具有三个IM分担值与一个CM分担值的亚纯函数的唯一性
Uniqueness of Meromorphic Functions with Three IM Sharing Values and One CM Sharing Value
DOI: 10.12677/PM.2020.104040, PDF, HTML, XML,   
作者: 胡 岚, 赖 铭:云南师范大学数学学院,云南 昆明
关键词: 亚纯函数分担值唯一性Meromorphic Function Sharing Value Uniqueness
摘要: 本文通过研究G. G. Gundersen问题得到具有三个IM分担值与一个CM分担值的亚纯函数的唯一性结论。
Abstract: In this paper, some results of the uniqueness of meromorphic functions with three CM sharing values and one IM sharing value are obtained.
文章引用:胡岚, 赖铭. 具有三个IM分担值与一个CM分担值的亚纯函数的唯一性[J]. 理论数学, 2020, 10(4): 318-324. https://doi.org/10.12677/PM.2020.104040

1. 引言及主要结果

本文使用值分布论的基础知识及Nevanlinna常用理论的标准符号 [1] [2] [3],设 f ( z ) g ( z ) 为复平面上的两个非常数亚纯函数,而a为扩充复平面中的元素,若 f 1 ( { a } ) = g 1 ( { a } ) ,则称a为亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 的IM分担值;若a为亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 的IM分担值,且对于 z f 1 ( { a } ) 都有 z 作为方程 f ( z ) = a 的根的重数与 z 作为方程 g ( z ) = a 的根的重数相同,则称a为亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值。

对于复平面上的非常数亚纯函数 f ( z ) 而言, S ( r , f ) 泛指形如 o { T ( r , f ) } ( r , r E , m e s E < + ) 的量。

1929年,Nevanlinna证明了以下定理:

定理A [1] 若非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 具有5个判别的IM分担值,则 f ( z ) g ( z )

定理B [1] 若非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 以4个两两判别的复数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 为CM分担值,则以下情况之一必发生:

(i) f ( z ) g ( z )

(ii) f ( z ) g ( z ) ,但 g ( z ) f ( z ) 的分式线性变换,且 a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 中必有两个是 f ( z ) g ( z ) 公共的Picard例外值。

1979年,G. G. Gundersen得到了 3 C M + I M = 4 C M 定理。

定理C [2] 设 a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 为4个判别的复数,如果非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) a 1 , a 2 , a 3 为CM分担值,而以 a 4 为IM分担值,则 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 均为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值。

1983年,Gundersen将定理C改进为如下的 2 C M + 2 I M = 4 C M 定理。

定理D [3] a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 为4个判别的复数,如果非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) a 1 , a 2 为CM分担值,而以 a 3 , a 4 为IM分担值,则 a 3 , a 4 亦为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值。

Gundersen根据上述结果,提出了以下公开问题:

a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 为4个判别的复数。如果 a 1 , a 2 , a 3 为非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 的IM分担值, a 4 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值,那么 a 1 , a 2 , a 3 是否一定亦都为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值?

对于上述问题,1992年,Gundersen得到如下的阶段性结果。

定理E [4] 设c为异于 0 , 1 , 的复数, f ( z ) g ( z ) 为判别的非常数亚纯函数。如果 f ( z ) g ( z ) 0 , 1 , c 为IM分担值,而以 为CM分担值,且 λ > 4 5 I R + 使 m e s I = + 以及 N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) ( r I ) ,则 0 , 1 , , c 均为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值。

对于Gundersen的上述问题,在本文中我们得到如下几个结果。

定理1.1 设 f ( z ) g ( z ) 为判别的非常数亚纯函数。如果 f ( z ) g ( z ) 0 , 1 , c ( c C \ { 0 , 1 , } ) 为IM分担值、而以 为CM分担值,且 λ > 2 3 I R + 使得 m e s I = + 以及对 r I 都有

N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) , N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) N ( r , 1 f ) + N ( r , 1 f 1 ) + N ( r , 1 f c ) > 1 2 ,

0 , 1 , , c 均为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值。

定理1.2 设 f ( z ) g ( z ) 为判别的非常数亚纯函数。如果 f ( z ) g ( z ) 0 , 1 , c ( c { 1 , 1 2 , 2 } ) 为IM分担值、而以 为CM分担值,且 λ > 4 7 I R + 使得 m e s I = + 以及对 r I 都有

N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) , N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) N ( r , 1 f ) + N ( r , 1 f 1 ) + N ( r , 1 f c ) > 1 2 ,

0 , 1 , , c 都为 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值。

2. 几个引理

为了证明本文的结果,我们需要以下几个辅助结果。

引理2.1 [1] 设 a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 为非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 的四个判别的IM分担值。如果 f ( z ) g ( z ) ,那么:

(i) T ( r , f ) = T ( r , g ) + S ( r , f ) T ( r , g ) = T ( r , f ) + S ( r , f )

(ii) N 0 ( r , f ) = S ( r , f ) N 0 ( r , g ) = S ( r , f )

(iii) j = 1 4 N ¯ ( r , 1 f a j ) = 2 T ( r , f ) + S ( r , f )

(iv) j = 1 4 N ( r , a j ) = S ( r , f )

其中 N 0 ( r , f ) 表示 f 的零点,但不是 f a j ( j = 1 , 2 , 3 , 4 ) 的零点的计数函数, N 0 ( r , g ) 类似定义, N ( r , a j ) 表示 f a j g a j 重级均大于1的公共零点的计数函数,按重级小者计算次数。

引理2.2 [1] 设c为有穷复数,且 c 0 , 1 ,非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 0 , 1 , 及c中的任何一个为IM分担值,令

β 1 = f f ( f f 1 + f f c 2 f f ) { g g ( g g 1 + g g c 2 g g ) } ,

β 2 = f f ( f f + f f 1 2 f f c ) { g g ( g g + g g 1 2 g g c ) } ,

β 3 = f f ( f f + f f c 2 f f 1 ) { g g ( g g + g g c 2 g g 1 ) } ,

则有

T ( r , β 1 ) N ¯ ( r , f ) N E ( r , ) + N ¯ ( r , 1 f ) N E ( r , 0 ) + S ( r , f ) ,

T ( r , β 2 ) N ¯ ( r , f ) N E ( r , ) + N ¯ ( r , 1 f c ) N E ( r , c ) + S ( r , f ) ,

T ( r , β 3 ) N ¯ ( r , f ) N E ( r , ) + N ¯ ( r , 1 f 1 ) N E ( r , 1 ) + S ( r , f ) ,

其中 N E ( r , 0 ) 表示 f ( z ) g ( z ) 公共的单重零点的密指量, N E ( r , 1 ) N E ( r , c ) 亦类似定义。

引理2.3 [1] 设常数 c { 0 , 1 , } ,如果判别的非常数亚纯函数 f ( z ) g ( z ) 0 , 1 , 及c的每一个值为IM分担值, ψ = f ( f g ) 2 g f ( f 1 ) ( f c ) g ( g 1 ) ( g c ) ,而 β 1 , β 2 , β 3 如引理2.2中所述,令 δ 1 = β 1 ( 1 + c ) 2 ψ δ 2 = β 2 ( 1 2 c ) 2 ψ δ 3 = β 3 ( c 2 ) 2 ψ ,又设 z f ( z ) g ( z ) 公共的单重极点,则 δ 1 ( z ) = 0 δ 2 ( z ) = 0 δ 3 ( z ) = 0

3. 定理1.1的证明

β 1 = f f ( f f 1 + f f c 2 f f ) { g g ( g g 1 + g g c 2 g g ) } ,

β 2 = f f ( f f + f f 1 2 f f c ) { g g ( g g + g g 1 2 g g c ) } ,

β 3 = f f ( f f + f f c 2 f f 1 ) { g g ( g g + g g c 2 g g 1 ) } ,

ψ = f ( f g ) 2 g f ( f 1 ) ( f c ) g ( g 1 ) ( g c ) ,

H = ( β 1 2 ( 1 + c ) 2 ψ ) ( β 2 2 ( 1 2 c ) 2 ψ ) ( β 3 2 ( c 2 ) 2 ψ ) ,

ψ 为整函数,又由对数导数引理知 m ( r , ψ ) = S ( r , f ) ,故 T ( r , f ) = S ( r , f ) 。由于 f ( z ) g ( z ) 的CM分担值,且由引理2.1 (iv)知

N ¯ ( r , f ) N E ( r , ) = S ( r , f ) . (1)

由(1)式及引理2.2知

T ( r , β 1 ) N ¯ ( r , 1 f ) N E ( r , 0 ) + S ( r , f ) , (2)

T ( r , β 2 ) N ¯ ( r , 1 f c ) N E ( r , c ) + S ( r , f ) , (3)

T ( r , β 3 ) N ¯ ( r , 1 f 1 ) N E ( r , 1 ) + S ( r , f ) .(4)

我们断言 H 0

事实上,若 H 0 ,由Nevanlinna第一基本定理及(2)~(4)式得

3 N ¯ ( r , f ) N ( r , 1 H ) T ( r , H ) + O ( 1 ) 2 ( T ( r , β 1 ) + T ( r , β 2 ) + T ( r , β 3 ) ) + S ( r , f ) 2 ( N ¯ ( r , 1 f ) N E ( r , 0 ) + N ¯ ( r , 1 f c ) N E ( r , c ) + N ¯ ( r , 1 f 1 ) N E ( r , 1 ) ) + S ( r , f ) .

由上式可得

3 N ¯ ( r , f ) + 2 ( N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) ) 2 ( N ¯ ( r , 1 f ) + N ¯ ( r , 1 f 1 ) + N ¯ ( r , 1 f c ) ) + S ( r , f ) .

又由引理2.1 (iii)得

5 N ¯ ( r , f ) + 2 ( N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) ) 2 ( N ¯ ( r , 1 f ) + N ¯ ( r , 1 f 1 ) + N ¯ ( r , 1 f c ) + N ¯ ( r , f ) ) + S ( r , f ) 4 T ( r , f ) + S ( r , f ) . (5)

继令

γ = f ( f g ) g f ( f 1 ) ( f c ) g ( g 1 ) ( g c ) .

z 为f与g的极点,则 z γ 的零点。由引理2.1 (iv)及已知条件可知

N ¯ ( r , f ) N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) + N ¯ D ( r , 0 ) + N ¯ D ( r , 1 ) + N ¯ D ( r , c ) + S ( r , f ) 2 ( N E ( r , 0 ) + N E ( r , 1 ) + N E ( r , c ) ) + S ( r , f ) . (6)

结合(5)式可知

6 N ¯ ( r , f ) 4 T ( r , f ) + S ( r , f ) .

这与定理的假设 λ > 2 3 I R + 使得 m e s I = + ,且 N ¯ ( r , f ) > λ T ( r , f ) ( r I ) 矛盾,所以断言成立。故 H 0

不失一般性,令

{ f f ( f f 1 + f f c 2 f f ) { g g ( g g 1 + g g c 2 g g ) } } 2 ( 1 + c ) 2 ( f ( f g ) 2 g f ( f 1 ) ( f c ) g ( g 1 ) ( g c ) )

β 1 2 ( 1 + c ) 2 ψ ,设

P = f f 2 ( g 1 ) ( g c ) g g 2 ( f 1 ) ( f c ) . (7)

由(7)式可知 β 1 = p p ,故有 ( p p ) 2 ( 1 + c ) 2 ψ 。又因 ψ 为一个整函数,故0和 为P的Picard例外值。

因而有

f f 2 ( g 1 ) ( g c ) g g 2 ( f 1 ) ( f c ) = e P 1 . (8)

(其中 P 1 为一个整函数)。由(8)式可知:0和 f ( z ) g ( z ) 公共的CM分担值,且结合 1 , c f ( z ) 公共的IM分担值与定理D可知均为的CM分担值。定理1.1证毕。

4. 定理1.2的证明

,令

.

我们断言。事实上,若,则由Nevanlinna第一基本定理及引理2.2可知

,

由上可得

. (9)

由引理2.1 (iv)可知

.

再结合定理1.2的已知条件及定理1.1中的(6)式可知

这与定理的假设使得,且矛盾,所以断言成立。故

时,即

. (10)

由(10)式经积分可以得到

(其中A为非零常数)。再结合公共的IM分担值可知:均为的CM分担值。

,令

,.

我们有,故。又因为一个整函数,故0和的Picard例外值,即(其中为一个整函数),由此可知0和公共的CM分担值,且结合公共的IM分担值与定理D可知:均为的CM分担值。

同理,若,令;若,令。与上面类似的过程可证

得定理1.2的结论。

参考文献

参考文献

[1] 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.
[2] Gundersen, G.G. (1979) Meromorphic Functions That Share Three or Four Values. Journal of London Mathematical Society, 20, 457-466.
https://doi.org/10.1112/jlms/s2-20.3.457
[3] Gundersen, G.G. (1983) Meromorphic Functions That Share Four Values. Transactions of the American Mathematical Society, 277, 545-567.
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1983-0694375-0
[4] Gundersen. G.G. (1992) Meromorphic Functions that Share Three Values IM and a Forth Value CM. Complex Variables, 20, 99-106.
https://doi.org/10.1080/17476939208814590