二重指数和的边界及其应用

Bounds for Double Exponential Sums and Its Application

摘要: 指数和在解析数论中扮演着非常重要的角色。在本文中，我们利用不等式以及同余等手段给出了二重指数和的边界，然后用该估计得到了有关于同余方程上的结果。

Abstract: Exponential sums play a key role in analytic number theory. In this paper, we establish bounds for double exponential sums by means of inequality and congruence. We then apply our estimate to obtain results on congruence equation.

1. 引言

设r是一个很大的整数，另设g是与r互质的整数且其模r的阶记为T。给定两个连续的整数区间 ${\rm N}=\left\{u+1,u+2,\cdots ,u+N\right\}$， ${\rm M}=\left\{v+1,v+2,\cdots ,v+M\right\}$，其中 $N\le r$， $M\le T$，我们定义二重指数和

$S_{a,r,g}\left({\rm A},{\rm B};{\rm N},{\rm M}\right)={\displaystyle \underset{n\in {\rm N}}{\sum }{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{\alpha }_n}}{\beta }_m{e}_r\left(an{g}^m\right)$,

其中 $e_r\left(z\right)={\text{e}}^{2\pi iz/r}$， ${\alpha }_n$ 和 ${\beta }_m$ 都是复数且 $\left|{\alpha }_n\right|$， $\left|{\beta }_m\right|\le 1$。

当r为素数p时，Boyrgain [1] 对于非常小的区间N和M估计了

$S_{a,p,g}\left({\rm N},{\rm M}\right)={\displaystyle \underset{n\in {\rm N}}{\sum }{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_p\left(an{g}^m\right)}}$

关于此方面的内容也可以参考 [2]。最近，Shparlinski [3] 和Garaev [4] 分别得到了关于的新的估计。

在本文中，我们主要给出 $S_{a,r,g}\left({\rm A},{\rm B};{\rm N},{\rm M}\right)$ 的边界，并由得到的结果给出同余方面的应用。文中会用到一些符号，例如 $A\ll B$ 表示存在常数 $c>0$ 使得 $\left|A\right|<cB$。另外， $A\prec B$ 表示 $\left|A\right|<r^{o\left(1\right)}B$。

2. 主要结果

定理2.1：对于 $\forall a\in {{\rm Z}}_r^{*}$，我们有

$S_{a,r,g}\left({\rm A},{\rm B};{\rm N},{\rm M}\right)<<r^{1/4}{M}^{3/4}{N}^{3/4}$.

取 $r=p^2$，则可推导出如下结果。

定理2.2：设 $\epsilon >0$ 是一个很小的常数， ${{\rm N}}_i$ 和 ${{\rm M}}_i$ 是连续的整数区间且其阶满足

$r\ge \left|{{\rm N}}_i\right|=N>r^{9/16+\epsilon }$, $\left|{{\rm M}}_i\right|=T>r^{1/2+\epsilon }$, $i=1,2,\cdots ,6$

那么对于任意整数 $\lambda$，同余方程

$x_1{g}^{y_1}+x_2{g}^{y_2}+\cdots +x_6{g}^{y_6}\equiv \lambda \left(\mathrm{mod}r\right)$, $x_i\in {{\rm N}}_i$, $y_i\in {{\rm M}}_i$

的解的个数

$\Delta =\frac{{\left(NT\right)}^6}{r}\left(1+O\left(r^{-\delta }\right)\right)$, 其中 .

3. 引理

引理3.1：当 $b\equiv 0\left(\mathrm{mod}r\right)$ 时， ${\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{e}_r\left(b\lambda \right)}=r$ ；否则其值为0。

证明：当 $b\equiv 0\left(\mathrm{mod}r\right)$ 时，求和号中每项均为1，因此和为r；

反过来， ${\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{e}_r\left(b\lambda \right)}=\frac{1-e_r^r\left(b\lambda \right)}{1-e_r\left(b\lambda \right)}=0$。

证毕。

在Bourgain [5] 的定理1中取 $v=1$，我们得到

引理3.2：设 $\Gamma$ 是 ${{\rm Z}}_r^{*}$ 的一个子群。如果 $\left|\Gamma \right|>r^{1/2}$，那么对于任意正整数h，同余方程 $u{x}_1\equiv x_2\left(\mathrm{mod}r\right)$，其中正整数且 $u\in \Gamma$ 的解的个数

$\Lambda \prec h{\left|\Gamma \right|}^{3/4}{r}^{-1/4}+h^2\left|\Gamma \right|r^{-1}$.

推论3.3：设 $\Gamma$ 是 ${{\rm Z}}_r^{*}$ 的一个子群。如果 $\left|\Gamma \right|>r^{1/2}$，那么对于任意正整数h，同余方程 $u_1{x}_1\equiv u_2{x}_2\left(\mathrm{mod}r\right)$，其中正整数 $x_1,x_2\le h$ 且 $u_1,u_2\in \Gamma$ 的解的个数

.

结合Garaev [4] 中的引理2，我们有

引理3.4：设 $S_{a,r,g}\left({\rm A},{\rm B};{\rm N},{\rm M}\right)$ 中 $\left|{\rm N}\right|=N$， $\left|{\rm M}\right|=T$，那么同余方程

$x_1{g}^{y_1}\equiv x_2{g}^{y_2}\left(\mathrm{mod}r\right)$, $x_1,x_2\in {\rm M}$, $y_1,y_2\in {\rm M}$

的解的个数

$J\prec T^2+N{T}^{7/4}{r}^{-1/4}+N^2{T}^2{r}^{-1}$.

4. 定理2.1的证明

重新排列顺序并利用Cauchy-Schwarz不等式，我们有

$\begin{array}{c}{\left|S_{a,r,g}\left({\rm A},{\rm B};{\rm N},{\rm M}\right)\right|}^2\le \left({{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }\left|{\beta }_m\right|}}^2\right){\left({\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }\left|{\displaystyle \underset{n\in {\rm N}}{\sum }{\alpha }_n{e}_r\left(an{g}^m\right)}\right|}\right)}^2\\ =M{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{\displaystyle \underset{n_1,n_2\in {\rm N}}{\sum }{\alpha }_{n_1}}}\overline{{\alpha }_{n_2}}{e}_r\left(a{g}^m\left(n_1-n_2\right)\right)\\ \le M{\displaystyle \underset{n_1,n_2\in {\rm N}}{\sum }\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\left(n_1-n_2\right)\right)}\right|}\end{array}$.

因此，如果我们定义 $I_{\lambda }$ 为同余方程

$n_1-n_2\equiv \lambda \left(\mathrm{mod}r\right)$, $n_1,n_2\in {\rm N}$

的解的个数，那么

(1)

再次应用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

${\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{I}_{\lambda }}\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\lambda \right)}\right|\le {\left({\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{I}_{\lambda }^2}\right)}^{1/2}{\left({\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\lambda \right)}\right|}^2}\right)}^{1/2}$ (2)

然而，因为 ，所以我们有

${\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{I}_{\lambda }^2}<<1^2+2^2+\cdots +N^2<<N^3$ (3)

另一方面，

$\begin{array}{l}{{\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\lambda \right)}\right|}}^2={\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{m_1\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^{m_1}\lambda \right)}}\stackrel{¯}{{\displaystyle \underset{m_2\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^{m_2}\lambda \right)}}\\ ={\displaystyle \underset{m_1,m_2\in {\rm M}}{\sum }{\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{e}_r\left(a\left(g^{m_1}-g^{m_2}\right)\lambda \right)}}\end{array}$.

由引理3.1，当 时， ${\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{e}_r\left(a\left(g^{m_1}-g^{m_2}\right)\lambda \right)}=r$ ；否则其值为0。

所以

${{\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\lambda \right)}\right|}}^2=Mr$. (4)

将(3)和(4)代入(2)，得

${\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}{I}_{\lambda }}\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\lambda \right)}\right|<<N^{3/2}{M}^{1/2}{r}^{1/2}$.

再将其代入(1)，我们便有

.

因此，定理2.1得证。

5. 定理2.2的证明

首先，我们将 $\Delta$ 改写为

$\Delta =\frac{1}{r}{\displaystyle \underset{a=0}{\overset{r-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{6}{\prod }}\left({\displaystyle \underset{x\in {{\rm N}}_j}{\sum }{\displaystyle \underset{y\in {{\rm M}}_j}{\sum }{e}_r\left(ax{g}^y\right)}}\right)e_r\left(-a\lambda \right)}}$. (5)

当 $r=p^2$ 时，若 $\gcd \left(a,r\right)\ne 1$，则定理2.1证明中的(4)为

其中V为同余方程

$g^{m_1}-g^{m_2}\equiv 0\left(\mathrm{mod}{r}^{1/2}\right)$, $m_1,m_2\in {\rm M}$

的解的个数。

因此，

${{\displaystyle \underset{\lambda =0}{\overset{r-1}{\sum }}\left|{\displaystyle \underset{m\in {\rm M}}{\sum }{e}_r\left(a{g}^m\lambda \right)}\right|}}^2<<Mr$.

从而对于正整数a，我们恒有

.

在(5)中，将 $a=0$ 的项分离，并利用上述结果，我们有

$\left|\Delta -\frac{1}{r}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{6}{\prod }}\left(NT\right)}\right|<W{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\prod }}\left(r^{1/4+{\delta }_0}{N}^{3/4}{T}^{3/4}\right)}\le W{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\prod }}\frac{NT}{r^{1/64+{\delta }_1}}}$ (6)

其中 $0<{\delta }_0<\frac{\epsilon }{2}$， ${\delta }_1>0$ 且

.

利用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到

$W\le \sqrt{\frac{1}{r}{\displaystyle \underset{a=0}{\overset{r-1}{\sum }}{\left|{\displaystyle \underset{x\in {{\rm N}}_5}{\sum }{\displaystyle \underset{y\in {{\rm M}}_5}{\sum }{e}_r\left(ax{g}^y\right)}}\right|}^2}}\sqrt{\frac{1}{r}{{\displaystyle \underset{a=0}{\overset{r-1}{\sum }}\left|{\displaystyle \underset{x\in {{\rm N}}_6}{\sum }{\displaystyle \underset{y\in {{\rm M}}_6}{\sum }{e}_r\left(ax{g}^y\right)}}\right|}}^2}=\sqrt{T_5}\sqrt{T_6}$ (7)

其中 $T_i$ 是同余方程

, $x_1,x_2\in {{\rm N}}_i$, $y_1,y_2\in {{\rm M}}_i$

的解的个数。

由引理3.4，我们有

$T_i\prec N^2{T}^2\left(\frac{1}{N^2}+\frac{1}{N{T}^{1/4}{r}^{1/4}}+\frac{1}{r}\right)<\frac{N^2{T}^2}{r^{15/16+{\delta }_2}}$, 其中 ${\delta }_2>0$.

将其代入(7)，得

$W\le \frac{N^2{T}^2}{r^{15/16+{\delta }_3}}$, 其中 ${\delta }_3>0$.

代入(6)，我们有

$\left|\Delta -\frac{1}{r}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{6}{\prod }}\left(NT\right)}\right|<\frac{1}{r^{1+\delta }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{6}{\prod }}\left(NT\right)}$, 其中 $\delta >0$.

证毕。

致谢

感谢M. Z. Garaev的文章给我的思路，以及同事们对我工作的支持。