点态化完备代数正规类中Amitsur-Kurosh根的映射刻画

The Characterization of Amitsur-Kurosh Radicals in Normal Classes of Pointwise Complete Algebras Based on Mapping

摘要: 在点态化完备代数正规类中引入预根、拟根概念，证明了代数类中的幂等拟根与Amitsur-Kurosh根类可以相互确定，从而代数类中的幂等拟根P是Amitsur-Kurosh根类的基于映射刻画。

Abstract: In this paper, the concepts of preradical and quasiradical in the normal classes of pointwise com-plete algebras are defined. It is proved that the idempotent quasiradicals and Amitsur-Kurosh radicals in algebraic classes can be determined by each other. Thus, idemquasiradicals P in alge-braic classes are the mapping based characterization of Amitsur-Kurosh radicals.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了能在一般代数正规类中进一步统一地研究根，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根、κ-根和β-根的结构性质。

本文在文献 [24] [25] [26] [27] 建立的点态化完备代数正规类概念基础上，给出了根类的一个映射刻画。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] [25] [26] [27]。

定义2.1 [12]： $A$ 是一个代数类， $\text{R}\subseteq A$，如果R满足：

a) $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$，则 $a/i\in \text{R}$ (即R商闭)；

b) $\forall a\in A$，a有一个最大的R-理想(记为R(a))，称a的R-根；

c) $\forall a\in A$，有 $\text{R}\left(a/\text{R}\left(a\right)\right)=0$。

则称R为 $A$ 中的一个根类，简称根。

以上的根类定义是Amitsur-Kurosh意义下的定义，是基于代数类的根性定义。根性质也可从另一方面来定义。下面我们从映射方面来对根性质进行刻画。

定义2.2： $A$ 是一个代数类，P是 $A$ 到 $A$ 的一个映射， $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a\right)⊲a$。下面是映射P相关的4个条件：

i) 对任意满同态： $f:a\to f\left(a\right)$，都有 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)\le \text{P}\left(f\left(a\right)\right)$ ；

ii) $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=0$ ；

iii) P满足完备性： $\forall a\in A$， $i⊲a$， $\text{P}\left(i\right)=i$，则 $i\le \text{P}\left(a\right)$ ；

iv) P满足幂等性： $\forall a\in A$，则 $\text{P}\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(a\right)$。

定义2.3: $A$ 是一个代数类，P是 $A$ 到 $A$ 的一个映射， $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a\right)⊲a$。

1) 如果P满足条件(i)，则称P是一个预根；

2) P是一个预根， $a\in A$，如果 $\text{P}\left(a\right)=a$，则称a是一个P-代数； $i⊲a$，如果i是一个P-代数，则称i是a的一个P-理想；

3) P是一个预根， $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $i\le \text{P}\left(a\right)$，有i是a的一个P-理想，则称预根P是遗传的；

4) 如果P是一个预根并且满足条件(ii)，则称P是一个拟根。

引理2.1：P是 $A$ 上一个预根，则 $\text{P}\left(0\right)=0$，从而理想0都是P-理想。

证明 $\text{P}\left(0\right)⊲0$，故 $\text{P}\left(0\right)=0$。证毕。

我们可以利用 $A$ 到 $A$ 的映射P给出根性质的一个刻画。

3. Amitsur-Kurosh根性质的映射刻画

下面，对点态化完备代数类 $A$ 中预根、拟根性质进行研究，以建立Amitsur-Kurosh根性质的另一种刻画。

定理3.1：P是代数类 $A$ 中一个预根，则以下条件等价：

1) $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的P-理想集，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想；

2) $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想；

3) $\forall a\in A$， $i,j⊲a$ 是2个P-理想，则 $i\vee j$ 也是P-理想； ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的P-理想升链，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想。

证明 1) Þ 2)，1) Þ 3)显然。

2) Þ 1) 设 ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的P-理想集，考虑 $k=\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}⊲a$，设 ${\left\{j_{\beta }\right\}}_{\beta \in \Lambda }$ 是k的所有P-理想集，由(2)知 $\vee \left\{j_{\beta }|\beta \in \Lambda \right\}$ 是k的P-理想。又因为 $\vee \left\{j_{\beta }|\beta \in \Lambda \right\}\ge \vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}=k$，从而

$k=\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}=\vee \left\{j_{\beta }|\beta \in \Lambda \right\},$

即k是P-代数，即 $k=\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 是a的P-理想。

3) Þ 1) 设 ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，由于 $0\in {\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 非空，根据条件(3)，利用Zorn引理知 ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 中存在一个极大元m。如果有某个 $i_{\alpha }\bcancel{\le }m$，则 $i_{\alpha }\vee m\ge m$ ( $i_{\alpha }\ne m$ )，由2)知 $i_{\alpha }\vee m$ 也是a的P-理想，与m是 ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 中的极大元矛盾，因此 $\forall \alpha$，有 $i_{\alpha }\le m$，即 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}\le m$，所以也是P-理想 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}=m$。证毕。

定理3.2：P是 $A$ 上一个预根，则以下条件等价：

1) P是完备的遗传预根；

2) 2.1 $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想；

2.2 $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a\right)=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a,\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)\right\}$ ；

3) 3.1 $\forall a\in A$， $i,j⊲a$ 是2个P-理想，则 $i\vee j$ 也是P-理想；

3.2 $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的P-理想升链，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想；

3.3 $\forall a\in A$， $x\in S_a$， $\left(x\right)$ 是a的P-理想当且仅当 $x\in S_{\text{P}\left(a\right)}$。

证明 1) Þ 2) P是完备的遗传预根。

$\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，由P的完备性得 $i_{\alpha }\le \text{P}\left(a\right)$， $\alpha \in \Gamma$。所以

$\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}\le \text{P}\left(a\right),$

由P的遗传性得 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 是P-理想，即2.1成立；

$\forall a\in A$， $\forall x\in S_a$， $\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)$，由P的完备性得 $\left(x\right)\le \text{P}\left(a\right)$，所以

$k=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a,\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)\right\}\le \text{P}\left(a\right);$

$\forall x\in S_{\text{P}\left(a\right)}$， $\left(x\right)\le \text{P}\left(a\right)$，由P的遗传性得 $\left(x\right)$ 是P-理想，所以 $\forall x\in S_k$，进而有 $\text{P}\left(a\right)\le k$，因此

$\text{P}\left(a\right)=k=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a,\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)\right\},$

即2.2成立。

综上2)成立。

2) Þ 1) 2.1，2.2成立。

$\forall a\in A$， $i⊲a$， $i\le \text{P}\left(a\right)$， $x\in S_i\subseteq S_{\text{P}\left(a\right)}$，由3.2得 $\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)$，而 $i=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_i\right\}$，由2.1得i是P-理想，即P是遗传的。

$\forall a\in A$， $i⊲a$， $\text{P}\left(i\right)=i$。 $\forall x\in S_i$， $\left(x\right)\le i=\text{P}\left(i\right)$，由P的遗传性得 $\text{P}\left(x\right)=\left(x\right)$，从而

$\left(x\right)\le k=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a,\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)\right\}\le \text{P}\left(a\right),$

故 $x\in S_{\text{P}\left(a\right)}$，因此 $i\le \text{P}\left(a\right)$，即P是完备的。

综上1)成立。

2) Û 3) 由定理3.1知2.1与3.1，3.2等价，而2.2与3.3等价，因此2)与3)等价。

证毕。

定理3.3：P是 $A$ 上一个预根，则以下条件等价：

1) P是拟根；

2) $\forall$ 满同态： $f:a\to a/i$， $i\le \text{P}\left(a\right)$，有 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(f\left(a\right)\right)$。

证明 1) Þ 2) P是拟根， $f:a\to a/i$ 是满同态，且 $i\le \text{P}\left(a\right)$，由P是拟根有 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)\le \text{P}\left(f\left(a\right)\right)$，即 $\text{P}\left(a\right)/i\le \text{P}\left(a/i\right)$。

对代数 $a/i$，考虑满同态 $f:a/i\to \left(a/i\right)/\left(\text{P}\left(a\right)/i\right)$，有

$f\left(\text{P}\left(a/i\right)\right)=\text{P}\left(a/i\right)/\left(\text{P}\left(a\right)/i\right)\le \text{P}\left(f\left(a/i\right)\right)=\text{P}\left(\left(a/i\right)/\left(\text{P}\left(a\right)/i\right)\right).$

$\left(a/i\right)/\left(\text{P}\left(a\right)/i\right)\sim a/\text{P}\left(a\right)$， $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=0,$

故 $\text{P}\left(\left(a/i\right)/\left(\text{P}\left(a\right)/i\right)\right)=0$， $\text{P}\left(a/i\right)\le \text{P}\left(a\right)/i$，进而 $\text{P}\left(a\right)/i=\text{P}\left(a/i\right)$，即 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(f\left(a\right)\right)$，2) 成立。

2) Þ 1)显然。证毕。

定理3.4：P是 $A$ 上一个拟根。则P是完备的Û $\forall a\in A$， $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0P-理想。

证明 “Þ”P是拟根， $\forall a\in A$， $k/\text{P}\left(a\right)⊲a/\text{P}\left(a\right)$ 是P-理想，其中 $\text{P}\left(a\right)\le k⊲a$。由P是完备的拟根得 $k/\text{P}\left(a\right)⊲\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=0$，所以 $k/\text{P}\left(a\right)=0$，即 $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0P-理想。

“Ü” $\forall a\in A$， $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0P-理想，设 $i⊲a$， $\text{P}\left(i\right)=i$，则 $\left(i\vee \text{P}\left(a\right)\right)/\text{P}\left(a\right)\sim i/\left(i\wedge \text{P}\left(a\right)\right)$。

考虑 $f:a\to a/\left(i\wedge \text{P}\left(a\right)\right)$，则 $i\wedge \text{P}\left(a\right)\le i$，由定理3.3知

$i/\left(i\wedge \text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(i\right)/\left(i\wedge \text{P}\left(a\right)\right)=f\left(\text{P}\left(i\right)\right)=\text{P}\left(f\left(i\right)\right)=\text{P}\left(i/\left(i\wedge \text{P}\left(a\right)\right)\right),$

$\left(i\vee \text{P}\left(a\right)\right)/\text{P}\left(a\right)\sim i/\left(i\wedge \text{P}\left(a\right)\right),$

故 $\left(i\vee \text{P}\left(a\right)\right)/\text{P}\left(a\right)$ 是 $a/\text{P}\left(a\right)$ 的P-理想，所以 $\left(i\vee \text{P}\left(a\right)\right)/\text{P}\left(a\right)=0$，因此 $i\le \text{P}\left(a\right)$，即P是完备的。证毕。

定理3.5：P是 $A$ 上一个预根，则以下条件等价：

1) P是遗传预根且 $\forall a\in A$， $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0P-理想；

2) P是完备的遗传拟根；

3) $\forall a\in A$，以下条件成立：

3.1 如果 $k\le i$ 是a的2个理想且 $i/k$ 是 $a/i$ 的P-理想，k是a的P-理想，则i是a的P-理想；

3.2 ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的P-理想升链，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想；

3.3 $x\in S_a$， $\left(x\right)\le \text{P}\left(a\right)$，则 $\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)$ ；

3.4 0是 $a/\text{P}\left(a\right)$ 唯一的P-理想；

4) $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，则 $\vee \left\{i_{\alpha }\right|\alpha \in \Gamma \}$ 也是P-理想。且：

4.1 $\forall a\in A$， $f:a\to a/i$， $i⊲a$， $i\le \text{P}\left(a\right)$，则 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(f\left(a\right)\right)$ ；

4.2 $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a\right)=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a,\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)\right\}$ ；

证明 1) Þ 2) $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)\le \text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)$，P是遗传预根，从而 $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)$ 是 $a/\text{P}\left(a\right)$ 的P-理想。又因为 $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0P-理想，因此 $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=0$，从而P是遗传拟根。又因为 $\forall a\in A$， $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0 P-理想，由定理3.4知P是完备的，从而2)成立。

2) Þ 1) P是完备的遗传拟根，由定理3.4知 $\forall a\in A$， $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0 P-理想，从而1)成立。

2) Þ 3) P是完备的遗传拟根。

$\forall a\in A$， $x\in S_a$， $\left(x\right)\le \text{P}\left(a\right)$，P是遗传拟根，故 $\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)$，即3.3成立；

P是完备的遗传拟根，由1)与2)等价， $a/\text{P}\left(a\right)$ 没有非0P-理想，而 $0\le a/\text{P}\left(a\right)$，由P是遗传拟根得0是 $a/\text{P}\left(a\right)$ 的P-理想，因此0是 $a/\text{P}\left(a\right)$ 唯一的P-理想，即3.4成立；

由定理3.2中3.2知 $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的P-理想升链，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想，即3.2成立；

设 $k\le i$ 是a的2个理想且 $i/k$ 是 $a/i$ 的P-理想，k是a的P-理想，由P的完备性知 $i\le \text{P}\left(a\right)$， $i/k\le \text{P}\left(a/i\right)$。由定理3.3中(2)得 $i/k\le \text{P}\left(a/k\right)=\text{P}\left(a\right)/k$，所以 $i\le \text{P}\left(a\right)$，再由P的遗传性知，i是P-理想，即3.1成立。

综上，3)成立。

3) Þ 4)条件3)成立。 $\forall a\in A$， $i,j⊲a$ 是2个P-理想，

$\left(i\vee j\right)/j\sim i/\left(i\wedge j\right)=\text{P}\left(i\right)/\left(i\wedge j\right).$

考虑满同态 $f:a\to a/\left(i\wedge j\right)$，则有

$\text{P}\left(i\right)/\left(i\wedge j\right)=f\left(\text{P}\left(i\right)\right)\le \text{P}\left(f\left(i\right)\right)=\text{P}\left(i/\left(i\wedge j\right)\right)⊲i/\left(i\wedge j\right),$

从而 $\text{P}\left(i/\left(i\wedge j\right)\right)=i/\left(i\wedge j\right)$，即 $i/\left(i\wedge j\right)$ 是P-代数，进而 $\left(i\vee j\right)/j$ 是 $a/j$ 的P-理想，j是a的P-理想，由3.1成立得 $i\vee j$ 是a的P-理想。再综合3.2成立，根据定理3.1知 $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想。

$\forall a\in A$， $f:a\to a/i$， $i⊲a$， $i\le \text{P}\left(a\right)$， $\text{P}\left(a\right)=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a\right\}$。由3.3成立， $\forall x\in S_a$， $\left(x\right)\le \text{P}\left(a\right)$，有 $\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)$，从而 $\text{P}\left(a\right)=\vee \left\{\left(x\right)|x\in S_a,\text{P}\left(\left(x\right)\right)=\left(x\right)\right\}$，即4.2成立。根据定理3.2，P是完备的遗传预根，由3.4成立，知 $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=0$，从而P是拟根。再根据定理3.3知 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(f\left(a\right)\right)$，即4.1成立。

综上，(4)成立。

4)Þ 2) 由 $\forall a\in A$， ${\left\{i_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Gamma }$ 是a的所有P-理想集，则 $\vee \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$ 也是P-理想及4.2成立，根据定理3.2知，P是完备的遗传预根。由4.1成立再根据定理3.3知P是完备的遗传拟根，即2)成立。

证毕。

定理3.6： $A$ 是一个代数类， $A$ 中一个Amitsur-Kurosh根R可确定一个 $A$ 到 $A$ 的一个满足条件i)~iv)的映射P。

证明 R是一个Amitsur-Kurosh根，设 $\text{P}:a\to \text{R}\left(a\right)$，即 $\text{P}:\text{P}\left(a\right)=\text{R}\left(a\right)⊲a$，则P是 $A$ 到 $A$ 的一个映射， $\forall a\in A$， $\text{P}\left(a\right)⊲a$。

对任意满同态： $f:a\to a/i$，

$f\left(\text{P}\left(a\right)\right)=f\left(\text{R}\left(a\right)\right)=\left(\text{R}\left(a\right)\vee i\right)/i\sim \text{R}\left(a\right)/\left(i\wedge \text{R}\left(a\right)\right)\in \text{R,}$

所以 $f\left(\text{P}\left(a\right)\right)\le \text{R}\left(a/i\right)=\text{P}\left(f\left(a\right)\right)$，即映射P满足条件(i)；

$\forall a\in A$， $\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(a/\text{R}\left(a\right)\right)=0$，即映射P满足条件(ii)；

$\forall a\in A$， $i⊲a$， $\text{P}\left(i\right)=i$，即 $\text{R}\left(i\right)=i$，则 $i\le \text{R}\left(a\right)=\text{P}\left(a\right)$，即P满足完备性条件(iii)；

$\forall a\in A$，则 $\text{P}\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(\text{R}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(\text{R}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(a\right)=\text{P}\left(a\right)$，即P满足幂等性条件(iv)。

证毕。

定理3.7： $A$ 是一个代数类，P是一个 $A$ 到 $A$ 的一个满足条件i)~iv)的映射， $\text{R}=\left\{a|\text{P}\left(a\right)=a\right\}$，则R是一个Amitsur-Kurosh根类。

证明 $\forall a\in A$， $i⊲a$，如果 $a\in \text{R}$， $\text{P}\left(a\right)=a$， $f:a\to a/i$ 是一个同态，则

$a/i=f\left(a\right)=f\left(\text{P}\left(a\right)\right)\le \text{P}\left(f\left(a\right)\right)=\text{P}\left(a/i\right),$

从而 $\text{P}\left(a/i\right)=a/i$，即 $a/i\in \text{R}$，(a)成立；

$\forall a\in A$，考虑

$\text{R}\left(a\right)=\vee \left\{i⊲a|i\in \text{R}\right\}=\vee \left\{i⊲a|\text{P}\left(i\right)=i\right\}⊲a.$

$\forall i⊲a$， $\text{P}\left(i\right)=i$，则 $i\le \text{R}\left(a\right)$，且 $i⊲\text{R}\left(a\right)$，从而由(iii)有 $i\le \text{P}\left(\text{R}\left(a\right)\right)$。因此 $\text{R}\left(a\right)\le \text{P}\left(\text{R}\left(a\right)\right)$，所以 $\text{P}\left(\text{R}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(a\right)$，故 $\text{R}\left(a\right)\in \text{R}$，即R(a)是a的一个最大R-理想，(b)成立；

$\forall a\in A$，R(a)是a的一个最大R-理想，有 $\text{P}\left(\text{R}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(a\right)$，由(iii)有 $\text{R}\left(a\right)\le \text{P}\left(a\right)$。由(iv)有 $\text{P}\left(\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(a\right)$，从而 $\text{P}\left(a\right)\in \text{R}$，所以 $\text{P}\left(a\right)\le \text{R}\left(a\right)$，故 $\forall a\in A$，有 $\text{R}\left(a\right)=\text{P}\left(a\right)$。由(ii)有

$\text{R}\left(a/\text{R}\left(a\right)\right)=\text{R}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=\text{P}\left(a/\text{P}\left(a\right)\right)=0,$

即(c)成立。

综上，R是一个Amitsur-Kurosh根类。证毕。

定理3.6、定理3.7说明一个Amitsur-Kurosh根类可以确定一个 $A$ 到 $A$ 的一个满足条件i)~iv)的映射P，即一个Amitsur-Kurosh根类可以确定一个 $A$ 上的幂等拟根；反之，一个 $A$ 到 $A$ 的一个满足条件i)~iv)的映射P可以确定一个Amitsur-Kurosh根类，即一个 $A$ 上的幂等拟根可以确定一个Amitsur-Kurosh根类。总之， $A$ 上的幂等拟根P是Amitsur-Kurosh根类的基于映射刻画。

4. 小结

本文在点态化完备代数正规类中引入预根、拟根概念，证明了 $A$ 上的幂等拟根与Amitsur-Kurosh根类可以相互确定，从而 $A$ 上的幂等拟根P是Amitsur-Kurosh根类的基于映射刻画。

基金项目

国家自然科学基金(11861076)；云南省自然科学基金(2019FB139)。