关于Kendall协和系数的理解

Understanding of Kendall’s Coefficient of Concordance

摘要: 在非参数统计中，检验多个变量的相关性或检验结果的一致性常用Kendall协和系数。本文主要从另一视野出发，对Kendall协和系数提出一种简洁易懂的方式，帮助学生理解Kendall协和系数。

Abstract: In nonparametric statistics, Kendall’s coefficient of concordance is usually used to test the coefficient of multiple variables or the results consistent. In order to help the students to understand it more clearly, this paper proposed a simple and easy understanding method from a different perspective.

1. 引言

变量之间相关程度的度量，在参数统计中最常用的是Pearson矩相关系数。在非参数统计 [1] 中，Spearman秩相关系数和Kendall-τ相关系数是常用的方法。但是它们只适用于两个变量的情形，在实际中常常需要处理多个变量之间的相关性，或多个评价的一致性，如凭手感评定毛织物的紧密程度，评论员的检验结果是否一致 [2]。对这类问题，可采用Kendall协和系数(Kendall’s coefficient of concordance) [3] 来解决。Kendall协和系数也称为Kendall W系数，由M.G. Kendall和B. Babington Smith于1939年引入，用于检验多个变量之间的相关性。它以多变量秩和检验为基础，主要用于双因素设计或区组设计问题的检验。在非参数统计教学中学生常常对Kendall协和系数的理解存在困难，本文旨在提供一种简洁易懂的方法，帮助学生加强理解。

2. Kendall协和系数的基本原理

由于一致性检验问题常可以转化成区组问题，如裁判的评分是否一致，每个裁判即可看成一个区组，因此检验一致性也可理解成检验区组之间有无差异。为此我们引入区组设计的一些相关概念。设有b个区组，k个处理，第 $j\left(j=1,2,\cdots ,b\right)$ 个区组内的k个观测值分别为 $x_{1j},x_{2j},\cdots ,x_{kj}$，其分布函数为 $F_j\left(x-{\theta }_i\right)$。要检验处理之间有无差异，原假设和备择假设分别为

$H_0:{\theta }_1={\theta }_2=\cdots ={\theta }_k$， $H_1:{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k$ 不全相等。

其中 ${\theta }_i$ 为第i个处理的位置参数。当然，若处理间有某种趋势时，如上升趋势，备择假设为

$H_1:{\theta }_1\le {\theta }_2\le \cdots \le {\theta }_k,{\theta }_1<{\theta }_k$。

为了解决这一问题，在非参数统计中，我们先要对同一区组内的观测值由小到大进行排序，再求出观测值的秩在同一处理内的平均。如表1所示。

Table 1. The case of k treatments and b blocks

表1. k个处理b个区组的情况

$R_{ij}$ 为第i个处理第j个区组内的观测值 $x_{ij}$ 在区组j内的排序，当同一区组内有相同的观测值(即有结)时，此时要对秩取平均。 $R_{i+}$ 为第i个处理的秩和， $R_i$ 为第i个处理的秩平均。

其次，计算处理间的方差 $SSB=b{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k\left(\overline{R_i}-\bar{R}\right)}$，再计算同一处理内的方差 $SSE={{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\displaystyle {\sum }_{j=1}^b\left(R_{ij}-{\bar{R}}_i\right)}}}^2$ 以及总方差 $SST={{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\displaystyle {\sum }_{j=1}^b\left(R_{ij}-\bar{R}\right)}}}^2$。特别强调的是，此处组间的方差是处理间的方差，组内的方差为同一处理内的方差。

我们将对总方差(SST)进行分解，得到SST = SSB + SSE，当同一区组内没有相同的观测值时，总方差

$SST=\frac{bk\left(k^2-1\right)}{12}$， (1)

为常数。若处理间的方差SSB增大，处理内的方差SSE会减小。当处理内的方差SSE减小到一定程度时，即可认为评论员对同一处理的打分具有一致性，显然，此时处理间的方差足够大。可借用Friedman所提出的Friedman检验统计量 [2]，即

$Q=\frac{12}{k\left(k+1\right)}SSB$ (2)

来判断原假设是否成立。当Q比较大时，拒绝原假设，认为 ${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k$ 不全相等。由以上的分析我们知道，拒绝原假设时，处理间的方差足够大，意味着处理内的方差足够小，即评论员的打分一致，所以在一致性检验中，原假设和备择假设转变为

$H_0$ ：评价不一致； $H_1$ ：评价具有一致性。

这是在教学中学生最容易混淆的。类似于相关系数的值规范在[−1, 1]之间，我们也对Q进行规范，将(1)和(2)带入下列式子中，得到

$W\text{=}\frac{SSB}{SST}=\frac{Q}{b\left(k-1\right)}$，(3)

即为M.G. Kendall和B. Babington Smith提出的Kendall协和系数。W的取值范围为[0, 1]，越接近1说明相关性越大，评价越一致，在实际中我们可以借助软件计算p值，也可以直接采用SPSS进行判断。

3. 案例分析

案例：请6位电影评家对4部电影打分，评分结果见表2：试问三个评家的评价结果是否具有一致性？ $\alpha =0.05$。

Table 2. The scores by the 6 film critics

表2. 6个影评家的评分结果

此时，区组为影评家，处理为电影，参数k = 4, b = 6。检验步骤为：

1) 原假设H0:看法不一致；备择假设H1:看法一致，

2) 用kenddal-W检验计算Q = 12*SSB/4 * 5 = 8.4，或W = 8.4/6 * 3 = 0.467，

3) 查Friedman检验统计量表，k = 4, b = 6得到 $\alpha =0.05$ 时的临界值为7.6，或计算 $p=P\left(W\ge 0.467\right)=0.038$，

4) 拒绝原假设，认为看法一致。

采用SPSS进行操作，步骤如下：

1) 输入变量为电影1，电影2，电影3，电影4，

2) 接下来在个案中录入各影评家的评分，共6行，

3) 统计–非参数检验–k个相关样本–检验变量–检验类型：kendall W检验，

结果见表3，与手算结果一致。

Table 3. Test statistics

表3. 检验统计量

a. Kendall协同系数。

4. 总结

本文针对学生在课堂上对Kendall协和系数理解较为困难，从方差分析的角度解释Kendall协和系数，帮助学生理解Kendall协和系数的来源，由此知道为何看法一致放在备择假设中。并从实例出发，帮助学生解答有关一致性检验的问题。

基金项目

本项目由国家自然科学基金(基金号：11961035，11661076)支持。