(2.5)，我们有

$J_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x\right)\right]\le \frac{1}{\left|B_{\rho }\left(x\right)\right|}{\displaystyle \underset{{ℝ}^n}{\int }{\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{{\delta }^2\left|B_{\rho }\left(x\right)\right|}{\displaystyle \underset{{ℝ}^n}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}\le \frac{1}{{\lambda }^2\left|B_{\rho }\left(x\right)\right|}\le \frac{1}{{\lambda }^2\left|B_{{\rho }_0}\right|}=1$.

因而我们可以得到

$\underset{x\in {ℝ}^n}{\sup }\underset{\rho \ge {\rho }_0}{\sup }{J}_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x\right)\right]\le 1$. (2.7)

对几乎处处 $x\in E_{\lambda }\left(1\right)$，利用Lebesgue定理，我们有 $\underset{\rho \to 0}{\lim }{J}_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x\right)\right]>1$，这意味着存在 $\rho >0$，满足

$J_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x\right)\right]>1$.(2.8)

所以由式(2.7)，我们选取 ${\rho }_x\in \left(0,{\rho }_0\right]$ 使得 $J_{\lambda }\left[B_{{\rho }_x}\left(x\right)\right]=1$， $J_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x\right)\right]<1$，对任意的 $\rho >{\rho }_x$。

由上面可以知道，对几乎处处 $x\in E_{\lambda }\left(1\right)$，我们可以找到如上构造的球 $B_{{\rho }_x}\left(x\right)$。因此，利用引理2.1，我们可以找到一族互不相交的球 ${\left\{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right\}}_{i\ge 1}$，其中 $x_i\in E_{\lambda }\left(1\right)$，使得

$J_{\lambda }\left[B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right]=1$， $J_{\lambda }\left[B_{\rho }\left(x_i\right)\right]<1$，对任意的 $\rho >{\rho }_i$ 且 $E_{\lambda }\left(1\right)\subset {\displaystyle \underset{i\ge 1}{\cup }{B}_{5{\rho }_i}}\left(x_i\right)$。

2. 现在令 $\mu =\lambda {\lambda }_0$，则有 $f_{\lambda }=f/\mu$， $T_{\epsilon }{f}_{\lambda }=T_{\epsilon }f/\mu$，对固定的 $\lambda >0$，则必有以下式子中的其中一个成立

$\frac{{\mu }^2}{2}\le \frac{1}{\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|}{\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|T_{\epsilon }f\right|}^2\text{d}x}$, $\frac{{\mu }^2{\delta }^2}{2}\le \frac{1}{\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|}{\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f\right|}^2\text{d}x}$.(2.9)

(1) 假设第一种情况成立，则我们有

$\begin{array}{c}\frac{{\mu }^2}{2}\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|\le {\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|T_{\epsilon }f\right|}^2\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\\ \le \frac{{\mu }^2}{16}\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|+2{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\end{array}$,

吸收右边第一项就有

$\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|\le \frac{8}{{\mu }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t$. (2.10)

(2) 假设第二种情况成立，我们可以得到

$\begin{array}{c}\frac{{\mu }^2{\delta }^2}{2}\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|\le {\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f\right|}^2\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\\ \le \frac{{\mu }^2{\delta }^2}{16}\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|+2{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\end{array}$,

吸收右边第一项就有

$\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|\le \frac{8}{{\mu }^2{\delta }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t$. (2.11)

结合(2.10)和(2.11)，我们有

$\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|\le \frac{8}{{\mu }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t+\frac{8}{{\mu }^2{\delta }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in B_{{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t$. (2.12)

3. 由式(2.3)和式(2.5)知 $\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|={\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}+\frac{1}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}\ge \frac{1}{{\delta }^2}{\displaystyle \underset{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}$。

所以我们有

${\displaystyle \underset{B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}\le {\delta }^2\left|B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|={\delta }^2{5}^n\left|B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right|$. (2.13)

从而结合式(2.12)和式(2.13)，利用 $\left\{B_{{\rho }_i}\left(x_i\right)\right\}$ 是互不相交的，我们最后可得到式(2.6)。这就完成了我们的证明。 £

现在我们固定 $i\ge 1$，令

$f_{\lambda }^1\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{f}_{\lambda }\left(x\right),若x\in B_{25{\rho }_i}\left(x_i\right)\\ \text{0,}若x\in {ℝ}^n\backslash B_{25{\rho }_i}\left(x_i\right)\end{array}$ 和 . (2.14)

引理2.5 [17] 存在 $N_1=N_1\left(n\right)>1$，使得 $\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }^2\left(x\right)\right|\le N_1$ 对任意的 $x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)$ 成立。

最后，我们给出以下水平集估计的结果。

引理2.6 假设 $\lambda >0$，对任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta =\delta \left(\epsilon \right)>0$ 使得 $T_{\epsilon }f$ 满足

$\begin{array}{l}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>2N_1\mu \right\}\right|\\ \le \frac{C\left(n\right){\delta }^2}{{\mu }^2}\left[{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t+\frac{1}{{\delta }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right]\end{array}$. (2.15)

证明. 对任意的 $\mu =\lambda {\lambda }_0>0$，利用式(2.2)，引理2.5和 $T_{\epsilon }$ 是强(2,2)的，我们有

$\begin{array}{l}\left|\left\{x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }f\right|>2N_1\mu \right\}\right|\\ =\left|\left\{x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }\right|>2N_1\right\}\right|\\ \le \left|\left\{x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }^1\right|>N_1\right\}\right|+\left|\left\{x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }^2\right|>N_1\right\}\right|\\ =\left|\left\{x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }^1\right|>N_1\right\}\right|\le \frac{1}{N_1^2}{\displaystyle \underset{B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }^1\right|}^2\text{d}x}\\ \le C\left(n\right){\displaystyle \underset{B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }^1\right|}^2\text{d}x}\le C\left(n\right){\displaystyle \underset{B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}\end{array}$

回顾引理2.4，对任意的 $\lambda >0$，我们有

$\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }{f}_{\lambda }\right|>1\right\}=E_{\lambda }\left(1\right)\subset {\displaystyle \underset{i\ge 1}{\cup }{B}_{5{\rho }_i}}\left(x_i\right)$. (2.16)

所以我们可以得到

$\begin{array}{l}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>2N_1\mu \right\}\right|\\ \le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}\left|\left\{x\in B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right):\left|T_{\epsilon }f\right|>2N_1\mu \right\}\right|}\le C\left(n\right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{B_{5{\rho }_i}\left(x_i\right)}{\int }{\left|f_{\lambda }\right|}^2\text{d}x}}\\ \le \frac{C\left(n\right){\delta }^2}{{\mu }^2}\left[{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t+\frac{1}{{\delta }^2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right]\end{array}$.

这就完成了引理2.6的证明。 £

3. 主要结果的证明

证明. 我们分成两种情况，分别为 $0<q<\infty$ 和 $q=\infty$ 的情况。

情形1： $0<q<\infty$，根据范数定义和引理2.6，我们可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q=q{\left(2N_1\right)}^q{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>2N_1\mu \right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \\ \le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-\frac{2q}{\gamma }-1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right)}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \\ +C\left(n,\delta \right){\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-\frac{2q}{\gamma }-1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right)}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \\ :=I_1+I_2\end{array}$. (3.1)

情形1.1： $q\ge \gamma$。

利用引理2.2，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q\le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}\left[{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-\frac{2q}{\gamma }-1}}\cdot {\mu }^{\frac{q}{\gamma }}{\left(\mu \left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>\frac{\mu }{4}\right\}\right|\right)}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \right]\\ +C\left(n,\delta \right)\left[{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-\frac{2q}{\gamma }-1}}\cdot {\mu }^{\frac{q}{\gamma }}{\left(\mu \left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>\frac{\mu \delta }{4}\right\}\right|\right)}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \right]\\ =C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>\frac{\mu }{4}\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \\ +C\left(n,\delta \right){\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>\frac{\mu \delta }{4}\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \\ =C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q+C\left(n,\delta \right){\Vert f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q\end{array}$. (3.2)

情形1.2： $0<q<\gamma$。

$I_{\text{1}}$ 的估计。利用引理2.3，取( ${\alpha }_1=1$， ${\alpha }_2=\frac{\gamma }{q}$， $\epsilon =1$， $r=\frac{2q}{\gamma }$ )，我们得到

$\begin{array}{l}{\left({\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right)}^{\frac{q}{\gamma }}\\ \le C{\mu }^{\frac{2q}{\gamma }}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>\frac{\mu }{4}\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}+C{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }{t}^{\frac{2q}{\gamma }-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}t\end{array}$.

再利用Fubini定理，我们有

$\begin{array}{c}{I}_1\le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>\frac{\mu }{4}\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}\mu \\ +C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\mu }^{q-\frac{2q}{\gamma }-1}}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }{t}^{\frac{2q}{\gamma }-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}t\text{d}\mu \\ \le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}\left[{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{\frac{2q}{\gamma }-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}{\displaystyle {\int }_0^{4t}{\mu }^{q-\frac{2q}{\gamma }-1}}\text{d}\mu \text{d}t\right]\\ =C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}\left[{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{q-1}}{\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|}^{\frac{q}{\gamma }}\text{d}t\right]\\ \le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q\end{array}$. (3.3)

$I_2$ 的估计。类似的有

$I_2\le C\left(n,\delta \right){\Vert f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q$. (3.4)

因此，由式(3.1)，式(3.2)，式(3.3)和式(3.4)，我们有

${\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q\le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q+C\left(n,\delta \right){\Vert f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q$.

不妨假设 ${\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{L\left(\gamma ,q\right)\left({ℝ}^n\right)}^q<+\infty$，否则，类似[7, P2946]中的技巧,我们可以考虑 ${\left|T_{\epsilon }f\right|}_k=\min \left\{\left|T_{\epsilon }f\right|,k\right\}$，对 $\delta$ 取充分小使得 $C\left(n\right){\delta }^{\frac{2q}{\gamma }}\le \frac{1}{2}$，从而可得式(1.3)。

情形2： $q=\infty$。根据Lorentz范数的定义和引理2.6，我们有

$\begin{array}{c}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}=\underset{\mu >0}{\sup }2N_1\mu {\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>2N_1\mu \right\}\right|}^{\frac{1}{\gamma }}\\ \le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2}{\gamma }}\underset{\mu >0}{\sup }{\mu }^{1-\frac{2}{\gamma }}{\left[{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|T_{\epsilon }f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right]}^{\frac{1}{\gamma }}\\ +C\left(n,\delta \right)\underset{\mu >0}{\sup }{\mu }^{1-\frac{2}{\gamma }}{\left[{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }t}\left|\left\{x\in {ℝ}^n:\left|f\right|>t\right\}\right|\text{d}t\right]}^{\frac{1}{\gamma }}\\ \le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2}{\gamma }}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}\underset{\mu >0}{\sup }{\left[{\mu }^{\gamma -2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu }{4}}^{\infty }{t}^{-\gamma +1}\text{d}t}\right]}^{\frac{1}{\gamma }}\\ +C\left(n,\delta \right){\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}\underset{\mu >0}{\sup }{\left[{\mu }^{\gamma -2}{\displaystyle {\int }_{\frac{\mu \delta }{4}}^{\infty }{t}^{-\gamma +1}\text{d}t}\right]}^{\frac{1}{\gamma }}\\ \le C\left(n\right){\delta }^{\frac{2}{\gamma }}{\Vert T_{\epsilon }f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}+C\left(n,\delta \right){\Vert f\Vert }_{{\mathcal{M}}^{\gamma }(ℝn)}\end{array}$

最后，类似于 $0<q<\infty$ 的做法，我们得到 $q=\infty$ 的结论。综上所述，定理1.2得证。 £