Galois环GR(2², 2^2s)上的一类几乎差族

A Family of Almost Difference Family on Galois Ring GR(2², 2^2s)

摘要: 几乎差族在编码、通信安全等领域有着广泛的应用。本文利用Galois环GR(2², 2^2s)上一种不相交的差族，通过对差族中某个集合添加一个元素，当满足一定条件时，即可构造出GR(2², 2^2s)上的几乎差族。

Abstract: The almost difference family has a wide range of applications in coding, communication security and other fields. This paper uses one family of disjoint difference family on Galois ring GR(2², 2^2s), and by adding an element to a set in the difference family, when certain conditions are met, a new family of almost difference family can be constructed.

1. 引言

随着对数论中环、域的深入了解，越来越多的学者对Galois环进行探究，Wan [1] 曾在Lectures On Finite Fields And Galois Rings一书中详细地叙述了其基本理论内容。Galois环不仅具有理论意义，在雷达、数字通信等领域也得到广泛应用。2014年，李锦 [2] 发现可通过Galois环 $\text{GR}\left(p^2,r\right)$ 的加法特征及乘法特征分别构造出高斯和与雅可比和并将其应用到通信中发展。与此同时也有学者着手在Galois环基础上探究各种差集、差族 [3] [4] 的构造方式，如D. K. Ray-Chaudhuri [5] 利用 ${\text{Z}}_4\times {\text{Z}}_4$ 同构于 $\text{GR}\left(2^2,2\right)$ 构造出 ${\text{Z}}_4\times {\text{Z}}_4\times {\text{Z}}_6$ 的差集。也有学者提出Galois环上skew Hadamard差集、差族 [6] [7] [8] [9] 构造方式并加以证明。本文从以往研究基础出发，对如何构造 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 上几乎差族进行论述和研究，通过对差族中某个集合添加一个元素，当满足一定条件时，即可构造出 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 上的几乎差族。

2. 基础知识

2.1. Galois环相关知识

当p为素数，整数环 $Z_{p^2}=\left\{0,1,2,\cdots ,p^2-1\right\}$， $g\left(x\right)$ 为 $Z_{p^2}\left[x\right]$ 中s次基本本原多项式，则称 $R=\text{GR}\left(p^2,p^{2s}\right)=Z_{p^2}\left[x\right]/\left(g\left(x\right)\right)$ 是特征为 $p^2$，指数为s的Galois环，且存在 $g\left(x\right)$ 在环 $R$ 中的根 $\xi$，阶数为 $p^s-1$。其中 $R$ 中元素可表达成 $a_0+a_1{x}^1+a_2{x}^2+\cdots +a_{s-1}{x}^{s-1}+\left(g\left(x\right)\right),\left(a_i\in {\text{Z}}_{p^2}\right)$ 的形式，若 $\overline{g\left(x\right)}=g\left(x\right)\left(\mathrm{mod}p\right)$，则 $\overline{g\left(x\right)}$ 是 $F_p\left[x\right]$ 中本原多项式。易得到 $\mathrm{mod}p$ 映射：

$R=Z_{P^2}\left[x\right]/\left(g\left(x\right)\right)\stackrel{“-”}{\to }\bar{R}=F_p\left[x\right]/\overline{g\left(x\right)}=F_p^s$ 为环满同态。

环 $R$ 中存在 $R\to Z_{p^2}$ 的迹映射 $\text{Tr}$， $\text{Tr}\left(\alpha \right)={\displaystyle {\sum }_{i=0}^{s-1}{\sigma }^i}\left(\alpha \right),\left(\alpha \in R\right)$，其中 $\sigma \left({\alpha }_0+p{\alpha }_1\right)={\alpha }_0^p+p{\alpha }_1^p\left({\alpha }_0,{\alpha }_1\in T_{p^s}\right)$，以 $\overline{\text{Tr}}:\bar{R}=F_p^s\to \overline{Z_{p^2}}=F_p$ 表示有限域的迹映射。

Galois环 $\text{GR}\left(p^2,p^{2s}\right)$ 中存在Teichmuller空间 $T_{p^s}^{\text{*}}=\langle \xi \rangle =\left\{1,\xi ,{\xi }^2,\cdots ,{\xi }^{p^s-2}\right\}$， $T_{p^s}=T_{p^s}^{\text{*}}\cup \left\{0\right\}$， $I_{p^s}=p{T}_{p^s}$，环R中元素也表达成 $\alpha ={\alpha }_0+p{\alpha }_1\left({\alpha }_0,{\alpha }_1\in T_{p^s}\right)$。当 $p=2$ 时， $T_p^{\ast }=\left\{1\right\},T_p=\left\{0,1\right\}$。

$R$ 中元素可分两部分，一部分为由素数p生成的主理想(p)，记为环 $R$ 的唯一极大理想 $M$， $M=\left(p\right)=pR=\left\{py:y\in T_{p^s}\right\}=I_{p^s}$，另一部分为单位群 $\text{GR}{\left(p^2,p^{2s}\right)}^{\text{*}}=R\backslash M=\left\{a+pb:a\in T_{p^s}^{\text{*}},b\in T_{p^s}\right\}$。

2.2. 差族与几乎差族概念

定义 [4] 设G为v阶加法交换群， $D_i\subset G$，且 $\left|D_i\right|=k_i\left(1\le i\le m\right)$，多重集 $\Delta D_i=\left\{a-b:a,b\in D_i,且a\ne b\right\}$。 $D=\left\{D_1,D_2,\cdots ,D_m\right\}$ 是一个集族， $\Delta D={\displaystyle {\cup }_{i=1}^m\Delta D_i}={\displaystyle {\cup }_{i=1}^m\left\{a-b:a,b\in D_i,且a\ne b\right\}}$，若G中有t个非零元素，每个元素都在 $\Delta D$ 中重复出现了 $\lambda$ 次，剩余 $v-t-1$ 个非零元素中，每个元素在 $\Delta D$ 中重复出现 $\lambda +1$ 次，则称集族 $D=\left\{D_1,D_2,\cdots ,D_m\right\}$ 是参数为 $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_m\right\},\lambda ,t\right\}$ 的几乎差族。当 $t=v-1$ 时D为差族。

3. 主要结果

据Momihara Koji在文献 [7] 中论述到，Galois环 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 中， $\overline{\text{Tr}}$ 是 $F_{2^s}$ 到 $F_2$ 的迹映射，我们可以找到一组对应关系 $g$ 从 $F_{2^s}/F_2$ 映射到 $F_{2^s}^{*}$ 的差集，当 $\overline{\text{Tr}}\left(\gamma \right)=1$ (其中 $\gamma \in F_{2^s}$ )，可得到 $\left\{x:\overline{\text{Tr}}\left(x\right)=1,x\in F_{2^s}^{*}\right\}=\left\{{\beta }^2+\beta +\gamma :\beta \in F_{2^s}\right\}$。 $D=\left\{x^{-1}:\overline{\text{Tr}}\left(x\right)=1,x\in F_{2^s}\right\}$ 为 $F_{2^s}^{*}$ 差集，双射 $g:F_{2^s}/F_2\to D$， $f=g^{-1}$，则有 $g\left(\beta +F_2\right)={\left({\beta }^2+\beta +\gamma \right)}^{-1}$。

下面定义两个映射 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$，根据p为2时Galois环 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 的元素性质可定义： ${\sigma }_1\left({\gamma }^i\right)={\xi }^i$， ${\sigma }_2\left({\gamma }^i+F_2\right)=2\left({\xi }^i+T_2\right)$，由此发现 ${\sigma }_1:F_{2^s}^{*}\to T_{2^s}^{*}$， ${\sigma }_2:F_{2^s}/F_2\to I_{2^s}/I_2$，f为从 $F_{2^s}^{*}$ 差集D到 $F_{2^s}/F_2$ 的映射，若X为 $T_{2^s}^{\ast }$ 差集， $Y=I_{2^s}/I_2$，可诱导出双射 $h:X\to Y$. $P=p\ast T_2^{\ast }=\left\{2\right\}$。

引理1 [7]. 若h为X到 $I_{2^s}/I_2$ 的一组双射， $D_i={\xi }^i\left(P\cup \left({\displaystyle {\cup }_{x\in X}x\left(1+h\left(x\right)\right)}\right)\right)$，(其中 $0\le i\le 2^s-2$ )， $\left\{D_0,D_1,\cdots ,D_{2^s-2}\right\}$ 是 $\left(\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right),+\right)$ 中参数为 $\left\{2^{2s},\left\{2^s+1,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\},2^s,2^{2s}-1\right\}$ 的差族。

定理1. $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 中指数s为偶数时，令 $D_i={\xi }^i\left(P\cup \left({\displaystyle {\cup }_{x\in X}x\left(1+h\left(x\right)\right)}\right)\right)$，(其中 $0\le i\le 2^s-2$ )， ${\tilde{D}}_0=D_0\cup \left\{a\right\}$， $\Delta \left({\tilde{D}}_0\right)=\left\{x-y:x\in {\tilde{D}}_0,y\in {\tilde{D}}_0,x\ne y\right\}$。若不存在 $x\in D_0,y\in D_0$ 满足方程 $x+y=2a$，则 $\left\{{\tilde{D}}_0,D_1,\cdots ,D_{2^s-2}\right\}$ 是参数为 $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_m\right\},\lambda ,t\right\}=\left\{2^{2s},\left\{2^s+2,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\},2^s,2^{2s}-2^{s+1}-3\right\}$ 的 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 几乎差族，其中 $\left\{2^s+2,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\}$ 元素个数 $m=2^s-1$。

证明 易知 $\Delta \left({\tilde{D}}_0\right)=\Delta \left(D_0\right)\cup \left(a-D_0\right)\cup \left(D_0-a\right)$。由假设知不存在 $x\in D_0,y\in D_0$ 满足方程 $a-x=y-a$，从而 $\left(a-D_0\right)\cap \left(D_0-a\right)=\varphi$。同时集合 $a-D_0$ 中没有重复元素，集合 $D_0-a$ 中亦没有重复元素，故 $\left(a-D_0\right)\cup \left(D_0-a\right)$ 中元素仅出现一次。根据引理1知 $\left\{D_0,D_1,\cdots ,D_{2^s-2}\right\}$ 是 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 上参数为 $\left\{2^{2s},\left\{2^s+1,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\},2^s,2^{2s}-1\right\}$ 的差族。从而 $\left\{{\tilde{D}}_0,D_1,\cdots ,D_{2^s-2}\right\}$ 是参数为 $\left\{2^{2s},\left\{2^s+2,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\},2^s,2^{2s}-2^{s+1}-3\right\}$ 的几乎差族。

例1. 当 $s=2,a=1$ 时，设环 $R_1=\text{GR}\left(2^2,2^4\right)=Z_4\left[x\right]/\left(g_1\left(x\right)\right)=Z_4\left[\xi \right]$，其中 $g_1\left(x\right)=x^2+x+1$， $\xi$ 为 $g_1\left(x\right)$ 在R₁中的根， ${\xi }^2=3+3\xi$，环 $R_1$ 的单位群 $R_1^{*}=T_{2^2}^{*}\times \left(1+2T_{2^2}\right)$，其中 $T_{2^2}^{\text{*}}=\left\{1,\xi ,{\xi }^2\right\}$， $T_{2^2}=T_{2^2}^{\text{*}}\cup \left\{0\right\}$， $P=\left\{2\right\}$，构造 $D_i={\xi }^i\left(P\cup \left({\displaystyle {\cup }_{x\in X}x\left(1+h\left(x\right)\right)}\right)\right)$，(其中 $0\le i\le 2^s-2$ )， ${\tilde{D}}_0=D_0\cup \left\{1\right\}$ 结果(见表1)：

Table 1. Elements of almost difference familyon R1

表1. R₁中几乎差族元素

计算 $\left({\tilde{D}}_0-{\tilde{D}}_0\right)\cup \left(D_1-D_1\right)\cup \left(D_2-D_2\right)$ 结果，将元素及其出现次数用有序数对表示如下：

{0, 16}, {3, 5}, {3ξ, 5}, {2 + ξ, 5}, {3 + ξ, 5}, {3 + 3ξ, 5}, {1, 5}, {1 + 3ξ, 5}, {ξ, 5}, {2 + 2ξ, 4}, {3 + 2ξ, 4}, {2 + 3ξ, 5}, {1 + 2ξ, 4}, {2ξ, 4}, {1 + ξ, 5}, {2, 4}。将数对中元素重复出现的次数进行计数为：{16, 1}, {5, 10}, {4, 5}。

可以发现在 $\text{GR}\left(2^2,2^4\right)$ 中5个非零元素重复出现4次，10个非零元素重复出现了5次，则 $\left\{{\tilde{D}}_0,D_1,D_2\right\}$ 可构成Galois环上参数为 $\left\{16,\left\{6,5,5\right\},4,5\right\}$ 的几乎差族。

例2. 当 $s=4,a=1$ 时，设环 $R_2=\text{GR}\left(2^2,2^8\right)=Z_4\left[x\right]/\left(g_2\left(x\right)\right)=Z_4\left[\xi \right]$，其中 $g_2\left(x\right)=x^4+2x^2+3x+1$，环 $R_2$ 的单位群 $R_2^{*}=T_{2^4}^{*}\times \left(1+2T_{2^4}\right)$，其中 $T_{2^4}^{\text{*}}=\left\{1,\xi ,{\xi }^2,{\xi }^3,{\xi }^4,{\xi }^5,{\xi }^6,{\xi }^7,{\xi }^8,{\xi }^9,{\xi }^{10},{\xi }^{11},{\xi }^{12},{\xi }^{13},{\xi }^{14}\right\}$， $T_{2^4}=T_{2^4}^{\text{*}}\cup \left\{0\right\}$， $P=\left\{2\right\}$。构造 $D_i={\xi }^i\left(P\cup \left({\displaystyle {\cup }_{x\in X}x\left(1+h\left(x\right)\right)}\right)\right)$，(其中 $0\le i\le 2^s-2$ )， ${\tilde{D}}_0=D_0\cup \left\{1\right\}$，部分结果如下：

$\begin{array}{l}{\tilde{D}}_0=\{1,2,3{\xi }^{12},5{\xi }^{12},{\xi }^4\left(1+2\xi \right),{\xi }^4\left(3+2\xi \right),{\xi }^3\left(1+2{\xi }^2\right),{\xi }^3\left(3+2{\xi }^2\right),{\xi }^9\left(1+2{\xi }^3\right),{\xi }^9\left(3+2{\xi }^3\right),\xi \left(1+2{\xi }^5\right),\\ \xi \left(3+2{\xi }^5\right),{\xi }^8\left(1+2{\xi }^6\right),{\xi }^8\left(3+2{\xi }^6\right),{\xi }^6\left(1+2{\xi }^7\right),{\xi }^6\left(3+2{\xi }^7\right),{\xi }^2\left(1+2{\xi }^{11}\right),{\xi }^2\left(3+2{\xi }^{11}\right)\},\end{array}$

$\begin{array}{l}{D}_1=\{2\xi ,3{\xi }^{13},5{\xi }^{13},{\xi }^5\left(1+2\xi \right),{\xi }^5\left(3+2\xi \right),{\xi }^4\left(1+2{\xi }^2\right),{\xi }^4\left(3+2{\xi }^2\right),{\xi }^{10}\left(1+2{\xi }^3\right),{\xi }^{10}\left(3+2{\xi }^3\right),{\xi }^2\left(1+2{\xi }^5\right),\\ {\xi }^2\left(3+2{\xi }^5\right),{\xi }^9\left(1+2{\xi }^6\right),{\xi }^9\left(3+2{\xi }^6\right),{\xi }^7\left(1+2{\xi }^7\right),{\xi }^7\left(3+2{\xi }^7\right),{\xi }^3\left(1+2{\xi }^{11}\right),{\xi }^3\left(3+2{\xi }^{11}\right)\},\end{array}$

$⋮$

$\begin{array}{l}{D}_{14}=\{2{\xi }^{14},3{\xi }^{26},5{\xi }^{26},{\xi }^{18}\left(1+2\xi \right),{\xi }^{18}\left(3+2\xi \right),{\xi }^{17}\left(1+2{\xi }^2\right),{\xi }^{17}\left(3+2{\xi }^2\right),{\xi }^{23}\left(1+2{\xi }^3\right),\\ {\xi }^{23}\left(3+2{\xi }^3\right),{\xi }^{15}\left(1+2{\xi }^5\right),{\xi }^{15}\left(3+2{\xi }^5\right),{\xi }^{22}\left(1+2{\xi }^6\right),{\xi }^{22}\left(3+2{\xi }^6\right),{\xi }^{20}\left(1+2{\xi }^7\right),\\ {\xi }^{20}\left(3+2{\xi }^7\right),{\xi }^{16}\left(1+2{\xi }^{11}\right),{\xi }^{16}\left(3+2{\xi }^{11}\right)\}.\end{array}$

计算 $\left({\tilde{D}}_0-{\tilde{D}}_0\right)\cup \left({\displaystyle {\cup }_{i=1}^{14}\left(D_i-D_i\right)}\right)$ 结果可得到元素及其出现的次数，从中挑选出现相同次数的元素个数，记为有序数对： $\left\{256,1\right\},\left\{17,34\right\},\left\{16,221\right\}$，可以发现在 $\text{GR}\left(2^2,2^8\right)$ 中有221个非零元素重复出现16次，34个非零元素重复17次，构成参数为 $\left\{256,\left\{18,17,17,17,17,17,17,17,17,17,17,17,17,17,17\right\},16,221\right\}$ 的几乎差族。

经数值实验，当参数s取6, 8, 10等偶数时，仍然正确。我们给出如下猜测：

当 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 中指数s为偶数时，令 $D_i={\xi }^i\left(P\cup \left({\displaystyle {\cup }_{x\in X}x\left(1+h\left(x\right)\right)}\right)\right)$，(其中 $0\le i\le 2^s-2$ )， ${\tilde{D}}_0=D_0\cup \left\{1\right\}$，则 $\left\{{\tilde{D}}_0,D_1,\cdots ,D_{2^s-2}\right\}$ 是 $\text{GR}\left(2^2,2^{2s}\right)$ 中参数为 $\left\{2^{2s},\left\{2^s+2,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\},2^s,2^{2s}-2^{s+1}-3\right\}$ 的几乎差族，其中 $\left\{2^s+2,2^s+1,\cdots ,2^s+1\right\}$ 元素个数共 $2^s-1$ 个。

基金项目

辽宁省教育厅一般项目[LQ2020020]。