双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程的整体解和衰减

Global Solution and Decay of the Two-Fluid Incompressible Navier-Stokes-Fourier-Poisson System

摘要: 本文采用高阶能量方法和连续性方法，证明双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程整体解的存在性和指数衰减性。

Abstract: In this paper, by using the higher order energy method and the continuity method, we prove the global existence and the exponential decay of solutions to the two-fluid incompressible Navier- Stokes-Fourier-Poisson system.

1. 引言

本文考虑如下双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组

${\partial }_{t}u+u\cdot {\nabla }_{x}u-\mu {\Delta }_{x}u=-{\nabla }_{x}p+\frac{1}{2}n{\nabla }_x\varphi ,\nabla \cdot u=0$，(1)

${\partial }_t\theta +u\cdot {\nabla }_x\theta -\kappa {\Delta }_x\theta =0$， (2)

${\partial }_{t}n+u\cdot {\nabla }_{x}n-\frac{\sigma }{2}{\Delta }_{x}n+\sigma n=0$， (3)

${\Delta }_x\varphi =n$， (4)

以及初值条件：

${u|}_{t=0}=u^{in},{\theta |}_{t=0}={\theta }^{in},{n|}_{t=0}=n^{in}$。 (5)

其中未知函数 $u\left(x,t\right)$ 代表流体速度， $n\left(x,t\right)$ 代表电荷， $\theta \left(x,t\right)$ 代表温度，p代表压力，正常数 $\mu ,\sigma ,\kappa$ 分别代表流体粘度系数、电阻率和热传导系数。其中方程(1)是速度方程以及不可压缩条件，方程(2)是温度方程，方程(3)是电荷守恒方程，方程(4)是电场泊松方程。

对单流体的纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程的研究有很多，其中Ju，Li和Wang在 [1] 中研究了单极纳维–斯托克–泊松方程在全空间和环面上的拟中性极限，证明了纳维–斯托克–泊松方程的全局弱解强收敛于不可压缩纳维–斯托克方程的强解。Ju和Li在 [2] 中证明纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组的弱解收敛于不可压缩的纳维–斯托克方程组的强解。Donatelli和Pierangelo在 [3] 中尝试考虑热效应的纳维–斯托克–泊松系统的准中性极限，而Li，Ju和Xu在 [4] 中证明了纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程的拟中性极限。此外，Bernard和Matteo在 [5] 证明了三维域的弱解在时间区间上收敛于二维的纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程的强解。但对于双流体的纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程，目前的研究还很少。Jiang和Luo在 [6] 中从微观方程导出宏观方程，证明了弗拉索夫–麦克斯韦–波尔兹曼方程的经典解收敛于双流体不可压缩纳维–斯托克–麦克斯韦方程的经典解。而本文拟采用高阶能量方法和连续性方法，证明双流体不可压缩纳维–斯托克–麦克斯韦方程组(1)~(5)的整体适定性和指数衰减性。

定义能量

$E\left(t\right)\triangleq 2{\Vert u\Vert }_{H^s}^2+2{\Vert \theta \Vert }_{H^s}^2+\frac{5}{2}{\Vert n\Vert }_{H^s}^2+3{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2$，

本文的主要结果如下：

定理1.设 $\left(u^{in},n^{in},{\theta }^{in}\right)\in H^s\times H^{s\text{+1}}\times H^{s\text{+1}}\left(s\ge 2\right)$，且存在小常数 ${\epsilon }_0={\epsilon }_0\left(s,\mu ,\sigma ,\kappa \right)$ 使得 $E^{in}\le {\epsilon }_0$，则双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组(1)~(5)存在唯一的全局解 $\left(u,n,\theta \right)$ 满足

$u,n,\theta \in L^{\infty }\left(R^{+};H^s\left(T^3\right)\right)\cap L^2\left(R^{+};H^{s+1}\left(T^3\right)\right)$，

并满足能量不等式

$\begin{array}{l}\underset{t\ge 0}{\sup }\left({\Vert u\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+{\Vert \theta \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+{\Vert n\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+{\Vert {\nabla }_x\varphi \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }(\mu {\Vert {\nabla }_{x}u\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\kappa {\Vert {\nabla }_x\theta \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2)\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_0^{\infty }(\frac{3\sigma }{8}{\Vert {\nabla }_{x}n\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }_x\varphi \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\sigma {\Vert n\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\frac{\sigma }{2}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\sum }}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_{L^2\left(T^3\right)}^2}})\text{d}t\le C{E}^{in}\end{array}$

和指数衰减

$E\left(t\right)\le {\text{e}}^{-C_{1}t}E\left(0\right)$，

其中 $C=C\left(\mu ,\sigma ,\kappa \right)>0$ 和 $C_1>0$ 均为正常数。

2. 先验估计

首先引进一些基本记号：

对每个 $i=1,2,\cdots ,n$，把偏导数 $\frac{\partial }{\partial x_i}$ 简记为 ${\partial }_i$，即 ${\partial }_{i}u\left(x\right)=\frac{\partial u\left(x\right)}{\partial x_i},i=1,2,\cdots ,n$。记 $\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)$，则

${\partial }^{\alpha }u\left(x\right)=\frac{{\partial }^{\left|\alpha \right|}u\left(x\right)}{\partial x^{\alpha }}=\frac{{\partial }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n}u\left(x\right)}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\partial x_2^{{\alpha }_2}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}},\left|\alpha \right|={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$，

${\nabla }_{x}u=\nabla u=\partial u=\left({\partial }_{1}u,{\partial }_{2}u,\cdots ,{\partial }_{n}u\right),{\nabla }_x^{k}u={\nabla }^{k}u={\partial }^{k}u$.

我们定义下列范数及内积

${\Vert u\Vert }_p\triangleq {\Vert u\Vert }_{L^p\left(R^{+}\times T^3\right)}={\left({\displaystyle {\int }_{R^{+}\times T^3}{\left|u\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{\frac{1}{p}},\forall u\in L^p\left(R^{+}\times T^3\right)$，

${\Vert u\Vert }_{\infty }\triangleq {\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(R^{+}\times T^3\right)}=\underset{R^{+}\times T^3}{\text{ess}\text{.sup}}\left|u\right|=\underset{\begin{array}{l}E\subseteq R^{+}\times T^3\\ measE=0\end{array}}{\inf }\underset{x\in R^{+}\times T^3\backslash E}{\sup }\left|u\left(x\right)\right|,\forall u\in L^{\infty }\left(R^{+}\times T^3\right)$，

${\Vert u\Vert }_{H^s}\triangleq {\Vert u\Vert }_{W^{s,2}\left(R^{+}\times T^3\right)}={\left({{\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|\le s}{\sum }\Vert {\partial }^{\alpha }u\Vert }}_{L^s\left(R^{+}\times T^3\right)}^2\right)}^{\frac{1}{2}},\forall u\in H^s\left(R^{+}\times T^3\right)$，

${\Vert {\nabla }_{x}u\Vert }_{L^p\left(R^{+}\times T^3\right)}={\Vert \left|{\nabla }_{x}u\right|\Vert }_{L^p\left(R^{+}\times T^3\right)}$，

$\left(u,v\right)\triangleq {\displaystyle {\int }_{R^{+}\times T^3}u\left(x,t\right)v\left(x,t\right)\text{d}x}$，

$H^s\triangleq H^s\left(T^3\right)$。

定义下列能量函数

$D\left(t\right)\triangleq \mu {\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}^2+\kappa {\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}^2+\frac{3\sigma }{8}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2+\sigma {\Vert n\Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\sum }}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_{L^2}^2}$，

引理2.1.(先验估计) 假设 $\left(u,n,\theta \right)$ 是双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组(1)~(5)的一个光滑解，那么下列能量不等式成立

$\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+D\left(t\right)\le CD\left(t\right)E^{\frac{1}{2}}\left(t\right)$，

其中常数 $C=C\left(s,\mu ,\kappa ,\sigma \right)>0$。

证明：接下来将采用高阶能量方法进行先验估计，Jiang在 [7] 中也进行了类似的能量估计。首先将方程(1)的每一项与u做 $L^2$ 内积有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\Vert }_2^2+\mu {\Vert \nabla u\Vert }_2^2-\frac{1}{2}\left(n\nabla \varphi ,u\right)=0$. (3.1)

同理将方程(2)和(3)的每一项分别与 $\theta ,n$ 做 $L^2$ 内积有

$\frac{1}{\text{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \theta \Vert }_2^2+\kappa {\Vert \nabla \theta \Vert }_2^2=\text{0}$. (3.2)

$\frac{1}{8}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{8}\left(\nabla n,\nabla n\right)+\frac{\sigma }{4}\left(n,n\right)=0$， (3.3)

结合方程(4)，等式(3.3)可化简为

$\frac{1}{8}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert n\Vert }_2^2-\frac{\sigma }{4}\left(\nabla n,\nabla \varphi -\frac{1}{2}\nabla n\right)=0$. (3.4)

由方程(4)可知

$\left({\partial }_{t}n-\Delta \left({\partial }_t\varphi \right),\varphi \right)=\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2+\frac{1}{2}\left({\partial }_{t}n,\varphi \right)=0$. (3.5)

又因为

$\frac{1}{2}\left({\partial }_{t}n,\varphi \right)-\frac{1}{2}\left(n\nabla \varphi ,u\right)=\frac{1}{2}\left(-u\cdot \nabla n+\frac{\sigma }{2}\Delta n-\sigma n,\varphi \right)-\frac{1}{2}\left(n\nabla \varphi ,u\right)=\frac{\sigma }{2}\left(\nabla \varphi ,\nabla \varphi -\frac{1}{2}\nabla n\right)$ (3.6)

将(3.1)、(3.2)、(3.4)和(3.5)相加，结合(3.6)可得到

$\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(2{\Vert u\Vert }_2^2+2{\Vert \theta \Vert }_2^2+\frac{1}{2}{\Vert n\Vert }_2^2+{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2\right)+\mu {\Vert \nabla u\Vert }_2^2+\kappa {\Vert \nabla \theta \Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi -\frac{1}{2}\nabla n\Vert }_2^2=0$. (3.7)

接下来，我们将做高阶能量估计。对于 $1\le k\le s$，我们对方程(1)做高阶求导 ${\nabla }^k$ 后，与 ${\nabla }^{k}u$ 做 $L^2$ 内积有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_2^2+\mu {\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_2^2=\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left(n\nabla \varphi \right),{\nabla }^{k}u\right)-\left({\nabla }^k\left(u\nabla u\right),{\nabla }^{k}u\right)$. (3.8)

同理，对方程(2)和(3)做高阶求导 ${\nabla }^k$ 后，分别与 ${\nabla }^k\theta ,{\nabla }^{k}n$ 做 $L^2$ 内积有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^k\theta \Vert }_2^2+\kappa {\Vert {\nabla }^{k+1}\theta \Vert }_2^2=-\left({\nabla }^k\left(u\nabla \theta \right),{\nabla }^k\theta \right)$. (3.9)

$\frac{1}{8}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_2^2-\frac{\sigma }{4}\left({\nabla }^{k+1}n,{\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\right)=-\frac{1}{4}\left({\nabla }^k\left(u\nabla n\right),{\nabla }^{k}n\right)$. (3.10)

由方程(4)可以得到

$\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left({\partial }_{t}n\right)-{\nabla }^k\left(\Delta \left({\partial }_t\varphi \right)\right),{\nabla }^k\varphi \right)=\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert +\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left({\partial }_{t}n\right),{\nabla }^k\varphi \right)=\text{0}$，

利用方程(3)有

$\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}\left({\nabla }^{k+1}\varphi ,{\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\right)=\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^k\varphi \right)$. (3.11)

将(3.8)、(3.9)、(3.10)和(3.11)式相加得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(2{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_2^2+2{\Vert {\nabla }^k\theta \Vert }_2^2+\frac{1}{2}{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2\right)+\mu {\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_2^2+\kappa {\Vert {\nabla }^{k+1}\theta \Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_2^2\\ =\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left(n\nabla \varphi \right),{\nabla }^{k}u\right)-\left({\nabla }^k\left(u\nabla \theta \right),{\nabla }^k\theta \right)-\left({\nabla }^k\left(u\nabla u\right),{\nabla }^{k}u\right)\\ -\frac{1}{4}\left({\nabla }^k\left(u\nabla n\right),{\nabla }^{k}n\right)+\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^k\varphi \right)\\ \triangleq A_1+A_2+A_3+A_4+A_5\end{array}$.(3.12)

现在依次估计每一项 $A_i\left(1\le i\le \text{5}\right)$，对于 $A_1$ 有

$\begin{array}{c}{A}_1=\frac{1}{2}\left({\nabla }^k\left(n{\nabla }_x\varphi \right),{\nabla }^{k}u\right)\\ =\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}a+b=k\\ a\ge 1,b\ge 1\end{array}}{\sum }\left({\nabla }^{a}n{\nabla }^{b+1}\varphi ,{\nabla }^{k}u\right)}+\frac{1}{2}\left(n{\nabla }^k\left(\nabla \varphi \right),{\nabla }^{k}u\right)+\frac{1}{2}\left({\nabla }^{k}n\nabla \varphi ,{\nabla }^{k}u\right)\\ \triangleq A_{11}+A_{12}+A_{13}\end{array}$，

利用Holder不等式、Sobolev嵌入定理 $H^1\left(T^3\right)\to L^4\left(T^3\right)$ 及Sobolev不等式有

$A_{11}\le C{{\displaystyle \sum \Vert {\nabla }^{a}n\Vert }}_{L^4}{\Vert {\nabla }^{b+1}\varphi \Vert }_{L^4}{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^2}\le C{{\displaystyle \sum \Vert {\nabla }^{a}n\Vert }}_{H^1}{\Vert {\nabla }^{b+1}\varphi \Vert }_{H^1}{\Vert u\Vert }_{H^k}\le C{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}$

$A_{12}\le C{\Vert n\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^k\left(\nabla \varphi \right)\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^2}\le C{\Vert n\Vert }_{H^2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^k}{\Vert u\Vert }_{H^k}\le C{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}$

$A_{13}\le C{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^2}\le C{\Vert n\Vert }_{H^k}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^2}{\Vert u\Vert }_{H^k}\le C{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}$

故

$A_1\le C{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}$. (3.13)

接下来，对 $A_2$ 进行能量估计

$\begin{array}{c}{A}_2=-{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}a+b=k\\ a\ge 1\end{array}}{\sum }\left({\nabla }^{a}u{\nabla }^{b+1}u,{\nabla }^{k}u\right)}-\left(u{\nabla }^{k+1}u,{\nabla }^{k}u\right)\le C{{\displaystyle \sum \Vert {\nabla }^{a}u\Vert }}_{L^4}{\Vert {\nabla }^{b+1}u\Vert }_{L^4}{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_{L^2}\\ \le C{{\displaystyle \sum \Vert {\nabla }^{a}u\Vert }}_{H^1}{\Vert {\nabla }^{b+1}u\Vert }_{H^1}{\Vert u\Vert }_{H^k}\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}\end{array}$， (3.14)

同理，我们可以得到

$A_3\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}{\Vert \theta \Vert }_{H^s}$， (3.15)

$A_4\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}$. (3.16)

对于 $A_5$ 有

$A_5=-\frac{1}{2}\left({\nabla }^{k-1}\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^{k+1}\varphi \right)=-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}a+b=k-1\\ a\ge 1\end{array}}{\sum }\left({\nabla }^{a}u{\nabla }^{b+1}n,{\nabla }^{k+1}\varphi \right)}-\frac{1}{2}\left(u{\nabla }^{k}n,{\nabla }^{k+1}\varphi \right)\triangleq A_{51}+A_{52}$，

$A_{51}\le C{{\displaystyle \sum \Vert {\nabla }^{a}u\Vert }}_{L^4}{\Vert {\nabla }^{b+1}n\Vert }_{L^4}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_{L^2}\le C{{\displaystyle \sum \Vert {\nabla }^{a}u\Vert }}_{H^1}{\Vert {\nabla }^{b+1}n\Vert }_{H^1}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^k}\le C{\Vert u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}$，

$A_{52}\le C{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_{L^2}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_{L^2}\le C{\Vert u\Vert }_{H^2}{\Vert n\Vert }_{H^k}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^k}\le C{\Vert u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}$，

故

$A_5\le C{\Vert u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}$. (3.17)

最后，将不等式(3.13)、(3.14)、(3.15)、(3.16)和(3.17)合并到(3.12)等式得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(2{\Vert {\nabla }^{k}u\Vert }_2^2+2{\Vert {\nabla }^k\theta \Vert }_2^2+\frac{1}{2}{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2\right)+\mu {\Vert {\nabla }^{k+1}u\Vert }_2^2+\kappa {\Vert {\nabla }^{k+1}\theta \Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_2^2\\ \le C({\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}{\Vert \theta \Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s})\end{array}$.

对于上述 $1\le k\le s$ 的所有不等式相加，并结合(3.7)式有

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(2{\Vert u\Vert }_{H^s}^2+2{\Vert \theta \Vert }_{H^s}^2+\frac{1}{2}{\Vert n\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2\right)+\mu {\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}^2+\kappa {\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\sum }}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_{L^2}^2}\\ \le C({\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}{\Vert \theta \Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s})\end{array}$ (3.18)

将方程(3)与n做 $L^2$ 内积有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla n\Vert }_2^2+\sigma {\Vert n\Vert }_2^2=0.$ (3.19)

对于 $1\le k\le s$，我们对方程(3)高阶求导 ${\nabla }^k$ 后，与 ${\nabla }^{k}n$ 做 $L^2$ 内积且利用(3.16)有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{k+1}n\Vert }_2^2+\sigma {\Vert {\nabla }^{k}n\Vert }_2^2=-\left({\nabla }^k\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^{k}n\right)\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}$. (3.20)

对于 $1\le k\le s$ 的所有不等式(3.20)相加，并结合(3.19)式可以得到

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert n\Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}^2+\sigma {\Vert n\Vert }_{H^s}^2\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}$. (3.21)

由方程(3)和(4)有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2-\frac{\sigma }{2}\left(\nabla n,\nabla \varphi \right)+\sigma {\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2=-\left(u\cdot \nabla \varphi ,n\right)$，

利用Sobolev嵌入定理 $H^1\left(T^3\right)\to L^p\left(T^3\right)\left(p=3,6\right)$ 以及Holder不等式有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2-\frac{\sigma }{2}\left(\nabla n,\nabla \varphi \right)+\sigma {\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}$， (3.22)

利用Young不等式有

$\frac{\sigma }{2}\left(\nabla n,\nabla \varphi \right)\le \frac{\sigma }{8}{\Vert \nabla n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2$，

将上述Young不等式代入不等式(3.22)得到

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2-\frac{\sigma }{8}{\Vert \nabla n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_2^2\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}$. (3.23)

对于 $1\le k\le s$，对于方程(4)，求 ${\partial }_t$ 后做高阶求导 ${\nabla }^k$，再与 ${\nabla }^k\varphi$ 做 $L^2$ 内积，利用方程(3)有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2-\frac{\sigma }{2}\left({\nabla }^{k+1}n,{\nabla }^{k+1}\varphi \right)+\sigma {\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2=\left({\nabla }^k\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^k\varphi \right)$， (3.24)

利用Young不等式有

$\frac{\sigma }{2}\left({\nabla }^{k+1}n,{\nabla }^{k+1}\varphi \right)\le \frac{\sigma }{8}{\Vert {\nabla }^{k+1}n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2$，

结合 $A_5$ 有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2-\frac{\sigma }{8}{\Vert {\nabla }^{k+1}n\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi \Vert }_2^2=\left({\nabla }^k\left(u\cdot \nabla n\right),{\nabla }^k\varphi \right)\le C{\Vert u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}$. (3.25)

对于 $1\le k\le s$ 的所有不等式(3.25)相加，并结合(3.23)式得到

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2-\frac{\sigma }{8}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2\le C\left({\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}+{\Vert u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}\right)$. (3.26)

最后，将(3.18)、(3.21)和(3.26)三个不等式相加得到

$\begin{array}{l}\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(2{\Vert u\Vert }_{H^s}^2+2{\Vert \theta \Vert }_{H^s}^2+\frac{5}{2}{\Vert n\Vert }_{H^s}^2+3{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2\right)+\mu {\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}^2+\kappa {\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}^2\\ +\frac{3\sigma }{8}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}^2+\sigma {\Vert n\Vert }_{H^s}^2+\frac{\sigma }{2}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\sum }}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_2^2}\\ \le C({\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert u\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s}{\Vert \theta \Vert }_{H^s}\\ +{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}+{\Vert \nabla u\Vert }_{H^s}{\Vert n\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s})\end{array}$. (3.27)

根据能量函数 $E\left(t\right),G\left(t\right)$ 的定义，以及Young不等式有

$\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+D\left(t\right)\le CD\left(t\right)E^{\frac{1}{2}}\left(t\right)$， (3.28)

引理3.3得证。

3. 全局存在性及衰减

本节我们给出局部存在性和整体存在性的证明。

定理3.1.(局部存在性) 设 $u^{in},n^{in},{\theta }^{in}\in H^s\left(T^3\right)$，那么存在常数 $\tau >0$，使得双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组(1)~(5)在 $\left[0,\tau \right]$ 上存在唯一解 $\left(u,n,\theta \right)$ 满足

$u,n,\theta \in L^{\infty }\left(0,T;H^s\left(T^3\right)\right)$.

证明：考虑下面的迭代方程组

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t{u}^{k+1}+u^k\cdot \nabla u^{k+1}-\mu \Delta u^{k+1}=-\nabla p^{k+1}+\frac{1}{2}{n}^k\nabla {\varphi }^k,\nabla \cdot u^{k+1}=0\\ {\partial }_t{\theta }^{k+1}+u^k\cdot \nabla {\theta }^{k+1}-\kappa \Delta {\theta }^{k+1}=0\\ {\partial }_t{n}^{k+1}+u^k\cdot \nabla n^{k+1}-\frac{\sigma }{2}\Delta n^{k+1}+\sigma n^{k+1}=0\\ \Delta {\varphi }^{k+1}=n^{k+1}\end{array}$ (*)

其中

$u^0\left(t,x\right)\equiv u^{in}\left(x\right),{\theta }^0\left(t,x\right)\equiv {\theta }^{in}\left(x\right),n^0\left(t,x\right)\equiv n^{in}\left(x\right)$.

对于任意固定的 $\tau >0$，由线性椭圆方程和抛物方程的解的存在性理论可知，当 $k=0$ 时，迭代方程组存在一个唯一解 $u,\theta ,n\in C\left(\left[0,\tau \right];H^s\left(T^3\right)\right)$。

定义

$E^k\left(t\right)\triangleq {\Vert u^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert {\theta }^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert n^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla {\varphi }^k\Vert }_{H^s}^2$，

对于足够小的 $M>0$，假设

$E^0\left(t\right)={\Vert u^{in}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert {\theta }^{in}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert n^{in}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla {\varphi }^{in}\Vert }_{H^s}^2\le \frac{M}{2}$。

我们断言对于足够小的 $M>0$，存在 $T\left(M\right)>0$ 使得

若

$\underset{0\le t\le \tau }{\sup }{E}^k\left(t\right)\le M$，

则

$\underset{0\le t\le \tau }{\sup }{E}^{k+1}\left(t\right)\le M$。

事实上，我们对迭代方程组(*)做高阶求导 ${\nabla }^m$ 后，分别与 ${\nabla }^{m}u,{\nabla }^m\theta ,{\nabla }^{m}n$ 做 $L^2$ 内积有

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\nabla }^m{u}^{k+1}\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^m{\theta }^{k+1}\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^m{n}^{k+1}\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{m+1}{\varphi }^{k+1}\Vert }_2^2\right)+\mu {\Vert {\nabla }^{m+1}{u}^{k+1}\Vert }_2^2\\ +\kappa {\Vert {\nabla }^{m+1}{\theta }^{k+1}\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{m+1}{n}^{k+1}\Vert }_2^2+\frac{3\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^m{n}^{k+1}\Vert }_2^2+\sigma {\Vert {\nabla }^{m+1}{\varphi }^{k+1}\Vert }_2^2\\ \le {\Vert n^k\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla {\varphi }^k\Vert }_{H^s}{\Vert u^{k+1}\Vert }_{H^s}+{\Vert u^k\Vert }_{H^s}{\Vert u^{k+1}\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla u^{k+1}\Vert }_{H^s}\\ +{\Vert u^k\Vert }_{H^s}{\Vert n^{k+1}\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla n^{k+1}\Vert }_{H^s}+{\Vert u^k\Vert }_{H^s}{\Vert n^{k\text{+1}}\Vert }_{H^s}{\Vert \nabla {\varphi }^{k+1}\Vert }_{H^s}\end{array}$，

利用Young不等式有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert {\nabla }^m{u}^{k+1}\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^m{\theta }^{k+1}\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^m{n}^{k+1}\Vert }_2^2+{\Vert {\nabla }^{m+1}{\varphi }^{k+1}\Vert }_2^2\right)+\mu {\Vert {\nabla }^{m+1}{u}^{k+1}\Vert }_2^2\\ +\kappa {\Vert {\nabla }^{m+1}{\theta }^{k+1}\Vert }_2^2+\frac{\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^{m+1}{n}^{k+1}\Vert }_2^2+\frac{3\sigma }{2}{\Vert {\nabla }^m{n}^{k+1}\Vert }_2^2+\sigma {\Vert {\nabla }^{m+1}{\varphi }^{k+1}\Vert }_2^2\\ \le C{\Vert u^k\Vert }_{H^s}({\Vert u^{k+1}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert {\theta }^{k+1}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert n^{k+1}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla {\varphi }^{k+1}\Vert }_{H^s}^2)+{\Vert u^{k+1}\Vert }_{H^s}\left({\Vert n^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla {\varphi }^k\Vert }_{H^s}^2\right)\end{array}$，

对上式从 $\left[0,t\right]$ 上积分，并对 $\left|m\right|\le s$ 求和，我们得到

$\begin{array}{c}{E}^{k+1}\left(t\right)\le E^{k+1}\left(0\right)+Ct\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }\sqrt{E^k\left({\tau }^{\prime }\right)}\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{E}^{k+1}\left({\tau }^{\prime }\right)+Ct\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{E}^k\left({\tau }^{\prime }\right)\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }\sqrt{E^{k+1}\left({\tau }^{\prime }\right)}\\ \le E^{k+1}\left(0\right)+Ct\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }\sqrt{E^k\left({\tau }^{\prime }\right)}\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{E}^{k+1}\left({\tau }^{\prime }\right)+Ct\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{\left[E^k\left({\tau }^{\prime }\right)\right]}^2+Ct\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{E}^{k+1}(\; \tau \; \prime \; )\end{array}$

又因为 $\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{E}^k\left({\tau }^{\prime }\right)\le M$，故有

$\left(1-CT\sqrt{M}-CT\right)\underset{0\le {\tau }^{\prime }\le t}{\sup }{E}^{k+1}\left({\tau }^{\prime }\right)\le \frac{M}{2}+CT{M}^2$。

因此，如果M与 $\tau$ 足够小，我们便能得到：若 $\underset{0\le t\le \tau }{\sup }{E}^k\left(t\right)\le M$，则 $\underset{0\le t\le \tau }{\sup }{E}^{k+1}\left(t\right)\le M$，断言成立。

同样的利用能量估计，可以证明

$\begin{array}{l}{\Vert u^{k+1}-u^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert {\theta }^{k+1}-{\theta }^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert n^{k+1}-n^k\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla {\varphi }^{k+1}-\nabla {\varphi }^k\Vert }_{H^s}^2\\ \le \frac{1}{2}\left({\Vert u^k-u^{k-1}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert {\theta }^k-{\theta }^{k-1}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert n^k-n^{k-1}\Vert }_{H^s}^2+{\Vert \nabla {\varphi }^k-\nabla {\varphi }^{k-1}\Vert }_{H^s}^2\right)\end{array}$.

令 $k\to \infty$，有

$\left(u^k,{\theta }^k,n^k\right)\to \left(u,\theta ,n\right)$，

可以证明 $\left(u,\theta ,n\right)$ 即为方程组(1)~(5)的局部解，得到局部解的存在性，定理3.1得证。

下面用连续性方法证明双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程组解的整体存在性与指数衰减性质，即证明定理1。

定理1的证明：一方面，我们由 $E\left(t\right)$ 的定义有

$E\left(0\right)=2{\Vert u^{in}\Vert }_{H^s}^2+2{\Vert \theta \Vert }_{H^s}^2+\frac{5}{2}{\Vert n^{in}\Vert }_{H^s}^2+3{\Vert {\left(\nabla \varphi \right)}^{in}\Vert }_{H^s}^2\le 3E^{in}$，

定义 $P\left(E\left(t\right)\right)\triangleq C{E}^{\frac{1}{2}}\left(t\right)$，故不等式(3.41)可以写成

$\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+D\left(t\right)\le D\left(t\right)P\left(E\left(t\right)\right)$，

此处 $P\left(0\right)=0$ 且 $P(\cdot )$ 是严格递增的。那么存在 ${\epsilon }_0={\epsilon }_0\left(u,\sigma ,s\right)>0$，使得若 $E^{in}<{\epsilon }_0$，则

$P\left(E\left(0\right)\right)\le P\left(3E^{in}\right)\le \frac{1}{4}$。

现在定义：

$R\triangleq \sup \left\{\tau \ge 0;\underset{t\in \left[0,\tau \right]}{\sup }P\left(E\left(t\right)\right)\le \frac{3}{4}\right\}\ge 0$。

由 $E\left(t\right)$ 的连续性可以得到 $R>0$。我们其实可以得到 $R=+\infty$，下面用反证法证明。假设 $R<+\infty$，那么对于所有的 $t\in \left[0,R\right]$ 有

$\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+D\left(t\right)\le D\left(t\right)P\left(E\left(t\right)\right)\le \frac{3}{4}D\left(t\right)$，

即

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+D\left(t\right)\le 0$，

对上式从 $\left[0,R\right]$ 积分有

$\underset{t\in \left[0,R\right]}{\sup }E\left(t\right)\le E\left(0\right)$，

从而有

$\underset{t\in \left[0,R\right]}{\sup }P\left(E\left(t\right)\right)\le P\left(E\left(0\right)\right)\le \frac{1}{4}$。

由 $E\left(t\right)$ 的连续性可以知道，存在 $t^{\ast }>0$，使得对所有 $t\in \left[0,R+t^{\ast }\right]$， $P\left(E\left(t\right)\right)\le \frac{3}{4}$，这与R的定义矛盾，故 $R<+\infty$ 的假设不成立，我们得到 $R=+\infty$。

最后，根据能量函数 $E\left(t\right)$ 和 $D\left(t\right)$ 的定义，我们得到

$\begin{array}{l}\underset{t\ge 0}{\sup }\left({\Vert u\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+{\Vert \theta \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+{\Vert n\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }(\mu {\Vert \nabla u\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\kappa {\Vert \nabla \theta \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\frac{3\sigma }{8}{\Vert \nabla n\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2}\\ +\frac{\sigma }{2}{\Vert \nabla \varphi \Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\sigma {\Vert n\Vert }_{H^s\left(T^3\right)}^2+\frac{\sigma }{2}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{s}{\sum }}{\Vert {\nabla }^{k+1}\varphi -\frac{1}{2}{\nabla }^{k+1}n\Vert }_{L^2\left(T^3\right)}^2})\text{d}t\le C\left(\mu ,\sigma ,\kappa \right)E^{in}\end{array}$，

并且上式对于时间t是一致有界的。因此，我们可以将定理3.2所构造的方程的解推广到时间区域 $\left[0,+\infty \right)$ 内，我们也就完成了整体存在性的证明。

接下来，我们证明能量 $E\left(t\right)$ 的指数衰减。

对方程(1)在周期区域 $T^3$ 上积分有

${\displaystyle {\int }_{T^3}\left({\partial }_{t}u+u\cdot \nabla u-\mu \Delta u+\nabla p-\frac{1}{2}n\nabla \varphi \right)\text{d}x}=\text{0}$，

${\displaystyle {\int }_{T^3}{\partial }_{t}u}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{T^3}u\cdot \nabla u}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{T^3}\mu \Delta u}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{T^3}\nabla p}\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{T^3}\frac{1}{2}n\nabla \varphi }\text{d}x\triangleq I_1+I_2+I_3+I_4+I_5$。

现在我们依次估计每一项 $I_i\left(1\le i\le \text{5}\right)$，

$I_1={\displaystyle {\int }_{T^3}{\partial }_{t}u}\text{d}x=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle {\int }_{T^3}u}\text{d}x\right)$，

因为 $divu=0$，我们可以得到

${\left(I_2\right)}_k={\displaystyle {\int }_{T^3}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{u}_i\partial }{u}_k}\text{d}x={\displaystyle {\int }_{T^3}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}\left[{\partial }_i\left(u_i{u}_k\right)-{\partial }_i{u}_i{u}_k\right]\text{d}x}}={\displaystyle {\int }_{T^3}\left[div\left(u_{k}u\right)-u_{k}divu\right]\text{d}x}=0$，

${\left(I_{\text{3}}\right)}_k=-{\displaystyle {\int }_{T^3}\mu \Delta u_k}dx=-\mu {\displaystyle {\int }_{T^3}div\left(\nabla u_k\right)}=0$，

${\left(I_{\text{4}}\right)}_k={\displaystyle {\int }_{T^3}{\partial }_{k}p\text{d}x}=0$，

${\left(I_{\text{5}}\right)}_k=-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{T^3}\nabla \varphi {\partial }_k\varphi \text{d}x}=-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{T^3}\left[div\left({\partial }_k\varphi \nabla \varphi \right)-\nabla \varphi \cdot \nabla \left({\partial }_k\varphi \right)\right]\text{d}x}=0$，

综上所述，我们可以得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\displaystyle {\int }_{T^3}u}\text{d}x\right)=0$。

由于初值满足零平均定理，对x积分有

${\displaystyle {\int }_{T^3}u\left(t,x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{T^3}u\left(0,x\right)\text{d}x}={\displaystyle {\int }_{T^3}{u}_0\left(x\right)\text{d}x}=0,\forall t>0$，

利用Poincare不等式有

${\Vert u\Vert }_2={\Vert u-\frac{1}{\left|T^3\right|}{\displaystyle {\int }_{T^3}u\text{d}x}\Vert }_2\le C{\Vert \nabla u\Vert }_2$，

故

${\Vert u\Vert }_{H^s}^2={\Vert u\Vert }_2+{\Vert \nabla u\Vert }_2+\cdots +{\Vert {\nabla }^{s}u\Vert }_2\le C{\Vert \nabla u\Vert }_2+{\Vert \nabla u\Vert }_2+\cdots +{\Vert {\nabla }^{s}u\Vert }_2\le C_{2}D\left(t\right)$。

同理，我们可以得到

${\Vert \theta \Vert }_{H^s}^2={\Vert \theta \Vert }_2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_2+\cdots +{\Vert {\nabla }^s\theta \Vert }_2\le C{\Vert \nabla \theta \Vert }_2+{\Vert \nabla \theta \Vert }_2+\cdots +{\Vert {\nabla }^s\theta \Vert }_2\le C_{3}D\left(t\right)$。

故存在 $C_1>0$，使得

$D\left(t\right)\ge C_{1}E\left(t\right),\forall t>0$。 (3.29)

结合(3.28)和(3.29)得到

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+C_{1}E\left(t\right)\le 0$，

上式对t积分得到能量 $E\left(t\right)$ 的指数衰减，即

$E\left(t\right)\le {\text{e}}^{-C_{1}t}E\left(0\right)$。