Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模

Strict Mittag-Leffler Modules over Gorenstein Injective Modules

摘要: 本文介绍了Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模，并用余挠对证明了GI-投射模在Gorenstein内射模的类GI上的严格的Mittag-Leffler模的一些同调性质。

Abstract: In this paper, the strict Mittag-Leffler module over the class GI of Gorenstein injective modules is introduced, and some homological properties of GI-projective module at the strict Mittag-Leffler module over the class GI are proved by cotorsion pair.

1. 引言

设 ${\left(F_{\alpha },u_{\alpha \beta }\right)}_{\alpha ,\beta \in I}$ 是abelian群上的逆向系统， $u_{\alpha \beta }:A_{\beta }\to A_{\alpha }$ 是R-模同态，其中 $\alpha \le \beta$。考虑 ${\left(F_{\alpha },u_{\alpha \beta }\right)}_{\alpha ,\beta \in I}$ 的逆向极限A，它是由典范映射 $S_i:A\to A_i$， $i\in I$ 诱导的。称逆向系统 ${\left(F_{\alpha },u_{\alpha \beta }\right)}_{\alpha ,\beta \in I}$ 满足严格的Mittag-Leffler条件，如果对于任意的 $\alpha \in I$，存在 $j=j\left(\alpha \right)$，其中 $j\ge i$，使得 $\mathrm{Im}\left(A_j\to A_i\right)\to \mathrm{Im}\left(A\to A_i\right)$。

设M是左R-模，假定 $M=\underset{\to }{\lim }{F}_{\alpha }$，其中 $F={\left(F_{\alpha },u_{\beta \beta }:F_{\alpha }\to F_{\beta }\right)}_{\alpha ,\beta \in I}$ 是有限表示模的正向系统。设B是左R-模类，如果 $Ho{m}_R\left(F,B\right)$ 满足严格的Mittag-Leffler条件，那么称M在B上是严格的Mittag-Leffler模。Raynaud和Gruson在文献 [1] 中定义了Mittag-Leffler模和严格的Mittag-Leffler条件。Zimmermann在文献 [2] 中进一步定义了严格的Mittag-Leffler模。近年来，严格的Mittag-Leffler条件成功地解决了同调代数和表示论中的一些问题。

Enochs和Jenda在文献 [3] 中研究了Gorenstein内射模。Enochs和Iacob在文献 [4] 中证明了如果R是交换Noetherian环，使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。其后，Iacob在文献 [5] 中将该结果推广到双边Noetherian环上，证明了如果R是双边Noetherian环，使得任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，那么Gorenstein内射模的类GI是包络类。杨彦炯，朱晓胜和颜晓光在文献 [6] 中证明了如果R是左Noetherian环，使得所有内射模在GI上是严格的Mittag-Leffler模，那么任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模。杨彦炯和颜晓光在文献 [7] 中研究了GI上严格的Mittag-Leffler模并引入GI-投射模，并且在Noetherian上证明了有限表示GI-投射模的正向极限在GI上是严格的Mittag-Leffler模。受以上工作启发，我们在余挠对和对偶对上进一步研究了Gorenstein内射模上严格的Mittag-Leffler模。

本文所提到的环均指有单位元的结合环，模均指左R-模。用I，P，F分别表示内射，投射，平坦左R-模的类，用R-Mod表示R-模范畴。

2. 预备知识

引理1.1 [7] 设M和N是左R-模，则以下条件等价：

(1) 设 ${\left(F_{\alpha },u_{\beta \alpha }\right)}_{\alpha ,\beta \in I}$ 是任意有限表示模的正向系统，且 $M=\underset{\to }{\lim }{F}_{\alpha }$，则对任意的 $\alpha \in I$，存在 $\beta \ge \alpha$，使得对任意同态 $f:F_{\beta }\to N$，存在同态 $\beta :M\to N$，满足 $f{u}_{\beta \alpha }=\beta u_{\alpha }$。见下图1。

Figure 1

图1

(2) 对任意可除Abelian群D ，自然变 $\varphi :Ho{m}_Z{\left(N,D\right)}_R\otimes M\to Ho{m}_Z\left(Ho{m}_R\left(M,N\right),D\right)$ 被定义为 $\varphi \left(f\otimes m\right):g\mapsto f\left(g\left(m\right)\right)$，其中 $f\in Ho{m}_Z\left(N,D\right)$， $m\in M$， $g\in Ho{m}_R\left(M,N\right)$，则 $\varphi$ 是单的。

定义1.2 称模M是N上的严格的Mittag-Leffler模，如果满足以上等价条件之一。

我们用SML(N)表示N上严格的Mittag-Leffler模的类。设N是左R-模的类，如果对任意的 $B\in N$，有 $M\in \text{SML}\left(B\right)$，那么 $M\in \text{SML}\left(N\right)$。称M是严格的Mittag-Leffler模，如果 $N=R\text{-}Mod$。

注记1.3 (1) 如果模M是有限表示的，那么由( [8]，定理3.2.11)知，引理1.1(2)中自然变换 $\varphi$ 是同构的。

(2) 由( [9]，引理8.9)知，SML(N)关于直和封。

定义1.4 设D是R-模的类。称 $\left(A,B\right)$ 是余挠对，如果 $A={}^{\perp }B$ 且 $B=A^{\perp }$。称 $\left(A,B\right)$ 是完备的余挠对，如果对任意的模M，存在正合列 $0\to M\to B_1\to A_1\to 0$ 和 $0\to B_2\to A_2\to M\to 0$，其中 $A_1,A_2\in A$， $B_1,B_2\in B$。称 $\left(A,B\right)$ 是完全的余挠对，如果B是包络类，A是覆盖类。称 $\left(A,B\right)$ 是遗传的余挠对，如果对任意的 $A_1\in A$， $B_1\in B$， $i\ge 1$，有 $Ex{t}_R^i\left(A_1,B_1\right)=0$。

定义1.5 设D是R-模的类，则

${}^{\perp }D=\left\{M\in R\text{-}Mod|Ex{t}_R^1\left(M,A\right)=0,A\in D\right\}$

$D^{\perp }=\left\{C\in R\text{-}Mod|Ex{t}_R^1\left(A,C\right)=0,A\in D\right\}$

定义1.6 称左R-模M是Gorenstein内射模，如果存在内射左R-模的正合序列

$I:\cdots \to I_1\to I_0\to I^0\to I^1\to \cdots$

使得 $M=Ker\left(I^0\to I^1\right)$，且对任意内射左R-模 $I^{\prime }$，序列 $Hom\left(I^{\prime },I\right)$ 正合。

定义1.7 称左R-模N是Gorenstein平坦模，如果存在平坦左R-模的正合序列

$F:\cdots \to F_1\to F_0\to F^0\to F^1\to \cdots$

使得 $N=Ker\left(F^0\to F^1\right)$，且对任意内射左R-模 $I^{″}$，有 $I^{″}{\otimes }_{R}F$ 正合。

我们用GI和GF分别表示Gorenstein内射模类和Gorenstein平坦模类。

定义1.8 [5] 设M是左R-模类，C是右R-模类。称 $\left(M,C\right)$ 是对偶对，如果满足以下条件：

(1) 对任意的R-模A， $A\in M\iff A$ 的特征模属于C。

(2) C关于直和项和有限直和封闭。

引理1.9 [5] [6] 设R是双边Noetherian环，使得 $I\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$，则GI是包络类。

引理1.10 [10] 设D是R-模类。若D关于直积和正向极限封闭，则 ${}^{\perp }D\subseteq \text{SML}\left(D\right)$。

3. 主要结果

引理2.1 设F是有限表示模的正向系统 ${\left(F_{\alpha },u_{\beta \alpha }\right)}_{\alpha ,\beta \in I}$ 的正向极限。若 $F\in \text{SML}\left(I\right)$，对任意的 $\beta \in I$，有 $F_{\beta }\in {}^{\perp }GI$，则 $F\in \text{SML}\left(GI\right)$。

证明对任意的Gorenstein内射模M，我们有短正合列 $0\to A\to B\to M\to 0$，其中 $B\in I$， $A\in GI$。又因为 $F_{\beta }\in {}^{\perp }GI$，即 $Ex{t}_R^1\left(F_{\beta },GI\right)=0$，所以对上述的 $A\in GI$，有 $Ex{t}_R^1\left(F_{\beta },A\right)=0$。我们用函子 $Hom\left(F_{\beta },-\right)$ 作用短正合列 $0\to A\to B\to M\to 0$，则有正合列 $0\to Hom\left(F_{\beta },A\right)\to Hom\left(F_{\beta },B\right)\to Hom\left(F_{\beta },M\right)\to 0$。因此对任意同态 $h:F_{\beta }\to M$，以及满同态 $\Pi :B\to M$，存在同态 $g:F_{\beta }\to B$，满足等式 $h=\Pi g$。又因为 $F\in \text{SML}\left(I\right)$，所以由引理1.1(1)知，对上述同态g，存在同态 $u:F\to B$，满足等式 $g{u}_{\beta \alpha }=u{u}_{\alpha }$。考虑以下交换图2。

我们令 $\Phi =\Pi u:F\to M$，那么有 $\Phi u_{\alpha }=\Pi u{u}_{\alpha }=\Pi gu{}_{\beta \alpha }=h{u}_{\beta \alpha }$，由引理1.1(1)知， $F\in \text{SML}\left(M\right)$，再由M的任意性知，有 $F\in \text{SML}\left(GI\right)$。

Figure 2

定义2.2 [7] 称左R-模M是GI-投射模，如果 $M\in {}^{\perp }GI$。

我们用 $P_{GI}$ 表示GI-投射模的类。

注记2.3 (1) $P_{GI}={}^{\perp }GI$。

(2) $I\in P_{GI}$。

(3) 设 $0\to A\to B\to C\to 0$ 是左R-模短正合列。若 $A,C\in P_{GI}$，则 $B\in P_{GI}$ ；若R是左Noetherian环， $B,C\in P_{GI}$，则 $A\in P_{GI}$。

证明 (3)设 $A,C\in P_{GI}$，由定义知， $Ex{t}_R^1\left(A,GI\right)=0$， $Ex{t}_R^1\left(C,GI\right)=0$，则有 $Ex{t}_R^1\left(B,GI\right)=0$，即 $B\in P_{GI}$。因为 $B,C\in P_{GI}$，所以由定义有 $Ex{t}_R^1\left(B,GI\right)=0$， $Ex{t}_R^1\left(C,GI\right)=0$。又因为R是左Noetherian环，所以由( [5]，引理1)和(1)知， $\left(P_{GI},GI\right)$ 是完备遗传的余挠对，即当 $i\ge 1$ 时，上述等式仍然成立。则对任意的模 $M\in GI$，我们用函子 $Hom\left(-,M\right)$ 去作用短正合列 $0\to A\to B\to C\to 0$，则有短正合列 $0=Ex{t}_R^1\left(B,M\right)\to Ex{t}_R^1\left(A,M\right)\to Ex{t}_R^2\left(C,M\right)=0$，因此 $Ex{t}_R^1\left(A,M\right)=0$，即 $A\in P_{GI}$。

命题2.4 设GI关于正向极限封闭。则 $P_{GI}\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$。

证明因为GI关于直积封闭，所以由题设和引理1.10知， ${}^{\perp }GI\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$，再由注记2.3知， $P_{GI}\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$。

定理2.5 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，则GI是关于纯商模封闭的包络类。

证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，所以由( [6]，定理4.3)知， $I\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$。又因为R是双边Noetherian环，所以由引理1.9知，GI是包络类。再由( [5]，定理4)知， $\left(GI,GF\right)$ 是对偶对。再次由( [11]，定理3.1)知，GI关于纯商模封闭。

推论2.6 设R是n-Gorenstein环，则GI是关于纯商模封闭的包络类。

证明因为R是n-Gorenstein环，所以由( [8]，引理11.1.2)知，GI关于正向极限封闭。又由注记2.3知， $I\in P_{GI}$。再由命题2.4知， $P_{GI}\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$，则 $I\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$。再次由定理2.5的证明知，GI是关于纯商模封闭的包络类。

定理2.7 设R是双边Noetherian环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模， ${}^{\perp }GI$ 关于直积封闭，则 $GI\subseteq \text{SML}\left(P_{GI}\right)$。

证明因为任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，所以由( [5]，定理2)知， $\left({}^{\perp }GI,G{F}^{\perp }\right)$ 是对偶对，由( [11]，定理3.1)知， ${}^{\perp }GI$ 关于纯商模和纯子模封闭。由定义知， ${}^{\perp }GI$ 关于扩张封闭。再由( [4]，命题1)知， $\left({}^{\perp }GI,GI\right)$ 是完全的余挠对，即 ${}^{\perp }GI$ 是覆盖类。又因为 ${}^{\perp }GI$ 关于直积封闭。所以由( [12]，定理3.4)知， ${}^{\perp }GI$ 关于正向极限封闭。再次由引理1.10以及注记2.3知， $GI\subseteq \text{SML}\left(P_{GI}\right)$。

我们用 $I_n$ 表示内射维数小于等于n的模类。

推论2.8 设R是n-Gorenstein环。若任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模， ${}^{\perp }GI$ 关于直积封闭，则 $GI\subseteq \text{SML}\left(I_n\right)$。

证明因为R是n-Gorenstein环，所以 $P_{GI}=I_n$。再由定理2.7知， $GI\subseteq \text{SML}\left(P_{GI}\right)$，则有 $GI\subseteq \text{SML}\left(I_n\right)$。

命题2.9 设R是双边Noetherian环，使得对任意的正整数n，有 $i{d}_{R^{OP}}R\le n$。则对任意的可除abelian群D，有 $To{r}_i^R\left(Ho{m}_Z\left(GI,D\right),P_{GI}\right)=0$，其中 $i\ge 1$。

证明 因为R是双边Noetherian环，使得对任意的正整数n，有 $i{d}_{R^{OP}}R\le n$，所以由( [5]，定理8)知，任意Gorenstein内射模的特征模是Gorenstein平坦模，由( [5]，定理4)知， $\left(GI,GF\right)$ 是对偶对，再由( [11]，定理3.1)知，GI关于纯商模和纯子模封闭，再次由( [4]，引理2)知，GI关于正向极限封闭。又因为GI关于直积封闭，所以由命题2.4知， $P_{GI}\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$。由注记2.3和( [5]，引理1)知， $\left(P_{GI},GI\right)$ 是遗传的余挠对，即 $P_{GI}$ 是可解的，则 $P_{GI}$ 中有足够的投射对象，且它关于满同态的核封闭。对任意的模 $M\in P_{GI}$，则M有投射分解 $\cdots \to P_1\to P_0\to M\to 0$，其中 $P_i\in P$。我们记 ${\Omega }^i\left(M\right)=Ker\left(P_{n-1}\to P_{n-2}\right)$ 是M的第i个合冲，其中 $i\ge 1$，由 $P_{GI}$ 是可解的知， ${\Omega }^i\left(M\right)\in P_{GI}$。又因为 $P_{GI}\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$，所以有 ${\Omega }^i\left(M\right)\in \text{SML}\left(GI\right)$。再由( [10]，引理2.5)知，对任意的可除abelian群D，以及任意的模 $B\in GI$，我们有映射 ${\Phi }_M^i:To{r}_i^R\left(Ho{m}_Z\left(B,D\right),M\right)\to Ho{m}_Z\left(Ex{t}_R^i\left(M,B\right),D\right)$ 是单的，其中 $i\ge 1$。则有 $To{r}_i^R\left(Ho{m}_Z\left(B,D\right),M\right)=0$，再次由B和M的任意性，则有 $To{r}_i^R\left(Ho{m}_Z\left(GI,D\right),P_{GI}\right)=0$。

推论2.10 设R是双边Noetherian 环，使得对任意的正整数n，有 $i{d}_{R^{OP}}R\le n$，则GI是覆盖类。

证明由命题2.9的证明知， $P_{GI}\subseteq \text{SML}\left(N\right)$，再由注记2.3知， $I\subseteq \text{SML}\left(GI\right)$。再次由( [7]，引理2.6)知，GI是覆盖类。

基金项目

国家自然科学基金项目(11761060)。