抛物型Baouendi-Grushin Laplace方程解的Schauder估计

Schauder Estimates for Parabolic Baouendi-Grushin Laplace Equations

摘要: 本文研究了一类退化抛物Baouendi-Grushin Laplace方程。通过构造与Baouemdi-Grushin向量场相对应的抛物Carnot-Carathéodory度量，利用嵌入定理和紧方法来证明方程解的Schauder估计。

Abstract: In this paper, we investigate a class of degenerate parabolic Baouendi-Grushin Laplace equations. By introducing the parabolic Carnot-Caratheodory metric which is associated with the geometry of the Baouendi-Grushin vector fields, we use imbedding theorem and compactness method to prove the Schauder estimates for the solutions of parabolic Baouendi-Grushin Laplace equations.

1. 引言

定义 $x\in R^n$， $y\in R^m$ 和 $\gamma >0$。Baouendi-Grushin (B-G)向量场 [1] 定义

$X_i=\frac{\partial }{\partial x_i},i=1,\cdots ,n,X_j={\left|x\right|}^{\gamma }\frac{\partial }{\partial y_j},\gamma >0,j=1,\cdots ,m,$

相应的B-G梯度可定义为

${\nabla }_{\gamma }=\left({\nabla }_x,{\left|x\right|}^{\gamma }{\nabla }_y\right)=\left(\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n},{\left|x\right|}^{\gamma }\frac{\partial }{\partial y_1},\cdots ,{\left|x\right|}^{\gamma }\frac{\partial }{\partial y_m}\right).$

则B-G型拉普拉斯算子可定义为

${\Delta }_{\gamma }u=\left({\nabla }_{\gamma }\cdot {\nabla }_{\gamma }\right)u={\Delta }_{x}u+{\left|x\right|}^{2\gamma }{\Delta }_{y}u,$

其中 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别代表 $R^n$ 、 $R^m$ 空间上的拉普拉斯算子。

当 $\gamma =1$ 时，Jerison和Lee [2] 研究了B-G拉普拉斯方程

${\Delta }_{1}u={\Delta }_{x}u+{\left|x\right|}^2{\Delta }_{y}u=f\left(x,y\right).$ (1)

此方程与Cauchy-Riemann Yamabe问题有密切关系。

当 $\gamma$ 为正整数时，向量场 $X_i$ 和 $X_j$ 满足Hörmander条件 [3]，由此可以得到方程的 $H^{\epsilon }$ 正则性估计。

当 $\gamma$ 是任意的正数时，Franchi通过研究与B-G向量场相关的加权Sobolev-Poincare 不等式，证明了Harnack不等式和方程解的 $C^{\alpha }$ 估计(参见文献 [4] [5] [6] )。王 [7] 通过构造与B-G向量场相对应的椭圆Carnot-Carathéodory (C-C)度量，给出了方程解的Hölder正则性估计。宋、王等人 [8] 建立了方程解的梯度的 $L^p$ 估计。R. Monti和D. Morbidelli研究了半线性的椭圆Baouendi-Grushin方程 [9]，并利用kelvin变换给出了方程正解的球对称结果。

近年来，退化抛物B-G方程引起了众多学者的广泛关注(参见文献 [3] [10] )。

对于抛物型B-G方程，假设 $\Omega \subset R^n\times R^m$ 是一个有界开区域，抛物区域为 ${\Omega }_{*}=\Omega \times \left(0,T\right]$，那么抛物边界为 $\partial {\Omega }_{\ast }\text{=}\left(\partial \Omega \times \left(0,T\right]\right)\cup \left(\Omega \times \left\{t=0\right\}\right)$。本文将研究下述抛物B-G拉普拉斯方程

$Lu\left(x,y,t\right):=u_t-{\Delta }_{\gamma }u={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{x_i}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\left|x\right|}^{\gamma }{f}_{y_j}},x\in {\Omega }_{\ast }.$ (2)

在区域 $\left\{\left(x,y,t\right)\in {\Omega }_{\ast }:x=0\right\}$ 附近，此方程为退化抛物方程；如果远离 $\left\{x=0\right\}$ 区域，则方程没有退化性。我们将分别研究在 $\left\{x=0\right\}$ 附近区域和远离 $\left\{x=0\right\}$ 的解的正则性，并给出方程解的一致性估计。

本文研究的主要结论如下：

定理1：设u为方程(2)的弱解，任意的正数 $\alpha$ 满足 $0<\alpha <1$，存在一个正常数C，若 $f\in C_{\ast }^{\alpha ，\frac{\alpha }{1\text{+}\gamma }，\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)$，那么存在多项式

$p\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}Ax+Bx+Cy+Dt+E+F{y}^2+Gxy,$ (*)

使得

$\frac{1}{\left|Q_r\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_r}{\left|u-p_{\left(x_0,y_0,t_0\right)}\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le C{r}^{2\left(2+\alpha \right)}.$

其中 $0<r<1$，常数C与 ${\left[f\right]}_{C_{\ast }^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)}$ 和 ${\Vert u\Vert }_{L^2\left(Q_1\right)}$ 有关。

说明：由下述引理2的证明过程可知，多项式 $p\left(x,y,t\right)$ 的形式与指标 $\alpha$， $\gamma$ 有关。

情况分类如下：若

1、 $0<\gamma <\frac{1}{2}$， $\alpha >2\gamma$，多项式 $p\left(x,y,t\right)$ 的形式如(*)所示，

2、 $0<\gamma <\frac{1}{2}$， $\gamma <\alpha <2\gamma$，多项式 $p\left(x,y,t\right)$ 系数 $F=0$，

3、 $0<\gamma <\frac{1}{2}$， $\alpha <\gamma$，多项式 $p\left(x,y,t\right)$ 系数 $G=0$，

4、 $\frac{1}{2}<\gamma <1$， $\alpha >\gamma$，多项式 $p\left(x,y,t\right)$ 系数 $F=0$，

5、 $\frac{1}{2}<\gamma <1$， $\alpha <\gamma$，多项式 $p\left(x,y,t\right)$ 系数 $F=0$ 且 $G=0$。

定理结论类似可得。

在第二节，我们给出与B-G向量场相关的抛物Carnot-Carathéodory (C-C)度量，在第三节给出方程解的Schauder估计的证明。

2. 预备知识

本节我们给出弱解的定义和一些重要的引理。

2.1. 内在度量

首先为了能对B-G向量场进行分析，我们引入C-C度量。

对任意的 $Z_1=\left(x_1,y_1,t_1\right),Z_2=\left(x_2,y_2,t_2\right)\in R^n\times R^m\times \left[0,+\infty \right)$，定义与B-G向量场相对应的抛物C-C度量为 $d_1{s}^2=\text{d}{t}^2-\text{d}{x}^2-\frac{\text{d}{y}^2}{{\left|x\right|}^{2\gamma }}$，相对应的距离为 $d_{\gamma }\left(Z_1,Z_2\right)={\left|t_1-t_2\right|}^{\frac{1}{2}}+\left|x_1-x_2\right|+\frac{2\left|y_1-y_2\right|}{{\left|x_1\right|}^{\gamma }+{\left|x_2\right|}^{\gamma }}$。

当 $\left|x\right|,\left|y\right|~1$ 时，抛物C-C距离可看成经典的抛物距离

$d_{\gamma }\left(Z_1,Z_2\right)~d\left(Z_1,Z_2\right)={\left|t_1-t_2\right|}^{\frac{1}{2}}+\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|.$

令 $Z=\left(x,y,t\right)$， $rZ=\left(rx,r^{1+\gamma }y,r^{2}t\right)$，在抛物C-C度量下，算子L满足性质

$L\left(u\left(rx,r^{1+\gamma }y,r^{2}t\right)\right)=r^2\left(Lu\right)\left(rx,r^{1+\gamma }y,r^{2}t\right).$ (3)

记 $S_r\left(z_0\right)=\left\{\left(x,y\right):\left|x^i-x_0{}^i\right|<r,\left|y^j-y_0{}^j\right|<r^{1+\gamma }\right\}$， $\left(i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,m\right)$， $Q_r\left(Z_0\right)=\left\{\left(x,y,t\right):\left(x,y\right)\in S_r\left(z_0\right),-r^2<t-t_0<r^2\right\}$，为方便书写，记 $S_r=S_r\left(0\right)$， $Q_r=Q_r\left(0\right)$。

2.2. Sobolev空间

设 ${\Omega }_{\ast }$ 为有界抛物区域。定义Sobolev空间 $W_{\gamma }^{1,2}\left({\Omega }_{\ast }\right)$ 为

$W_{\gamma }^{1,2}\left({\Omega }_{\ast }\right):=\left\{u\in L^2\left({\Omega }_{\ast }\right),{\nabla }_{\gamma }u\in L^2\left({\Omega }_{\ast }\right)\right\},$

其范数定义为

${\Vert u\Vert }_{W_{\gamma }^{1,2}\left({\Omega }_{\ast }\right)}:={\left\{{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{\ast }}{\left|u\right|}^2+{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{\ast }}{\left|{\nabla }_{\gamma }u\right|}^2}}\right\}}^{1/2}.$

通篇我们令 $Q=n+\left(1+\gamma \right)m+2$。若 $2<q<\frac{2Q}{Q-2}$，那么有嵌入定理

$W_{\gamma }^{1,2}\left({\Omega }_{\ast }\right)$ ↪ $L^q\left({\Omega }_{\ast }\right)$，

且在有界区域上此嵌入为紧嵌入(见 [11] )。

方程(2)的弱解可定义如下：

定义2.1：如果 $u\in W_{\gamma }^{1,2}\left({\Omega }_{\ast }\right)$ 且对任意 $\phi \in C_0^{\infty }\left({\Omega }_{\ast }\right)$ 满足

${\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{\ast }}u{\phi }_t}\text{d}z\text{d}t-{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{\ast }}{\nabla }_{\gamma }}u\cdot {\nabla }_{\gamma }\phi ={\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{\ast }}f\cdot }{\nabla }_{\gamma }\phi \text{d}z\text{d}t,$ (4)

那么称u是方程(2)的弱解。

2.3. $C^{m,\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}$ 的等价定义

在C-C度量下，对任意的 $Z_0=\left(x_0,y_0,t_0\right)\in Q_1$， $0<a<1$，如果存在一个m阶多项式P满足

$P_{\left(x_0,y_0,t_0\right)}\left(x,y,t\right)={\displaystyle \underset{i+\left(1+\gamma \right)j+2k\le m}{\sum }{a}_{ijk}{\left(x-x_0\right)}^i{\left(y-y_0\right)}^{\left(1+\gamma \right)j}{\left(t-t_0\right)}^{2k}},$

并且

$\left|u\left(x,y,t\right)-P\left(x,y,t\right)\right|\le Cd{\left(\left(x,y,t\right),\left(x_0,y_0,t_0\right)\right)}^{m+\alpha },\left(x,y,t\right)\in Q_1,$

那么 $u\in C_{\ast }^{m,\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}$。

当 $m=0$ 时，如果函数 $f\in C^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)$，其半范数定义 [12] ]\为

${\left[f\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_1\right)}=\underset{0<\rho \le 1}{\sup }\frac{1}{{\rho }^{\alpha }}\sqrt{\frac{1}{\left|Q_{\rho }\right|}{{\displaystyle {\int }_{Q_{\rho }}\left|f\left(x,y,t\right)-f\left(0,0,0\right)\right|}}^2}<\infty .$

在Hölder空间中，还有一种等价形式的半范数 [13]，即

${\left[f\right]}_{C_{\ast }^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)}=\underset{Z_1,Z_2\in {\bar{Q}}_1}{\sup }\frac{\left|f\left(Z_1\right)-f\left(Z_2\right)\right|}{d_{\gamma }{\left(Z_1,Z_2\right)}^{\alpha }},$

此时，其全范数为

${\Vert f\Vert }_{C_{\ast }^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)}={\Vert f\Vert }_{L^{\infty }\left(Q_1\right)}+{\left[f\right]}_{C_{\ast }^{\alpha ，\frac{\alpha }{1\text{+}\gamma }，\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)}.$

3. 正则性估计

本节我们证明方程(2)解的Schauder估计。证明的主要思路 [14] 是：首先利用C-C度量的性质(3)和紧方法，来研究在区域 $\left\{x=0\right\}$ 附近的正则性，然后利用一致抛物方程的正则性结论得到方程解在远离 $\left\{x=0\right\}$ 区域时的Schauder估计。

3.1. $\left\{\left(x,y,t\right)\in Q_1:x=0\right\}$ 区域附近的估计

不妨假设u满足方程

$u_t-{\Delta }_{\gamma }u=f\left(x,y,t\right),$

令 $v\left(x,y,t\right)=u\left(rx,r^{1+\gamma }y,r^{2}t\right)$，由C-C度量可知，在 $\left\{x=0\right\}$ 附近满足方程

$v_t-{\Delta }_{\gamma }v=r^{2}f\left(rx,r^{1+\gamma }y,r^{2}t\right).$

这是我们研究方程解在 $\left\{\left(x,y,t\right)\in Q_1:x=0\right\}$ 区域附近正则性的基础。

定理2：设 $u\in W_{\gamma }^{1,2}$ 为方程(2)的弱解，对任意的 $0<\alpha <1$，存在一个正常数 $C_1$，若 $f\in C^{\alpha ，\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)$，那么存在一个多项式

$p\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}Ax+Bx+Cy+Dt+E+F{y}^2+Gxy$

满足 $p_t-{\Delta }_{\gamma }p=f\left(0,0,0\right)$，且

$\frac{1}{\left|Q_{\rho }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\rho }}{\left|u-p_{\left(0,0,0\right)}\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le C_1{\rho }^{2\left(2+\alpha \right)}.$ (5)

其中 $0<\rho \le 1$，常数 $C_1$ 与 ${\left[f\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_{\rho }\right)}$ 以及 ${\Vert u\Vert }_{L^2\left(Q_{\rho }\right)}$ 有关。

在证明定理前，我们先给出所需用到的两个引理。

引理1：设u为方程(2)的弱解，对任意的正数 $\epsilon$，存在一个 $\delta =\delta \left(\epsilon \right)\in \left(0,1\right)$，当u满足

$\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\left|{\nabla }_{\gamma }u\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le 1$ (6)

且

$\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{f}^2}\text{d}z\text{d}t\le {\delta }^2,$ (7)

则存在一个函数h满足

$h_t-{\Delta }_{\gamma }h=0,Z\in Q_1,$ (8)

使得

$\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\left|u-h\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\epsilon }^2.$ (9)

证明：反证法，假设存在 ${\epsilon }_0>0$，使得对任意的 $\delta =1/n$，存在 $u_n$， $f_n$ 满足

${\displaystyle {\int }_{Q_2}{u}_n{\phi }_t\text{d}z\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\nabla }_{\gamma }{u}_n\cdot {\nabla }_{\gamma }\phi \text{d}z\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{Q_2}{\nabla }_{\gamma }\phi \cdot f_n\text{d}z\text{d}t},$ (10)

且

$\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\left|{\nabla }_{\gamma }{u}_n\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le 1,\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\left|f_n\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le \frac{\text{1}}{n^2},$ (11)

但是

$\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\left|u_n-h\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\ge {\epsilon }_0.$ (12)

由于 $W_{\gamma }^{1,\text{2}}\left(Q_2\right)$ 紧嵌入 $L^2\left(Q_{\text{2}}\right)$ 及有界性条件 $\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\left|{\nabla }_{\gamma }{u}_n\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le 1$，则存在一个子序列，不妨仍记为 $\left\{u_n\right\}$ 使得 $u_n$ 在 $L^2\left(Q_{\text{2}}\right)$ 中强收敛于 $u_{\infty }$， ${\nabla }_{\gamma }{u}_n$ 在 $L^2\left(Q_{\text{2}}\right)$ 中弱收敛于 ${\nabla }_{\gamma }{u}_{\infty }$

令 $n\to \infty$，由(10)和(11)可得

${\displaystyle {\int }_{Q_2}{u}_{\infty }{\phi }_t\text{d}z\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\nabla }_{\gamma }{u}_{\infty }}\cdot {\nabla }_{\gamma }\phi \text{d}z\text{d}t=0,$

这说明了 $u_{\infty }$ 和h都是方程(8)的弱解。这与(12)式矛盾，证毕。

引理2：设u是方程(2)的弱解，对任意的 $0<\alpha <1$，存在一个常数 $C_0$， $0<\lambda <\frac{1}{2}$， $0<\delta <1$，当u，f分别满足

$\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{\left|{\nabla }_{\gamma }u\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le 1$ 和 $\frac{1}{\left|Q_2\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_2}{f}^2}\text{d}z\text{d}t\le {\delta }^2,$

则存在一个多项式

$p\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}Ax+Bx+Cy+Dt+E+F{y}^2+Gxy$

满足 $p_t-{\Delta }_{\gamma }p=0$ 且

$\frac{1}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|u-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)}.$

其中

$\left|A\right|+\left|B\right|+\left|C\right|+\left|D\right|+\left|E\right|+\left|F\right|+\left|G\right|\le C_0.$

证明：由引理1知，给定一个 $\epsilon \in \left(0,1\right)$，那么

$\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\left|u-h\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\epsilon }^2.$ (13)

我们把 $h\left(x,y,t\right)$ 在 $\left(0,0,0\right)$ 处展开，同时取

$\begin{array}{c}p\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}Ax+Bx+Cy+Dt+E+y^2+xy\\ =\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}{D}_x^{2}h\left(0,0,0\right)x+x{D}_{x}h\left(0,0,0\right)+y{D}_{y}h\left(0,0,0\right)+t{D}_{t}h\left(0,0,0\right)\\ +h\left(0,0,0\right)+\frac{1}{2}{y}^2{D}_y^{2}h\left(0,0,0\right)+\frac{1}{2}xy{D}_x{D}_{y}h\left(0,0,0\right)\end{array}$

那么 $p_t-{\Delta }_{\gamma }p=0$。由多元高阶Taylor公式可得

$\left|h\left(x,y,t\right)-p\left(x,y,t\right)\right|\le C{\lambda }^3,$

其中 $Z=\left(x,y,t\right)\in Q_{\lambda }$， $0<\lambda <\frac{1}{2}$，

所以，

$\begin{array}{c}\frac{1}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|u-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\\ \le \frac{2}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|u-h\right|}^2\text{d}z\text{d}t}+\frac{2}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|h-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le \frac{2}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\left|u-h\right|}^2\text{d}z\text{d}t}+\frac{2}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|h-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\\ \le \frac{2\left|Q_1\right|}{\left|Q_{\lambda }\right|}\frac{1}{Q_1}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\left|u-h\right|}^2\text{d}z\text{d}t}+\frac{2}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|h-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le \frac{2{\epsilon }^2}{{\lambda }^m\cdot {\lambda }^{n\left(1+\gamma \right)}\cdot {\lambda }^2}+C{\lambda }^6\end{array}$ (14)

取 $\lambda$ 足够小，使(14)第二项满足

$C{\lambda }^6\le \frac{1}{2}{\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)},$

取 $\epsilon$ 足够小，使(14)第一项满足

$\frac{2{\epsilon }^2}{{\lambda }^m\cdot {\lambda }^{n\left(1+\gamma \right)}\cdot {\lambda }^2}\le \frac{1}{2}{\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)}.$

因此

$\frac{1}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|u-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)}.$

证毕。

定理2的证明：不妨假设 $f\left(0,0,0\right)=0$，否则可以令

$v\left(x,y,t\right)=u\left(x,y,t\right)-\frac{f\left(0,0,0\right)}{2n}{\left|x\right|}^2,$

那么

$\begin{array}{c}{v}_t-{\Delta }_{\gamma }v={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{f}_{x_i}}+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\left|x\right|}^{\gamma }{f}_{y_j}}-f\left(0,0,0\right)-{\left|x\right|}^{2\gamma }f\left(0,0,0\right)\\ =:f\left(x,y,t\right)-f\left(0,0,0\right),\end{array}$

显然对v的估计可以转化成对u的估计。

另外，假设

${\left[f\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_1\right)}<\delta ,$ (15)

$\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\nabla }_{\gamma }{u}^2\text{d}z\text{d}t}\le 1.$ (16)

否则，取

$\tilde{u}=\frac{\delta u}{\sqrt{\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{u}^2\text{d}z\text{d}t}}+{\left[f\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_1\right)}},$ $\tilde{f}=\frac{\delta f}{\sqrt{\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{u}^2\text{d}z\text{d}t}}+{\left[f\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_1\right)}}$

那么，计算容易得到 $\tilde{u}$， $\tilde{f}$ 满足

${\tilde{u}}_t-{\Delta }_{\gamma }\tilde{u}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\tilde{f}}_{x_i}}+{\left|x\right|}^{\gamma }{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\tilde{f}}_{y_j}}=:\tilde{f}\left(x,y,t\right),$

且由 $\delta$ 充分小可得

${\left[\tilde{f}\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_1\right)}<\delta$， $\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\tilde{u}}^2\text{d}z\text{d}t}\le 1$。

然后通过计算对 $\tilde{u}$ 的估计来得到对u的估计。

下面用归纳法证明：存在多项式

$p_k\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}{A}_{k}x+B_{k}x+C_{k}y+D_{k}t+E_k+F_k{y}^2+G_{k}xy$ (17)

满足 ${\left(p_k\right)}_t-{\Delta }_{\gamma }{p}_k=0$，使得

$\frac{1}{\left|Q_{{\lambda }^k}\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{{\lambda }^k}}{\left|u-p_k\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\lambda }^{2k\left(2+\alpha \right)}$， $\left|x\right|\le {\lambda }^k$， $\left|y\right|\le {\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}$， $\left|t\right|\le {\lambda }^{2k}$， (18)

并且系数满足

$\left|A_{k+1}-A_k\right|\le C{\lambda }^{\alpha k}$， $\left|B_{k+1}-B_k\right|\le C{\lambda }^{k\left(1+\alpha \right)}$， $\left|C_{k+1}-C_k\right|\le C{\lambda }^{k\left(1+\alpha -\gamma \right)}$， (19)

$\left|D_{k+1}-D_k\right|\le C{\lambda }^{\alpha k}$， $\left|E_{k+1}-E_k\right|\le C{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}$， $\left|F_{k+1}-F_k\right|\le C{\lambda }^{k\left(\alpha -2\gamma \right)}$， (20)

$\left|G_{k+1}-G_k\right|\le C{\lambda }^{k\left(\alpha -\gamma \right)}.$ (21)

1) 当 $k=0$ 时。取 $p_0\left(x,y,t\right)=0$，那么

$\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{u}^2\text{d}z\text{d}t\le 1}$

结果显然成立。

2) 当 $k=1$ 时。取 $p_1\left(x,y,t\right)=p\left(x,y,t\right)$，这里的 $p\left(x,y,t\right)$ 满足引理2的条件。那么

$\frac{1}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|u-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)}$

结果亦成立。

3) 假设 $k=k$ 时成立。令

$\omega \left(x,y,t\right)=\frac{u\left({\lambda }^{k}x,{\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}y,{\lambda }^{2k}t\right)-p_k\left({\lambda }^{k}x,{\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}y,{\lambda }^{2k}t\right)}{{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}}$

那么计算得

${\omega }_t-{\Delta }_{\gamma }\omega =\frac{f\left({\lambda }^{k}x,{\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}y,{\lambda }^{2k}t\right)}{{\lambda }^{\alpha k}}$， $\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}{\omega }^2\text{d}z\text{d}t}\le 1$，

且

$\frac{1}{\left|Q_1\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_1}\frac{{\left|f\left({\lambda }^{k}x,{\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}y,{\lambda }^{2k}t\right)\right|}^2}{{\lambda }^{2k\alpha }}\text{d}z\text{d}t}\le {\left[f\right]}_{C_2^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(0,0,0,Q_1\right)}^2\le {\delta }^2.$

由引理2知：存在一个二次多项式 $p_k$ 满足 $p_t-{\Delta }_{\gamma }p=0$ 且

$\frac{1}{\left|Q_{\lambda }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\lambda }}{\left|\omega -p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)}$

即

$\frac{1}{\left|Q_{{\lambda }^{k+1}}\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{{\lambda }^{k+1}}}{\left|u\left(x,y,t\right)-p_k\left(x,y,t\right)-{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}p\left(\frac{x}{{\lambda }^k},\frac{y}{{\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}},\frac{t}{{\lambda }^{2k}}\right)\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le {\lambda }^{2\left(k+1\right)\left(2+\alpha \right)}.$

取

$p_{k+1}\left(x,y,t\right)=p_k\left(x,y,t\right)+{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}p\left(\frac{x}{{\lambda }^k},\frac{y}{{\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}},\frac{t}{{\lambda }^{2k}}\right)$ (22)

故对 $k+1$ 的情况也成立。再由(22)式可得结论(17)~(21)亦成立。

下面证明当 $k\to \infty$ 时， $A_k$， $B_k$， $C_k$， $D_k$， $E_k$， $F_k$， $G_k$ 收敛于A，B，C，D，E，F，G，且

$p_k\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}{A}_{k}x+B_{k}x+C_{k}y+D_{k}t+E_k+F_k{y}^2+G_{k}xy$

满足

$\left|p_k-p\right|\le C{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}$， $\left|x\right|\le {\lambda }^k$， $\left|y\right|\le {\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}$， $\left|t\right|\le {\lambda }^{2k}$， (23)

因为 $\left|A_{k+1}-A_k\right|\le C{\lambda }^{\alpha k}$，所以

$\begin{array}{c}\left|A_{k+m}-A_k\right|\le \left|A_{k+m}-A_{k+m-1}\right|+\cdots +\left|A_{k+1}-A_k\right|\le C{\lambda }^{\alpha \left(k+m-1\right)}+\cdots +C{\lambda }^{k\alpha }\\ \le C{\lambda }^{\alpha \left(k-1\right)}\left({\lambda }^{\alpha m}+\cdots +{\lambda }^{\alpha }\right)\le \frac{C}{1-{\lambda }^{\alpha }}{\lambda }^{\alpha k}.\end{array}$

由Cauchy收敛定理知， $\left\{A_k\right\}$ 收敛，且 $\left|A_k-A\right|\le C{\lambda }^{\alpha k}$。

同理可得 $\left\{B_k\right\}$， $\left\{C_k\right\}$， $\left\{D_k\right\}$， $\left\{E_k\right\}$， $\left\{F_k\right\}$， $\left\{G_k\right\}$ 收敛，并且

$\left|B_k-B\right|\le C{\lambda }^{k\left(1+\alpha \right)}$， $\left|C_k-C\right|\le C{\lambda }^{k\left(1+\alpha -\gamma \right)}$， $\left|D_k-D\right|\le C{\lambda }^{\alpha k}$，

$\left|E_k-E\right|\le C{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}$， $\left|F_k-F\right|\le C{\lambda }^{k\left(\alpha -2\gamma \right)}$， $\left|G_k-G\right|\le C{\lambda }^{k\left(\alpha -\gamma \right)}.$

因此，对任意的 $\left|x\right|\le {\lambda }^k$， $\left|y\right|\le {\lambda }^{k\left(1+\gamma \right)}$， $\left|t\right|\le {\lambda }^{2k}$，有

$\begin{array}{c}\left|p_k-p\right|\le C({\lambda }^{\alpha k}{\left|x\right|}^2+{\lambda }^{k\left(1+\alpha \right)}\left|x\right|+{\lambda }^{k\left(1+\alpha -\gamma \right)}\left|y\right|+{\lambda }^{\alpha k}\left|t\right|\\ +{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}+{\lambda }^{k\left(\alpha -2\gamma \right)}{\left|y\right|}^2+{\lambda }^{k\left(\alpha -\gamma \right)}\left|x\right|\left|y\right|)\\ \le C{\lambda }^{k\left(2+\alpha \right)}.\end{array}$

最后，对任意的 $\rho \in \left(0,1\right]$，一定存在非负整数k，使得 ${\lambda }^{k\text{+}1}\le \rho \le {\lambda }^k$。因此，由(18)和(23)可得

$\begin{array}{c}\frac{1}{\left|Q_{\rho }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\rho }}{\left|u-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}\le \frac{2{\displaystyle {\int }_{Q_{\rho }}{\left|u-p_k\right|}^2\text{d}z\text{d}t}}{\left|Q_{\rho }\right|}+\frac{2{\displaystyle {\int }_{Q_{\rho }}{\left|p_k-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}}{\left|Q_{\rho }\right|}\\ \le \frac{2{\displaystyle {\int }_{Q_{{\lambda }^k}}{\left|u-p_k\right|}^2\text{d}z\text{d}t}}{\left|Q_{{\lambda }^{k+1}}\right|}+\frac{2{\displaystyle {\int }_{Q_{{\lambda }^k}}{\left|p_k-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}}{\left|Q_{{\lambda }^{k+1}}\right|}\\ \le \frac{1}{{\lambda }^m\cdot {\lambda }^{n\left(1+\gamma \right)}\cdot {\lambda }^2}\cdot \frac{2{\displaystyle {\int }_{Q_{{\lambda }^k}}{\left|u-p_k\right|}^2\text{d}z\text{d}t}}{\left|Q_{{\lambda }^k}\right|}+\frac{2{\displaystyle {\int }_{Q_{{\lambda }^k}}{\left|p_k-p\right|}^2\text{d}z\text{d}t}}{\left|Q_{{\lambda }^k}\right|}\\ \le \frac{2+2C}{{\lambda }^{m+n\left(1+\gamma \right)+2\left(2+\alpha \right)}}\cdot {\lambda }^{2\left(2+\alpha \right)\left(k+1\right)}\le C_1{\rho }^{2\left(2+\alpha \right)}.\end{array}$

结论得证。

3.2. 远离 $\left\{\left(x,y,t\right)\in Q_1:x=0\right\}$ 区域估计

上节得到了在区域 $\left\{\left(x,y,t\right)\in Q_1:x=0\right\}$ 附近的估计。接下来研究在 $Q_1\subset {\Omega }_{\ast }$ 内任意一点的估计。

定理3：假设 $\left|x_0\right|\ne 0$。设u为方程(2)的弱解，任意的正数 $\alpha$ 满足 $0<\alpha <1$，存在一个正常数C，若 $f\in C_{\ast }^{\alpha ，\frac{\alpha }{1\text{+}\gamma }，\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)$，那么存在多项式

$p\left(x,y,t\right)=\frac{1}{2}{x}^{\text{T}}Ax+Bx+Cy+Dt+E+F{y}^2+Gxy,$

使得

$\frac{1}{\left|Q_r\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_r}{\left|u-p_{\left(x_0,y_0,t_0\right)}\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le C{r}^{2\left(2+\alpha \right)}.$

其中 $0<r<1$，常数C与 ${\left[f\right]}_{C_{\ast }^{\alpha ,\frac{\alpha }{1+\gamma },\frac{\alpha }{2}}\left(Q_1\right)}$ 和 ${\Vert u\Vert }_{L^2\left(Q_1\right)}$ 有关。

证明：令 $Z_0=\left(x_0,y_0,t_0\right)\in Q_1$。由假设 $\left|x_0\right|\ne 0$ 及定理2知，存在一个多项式 $p_{\left(0,0,0\right)}\left(x,y,t\right)$，使得

$\frac{1}{\left|Q_{\rho }\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{\rho }}{\left|u-p_{\left(0,0,0\right)}\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le C{\rho }^{2\left(2+\alpha \right)}.$

取 $\rho =2\left|x_0\right|$，有

$\frac{1}{\left|Q_{2\left|x_0\right|}\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{2\left|x_0\right|}}{\left|u-p_{\left(0,0,0\right)}\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le C{\left|x_0\right|}^{2\left(2+\alpha \right)}.$

令

$v\left(x,y,t\right)=\frac{\left(u-p_{\left(0,0,0\right)}\right)\left(\left|x_0\right|x,{\left|x_0\right|}^{1+\gamma }y,{\left|x_0\right|}^{2}t\right)}{{\left|x_0\right|}^{2+\alpha }},$ (24)

那么

$v_t-{\Delta }_{\gamma }v=\frac{f\left(\left|x_0\right|x,{\left|x_0\right|}^{1+\gamma }y,{\left|x_0\right|}^{2}t\right)}{{\left|x_0\right|}^{\alpha }}.$

算子L在区域 $\bar{Q}=\left[\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right]\times \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ 内是一致抛物的，且当 $\left|x\right|,\left|y\right|~1$ 时， $d_1{s}^2~\text{d}{s}^2=\text{d}{t}^2-\text{d}{x}^2-\text{d}{y}^2$，这表明我们可以在Minkowski度量下研究方程的正则性。根据二阶一致抛物方程经典的 $C^{2,\alpha }$ 估计(见[12])，可知存在一个二阶多项式 $p_1\left(x,y,t\right)$，使得

$\frac{1}{\left|Q_{r\left|x_0\right|}\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{r\left|x_0\right|}}{\left|v-p_1\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le C_1{\left(r\left|x_0\right|\right)}^{2\left(2+\alpha \right)},$ (25)

其中 $0<r<\frac{1}{4}$。

再结合(24)和(25)，可以得到

$\frac{1}{\left|Q_{r\left|x_0\right|}\left(Z_0\right)\right|}{\displaystyle {\int }_{Q_{r\left|x_0\right|}\left(Z_0\right)}{\left|u-p_{\left(0,0,0\right)}-{\left|x_0\right|}^{2+\alpha }{p}_1\left(\frac{x}{\left|x_0\right|},\frac{y}{{\left|x_0\right|}^{1+\gamma }},\frac{t}{{\left|x_0\right|}^2}\right)\right|}^2}\text{d}z\text{d}t\le C_1{\left(r\left|x_0\right|\right)}^{2\left(2+\alpha \right)}.$

令

$p_{\left(x_0,y_0,t_0\right)}\left(x,y,t\right)=p_{\left(0,0,0\right)}\left(x,y,t\right)+{\left|x_0\right|}^{2+\alpha }{p}_1\left(\frac{x}{\left|x_0\right|},\frac{y}{{\left|x_0\right|}^{1+\gamma }},\frac{t}{{\left|x_0\right|}^2}\right).$

后面迭代过程与前文相同。

至此我们分别得到了方程(2)在 $\left\{x=0\right\}$ 附近区域和远离 $\left\{x=0\right\}$ 的区域解的Schauder估计。

综上所述，定理1得证。

基金项目

南京航空航天大学青年科技创新基金(NS2019044)。