一种二次代数曲面拼接的新方法

A New Method for Joining Quadratic Algebraic Surfaces

摘要: 本文以代数曲面和空间代数曲线上的多元多项式插值问题的研究成果为基础，主要对二次代数曲面在沿球面的拼接问题进行研究，得出了用拉格朗日插值法定义在球面上的二次拼接点组的多项式分解方法，得到了一组满足沿球面进行二次代数曲面拼接时的二次拼接多项式，使的曲面拼接过程得以简单化。在文章最后我们用实验算例对本文给出的方法进行实现，验证了方法的有效性。

Abstract: Based on the algebraic surface and space algebra curve based on the research results of multivar-iate polynomial interpolation problem, mainly to the quadratic algebraic surface along the spherical studies the splicing, obtained by Lagrange interpolation method defined in the sphere of quadratic polynomial decomposition method of splicing point group, and get a set of meet the spherical secondary splicing polynomial algebraic surface, make things simple, at the end of the article, we use experimental example to test and prove its effectiveness.

1. 引言

计算数学研究方向中的两个主要研究分支分别是多元多项式插值问题 [1] 及曲面光滑拼接问题 [2]，其中多元多项式插值问题的中的一个主要研究问题就是多元Lagrange插值的适定节点组问题，文献 [3] [4] [5] 中学者们给出了插值节点组的构造的方法及其应用。而曲面光滑拼接问题研究的一个主要内容使研究插值与曲面的理论与算法，在文献 [2] 中周蕴时等学者较为全面的给出了多次曲面的超限插值与曲面拼接的理论及其算法，本文结合了Lagrange插值理论证明，在该基础上有一个二次多项式与我们给定的球面沿着某一相交曲线光滑拼接，并研究其有效性。

二次代数曲面中球面是较为重要的一类，因为球面问题与实际问题有着广泛的联系，例如球面可应用于环境资源问题，对海洋学、气象学等方面的问题进行研究，还可应用在医疗工程等方面，与时事热点问题有着密不可分的联系，因此我们对球面进行研究有着实际的意义与价值。

2. 基本定义和主要定理

定义1：在空间中，满足n次代数方程 $f\left(x,y,z\right)=0$ 的点 $P\left(x,y,z\right)$ 的全体，称为n次代数曲面。

定义2 [6]：设两个代数曲面 $q\left(x,y,z\right)=0$ 与 $g\left(x,y,z\right)=0$ 相交于一条不可约的代数曲线，则称代数曲面 $q\left(x,y,z\right)=0$ 和 $g\left(x,y,z\right)=0$ 沿着公共边界 $c\left(x,y,z\right)=0$ 拼接。(本论文主要研究 $C^0$ 阶光滑拼接)

定义3 [7]：设n为 $c\left(x,y,z\right)=0$ 非负整数，令 $P_n^{\left(3\right)}$ 是表示所有的三元n次代数多项式构成的集合，且

$P_n^{\left(3\right)}=\left\{{\displaystyle \underset{0\le i+j+k\le n}{\sum }{a}_{ijk}{x}^i{y}^j{z}^k}|a_{ijk}\in R\right\}$

而且有 $\dim P_n^{\left(3\right)}=\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)$

定义4 [7]：设两个均为2次无重复分量代数曲面 $q\left(x,y,z\right)=0$ 、 $h\left(x,y,z\right)=0$ 相交于一条不可约的代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=0$， $d_n\left(2\right)$ 如下所示：

$d_n\left(2\right)=\left(\begin{array}{c}n+3\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}n+1\\ 3\end{array}\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{6}\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n<2\\ {\left(n+1\right)}^{2}n\ge 2\end{array}$ (1)

令 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 是不可约代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=0$ 上的 $d_n\left(2\right)$ 个互不相同的点，给定任意一组实数组 ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$，并且能够找到关于该实数组的一个多项式 $g\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$，使得所求 $g\left(x\right)$ 满足下述条件：

$g^{\left(j\right)}\left(Q_i\right)=f_i{}^{\left(j\right)},j=1,\cdots ,n;i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)$ (2)

若对于每一组任意给定的 ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$，(2)式总有一组解，那么称该结点组 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 是沿着二次代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=0$ 的n次光滑拼接点组，多项式 $g\left(x,y,z\right)\in P_n^{\left(3\right)}$ 是沿着 $c\left(x,y,z\right)=0$ 的拼接多项式，并简记为 $A\in I_n^{\left(3\right)}\left(c\right)$ (代表所有位于 $c\left(x,y,z\right)=0$ 上的n次拼接点组的集合)。

定理1 [7]：设 $d_n\left(2\right)$ 为上述等式所述内容，那么位于k次代数曲线 $c\left(x,y,z\right)=0$ 上的点组 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 能够做成沿 $c\left(x,y,z\right)=0$ 的n次拼接结点组的充要条件是对任意零插值条件

$g^{\left(j\right)}\left(Q_i\right)=\text{0},j=1,\cdots ,n;i=1,\cdots ,d_n(\; 2\; )$

的多项式 $g\left(X\right)\in P_n^{\left(3\right)}$，均有下述等式成立：

$g\left(X\right)=c\left(X\right)r(\; X\; )$

其中当 $n\ge k$ 时， $r\left(X\right)\in P_{n-k}^3$

证明：

一方面：若 $g\left(X\right)=c\left(X\right)r(\; X\; )$

因为 $A={\left\{Q_i\right\}}_{i=1}^{d_n\left(2\right)}$ 为 $q\left(X\right)=\text{0}$ 与n次代数曲面 $g\left(X\right)=\text{0}$ 相交的k次代数曲线 $c\left(X\right)=\text{0}$ 上的 $d_n\left(2\right)$ 个互不相同的点

所以当 $c\left(Q_i\right)=\text{0}$ 时，必有 $g\left(Q_i\right)=c\left(Q_i\right)r\left(Q_i\right)=0$ 成立

另一方面：若当 $g\left(Q_i\right)=\text{0,}\left(i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)\right)$ 时，多项式 $g\left(X\right)$ 不能分解为

$g\left(X\right)=c\left(X\right)r(\; X\; )$

则此时多项式 $g\left(X\right)$ 可分解为： $g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)+d(\; X\; )$

则 $g\left(Q_i\right)=c\left(Q_i\right)r\left(Q_i\right)+d\left(Q_i\right)=d\left(Q_i\right)\ne 0$ 与 $g\left(Q_i\right)=\text{0,}\left(i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)\right)$ 矛盾。

所以 $g\left(X\right)$ 必可分解为 $g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)$。证毕。

3. 实验算例

给定 $q\left(x,y,z\right):\{\begin{array}{l}x=25\sin \theta \cos \phi \\ y=25\sin \theta \sin \phi \\ z=25\cos \phi \end{array}\left(\text{0}\le \theta \le 2\pi ,\text{0}\le \phi \le 2\pi \right)$ (球的参数方程)， $h\left(x,y,z\right):\{\begin{array}{l}z=\left(0,25\right)\\ r=25-z\\ x=r\times \sin \left(t\right)\\ y=r\times \cos \left(t\right)\end{array}\left(0\le t\le 2\pi \right)$ (圆锥的参数方程)此时 $q\left(x,y,z\right)=0$ 与 $h\left(x,y,z\right)=0$ 相交于不可约的2次代数曲线 $c\left(x,y,z\right):x^2+y^2-{25}^2=0$。

设被插值函数为 $f\left(x,y,z\right)=\sqrt{\frac{4x^2}{5^2}+\frac{4y^2}{5^2}-\frac{z^2}{4^2}-{10}^2}$，在 $c\left(x,y,z\right)=0$ 上任取的9个点如下所示：

$Q_1\left(\text{24},7,\text{0}\right)$, $Q_2\left(\text{24},-7,\text{0}\right)$, $Q_3\left(-\text{24},7,\text{0}\right)$, $Q_4\left(\text{20},15,\text{0}\right)$, $Q_5\left(\text{20},-15,\text{0}\right)$

$Q_7\left(-\text{7},24,\text{0}\right)$, $Q_7\left(-\text{7},24,\text{0}\right)$, $Q_8\left(\text{7},-24,\text{0}\right)$, $Q_{\text{9}}\left(-\text{15},-20,\text{0}\right)$

由定义4知， $\left\{Q_1,\cdots ,Q_9\right\}$ 构成了定义在相交2次代数曲线 $c\left(X\right):x^2+y^2+z^2-\text{2}{5}^2=0$ 上的二次拼接点组。设在这组实数点组上的二次插值多项式为：

$g\left(x,y,z\right)=a_1{x}^2+a_2{y}^2+a_3{z}^2+a_{4}xy+a_{5}xz+a_{6}yz+a_{7}x+a_{8}y+a_{9}z+a_{\text{10}}$

将插值条件带入 $g^{\left(0\right)}\left(Q_i\right)=f^{\left(0\right)}\left(Q_i\right),\left(i=1,\cdots ,9\right)$，可以得到如下方程 $A\times X=B$

$X=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ a_5\\ a_6\\ a_7\\ a_8\\ a_9\\ a_{10}\end{array}\right]$， $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，此时解得 $\{\begin{array}{l}{a}_1=1,a_2=1,a_3=0,a_4=0,a_5=0,\\ a_6=0,a_7=0,a_8=0,a_9=0,a_{10}=-{25}^2\end{array}$

得到所求多项式：

$g\left(x,y,z\right)=x^2+y^2-{25}^2$

此时有 $g\left(X\right)=x^2+y^2-{\text{25}}^{\text{2}}=c\left(X\right)r\left(X\right)$。

因为 $g\left(X\right)=c\left(X\right)r\left(X\right)$ 其中 $r\left(X\right)=1\in P_{n-k}^3=P_{2-2}^3=P_0^3$ 是常值函数。

所以由定理1可知， $g\left(X\right)$ 是 $c\left(X\right)$ 的拼接点组(图1)。

此时 $g\left(x,y,z\right):x^2+y^2-{\text{25}}^{\text{2}}=\text{0}$ 与 $q\left(x,y,z\right):x^2+y^2+z^2-{25}^2=0$ (上圆的一般方程)相交于一条不可约2次代数曲线 $c\left(x,y,z\right):x^2+y^2-{25}^2=0$。

Figure 1. Splicing effect diagram

图1. 拼接效果图

此时 $f\left(x,y,z\right)=\sqrt{\frac{4x^2}{5^2}+\frac{4y^2}{5^2}-\frac{z^2}{4^2}-{10}^2}$ 在 $Q_{10}\left(7,24,0\right)$ 、 $Q_{11}\left(15,20,0\right)$ 两点处的结果为

$f\left(Q_{10}\right)=f\left(Q_{11}\right)=0$，而 $g\left(x,y,z\right)$ 在上述两点的值 $g\left(Q_{10}\right)=g\left(Q_{11}\right)=0$ 这也验证了如果关系 $g\left(X\right)\in P_2^{\left(3\right)}$， $g^{\left(j\right)}\left(Q_i\right)=\text{0},j=1,\cdots ,n;i=1,\cdots ,d_n\left(2\right)$ 成立，蕴含了曲线 $c\left(X\right)=\text{0}$ 恒有 $g^{\left(j\right)}\left(X\right)\equiv 0$。

基金项目

辽宁省教育厅项目，辽教函[2018471]。

参考文献