关于三角函数定积分的积分方法

On the Integral Method of Definite Integral of Trigonometric Functions

摘要: 本文总结归纳了常见的被积函数是三角函数的定积分的计算技巧，主要研究了形如∫₀^πcos^mxsinⁿxdx(其中 为正整数)(1)的一类定积分，得到了相应的一个计算公式，并举例说明了公式的实用性和便捷性。

Abstract: This paper sums up the common calculation skills of definite integral of trigonometric functions. A class of definite integral with the form of ∫₀^πcos^mxsinⁿxdx (where   are positive integers) is studied, and a corresponding calculation formula is obtained. Moreover, some examples are given to illustrate the practicability and convenience of the formula.

1. 引言

积分学是数学分析的核心内容，含三角函数的定积分又是极为常见的一类积分。目前，对三角函数的定积分问题，已有一些研究成果 [1] - [7]。本文针对平时学习中比较常见的含三角函数的定积分进行研究，主要研究形如

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}$ (其中 $m,n$ 为正整数)(1)

的一类含三角函数的积分，如果用分部积分等方法计算(1)，当m或n很大时，计算比较复杂，因此寻找简化积分运算的方法十分必要。

在数学分析中，定积分(1)在理论和应用中都十分重要，而且经常遇见，怎样计算这个积分比较简便， [1] 已经给出了一个计算公式，但本文将通过不同的方法来研究(1)，并把积分技巧进行归纳总结，得到了一些方便计算的定理和推论以及不同于 [1] 的计算公式，此方法可以节省计算时间，同时保证准确率，以减少在对三角函数积分时所遇到的困难。

2. 定理及推论

定理1 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\sin x,\cos x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\cos x,\sin x\right)\text{d}x}$。

证明 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\sin x,\cos x\right)\text{d}x}\stackrel{x=\frac{\pi }{2}-t}{=}{\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{0}f\left(\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right),\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)\right)\text{d}\left(\frac{\pi }{2}-t\right)}$

$={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\cos t，\sin t\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f\left(\cos x,\sin x\right)\text{d}x}$。

证毕。

例1 求 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\text{d}x}$。

解 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\text{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\text{d}x}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}\text{d}x}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1\text{d}x}=\frac{\pi }{4}$。

定理2 [8] 设 $J\left(m,n\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}$，其中 $m,n$ 为正整数，则

$J\left(m,n\right)=\frac{m-1}{m+n}J\left(m-2,n\right)=\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right),m,n=2,3,\cdots .$

证明 设 $I\left(m,n\right)={\displaystyle \int {\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}$，则当 $m+n\ne 0$ 时，有

$\begin{array}{c}I\left(m,n\right)=\frac{1}{n+1}{\displaystyle \int {\cos }^{m-1}x\text{d}\left({\sin }^{n+1}x\right)}\\ =\frac{1}{n+1}\left[{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\left(m-1\right){\displaystyle \int {\cos }^{m-2}x{\sin }^{n+2}x\text{d}x}\right]\\ =\frac{1}{n+1}\left[{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\left(m-1\right){\displaystyle \int {\cos }^{m-2}x\left(1-{\cos }^{2}x\right){\sin }^{n}x\text{d}x}\right]\\ =\frac{1}{n+1}\left[{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\left(m-1\right){\displaystyle \int \left({\cos }^{m-2}x{\sin }^{n}x-{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\right)\text{d}x}\right]\\ =\frac{1}{n+1}{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\frac{m-1}{n+1}I\left(m-2,n\right)-\frac{m-1}{n+1}I\left(m,n\right),\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}I\left(m,n\right)=\frac{n+1}{m+n}\left[\frac{1}{n+1}{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\frac{m-1}{n+1}I\left(m-2,n\right)\right]\\ =\frac{1}{m+n}{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\frac{m-1}{m+n}I\left(m-2,n\right),m,n=2,3,\cdots .\end{array}$

又

$\begin{array}{c}I\left(m,n\right)=-{\displaystyle \int {\cos }^{m}x{\sin }^{n-1}x\text{d}\cos x}=-\frac{1}{m+1}{\displaystyle \int {\sin }^{n-1}x\text{d}{\cos }^{m+1}x}\\ =-\frac{1}{m+1}{\cos }^{m+1}x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{m+1}{\displaystyle \int {\cos }^{m+2}x{\sin }^{n-2}x\text{d}x}\\ =-\frac{1}{m+1}{\cos }^{m+1}x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{m+1}{\displaystyle \int {\cos }^{m}x{\sin }^{n-2}x\left(1-{\sin }^{2}x\right)\text{d}x}\\ =-\frac{1}{m+1}{\cos }^{m+1}x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{m+1}I\left(m,n-2\right)-\frac{n-1}{m+1}I\left(m,n\right),\end{array}$

因此

$I\left(m,n\right)=-\frac{1}{m+n}{\cos }^{m+1}x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{m+n}I\left(m,n-2\right),m,n=2,3,\cdots .$

所以

$\begin{array}{c}I\left(m,n\right)=\frac{1}{m+n}{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x+\frac{m-1}{m+n}I\left(m-2,n\right)\\ =-\frac{1}{m+n}{\cos }^{m+1}x{\sin }^{n-1}x+\frac{n-1}{m+n}I\left(m,n-2\right),m,n=2,3,\cdots ,\end{array}$

因此

$\begin{array}{c}J\left(m,n\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}\\ ={-\frac{1}{m+n}{\cos }^{m+1}x{\sin }^{n-1}x|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right)\end{array}$

且

$J\left(m,n\right)={\frac{1}{m+n}{\cos }^{m-1}x{\sin }^{n+1}x|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{m-1}{m+n}J\left(m-2,n\right)=\frac{m-1}{m+n}J\left(m-2,n\right),$

综上，

$J\left(m,n\right)=\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right)=\frac{m-1}{m+n}J\left(m-2,n\right),m,n=2,3,\cdots .$

证毕。

例2 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}x{\sin }^{3}x\text{d}x}$。

解 ${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{4}x{\sin }^{3}x\text{d}x}=J\left(4,3\right)=\frac{2}{4+3}J\left(4,1\right)=\frac{2}{7}\frac{3}{4+1}J\left(2,1\right)$

$=\frac{2}{7}\frac{3}{5}\frac{1}{2+1}J\left(0,1\right)=\frac{2}{7}\frac{3}{5}\frac{1}{3}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\text{d}x}=\frac{2}{35}$。

推论2 $J\left(m,n\right)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}=\{\begin{array}{l}\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!},m,n不全为偶数\\ \frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}\frac{\pi }{2},m,n全为偶数\end{array}$。

证明 1) 当 $m,n$ 不全为偶数时， $m,n$ 或者全为奇数，或者一奇一偶。

当 $m,n$ 全为奇数时，

$\begin{array}{c}J\left(m,n\right)=\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}J\left(m,n-4\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{2}{m+3}J\left(m,1\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{2}{m+3}\frac{m-1}{m+1}J\left(m-2,1\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{2}{m+3}\frac{m-1}{m+1}\cdots \frac{2}{3+1}J\left(1,1\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{2}{m+3}\frac{m-1}{m+1}\cdots \frac{2}{3+1}\frac{1}{2}\\ =\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}.\end{array}$

当 $m,n$ 一奇一偶时，不妨设m为奇数，n为偶数，则

$\begin{array}{c}J\left(m,n\right)=\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}J\left(m,n-4\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}J\left(m,0\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}\frac{m-1}{m}J\left(m-2,0\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}\frac{m-1}{m}\cdots \frac{2}{3}J\left(1,0\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}\frac{m-1}{m}\cdots \frac{2}{3}\\ =\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}.\end{array}$

因此，当 $m,n$ 不全为偶数时， $J\left(m,n\right)=\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}$。

2) 当 $m,n$ 全为偶数时，

$\begin{array}{c}J\left(m,n\right)=\frac{n-1}{m+n}J\left(m,n-2\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}J\left(m,n-4\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}J\left(m,0\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}\frac{m-1}{m}J\left(m-2,0\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}\frac{m-1}{m}\cdots \frac{1}{2}J\left(0,0\right)\\ =\frac{n-1}{m+n}\frac{n-3}{m+n-2}\cdots \frac{1}{m+2}\frac{m-1}{m}\cdots \frac{1}{2}\frac{\pi }{2}\\ =\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}\frac{\pi }{2}.\end{array}$

因此，当 $m,n$ 全为偶数时， $J\left(m,n\right)=\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}\frac{\pi }{2}$。

证毕。

定理3 [2] 设函数 $f\left(x\right)$ 在对称区间 $\left[-a,a\right]\left(a>0\right)$ 上连续，则

${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)\text{d}x}=\{\begin{array}{l}2{\displaystyle {\int }_0^{a}f\left(x\right)\text{d}x},当f\left(x\right)为偶函数时;\\ 0,当f\left(x\right)为奇函数时;\\ {\displaystyle {\int }_0^a\left[f\left(x\right)+f\left(-x\right)\right]\text{d}x,当f\left(x\right)为一般函数时.}\end{array}$

推论3 1) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称，则对于任意的 $a>0$， ${\displaystyle {\int }_{x_0-a}^{x_0+a}f\left(x\right)\text{d}x}=0$ ；

2) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则对于任意的 $a>0$， ${\displaystyle {\int }_{x_0-a}^{x_0+a}f\left(x\right)\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_{x_0}^{x_0+a}f\left(x\right)\text{d}x}$。

定理4 [8] 1) 两个奇函数之积为偶函数；

2) 奇函数与偶函数之积为奇函数；

3) 两个偶函数之积为偶函数。

推论4 1) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称， $g\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称，则 $f\left(x\right)g\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称；

2) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称， $g\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则 $f\left(x\right)g\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称；

3) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称， $g\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则 $f\left(x\right)g\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称。

定理5 [8] 1) 若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-a,a\right]\left(a>0\right)$ 上是奇函数，则 $f^{2k}\left(x\right)$ 是偶函数， $f^{2k+1}\left(x\right)$ 是奇函数， $k=0,1,\cdots$ ；

2) 若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[-a,a\right]\left(a>0\right)$ 上是偶函数，则 $f^k\left(x\right)$ 都是偶函数， $k=0,1,\cdots$。

推论5 1) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称，则 $f^{2k}\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称， $f^{2k+1}\left(x\right)$ 关于 $\left(x_0,0\right)$ 中心对称， $k=0,1,\cdots$ ；

2) 若 $f\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称，则 $f^k\left(x\right)$ 关于 $x=x_0$ 轴对称， $k=0,1,\cdots$。

定理6

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}=\{\begin{array}{l}0,m为奇数\\ 2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x},m为偶数\end{array}\\ =\{\begin{array}{l}0,m为奇数\\ 2\frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!},m为偶数,n为奇数\\ \frac{\left(m-1\right)!!\left(n-1\right)!!}{\left(m+n\right)!!}\pi ,m,n均为偶数\end{array}\end{array}$，其中 $m,n$ 为正整数。

证明 因为 $\sin x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 轴对称，由推论5， ${\sin }^{n}x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 轴对称。

因为 $\cos x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ 中心对称，则当m为奇数时，由推论5， ${\cos }^{m}x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ 中心对称。由推论4， ${\cos }^{m}x{\sin }^{n}x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ 中心对称。因此，由推论3， ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}=0$。

当m为偶数时，由推论5， ${\cos }^{m}x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 轴对称。由推论4， ${\cos }^{m}x{\sin }^{n}x$ 在 $\left[0,\pi \right]$ 上关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 轴对称。因此，由推论3， ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}$。再由推论2，定理得证。

例3 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{99}x{\sin }^{3}x\text{d}x}$。

解 因为 $m=99,n=3$，所以m为奇数，由定理6， ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{99}x{\sin }^{3}x\text{d}x}=0$。

例4 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{10}x{\sin }^{5}x\text{d}x}$。

解 因为 $m=10,n=5$，所以m为偶数，n为奇数，由定理6，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{10}x{\sin }^{5}x\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{10}x{\sin }^{5}x\text{d}x}=2J\left(10,5\right)=2\frac{9!!4!!}{15!!}=\frac{16}{2145}.$

例5 计算 ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{8}x{\sin }^{4}x\text{d}x}$。

解 因为 $m=8,n=4$，所以 $m,n$ 均为偶数，由定理6，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{8}x{\sin }^{4}x\text{d}x}=2{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{8}x{\sin }^{4}x\text{d}x}=2J\left(8,4\right)=2\frac{7!!3!!}{12!!}\frac{\pi }{2}=\frac{7!!3!!}{12!!}\pi =\frac{7\pi }{2^{10}}.$

3. 结语

上述几个例题如果用其他方法来做，可能计算比较困难，且容易出错，但是将上面的定理和推论应用到例题后，计算变得比较快捷，且不易出错。

通过上面的讨论，得到了形如

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x\text{d}x}$ (其中 $m,n$ 为正整数) (1)

的一类含三角函数的定积分计算公式，即定理6，并举例说明了计算公式的实用性和便捷性。在学习中，如果遇到这类含三角函数的定积分，只需根据 $m,n$ 的值，直接代入相应的计算公式即可得到结果。

三角函数的定积分在数学分析教材中还有很多类型，本文只是针对积分(1)进行了归纳总结。适当对不同类型的定积分进行总结，有利于掌握好定积分的计算方法与技巧，同时可以提高自身的学习效率，节省计算时间。