由G-布朗运动驱动的SIR传染病模型

SIR Model Driven by G-Brownian Motion

摘要: 本文研究了由G-布朗运动驱动的SIR传染病模型，证明了此模型具有唯一的全局正解。另外，还研究了在一定条件下模型的解分别与无病均衡点和有病均衡点的渐近行为。

Abstract: In this paper, we investigate the stochastic SIR model driven by G-Brownian motion. We show that it has a unique global positive solution. In addition, the asymptotic behavior of the model solution to the disease-free equilibrium point and the epidemic equilibrium point under certain conditions is studied.

1. 引言

SIR传染病模型在现实生活中有着非常丰富的应用，它计算一段时间内封闭人群中感染传染病的理论人数。其中最简单的SIR模型应该是在1927年提出的Kermack-McKendrick模型 [1]。直至1979年，此模型再被Anderson and May [2] 重新研究起来。其中最基本的SIR模型的形式如下：

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{S}\left(t\right)=\Lambda -\beta S\left(t\right)I\left(t\right)-\mu S\left(t\right),\\ \stackrel{\dot{}}{I}\left(t\right)=\beta S\left(t\right)I\left(t\right)-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)I\left(t\right),\\ \stackrel{\dot{}}{R}\left(t\right)=\gamma I\left(t\right)-\mu R\left(t\right),\end{array}$ (1.1)

其中， $S\left(t\right)$ 是易受感染的人群， $I\left(t\right)$ 是已受感染的人群， $R\left(t\right)$ 是已经康复的人群。 $\Lambda$ 是易受感染人群的初始值，假设传染病的自然死亡率相等用常数 $\mu$ 表示；而已受感染人群 $I\left(t\right)$ 遭受到额外的死亡率记为 $\epsilon$ ； $\beta$ 和 $\gamma$ 分别代表疾病传播系数和从感染中恢复的比率。如果 $R_0=\frac{\beta \Lambda }{\mu \left(\mu +\epsilon +\gamma \right)}\le 1$，则模型(1.1)存在一个有病均衡点 $E_0=\left(\frac{\Lambda }{\mu },0,0\right)$。如果 $R_0>1$，则存在一个有病均衡点

$E^{*}=\left(\frac{\mu +\epsilon +\gamma }{\beta },\frac{\Lambda }{\mu +\epsilon +\gamma }-\frac{\mu }{\beta },\frac{\Lambda \gamma }{\mu \left(\mu +\epsilon +\gamma \right)}-\frac{\gamma }{\beta }\right)$

然而，在实际中，传染病模型也不可避免受到环境噪声的干扰，Jiang [3] 等人研究了模型(1.1)在白噪声干扰下的模型。本人将模型中的白噪声推广到了近年来比较热门的次线性期望框架下进行研究，并且得出了比较理想的结论，研究的模型如下：

$\{\begin{array}{l}\text{d}S\left(t\right)=\left(\Lambda -\beta S\left(t\right)I\left(t\right)-\mu S\left(t\right)\right)\text{d}t+c_{1}S\left(t\right)\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_t+{\sigma }_{1}S\left(t\right)\text{d}{B}_1\left(t\right),\\ \text{d}I\left(t\right)=\left(\beta S\left(t\right)I\left(t\right)-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)I\left(t\right)\right)\text{d}t+c_{2}I\left(t\right)\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_t+{\sigma }_{2}I\left(t\right)\text{d}{B}_2\left(t\right),\\ \text{d}R\left(t\right)=\left(\gamma I\left(t\right)-\mu R\left(t\right)\right)\text{d}t+c_{3}R\text{d}{\langle B_3,B_3\rangle }_t+{\sigma }_{3}R\text{d}{B}_3\left(t\right),\end{array}$ (1.2)

其中 $B_i$ 是两两相互独立的G-布朗运动，它们都满足 $\frac{B_i\left(t\right)}{\sqrt{t}}\stackrel{d}{=}N\left(0,\left[{\underset{\_}{\sigma }}_i^2,{\bar{\sigma }}_i^2\right]\right),i=1,2,3$。 $c_1,c_2,c_3\ge 0$ 是G-布朗运动二次变差过程对应的扰动强度， ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\ge 0$ 是G-布朗运动对应的扰动强度。

2. 预备知识

这节，我们介绍一些关于次线性期望的基本概念和性质，其中的细节读者们可以参考 [4] [5] [6]。如果想要了解次线性期望发展的概况可以参考 [7]。

2.1. 次线性期望的一些基本的概念

定义2.1 $\Omega$ 是一个给定的集合， $\mathcal{H}$ 是一个定义在 $\Omega$ 实值函数的线性空间并且满足：对所有的常数 $c\in \mathcal{H}$ 还满足：若 $X\in \mathcal{H}$，则 $\left|X\right|\in \mathcal{H}$。那么 $\mathcal{H}$ 就认为是一个“随机变量”的空间。而在这个空间上的次线性期望 $\mathbb{E}$ 是一个泛函 $\mathbb{E}$ ： $\mathcal{H}\mapsto ℝ$。对 $X,Y\in \mathcal{H}$，满足以下性质：

(1) 单调性： $\mathbb{E}\left[X\right]\ge \mathbb{E}\left[Y\right]$，若 $X\ge Y$ ；

(2) 保常数性： $\mathbb{E}\left[c\right]=c,\forall c\in ℝ$ ；

(3) 次可加性： $\mathbb{E}\left[X+Y\right]\le \mathbb{E}\left[X\right]+\mathbb{E}\left[Y\right]$ ；

(4) 正齐次性： $\mathbb{E}\left[\lambda X\right]=\lambda \mathbb{E}\left[X\right],\forall \lambda \ge 0$ ；

三元组 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 称为一个次线性期望空间， $X\in \mathcal{H}$ 称为 $\left(\Omega ,\mathcal{H}\right)$ 上的一个随机变量。我们一般称 $Y=\left(Y_1,\cdots ,Y_d\right)$， $Y_i\in \mathcal{H}$ 是 $\left(\Omega ,\mathcal{H}\right)$ 上的一个d-维随机向量。

现在我们考虑一个随机变量空间 $\mathcal{H}$ 满足若 $X_i\in \mathcal{H},i=1,\cdots ,d$，则

这里 $C_{b,\text{Lip}}\left({ℝ}^d\right)$ 是在 ${ℝ}^d$ 上所有有界Lipschitz连续的函数组成的空间。

定义2.2一个m-维随机向量 $Y=\left(Y_1,\cdots ,Y_m\right)$ 称独立于另一个n-维随机向量 $X=\left(X_1,\cdots ,X_n\right)$，如果对每一个 $\phi \in C_{b,\text{Lip}}\left({ℝ}^n\times {ℝ}^m\right)$，

$\mathbb{E}\left[\phi \left(X_1\right)\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}{\left[\phi \left(x,Y\right)\right]}_{x=X}\right]$

令 $X_1$ 和 $X_2$ 是定义在各自的次线性期望空间 $\left({\Omega }_1,{\mathcal{H}}_1,{\mathbb{E}}_1\right)$， $\left({\Omega }_2,{\mathcal{H}}_2,{\mathbb{E}}_2\right)$ 上的n-维随机向量。我们称它们是同分布的，记为 $X_1\stackrel{d}{=}{X}_2$，若对每个 $\phi \in C_{b,\text{Lip}}\left({ℝ}^n\right)$ 都有

${\mathbb{E}}_1\left[\phi \left(X_1\right)\right]={\mathbb{E}}_2\left[\phi \left(X_2\right)\right]$

若 $X,\bar{X}$ 是两个在 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的n-维随机向量，如果 $\bar{X}$ 与X同分布并且独立于X，则称 $\bar{X}$ 是X的独立拷贝。

定义2.3 (G-正态分布)一个在次线性空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的d-维随机向量 $X=\left(X_1,\cdots ,X_d\right)$ 称为G-正态分布，若对每个 $a,b\ge 0$ 我们有

$aX+b\bar{X}\stackrel{d}{=}\sqrt{a^2+b^2}X$

其中 $\bar{X}$ 是X的独立拷贝。

现在我们给出一个G-正态分布随机向量X的一个描述性性质。

引理2.1 X是一个d-维正态随机向量，则X的分布由下式刻画：

$u\left(t,x\right)=\mathbb{E}\left[\varphi \left(x+\sqrt{t}X\right)\right],\varphi \in C_{b,\text{Lip}}\left({ℝ}^d\right).$

$u\left(t,x\right)$ 定义在 $\left[0,\infty \right]\times {ℝ}^d$ 上是如下G-热方程的唯一粘性解 [8]：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u-G\left(D^{2}u\right)=0,\\ u\left(0,x\right)=\phi \left(x\right),\end{array}$ (2.1.1)

其中 $D^{2}u$ 是u的Hessian矩阵， $G:\mathbb{S}\left(d\right)\to {ℝ}^d$ 定义为：

$G\left(A\right):=\mathbb{E}\left[\frac{1}{2}\left(AX,X\right)\right],A\in \mathbb{S}\left(d\right),$

$S\left(d\right)$ 是一个 $d\times d$ 对称矩阵空间。在标量情况下， $G\left(\alpha \right)=\frac{1}{2}\left({\bar{\sigma }}^2{\alpha }^{+}-{\underset{\_}{\sigma }}^2{\alpha }^{-}\right)$， $\alpha \in ℝ$，其中，

${\bar{\sigma }}^2:=\mathbb{E}\left[X^2\right],{\underset{\_}{\sigma }}^2:=-\mathbb{E}\left[-X^2\right]$

定义2.4 (G-布朗运动)一个在次线性期望空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的d-维随机过程 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 称为G-布朗运动，若满足下列性质：

(i) $B_0\left(\omega \right)=0$ ；

(ii) 对每个 $t,s\ge 0$， $B_{t+s}-B_t$ 和 $B_s$ 是同分布的并且 $B_{t+s}-B_t$ 独立于 $\left(B_{t_1},B_{t_2},\cdots ,B_{t_n}\right)$，对每个 $n\in \mathbb{N}$， $0\le t_1\le \cdots \le t_n\le t$ ；

(iii) $\underset{t\downarrow 0}{\lim }\mathbb{E}\left[{\left|B_t\right|}^3\right]t^{-1}=0$ ；

此外，如果 $\mathbb{E}\left[B_t\right]=\mathbb{E}\left[-B_t\right]=0$，则 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 称为一个对称的G-布朗运动。

下面的引理给出了对称G-布朗运动的刻画。

引理2.2令 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一个在次线性期望空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的 ${ℝ}^d$ -值对称G-布朗运动。则对每一个固定的 $\phi \in C_{b,\text{Lip}}\left({ℝ}^d\right)$，函数 $u\left(t,x\right):=\mathbb{E}\left[\phi \left(x+B_t\right)\right],\left(t,x\right)\in \left[0,\infty \right)\times {ℝ}^d$ 是下列偏微分方程的粘性解

$u\left(t,x\right):=\mathbb{E}\left[\phi \left(x+B_t\right)\right],\left(t,x\right)\in \left[0,\infty \right)\times {ℝ}^d$

这里

$G\left(A\right)=\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[\langle A{B}_1,B_1\rangle \right],A\in \mathbb{S}(\; d\; )$

特别地， $B_1$ 是G-正态分布并且 $B_t\stackrel{d}{=}\sqrt{t}{B}_1$。

引理2.3设 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 为定义在次线性期望空间 $\left(\Omega ,\mathcal{H},\mathbb{E}\right)$ 上的一个对称的一维布朗运动，则

$\frac{B_t}{\sqrt{t}}\stackrel{d}{=}N\left(0,\left[{\underset{\_}{\sigma }}^2,{\bar{\sigma }}^2\right]\right)$

其中 ${\bar{\sigma }}^2:=\mathbb{E}\left[X^2\right],{\underset{\_}{\sigma }}^2:=-\mathbb{E}\left[-X^2\right]$。

2.2. G-随机积分

对 $T\in {ℝ}_{+}$，一个 $\left[0,T\right]$ 的划分 ${\pi }_T$ 是一个有序且有限的子集 ${\pi }_T=t_1,\cdots ,t_N$ 使得 $0=t_0<t_1<\cdots <t_N=T$。令 $p\ge 1$ 是固定的，定义

其中， $L_G^p\left({\mathcal{F}}_t\right)=\xi \in L_G^1\left({\mathcal{F}}_t\right);\mathbb{E}\left({\left|\xi \right|}^p\right)<\infty$。对于 ${\eta }_t={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_j}\left(\omega \right)I_{\left[t_j,t_j+1\right)}\left(t\right)\in M_G^{p,0}\left(0,T\right)$，设

${\hat{\mathbb{E}}}_T\left(\eta \right):=\frac{1}{T}{\displaystyle {\int }_0^T\mathbb{E}}\left({\eta }_t\right)\text{d}t=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left({\xi }_j\right)\left(t_{j+1}-t_j\right).$

则 ${\hat{\mathbb{E}}}_T:M_G^{p,0}\left(0,T\right)\mapsto ℝ$ 形成一个次线性期望空间。对每个 $p\ge 1$， $M_G^p\left(0,T\right)$ 记为 $M_G^{p,0}\left(0,T\right)$ 的完备化空间在模 ${\Vert \eta \Vert }_{M_G^p\left(0,T\right)}=\frac{1}{T}{\left({\displaystyle {\int }_0^T\mathbb{E}}\left({\left|{\eta }_t\right|}^p\right)\text{d}t\right)}^{1/p}$ 的意义下。

对每个 $\eta \in M_G^{2,0}\left(0,T\right)$ 有如下形式：

${\eta }_t\left(\omega \right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_j}\left(\omega \right)I_{\left[t_j,t_{j+1}\right)}\left(t\right),$

定义：

$I\left(\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(s\right)\text{d}{B}_s^a:={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_j}\left(B_{t_{j+1}}^a-B_{t_j}^a\right).$

映射 $I:M_G^{2,0}\left(0,T\right)\mapsto L_G^2\left({\mathcal{F}}_T\right)$ 可被连续延拓到 $I:M_G^2\left(0,T\right)\mapsto L_G^2\left({\mathcal{F}}_T\right)$。对每个 $\eta \in M_G^2\left(0,T\right)$，G-随机积分定义为

${\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(s\right)\text{d}{B}_s^a:=I\left(\eta \right)$ (2.2.1)

2.3. G-布朗运动的二次变差过程

定义映射 $M_G^{0,1}\left(0,T\right)\mapsto L_G^1\left({\mathcal{F}}_T\right)$ 如下：

$Q_{0,T}\left(\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(s\right)\text{d}{\langle B^a\rangle }_s:={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_k}\left({\langle B^a\rangle }_{t_{k+1}}-{\langle B^a\rangle }_{t_k}\right).$

那么 $Q_{0,T}$ 可被唯一延拓到 $M_G^1\left(0,T\right)$，我们仍然记这个映射为

${\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(s\right)\text{d}{\langle B^a\rangle }_s=Q_{0,T}\left(\eta \right),\eta \in M_G^1\left(0,T\right).$

性质2.1对每个 $\eta \in M_G^2\left(0,T\right)$，我们有

$\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_t}\text{d}{B}_t^a\right]=0$ (2.2.2)

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_t}\text{d}{B}_t^a\right)}^2\right]\le {\sigma }_{a{a}^{\text{T}}}^2\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^t{\eta }_t^2}\text{d}t\right]$ (2.2.3)

这里， ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一个d-维的G-布朗运动。对每个给定的 $a\in {ℝ}^d$，我们记 $B_t^a:=\langle a,B_t\rangle$，则 ${\left(B_t\right)}_{t\ge 0}$ 是一维的 $G_a$ -布朗运动， $G_t^{\alpha }=\frac{1}{2}\left({\sigma }_{a{a}^{\text{T}}}^2{\alpha }^{+}-{\sigma }_{-a{a}^{\text{T}}}^2{\alpha }^{-}\right)$，其中 ${\sigma }_{a{a}^{\text{T}}}^2=2G\left(a{a}^{\text{T}}\right)$， ${\sigma }_{-a{a}^{\text{T}}}^2=-2G\left(-a{a}^{\text{T}}\right)$。

令 $a={\left(a_1,\cdots ,a_d\right)}^{\text{T}}$， $\bar{a}={\left({\bar{a}}_1,\cdots ,{\bar{a}}_d\right)}^{\text{T}}$ 是给定的两个在 ${ℝ}^d$ 上的向量，则 $B^a$ 和 $B^{\bar{a}}$ 的协变差过程定义为 ${\langle B^a,B^{\bar{a}}\rangle }_t:=\frac{1}{4}\left({\langle B^a+B^{\bar{a}}\rangle }_t-{\langle B^a-B^{\bar{a}}\rangle }_t\right)$。

2.4. 关于二次变差的随机积分

定义一个映射 $M_G^{0,1}\left(0,T\right)\mapsto L_G^1\left({\mathcal{F}}_T\right)$ 如下：

$Q_{0,T}\left(\eta \right)={\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(s\right)\text{d}{\langle B^a\rangle }_s:={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{N-1}{\sum }}{\xi }_k}\left({\langle B^a\rangle }_{t_{k+1}}-{\langle B^a\rangle }_{t_k}\right)$

则 $Q_{0,T}$ 可以唯一地延拓到 $M_G^1\left(0,T\right)$，我们仍然记这个映射为

${\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(s\right)\text{d}{\langle B^a\rangle }_s=Q_{0,T}\left(\eta \right),\eta \in M_G^1\left(0,T\right)$

定理2.1 (G-itô公式)令 ${\alpha }^v$， ${\beta }^{vj}$， ${\eta }^{vij}\in M_G^2\left(0,T\right)$， $v=1,\cdots ,n$， $i,j=1,\cdots ,d$ 是有界的过程并且考虑

$X_t^v=X_0^v+{\displaystyle {\int }_0^t{\alpha }_s^v}\text{d}s+{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{d}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^t{\eta }_s^{vij}}}\text{d}{\langle B^i,B^j\rangle }_s+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{d}{\sum }}{\displaystyle {\int }_0^t{\beta }_s^{vj}}}\text{d}{B}_s^j$

其中 $X_0^v$， $v=1,\cdots ,n$ 是一个常数。 $\varphi \in C^2\left({ℝ}^n\right)$ 是一个实值函数并且导数有界使得 ${\partial }_{x^{\mu }{x}^v}^2{\varphi }_{\mu ,v=1}^n$ 是一致Lipschitz连续的，那么对每个 $t\in \left[0,T\right]$，在 $L_G^2\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 中

$\begin{array}{c}\varphi \left(X_t\right)-\varphi \left(X_s\right)={\displaystyle \underset{v=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{d}{\sum }}{\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x^v}}}}\varphi \left(X_u\right){\beta }_u^{vj}\text{d}{B}_u^j+{\displaystyle \underset{v=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x_v}}}\varphi \left(X_u\right){\alpha }_u^v\text{d}u\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\mu ,v=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{d}{\sum }}{\displaystyle {\int }_s^t{\partial }_{x^{\mu }{x}^v}^2}}}\varphi \left(X_u\right){\beta }_u^{\mu i}{\beta }_u^{vj}\text{d}{\langle B^i,B^j\rangle }_u\end{array}$ (2.4.1)

注意：在Gao [9] 中，该定理的条件更弱一些。

性质2.2令 $\eta \in M_G^2\left(0,T\right)$，则

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_t}\text{d}{B}_t\right)}^2\right]=\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{\eta }_t^2}\text{d}{\langle B\rangle }_t\right]$

性质2.3对每个 $\eta \in M_G^1\left(0,T\right)$，

$\mathbb{E}\left[\left|Q_{0,T}\left(\eta \right)\right|\right]\le {\bar{\sigma }}^2\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T\left|{\eta }_t\right|\text{d}t}\right]$

2.5. 拟必然分析理论

P是一个在 $\Omega$ 上的Wiener测度。记 ${\mathcal{A}}_{0,\infty }^{\Gamma }$ 是在 $\left[0,+\infty \right]$ 所有 $\Gamma$ -值的 ${\mathcal{F}}_t,t\ge 0$ 适应过程组成的集合即 ${\theta }_t,t\ge 0\in {\mathcal{A}}_{0,\infty }^{\Gamma }$ 当且仅当 ${\theta }_t$ 是 ${\mathcal{F}}_t:=\sigma \left({\omega }_s,s\le t\right)$ 可测的并且 ${\theta }_t\in \Gamma$ 对每个 $t\ge 0$。令 $P_{\theta }$ 是过程 ${\displaystyle {\int }_0^t{\theta }_s}\text{d}{\omega }_s,t\ge 0$ 在Wiener测度P下的一个分布。

定义2.5 (Choquet容度)我们记 $\mathcal{P}=P_{\theta }:\theta \in {\mathcal{A}}_{0,\infty }^{\Gamma }$ 并且定义 $\bar{C}\left(A\right):=\underset{\theta \in {\mathcal{A}}_{0,\infty }^{\Gamma }}{\sup }{P}_{\theta }\left(A\right),A\in \mathcal{B}\left(\Omega \right)$，则 $\mathcal{P}$ 是紧的并且 $\bar{C}(\cdot )$ 是一个Choquet溶度。

定义2.6 (拟必然)集合A称为polar集，若 $\bar{C}\left(A\right)=0$。如果一个性质是在 $A^C$ 上满足，那么我们这个性质是拟必然成立的。

3. 主要结论

接下来介绍几个我们研究的主要结果。

3.1. 全局正解的存在唯一性

定理3.1 对任意给定初值 $\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$，模型(1.2)存在一个唯一解 $\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$， $t\ge 0$，并且对所有 $t\ge 0$，它的解是拟必然(q.s.)正的。

证明：因为方程的系数是局部李普希思连续的，对任意给定的初值 $\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$ 在 $t\in \left[0,{\tau }_e\right)$ 存在一个唯一局部解 $\left(S\left(t\right),I\left(t\right),R\left(t\right)\right)$，这里 ${\tau }_e$ 是一个爆破时。为了证明解是全局的，我们只需要证明 ${\tau }_e=\infty$ q.s.。首先，我们证明 $S\left(t\right)$ 和 $I\left(t\right)$ 不会在有限时间里爆破到无穷的值。设 $k_0>0$ 充分大使得

$S\left(0\right)\in \left[\frac{1}{k_0},k_0\right]$ 和 $I\left(0\right)\in \left[\frac{1}{k_0},k_0\right]$ 同时成立。对每一个整数 $k\ge k_0$，定义停时：

${\tau }_k=\inf \left\{t\in \left[0,{\tau }_e\right):S\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)或I\left(t\right)\notin \left(\frac{1}{k},k\right)\right\}$ (3.1.1)

在本篇论文的范畴内我们假定 $\inf \varnothing =\infty$。显然， ${\tau }_k$ 是随着 $k\to \infty$ 递增的。设 ${\tau }_{\infty }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\tau }_k$，所以 ${\tau }_{\infty }\le {\tau }_e$ q.s.。如果 ${\tau }_{\infty }=\infty$ q.s.成立，则 ${\tau }_e=\infty$ q.s.和 $\left(S\left(t\right),I\left(t\right)\right)\in {ℝ}_{+}^2$ q.s.对 $t\ge 0$ 成立。换句话说，为了完成证明我们只需证明 ${\tau }_e=\infty$ q.s.。下面运用反证法，假设 ${\tau }_e=\infty$ q.s.不成立，那么存在一组常数 $T>0$ 和 $\epsilon \in \left(0,1\right)$ 使得：

$\bar{C}\left\{{\tau }_{\infty }\le T\right\}>\epsilon$

因此存在一个整数 $k_1\ge k_0$ 使得：

$\bar{C}\left\{{\tau }_k\le T\right\}\ge \epsilon$ 对一切 $k\ge k_1$ 成立。 (3.1.2)

接下来我们将使用李雅普诺夫(Lyapunov)分析方法，我们定义一个 $C^2$ -函数 $V:{ℝ}_{+}^2\to {ℝ}_{+}$ 如下：

$V\left(S,I\right)=\left(S-a-a\log \frac{S}{a}\right)+\left(I-1-\log I\right)$ (3.1.3)

这里a是一个正常数，稍后会给出定义。这个函数的非负性可以由如下不等式推出：

$u-1-\log u\ge 0$，对 $u>0$ 成立

现在令 $k\ge k_0$， $T>0$ 是任意的，应用itô公式，我们得到：

$\begin{array}{l}V\left(S\left(t\right),I\left(t\right)\right)\\ =V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\left(1-\frac{a}{S\left(s\right)}\right){\sigma }_{1}S\left(s\right)\text{d}{B}_1\left(s\right)}+{\displaystyle {\int }_0^t\left(1-\frac{1}{I\left(s\right)}\right){\sigma }_{2}I\left(s\right)\text{d}{B}_2\left(s\right)}\\ +{\displaystyle {\int }_0^t\left(1-\frac{a}{S\left(s\right)}\right)}\left({\rm A}-\beta S\left(s\right)I\left(s\right)-\mu S\left(s\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^t\left(1-\frac{1}{I\left(s\right)}\right)c_{2}I\left(s\right)\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s}\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{a}{S^2\left(s\right)}{c}_1^2{S}^2\left(s\right)\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_s}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{I^2\left(s\right)}{c}_2^2{I}^2\left(s\right)\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s}\end{array}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle {\int }_0^t\left(\Lambda +a\mu +\mu +\epsilon +\gamma \right)-\left(\mu +\beta \right)S\left(s\right)}-\frac{a\Lambda }{S\left(s\right)}+\left[a\beta -\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)\right]I\left(s\right)\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_1}\left(S\left(s\right)-a\right)\text{d}{B}_1\left(s\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_2}\left(I\left(s\right)-1\right)\text{d}{B}_2\left(s\right)+V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{c}_1}S\left(s\right)-a{c}_1+\frac{1}{2}{c}_1^{2}a\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_s+{\displaystyle {\int }_0^t{c}_2}I\left(s\right)-c_2+\frac{1}{2}{c}_2^2\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s\end{array}$

选择 $a=\frac{\mu +\epsilon +\gamma }{\beta }$ 使得 $\left[a\beta -\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)\right]I=0$，令 $K=\Lambda +a\mu +\epsilon +\mu +\gamma$ 则

$\begin{array}{l}V\left(S\left(t\right),I\left(t\right)\right)\\ \le V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)+Kt+{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_1}\left(S\left(s\right)-a\right)\text{d}{B}_1\left(s\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_2}\left(I\left(s\right)-1\right)\text{d}{B}_2\left(s\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{c}_1}S\left(s\right)-a{c}_1+\frac{1}{2}{c}_1^{2}a\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_s+{\displaystyle {\int }_0^t{c}_2}I\left(s\right)-c_2+\frac{1}{2}{c}_2^2\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s\end{array}$

我们现在用 ${\tau }_k\wedge T$ 代替t，并且两边取G-期望：

$\begin{array}{l}\mathbb{E}\left[V\left(S\left({\tau }_k\wedge T\right),I\left({\tau }_k\wedge T\right)\right)\right]\\ \le V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)+\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}{c}_1}S\left(s\right)-a{c}_1+\frac{1}{2}{c}_1^{2}a\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_s\right]\\ +\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^{{\tau }_k\wedge T}{c}_2}I\left(s\right)-c_2+\frac{1}{2}{c}_2^2\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s\right]+\mathbb{E}\left[K\left({\tau }_k\wedge T\right)\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\le V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)+\mathbb{E}\left[\left(a{c}_1+\frac{1}{2}{c}_1^{2}a\right){\langle B_1,B_1\rangle }_T\right]+\mathbb{E}\left[\left(c_2+\frac{1}{2}\right){\langle B_2,B_2\rangle }_T\right]\\ +\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{c}_1}\left|S\left(s\right)\right|1_{{\tau }_k}\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_s\right]+\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{c}_2}\left|I\left(s\right)\right|1_{{\tau }_k}\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s\right]+KT\\ \le V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)+{\overline{{\sigma }_1}}^2\left(a{c}_1+\frac{1}{2}{c}_1^{2}a\right)T+{\overline{{\sigma }_2}}^2\left(c_2+\frac{1}{2}\right)T+KT\\ +{\overline{{\sigma }_1}}^2\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{c}_1}\left|S\left(s\right)\right|1_{{\tau }_e}\text{d}s\right]+{\overline{{\sigma }_2}}^2\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{c}_2}\left|I\left(s\right)\right|1_{{\tau }_e}\text{d}s\right]:=C+\bar{K}T\end{array}$ (3.1.4)

这里，

$C=V\left(S\left(0\right),I\left(0\right)\right)+{\overline{{\sigma }_1}}^2\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{c}_1}\left|S\left(s\right)\right|1_{{\tau }_e}\text{d}s\right]+{\overline{{\sigma }_2}}^2\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^T{c}_2}\left|I\left(s\right)\right|1_{{\tau }_e}\text{d}s\right]$

$\bar{K}=K+{\overline{{\sigma }_1}}^2\left(a{c}_1+\frac{1}{2}{c}_1^{2}a\right)+{\overline{{\sigma }_2}}^2\left(c_2+\frac{1}{2}\right)$

令 ${\Omega }_k={\tau }_k\le T$ 并且由(3.1.2) $\bar{C}\left({\Omega }_k\right)\ge \epsilon$。注意到对每个 $\epsilon \in {\Omega }_k$， $S\left({\tau }_k,\omega \right)$ 或者 $I\left({\tau }_k,\omega \right)$ 要么等于k

要么等于 $\frac{1}{k}$，因此 $V\left(S\left({\tau }_k,\omega \right),I\left({\tau }_k,\omega \right)\right)$ 不会小于以下其中一个：

$k-1-\log k$ 或者 $\frac{1}{k}-1+\log k$

由(3.1.4)得：

$\begin{array}{c}C+\bar{K}T\ge \mathbb{E}\left[1_{{\Omega }_k}V\left(S\left({\tau }_k\right),I\left({\tau }_k\right)\right)\right]\\ =\underset{P\in \mathcal{P}}{\sup }{\mathbb{E}}^P\left[1_{{\Omega }_k}V\left(S\left({\tau }_k\right),I\left({\tau }_k\right)\right)\right]\\ \ge \epsilon \left[k-1-\log k\right]\wedge \left[\frac{1}{k}-1+\log k\right]\end{array}$

这里 $1_{{\Omega }_k}$ 是 ${\Omega }_k$ 的示性函数，令 $k\to \infty$，我们有

$\infty >C+\bar{K}T=\infty$

这样就推出了矛盾，我们有 ${\tau }_{\infty }=\infty$，因此 $S\left(t\right)$ 和 $I\left(t\right)$ 不会再有限时间内爆破q.s.另外 $R\left(t\right)$ 可表示为：

$\begin{array}{c}R\left(t\right)={\text{e}}^{-\mu t+{\sigma }_3{B}_3\left(t\right)-\frac{1}{2}{c}_3{\langle B_3,B_3\rangle }_t}[R\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\text{e}}^{\mu s+\frac{1}{2}\beta {\langle B_3,B_3\rangle }_s-{\sigma }_3{B}_3\left(s\right)}}\gamma I\left(s\right)\text{d}s\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{c}_3}{\text{e}}^{\mu s+\frac{1}{2}\beta {\langle B_3,B_3\rangle }_s-{\sigma }_3{B}_3\left(s\right)}\text{d}{\langle B_3,B_3\rangle }_s]\end{array}$ (3.1.5)

因此模型(1.2)的解是全局唯一正解。 □

3.2. 模型解关于无病均衡点的渐近行为

由前言提到，对于确定性模型存在一个无病均衡点 $E_0=\left(\frac{\Lambda }{\mu },0,0\right)$ 并且如果 $R_0=\frac{\beta \Lambda }{\mu \left(\mu +\epsilon +\gamma \right)}\le 1$，则它是全局稳定的。然而对于我们的随机模型而言，我们的解不会收敛到 $E_0$，但是我们可以研究解在 $E_0$ 附近的渐近行为。

定理3.2 若 $R_0=\frac{\beta \Lambda }{\mu \left(\mu +\epsilon +\gamma \right)}<1$ 并且下列条件满足：

$2\mu >4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2+c_2{\sigma }_2^{2}u$

$2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)>2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2+c_2{\sigma }_2^2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2,\mu >c_3{\overline{{\sigma }_3}}^2$

则对给定初值 $\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$，模型(1.2)的解有以下性质

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{t}\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^t{\left(S\left(s\right)-\frac{\Lambda }{\mu }\right)}^2+I{\left(s\right)}^2+R\left(s\right)}\right]\text{d}s\\ \le \left(2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2\right)\frac{{\Lambda }^2}{{\mu }^2{K}_1}+{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2\frac{\Lambda }{\mu K_1}+\frac{1}{2K_1}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2+\frac{1}{2K_1}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\end{array}$ (3.2.1)

这里

$\begin{array}{l}{K}_1=\min \{2\mu -4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2-c_2{\sigma }_2^2,d_2\mu -{\overline{{\sigma }_3}}^2{d}_2{c}_3,\\ 2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2-c_2{\sigma }_2^2-{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\}\end{array}$

证明：首先我们作一个变换 $u=S-\frac{\Lambda }{\mu }$， $v=I$， $w=R$，则模型(1.2)可以写成

$\{\begin{array}{l}\text{d}u\left(t\right)=\left(-\mu u\left(t\right)-\beta u\left(t\right)v\left(t\right)-\beta \frac{\Lambda }{\mu }v\left(t\right)\right)\text{d}t+{\sigma }_1\left(u\left(t\right)+\frac{\Lambda }{\mu }\right)\text{d}{B}_1\left(t\right)+c_1\left(u\left(t\right)+\frac{\Lambda }{\mu }\right)\text{d}{\langle B_1,B_1\rangle }_t,\\ \text{d}v\left(t\right)=\left[\beta u\left(t\right)v\left(t\right)-\left(\mu +\epsilon +\gamma -\beta \frac{\Lambda }{\mu }\right)v\left(t\right)\right]\text{d}t+{\sigma }_{2}v\left(t\right)\text{d}{B}_2\left(t\right)+c_{2}v\left(t\right)\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_t,\\ \text{d}w\left(t\right)=\left(\gamma v\left(t\right)-\mu w\left(t\right)\right)\text{d}t+{\sigma }_{3}w\left(t\right)\text{d}{B}_3\left(t\right)+c_{3}w\left(t\right)\text{d}{\langle B_3,B_3\rangle }_t,\end{array}$

并且 $u\in R$， $v>0$， $w>0$。定义一个函数： $V\left(u,v,w\right)={\left(u+v\right)}^2+d_{1}v+d_{2}w$

这里 $d_1$， $d_2$ 是一个正常数稍后给出定义，V是一个正定函数且由itô公式：

$\begin{array}{c}V\left(u,v,w\right)=V\left(u\left(0\right),v\left(0\right),w\left(0\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}L}V\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}2}{\sigma }_1\left(u\left(s\right)+\frac{\Lambda }{\mu }\right)\left(u\left(s\right)+v\left(s\right)\right)\text{d}{B}_1\left(s\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_2}\left(2u\left(s\right)+2v\left(s\right)+d_1\right)v\left(s\right)\text{d}{B}_2\left(s\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{d}_2}{\sigma }_{3}w\left(s\right)\text{d}{B}_3\left(s\right)\\ +{\displaystyle {\int }_0^t\left(2u\left(s\right)+2v\left(s\right)+d_1\right)c_{2}v\left(s\right)+{\sigma }_2^{2}v{\left(s\right)}^2\text{d}{\langle B_2,B_2\rangle }_s}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{t}2}{\sigma }_1{\sigma }_2\left(u\left(s\right)+\frac{\Lambda }{\mu }\right)v\left(s\right)\text{d}{\langle B_1,B_2\rangle }_s\end{array}$

其中：

$\begin{array}{c}LV=2\left(u+v\right)\left[-\mu u-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)v\right]+d_1\left[\beta uv-\left(\mu +\epsilon +\gamma -\beta \frac{\Lambda }{\mu }\right)v\right]+d_2\left(\gamma v-\mu w\right)\\ =-2\mu u^2-2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)v^2-d_2\mu w+\left[d_1\beta -2\left(2\mu +\epsilon +\gamma \right)\right]uv+\left[d_2\gamma -d_1\beta \frac{\Lambda }{\mu }\left(\frac{1}{R_0}-1\right)\right]v\end{array}$

然后我们取期望并通过性质2.1和基本不等式得：

$\begin{array}{l}0\le \mathbb{E}V\left(u,v,w\right)\le \mathbb{E}V\left(u\left(0\right),v\left(0\right),w\left(0\right)\right)\\ +\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t\left(4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-2\mu +\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2+c_2{\sigma }_2^2\right)u^2}\\ +\left[2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2+c_2{\sigma }_2^2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\right]v^2\\ +\left[d_1\beta -2\left(2\mu +\epsilon +\gamma \right)\right]uv+\left[d_2\gamma -d_1\beta \frac{\Lambda }{\mu }\left(\frac{1}{R_0}-1\right)\right]v+\left({\overline{{\sigma }_3}}^2{d}_2{c}_3-d_2\mu \right)w\text{d}s\\ +\left(2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2\right)\frac{{\Lambda }^2}{{\mu }^2}t+{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2\frac{\Lambda }{\mu }t+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_{2}t+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_{1}t\end{array}$

我们选择 $d_1$ 使得 $d_1\beta -2\left(2\mu +\epsilon +\gamma \right)=0$ 即 $d_1=\frac{2\left(2\mu +\epsilon +\gamma \right)}{\beta }$，除此之外，注意到 $R_0<1$，我们可以选择 $d_2>0$ 使得 $d_2\gamma -d_1\beta \frac{\Lambda }{\mu }\left(\frac{1}{R_0}-1\right)=0$，则 $d_2=\frac{2\Lambda \left(1-R_0\right)\left(2\mu +\epsilon +\gamma \right)}{\mu \gamma R_0}$。因此我们得到：

$\begin{array}{l}0\le \mathbb{E}V\left(u,v,w\right)\le \mathbb{E}V\left(u\left(0\right),v\left(0\right),w\left(0\right)\right)\\ +\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t\left(4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-2\mu +\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2+c_2{\sigma }_2^2\right)u^2}\\ +\left[2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2+c_2{\sigma }_2^2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\right]v^2\\ +\left({\overline{{\sigma }_3}}^2{d}_2{c}_3-d_2\mu \right)w\text{d}s+\left(2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2\right)\frac{{\Lambda }^2}{{\mu }^2}t\\ +{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2\frac{\Lambda }{\mu }t+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_{2}t+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_{1}t\end{array}$

这说明了：

$\begin{array}{l}\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t\left(2\mu -4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2-c_2{\sigma }_2^2\right)u^2+\left(d_2\mu -{\overline{{\sigma }_3}}^2{d}_2{c}_3\right)w}\\ +\left[2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2-c_2{\sigma }_2^2-{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\right]v^2\text{d}s\\ \le \mathbb{E}V\left(u\left(0\right),v\left(0\right),w\left(0\right)\right)+\left(2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2\right)\frac{{\Lambda }^2}{{\mu }^2}t+{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2\frac{\Lambda }{\mu }t\\ +\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_{2}t+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_{1}t\end{array}$

因此：

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{t}\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t\left(2\mu -4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2-c_2{\sigma }_2^2\right)u^2+\left(d_2\mu -{\overline{{\sigma }_3}}^2{d}_2{c}_3\right)w}\\ +\left[2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2-c_2{\sigma }_2^2-{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\right]v^2\text{d}s\\ \le \left(2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2\right)\frac{{\Lambda }^2}{{\mu }^2}+{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2\frac{\Lambda }{\mu }+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\end{array}$

如果令

$\begin{array}{l}{K}_1=\min \{2\mu -4c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2-c_2{\sigma }_2^2,d_2\mu -{\overline{{\sigma }_3}}^2{d}_2{c}_3,\\ 2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2-2c_2{\overline{{\sigma }_2}}^2-c_2{\sigma }_2^2-{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\}\end{array}$

则

$\begin{array}{l}\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{t}\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_0^t{\left(S\left(s\right)-\frac{\Lambda }{\mu }\right)}^2+I{\left(s\right)}^2+R\left(s\right)}\right]\text{d}s\\ \le \left(2c_1{\overline{{\sigma }_1}}^2+2{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2\right)\frac{{\Lambda }^2}{{\mu }^2{K}_1}+{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2\frac{\Lambda }{\mu K_1}+\frac{1}{2K_1}{\overline{{\sigma }_{12}}}^2{\sigma }_1{\sigma }_2+\frac{1}{2K_1}{\overline{{\sigma }_2}}^2{d}_1\end{array}$ □

3.3. 模型解关于有病均衡点的渐近行为

现在我们假设 $R_0>1$，我们介绍了确定性模型有病均衡点是 $E^{*}=\left(\frac{\mu +\epsilon +\gamma }{\beta },\frac{\Lambda }{\mu +\epsilon +\gamma }-\frac{\mu }{\beta },\frac{\Lambda \gamma }{\mu \left(\mu +\epsilon +\gamma \right)}-\frac{\gamma }{\beta }\right)$，然而在模型(1.2)中并不存在有病均衡点，但是我们可以研究是否其解在有病均衡点附近，下面的定理给出了肯定的答案。

定理3.3 如果 $R_0=\frac{\beta \Lambda }{\mu \left(\mu +\epsilon +\gamma \right)}>1$，并且下列条件满足：

$\mu >\frac{3}{2}{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2+\frac{{\sigma }_{12}{\sigma }_1^2}{4},\mu >2{\overline{{\sigma }_3}}^2{c}_3+{\overline{{\sigma }_3}}^2{\sigma }_3^2$

$2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)>{\sigma }_1^2{c}_1+3{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_{2}a+\frac{1}{2}\overline{{\sigma }_{12}}{\sigma }_2^2,\left(a=\frac{2\mu +\epsilon +\gamma }{\beta }\right)$

则对任意给定初值 $\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)\in {ℝ}_{+}^3$，模型(1.2)的解有如下性质：

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{t}\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(S-\frac{f_1}{2e_1}{S}^{*}\right)}^2}+{\left(I-\frac{f_2}{2e_2}{I}^{*}\right)}^2+{\left(R-\frac{f_3}{2e_3}{R}^{*}\right)}^2\text{d}s\le \frac{K_{\sigma }}{M},$

这里： $0<p<\frac{2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-\left({\sigma }_1^2{c}_1+3{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2+a{c}_2{\overline{{\sigma }_2}}^2+\frac{1}{2}\overline{{\sigma }_{12}}{\sigma }_2^2\right)}{{\gamma }^2}$，

$K_{\sigma }=C_1+C_2+C_3+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_2^2{\left(I^{*}\right)}^2}{2{\sigma }_1^2}+{\overline{{\sigma }_2}}^2\left(\frac{{\sigma }_2^{2}a{I}^{*}}{2}+a{c}_2+\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2{S}^{*}}{4}\right),M=\min \left\{e_1,e_2,e_3\right\}$

$e_1=\mu -\frac{3}{2}{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2}{2}-\frac{{\sigma }_{12}{\sigma }_1^2}{4},f_1=2\mu -{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1,C_1=\frac{f_1^2{S}^{*}}{4e_1}{\left(S^{*}\right)}^2+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1}{4}{\left(S^{*}\right)}^2,$

$e_2=\mu +\epsilon +\gamma -\frac{p{\gamma }^2}{2\mu }-\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1}{2}-\frac{3}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-{\overline{{\sigma }_2}}^{2}a{c}_2-\frac{1}{4}\overline{{\sigma }_{12}}{\sigma }_2^2$

$f_2=2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-\frac{p{\gamma }^2}{\mu }-{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2,C_2=\frac{f_2^2}{4e_2}{\left(I^{*}\right)}^2+\frac{p{\gamma }^2}{2\mu }{\left(I^{*}\right)}^2+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_2^2}{2{\sigma }_1^2}{\left(I^{*}\right)}^2\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2^2}{2{\sigma }_2^2}{\left(I^{*}\right)}^2$

$e_3=\frac{p\mu }{2}-{\overline{{\sigma }_3}}^{2}p{c}_3-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_3}}^{2}p{\sigma }_3^2,f_3=p\left(\mu -{\overline{{\sigma }_3}}^2{c}_3\right),C_3=\frac{f_3^2}{4e_3}{\left(R^{*}\right)}^2+\frac{1}{4}p{c}_3{\overline{{\sigma }_3}}^2{\left(R^{*}\right)}^2$

证明：定义一个 $C^2$ -函数V： ${ℝ}_{+}^3\to {ℝ}_{+}$ ：

$V\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)}^2+a\left(I-I^{*}-I^{*}\log \frac{I}{I^{*}}\right)+\frac{1}{2}p{\left(R-R^{*}\right)}^2$ (3.3.1)

这里 $a>0$， $p>0$，稍后会给出定义。为了方便，我们将(3.3.1)拆成两个函数：

$V_1\left(x\right)=\frac{1}{2}{\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)}^2+a\left(I-I^{*}-I^{*}\log \frac{I}{I^{*}}\right),V_2\left(x\right)=\frac{1}{2}p{\left(R-R^{*}\right)}^2$

由itô公式我们算得：

$\begin{array}{l}\text{d}{V}_1\left(S,I,R\right)\\ =L{V}_1\text{d}t+\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right){\sigma }_{1}S\text{d}{B}_1+\left[\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)+a\left(1-\frac{I^{*}}{I}\right)\right]{\sigma }_{2}I\text{d}{B}_2\\ +\left[\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)c_{1}S+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{S}^2\right]\text{d}\langle B_1\rangle +{\sigma }_1{\sigma }_{2}SI\text{d}\langle B_1,B_2\rangle \\ +\left[\left(S-S^{*}+I-I^{*}+a-\frac{a{I}^{*}}{I}\right)c_{2}I+\frac{1}{2}\left(1+a{I}^{*}\frac{1}{I^2}\right){\sigma }_2^2{I}^2\right]\text{d}\langle B_2\rangle \end{array}$

同理：

$\text{d}{V}_2\left(S,I,R\right)=L{V}_2\text{d}t+p\left(R-R^{*}\right){\sigma }_{3}R\text{d}{B}_3+\left[p\left(R-R^{*}\right)c_{3}R+\frac{1}{2}p{\sigma }_3^2{R}^2\right]\text{d}\langle B_3\rangle$

其中，

$\begin{array}{c}L{V}_1=\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)\left[-\mu \left(S-S^{*}\right)-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)\left(I-I^{*}\right)\right]+a\left(I-I^{*}\right)\left[\beta S-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)\right]\\ =-\mu {\left(S-S^{*}\right)}^2-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right){\left(I-I^{*}\right)}^2-\left(2\mu +\epsilon +\gamma \right)\left(S-S^{*}\right)\left(I-I^{*}\right)+a\left(I-I^{*}\right)\left[\beta S-\beta S^{*}\right]\\ =-\mu {\left(S-S^{*}\right)}^2-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right){\left(I-I^{*}\right)}^2+\left(a\beta -2\mu -\epsilon -\gamma \right)\left(S-S^{*}\right)\left(I-I^{*}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}L{V}_2=p\left(R-R^{*}\right)\left(\gamma I-\mu R\right)=p\left(R-R^{*}\right)\left[\gamma \left(I-I^{*}\right)-\mu \left(R-R^{*}\right)\right]\\ =p\gamma \left(I-I^{*}\right)\left(R-R^{*}\right)-p\mu {\left(R-R^{*}\right)}^2\le \frac{p{\gamma }^2}{2\mu }{\left(I-I^{*}\right)}^2-\frac{p\mu }{2}{\left(R-R^{*}\right)}^2\end{array}$

因此，

$\begin{array}{c}\text{d}V=\text{d}{V}_1+\text{d}{V}_2\\ =\left(L{V}_1+L{V}_2\right)\text{d}t+\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right){\sigma }_{1}S\text{d}{B}_1+p\left(R-R^{*}\right){\sigma }_{3}R\text{d}{B}_3\\ +\left[\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)+a\left(1-\frac{I^{*}}{I}\right)\right]{\sigma }_{2}I\text{d}{B}_2+\left[\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)c_{1}S+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{S}^2\right]\text{d}\langle B_1\rangle \\ +\left[\left(S-S^{*}+I-I^{*}+a-\frac{a{I}^{*}}{I}\right)c_{2}I+\frac{1}{2}\left(1+a{I}^{*}\frac{1}{I^2}\right){\sigma }_2^2{I}^2\right]\text{d}\langle B_2\rangle \\ +\left[p\left(R-R^{*}\right)c_{3}R+\frac{1}{2}p{\sigma }_3^2{R}^2\right]\text{d}\langle B_3\rangle +{\sigma }_1{\sigma }_{2}SI\text{d}\langle B_1,B_2\rangle \end{array}$

两边同时取期望得：

$\begin{array}{c}0\le \mathbb{E}V\left(S,I,R\right)\\ =\mathbb{E}V\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}L}{V}_1+L{V}_2\text{d}s\\ +\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t\left[\left(c_1+\frac{1}{2}{\sigma }_1^2\right)S^2-c_1{S}^{*}S+c_{1}SI-c_1{I}^{*}S\right]\text{d}{\langle B_1\rangle }_s}\\ +\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{c}_2}\left(S-S^{*}+I-I^{*}\right)I+a{c}_2\left(I-I^{*}\right)+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2\left(I^2+a{I}^{*}\right)\text{d}{\langle B_2\rangle }_s\\ +\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^{t}p}{c}_3{R}^2-p{c}_3{R}^{*}R+\frac{1}{2}p{\sigma }_3^2{R}^2\text{d}{\langle B_3\rangle }_s+\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{\sigma }_1}{\sigma }_{2}SI\text{d}{\langle B_1,B_2\rangle }_s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \mathbb{E}V\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^{t}L}{V}_1+L{V}_2\text{d}s+{\overline{{\sigma }_1}}^2\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{c}_1}{\left(S-\frac{1}{2}{S}^{*}\right)}^2\\ +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{\left[S-\frac{c_2}{{\sigma }_1^2}{I}^{*}\right]}^2+c_{1}SI\text{d}s+{\overline{{\sigma }_2}}^2\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{c}_2}{\left(I-\frac{1}{2}{S}^{*}\right)}^2\\ +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2{\left(I-\frac{c_2}{{\sigma }_2^2}{I}^{*}\right)}^2+c_{2}SI+a{c}_2{I}^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^{2}a{I}^{*}+a{c}_2\text{d}s\\ +{\overline{{\sigma }_3}}^2\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^{t}p}{c}_3{\left(R-\frac{1}{2}{R}^{*}\right)}^2+\frac{1}{2}p{\sigma }_3^2{R}^2\text{d}s+\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{2}\overline{{\sigma }_{12}}{\sigma }_1{\sigma }_{2}SI\text{d}s}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \mathbb{E}V\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t-}\mu {\left(S-S^{*}\right)}^2-\left(\mu +\epsilon +\gamma \right){\left(I-I^{*}\right)}^2\\ +\left(a\beta -2\mu -\epsilon -\gamma \right)\left(S-S^{*}\right)\left(I-I^{*}\right)+\frac{p{\gamma }^2}{2\mu }{\left(I-I^{*}\right)}^2-\frac{p\mu }{2}{\left(R-R^{*}\right)}^2\\ +{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1{\left(S-\frac{1}{2}{S}^{*}\right)}^2+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2}{2}{\left(S-\frac{c_2}{{\sigma }_1^2}{I}^{*}\right)}^2+{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_{1}SI\\ +{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2\left(1+a\right){\left(I-\frac{1}{2}{I}^{*}\right)}^2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_{2}SI+\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^{2}a{\sigma }_2^2{I}^{*}I\\ +\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2{\left(I-\frac{c_2}{{\sigma }_2^2}{I}^{*}\right)}^2+p{\overline{{\sigma }_3}}^2{c}_3{\left(R-\frac{1}{2}{R}^{*}\right)}^2+{\overline{{\sigma }_3}}^{2}p{\sigma }_3^2{R}^2+\frac{1}{2}\overline{{\sigma }_{12}}{\sigma }_1{\sigma }_{2}SI\text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \mathbb{E}V\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{F}_1}\left(s\right)+F_2\left(s\right)+F_3\left(s\right)\text{d}s\\ +\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_2^2{\left(I^{*}\right)}^2}{2{\sigma }_1^2}t+{\overline{{\sigma }_2}}^2\left(\frac{{\sigma }_2^{2}a{I}^{*}}{2}+a{c}_2+\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2{S}^{*}}{4}\right)t\end{array}$

在上述不等式中我们取 $a=\frac{2\mu +\epsilon +\gamma }{\beta }$ 并且使用了基本不等式 $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$， $F_1\left(s\right),F_2\left(s\right),F_3\left(s\right)$ 如下：

$F_1\left(s\right)=-e_1{\left(S-\frac{f_1}{2e_1}{S}^{*}\right)}^2+C_1$

$e_1=\mu -\frac{3}{2}{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_1}}^2{\sigma }_1^2-\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2}{2}-\frac{{\sigma }_{12}{\sigma }_1^2}{4}$

$f_1=2\mu -{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1,C_1=\frac{f_1^2{S}^{*}}{4e_1}{\left(S^{*}\right)}^2+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1}{4}{\left(S^{*}\right)}^2$

$F_2\left(s\right)=-e_2{\left(I-\frac{f_2}{2e_2}{I}^{*}\right)}^2+C_2$

$e_2=\mu +\epsilon +\gamma -\frac{p{\gamma }^2}{2\mu }-\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_1}{2}-\frac{3}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2-{\overline{{\sigma }_2}}^{2}a{c}_2-\frac{1}{4}{\sigma }_{12}{\sigma }_2^2$

$f_2=2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-\frac{p{\gamma }^2}{\mu }-{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2$

$C_2=\frac{f_2^2}{4e_2}{\left(I^{*}\right)}^2+\frac{p{\gamma }^2}{2\mu }{\left(I^{*}\right)}^2+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_2^2}{2{\sigma }_1^2}{\left(I^{*}\right)}^2\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2^2}{2{\sigma }_2^2}{\left(I^{*}\right)}^2$

$F_3\left(s\right)=-e_3{\left(R-\frac{f_3}{2e_3}{R}^{*}\right)}^2+C_3$

$e_3=\frac{p\mu }{2}-{\overline{{\sigma }_3}}^{2}p{c}_3-\frac{1}{2}{\overline{{\sigma }_3}}^{2}p{\sigma }_3^2,f_3=p\left(\mu -{\overline{{\sigma }_3}}^2{c}_3\right),C_3=\frac{f_3^2}{4e_3}{\left(R^{*}\right)}^2+\frac{1}{4}p{c}_3{\overline{{\sigma }_3}}^2{\left(R^{*}\right)}^2$

由定理条件我们知道 $2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-\left({\sigma }_1^2{c}_1+3{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2+a{c}_2{\overline{{\sigma }_2}}^2+\frac{1}{2}\overline{{\sigma }_{12}}{\sigma }_2^2\right)>0$，所以我们可以选择 $0<p<\frac{2\left(\mu +\epsilon +\gamma \right)-\left({\sigma }_1^2{c}_1+3{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2+{\overline{{\sigma }_2}}^2{\sigma }_2^2+a{c}_2{\overline{{\sigma }_2}}^2+\frac{1}{2}{\sigma }_{12}{\sigma }_2^2\right)}{{\gamma }^2}$。除此之外，其他的条件说明了 $e_i>0,f_i>0$，对 $i=1,2,3$。

经过简单地整理我们获得

$\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{e}_1}{\left(S-\frac{f_1}{2e_1}{S}^{*}\right)}^2+e_2{\left(I-\frac{f_2}{2e_2}{I}^{*}\right)}^2+e_3{\left(R-\frac{f_3}{2e_3}R\right)}^2\text{d}s\le V\left(S\left(0\right),I\left(0\right),R\left(0\right)\right)+K_{\sigma }t$

其中， $K_{\sigma }=C_1+C_2+C_3+\frac{{\overline{{\sigma }_1}}^2{c}_2^2{\left(I^{*}\right)}^2}{2{\sigma }_1^2}+{\overline{{\sigma }_2}}^2\left(\frac{{\sigma }_2^{2}a{I}^{*}}{2}+a{c}_2+\frac{{\overline{{\sigma }_2}}^2{c}_2{S}^{*}}{4}\right)$。

两边同时除以t并且令 $t\to \infty$，我们得到：

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{t}\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{e}_1}{\left(S-\frac{f_1}{2e_1}{S}^{*}\right)}^2+e_2{\left(I-\frac{f_2}{2e_2}{I}^{*}\right)}^2+e_3{\left(R-\frac{f_3}{2e_3}{R}^{*}\right)}^2\text{d}s\le K_{\sigma }$

令 $M=\min \left\{e_1,e_2,e_3\right\}$，则容易得到：

$\underset{t\to \infty }{\lim \sup }\frac{1}{t}\mathbb{E}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(S-\frac{f_1}{2e_1}{S}^{*}\right)}^2}+{\left(I-\frac{f_2}{2e_2}{I}^{*}\right)}^2+{\left(R-\frac{f_3}{2e_3}{R}^{*}\right)}^2\text{d}s\le \frac{K_{\sigma }}{M}$ □