测地曲率几何意义的证明

Proof of the Geometric Meaning of Geodesic Curvature

摘要: 论文利用法曲率、测地曲率的概念，结合空间曲线的投影柱面、投影曲线的性质，对测地曲率的几何意义给出了一个较详细的证明。

Abstract: This work gives a detailed proof for the geometric meaning of geodesic curvature by using the definitions of normal curvature and geodesic curvature, and combining the characters of projective cylinder and projective cure.

1. 引言

测地曲率是微分几何中一个重要概念，由它可以引出曲面上的测地线、短程性和高斯–波捏(博内)公式等重要内容。文献 [1] [2] [3] 对测地曲率的几何意义都给出了证明，但证明过程都过于简单、笼统，学习者、读者很难完全理解。本文结合测地线几何意义的证明过程涉及到的知识点，如法曲率、测地曲率的概念，曲面上两曲线相切的证明等内容，给出了一个较完整、详细的证明过程。希望这一证明能让读者对测地曲率几何意义有较清晰、完整的理解，从而促进测地线、短程性和高斯–波捏相关内容的学习 [4] [5] [6]。

2. 预备知识

设空间中有一C²类的曲面 $\Sigma :r=r\left(u,v\right)$。 $P=P\left(u,v\right)$ 是 $\Sigma$ 上一点， $\Gamma$ 为 $\Sigma$ 上经过P点的任一曲线，其方程为： $u=u\left(s\right),v=v\left(s\right)$，或 $r=r\left(u\left(s\right),v\left(s\right)\right)=r\left(s\right)$，其中，s是自然参数。记 $\alpha =\alpha \left(s\right),\beta =\beta \left(s\right)$ 为曲线 $\Gamma$ 的切向量和主法向量， $n=n\left(u,v\right)$ 为曲面 $\Sigma$ 上的单位法向量， $\theta$ 为 $\Gamma$ 的主法向量 $\beta$ 与 $\Sigma$ 的法向量 $n$ 的夹角。

定义1 [1] [2] [3] 任取曲面 $\Sigma$ 在点P处的一方向 $\left(d\right)=du:dv$， $n$ 为 $\Sigma$ 在点 $P\left(u,v\right)$ 处的法向量。称由 $n$ 与(d)所确定的平面为 $\Sigma$ 在点P沿方向(d)的法截面。法截面与曲面 $\Sigma$ 的交线称为 $\Sigma$ 在点P处沿方向(d)的法截线。

在本文中，法截面记为 ${\pi }^{*}$，法截线记为 ${\Gamma }^{*}$， ${\Gamma }^{*}$ 上各点处的曲率记为 $k^{*}=k^{*}\left(s\right)$。

定义2 [1] [2] [3] 曲面 $\Sigma$ 在点P沿方向(d)的法曲率定义为

$k_n=\{\begin{array}{l}{k}^{*},法截线{\Gamma }^{*}向的n的正向弯曲\\ -k^{*},法截线{\Gamma }^{*}向的n的反向弯曲\end{array}$

引理1 [1] [2] [3] 设曲面 $\Sigma$ 上的曲线 $\Gamma$ 与 $\Sigma$ 在P点沿方向 $\left(d\right)=du:dv$ 的法截线 ${\Gamma }^{*}$ 相切，则有

$k_n=k\cos \theta =kn\cdot \beta$。

其中， $k_n$ 为 $\Sigma$ 沿(d)的法曲率，k为 $\Gamma$ 在P点的曲率， $\theta$ 为 $\Sigma$ 在P点的法向量 $n$ 与 $\Gamma$ 在P点的主法向量 $\beta$ 的夹角。

注1 曲率 $k=k\left(s\right)$ 反映的是空间曲线在其上一点处的弯曲程度；法曲率反映的是曲面在一点处沿某一方向的弯曲程度；曲面在其上一点处沿任一方向均存在一法截面、法截线和法曲率。

再引入一个新的向量。令 $\epsilon =n\times \alpha$，则 $n,\alpha ,\epsilon$ 是两两垂直的单位向量，且构成一右手系。显然，由 $\Sigma$ 上一点P处的单位法向量 $n$ 与 $\Sigma$ 上的过P点的曲线 $\Gamma$ 在该点的单位切向量 $\alpha$ 确定的向量 $\epsilon$ 位于 $\Sigma$ 在P点的切平面内。

定义3 [1] [2] [3] 曲线 $\Gamma$ 在P点的曲率向量 $\ddot{r}=k\beta$ 在 $\epsilon$ 上的投影(也就是在 $\Sigma$ 于P点的切平面内的投影)

$k_g=\ddot{r}\cdot \epsilon =k\beta \cdot \epsilon$，

称为曲线 $\Gamma$ 在P点的测地曲率。其中，k为曲线 $\Gamma$ 在P点的曲率， $\beta$ 为 $\Gamma$ 在P点的主法向量。

定义4 [1] [2] [3] 设曲线 $\Gamma$ 为曲面 $\Sigma$ 上过点P的曲线， $\pi$ 为 $\Sigma$ 在P点的切平面。过 $\Gamma$ 上每一点作切平面 $\pi$ 的垂线，这些垂线组成一柱面 ${\Sigma }^{*}$，称 ${\Sigma }^{*}$ 为 $\Gamma$ 关于 $\pi$ 的投影柱面。 ${\Sigma }^{*}$ 与 $\pi$ 的交线，称为 $\Gamma$ 关于 $\pi$ 的(正)投影曲线，记为 ${\Gamma }^{*}$。

注2 由定义4可知，曲线 $\Gamma$ 与 ${\Gamma }^{*}$ 都在投影柱面 ${\Sigma }^{*}$ 上，且投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 是平面 $\pi$ 内的曲线。

引理2 在定义4的条件下，曲线 $\Gamma$ 与 ${\Gamma }^{*}$ 在P点相切。

证 由定义4知，曲面 $\Sigma$ 在P点的法线是柱面 ${\Sigma }^{*}$ 的一条直母线。由于 $\Gamma$ 在 ${\Sigma }^{*}$ 上，故 $\Gamma$ 在P点的切线L也是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的一条切线。因此， ${\Sigma }^{*}$ 在P点的切平面就是由 $n$ 与 $\alpha$ (过P点的一条直母线与 $\Gamma$ 在P点的切线L)所确定的平面，记该切平面为 ${\pi }^{*}$。

因为切线L既在 ${\pi }^{*}$ 上，又在 $\pi$ 上，所以 $\pi$ 与 ${\pi }^{*}$ 相交于直线L。

另一方面， ${\Gamma }^{*}$ 在P点的切线既要在 ${\pi }^{*}$ 上，又要在其所在平面 $\pi$ 上，故 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的切线也是 $\pi$ 与 ${\pi }^{*}$ 的交线，即 $\Gamma$ 在P点切线也是L。

综上知， $\Gamma$ 与 ${\Gamma }^{*}$ 在P点相切。

引理3 在定义4的条件下，向量 $\epsilon$ 是投影柱面 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的法向量。

证 由引理2知， $\Gamma$ 在P点的切向量 $\alpha$ 也是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的一个切向量。 $\Sigma$ 在P点的法向量 $n$ 也是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的一个切向量。再由 $\alpha \perp n$ ( $\alpha$ 与 $n$ 不平行)， $\epsilon =n\times \alpha$ 知， $\epsilon$ 为 ${\Sigma }^{*}$ 在P点的单位法向量。

引理4 向量 $\epsilon$ 是投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的主法向量。

证 由引理2知， $\Gamma$ 在P点的切向量 $\alpha$ 也是 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的切向量。由 $\epsilon =n\times \alpha$ 知， $\alpha \perp \epsilon$。又由于 ${\Gamma }^{*}$ 是平面曲线， ${\Gamma }^{*}$ 所在平面 $\pi$ 即为其在P点的密切平面。再由 $\alpha ,\epsilon$ 都在平面 $\pi$ 内知， $\epsilon$ 是投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的主法向量。

3. 测地曲率的几何意义及其证明

定理 [1] [2] [3] 曲面 $\Sigma$ 上的曲线 $\Gamma$ 在P点的测地曲率 $k_g$ 的绝对值等于 $\Gamma$ 在P点的切平面 $\pi$ 上的正投影曲线 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的曲率 $k^{*}$，即有 $\left|k_g\right|=k^{*}$。

证 由定义1和引理2，引理3知，切平面 $\pi$ 是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点沿方向 $\alpha$ 的法截面， ${\Gamma }^{*}$ 是 ${\Sigma }^{*}$ 在P点沿方向 $\alpha$ 的法截线。再由引理3和引理4知， ${\Sigma }^{*}$ 在P点的法向量和 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的主法向量重合，即它们之间的夹角 $\theta =0$ 或 $\pi$。于是，由引理1知， ${\Sigma }^{*}$ 在P点沿方向 $\alpha$ 的法曲率为 $k_n^{*}=k^{*}\cos \theta =\pm k^{*}$，即

$\left|k_n^{*}\right|=k^{*}$. (1)

其中， $k^{*}$ 是 ${\Gamma }^{*}$ 在P点的曲率。

另一方面，由引理1可知，法曲率 $k_n^{*}$ 还可以表示成曲线 $\Gamma$ 在P点的曲率k乘以 $\beta$ 与 $\epsilon$ 夹角的余弦，即 $k_n^{*}=k\beta \cdot \epsilon$。结合定义3可以得到

$k_n^{*}=k_g$. (2)

其中， $k_g$ 为曲线 $\Gamma$ 在P点的测地曲率。由(1)、(2)两式可得：

$\left|k_g\right|=k^{*}$.

定理得证。

基金项目

菏泽学院2020年教改项目(项目编号：2020010)。