具有Hardy项的半线性椭圆方程正径向对称解的存在性

Existence of Positive Radial Symmetric Solutions for Semilinear Elliptic Equation with Hardy Exponent

摘要: 本文主要研究了以下具有Dirichlet边界条件的椭圆方程在B_R(0)中正径向对称解的存在性:，u>0。其中   且2^*(a,s)是临界指数。我们主要利用山路引理、Moser迭代和比较原理证明该方程正径向对称解的存在性。

Abstract: In this paper, we study the existence of positive radial symmetric solutions of , u>0 in B_R(0) with Dirichlet boundary condition. Here, and 2^*(a,s) is a critical exponent. We mainly prove the existence of positive radial symmetric solution of the equation by using the mountain pass lemma, Moser iteration and comparison principle.

1. 引言

本文主要研究了以下具有Dirichlet边界的椭圆方程：

$\{\begin{array}{l}-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla u\right)=\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}+\frac{u^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }}{{\left|x\right|}^s},u>0,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (1.1)

其中 $\Omega$ 是 ${ℝ}^N\left(N\ge 3\right)$ 中的球 $B_R\left(0\right)$，且 $0\le a<\sqrt{\bar{\mu }}$， $\bar{\mu }={\left(\frac{N-2}{2}\right)}^2$， $2^{*}\left(a,s\right)=\frac{2\left(N-s\right)}{N-2\left(1+a\right)}$， $\frac{2Na}{N-2}\le s<2\left(1+a\right)$， $0<\epsilon <2^{*}\left(a,s\right)-1$， $0\le \mu <{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2$。

(1.1)是具有加权Hardy位势的半线性椭圆方程，它属于非线性微分方程。而非线性微分方程是非线性科学的主要研究方向，它在微分几何、数学物理、生态学、经济学和工程技术中都有广泛而深入的研究，而椭圆方程便是实际问题中常见的非线性微分方程，如热力学中的气体燃烧理论 [1]、几何中的Yamabe问题 [2]、人口动力系统 [3]、调和分析中的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 [4] 等。

Cao和Peng在 [5] 中利用Moser迭代和比较原理证明了下面方程径向对称解的存在性：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^2}+u^{2^{*}-1-\epsilon },u>0,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$

其中， $0\le \mu <\bar{\mu }={\left(\frac{N-2}{2}\right)}^2$， $2^{*}=\frac{2N}{N-2}$。

受到文献 [5] 启发，本文研究了问题(1.1)，主要结论如下：

定理1.1：假设 $2^{*}\left(a,s\right)=\frac{2\left(N-s\right)}{N-2\left(1+a\right)}$ 和 $\frac{2Na}{N-2}\le s<2\left(1+a\right)$，则问题(1.1)有径向对称正解。

2. 预备知识

问题(1.1)对应能量泛函为 $E:H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)\to ℝ$，其中

$E\left(u\right)=\frac{1}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla u\right|}^2-\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}\right)-\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}$， $\forall u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$，

显然， $E\left(u\right)$ 的临界点就是(1.1)的解。在 $H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 上定义范数：

$\Vert u\Vert \triangleq {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla u\right|}^2-\mu \frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}\right)}^{\frac{1}{2}}$.

下面给出本文需要的几个基本引理。

引理2.1： [6]

假设 $\frac{2Na}{N-2}\le s<2\left(1+a\right)$， $2\le q\le 2^{*}\left(a,s\right)$ 和 $0\le \mu <{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2$，有

(1) 加权Hardy不等式

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}\le \frac{1}{{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{{\left|\nabla u\right|}^2}{{\left|x\right|}^{2a}}}$， $\forall u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ ；

(2) 加权Sobolev-Hardy不等式存在一个常数 $C>0$，使得

${\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{u^q}{{\left|x\right|}^s}}\right)}^{1/q}\le C\Vert u\Vert$， $\forall u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ ；

(3) 对于 $q<2^{*}\left(a,s\right)$，从 $H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 到 $L^q\left(\Omega \right)$ 的映射 $u\to {\left|x\right|}^{-\frac{q}{s}}u$ 是紧的。

引理2.2：(Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式) [7]

对所有 $u\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$，有

${\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{{}^N}}{\left|x\right|}^{-bq}{\left|u\right|}^q}\right)}^{p/q}\le C_{a,b}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{{}^N}}{\left|x\right|}^{-ap}{\left|Du\right|}^p}$，

其中当 $n>p$ 时， $-\infty <a<\frac{n-p}{p}$， $0\le b-a\le 1$， $q=\frac{np}{n-p+p\left(b-a\right)}$ ；

当 $n\le p$ 时， $-\infty <a<\frac{n-p}{p}$， $\frac{p-n}{p}<b-a\le 1$， $q=\frac{np}{n-p+p\left(b-a\right)}$。

引理2.3： [8]

假设V是自反Banach空间且具有范数 $\Vert \cdot \Vert$，设 $M\subset V$ 是V的弱闭子集。设 $E:M\to ℝ\cup \left\{+\infty \right\}$ 是强制的且在M上关于V序列弱下半连续，即假设满足以下条件：

(1) (强制性)当 $\Vert u\Vert \to \infty$ 时， $E\left(u\right)\to \infty$，其中 $u\in M$ ；

(2) (序列弱下半连续性)对任意 $u\in M$ 存在M中的序列 $\left\{u_m\right\}$，在V上 $u_m\rightharpoonup u$ 使得

$E\left(u\right)\le \underset{m\to \infty }{\lim \inf }E\left(u_m\right)$ ；

那么E在M上下有界且在M上达到其最小值。

引理2.4： [6]

令 $u\in C^2\left(B_R\backslash \left\{0\right\}\right)\cap C^1\left(\overline{B_R}\backslash \left\{0\right\}\right)$ 且u满足

$\{\begin{array}{l}{\partial }_i\left({\left|x\right|}^{\beta }{\partial }_{i}u\right)+K{\left|x\right|}^{\alpha }{u}^q=0,x\in B_R\backslash \left\{0\right\},\\ u>0,x\in B_R\backslash \left\{0\right\},\\ u=0,x\in \partial B_R\backslash \left\{0\right\},\end{array}$

其中K是正常数。那么当 $q\ge 1$， $\beta \left(\frac{1}{2}\beta +N-2\right)\le 0$ 和 $\frac{1}{2}\beta \ge \frac{\alpha }{q}$ 时，在 $B_R\backslash \left\{0\right\}$ 中u是径向对称的。

3. 主要结果证明

3.1. 正解存在性证明

首先，我们证明以下Dirichlet问题非负解的存在性：

$\{\begin{array}{l}-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla u\right)=\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}+\frac{u^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }}{{\left|x\right|}^s},x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (3.1)

其中 $\Omega$ 是 ${ℝ}^N\left(N\ge 3\right)$ 中的球 $B_R\left(0\right)$，且 $0\le a<\sqrt{\bar{\mu }}$， $\bar{\mu }={\left(\frac{N-2}{2}\right)}^2$， $2^{*}\left(a,s\right)=\frac{2\left(N-s\right)}{N-2\left(1+a\right)}$， $\frac{2Na}{N-2}\le s<2\left(1+a\right)$， $0<\epsilon <2^{*}\left(a,s\right)-1$， $0\le \mu <{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2$。

问题(3.1)对应能量泛函为：

$J\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}$， $u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$。

引理3.1：对任意 $c\in ℝ$，泛函J都满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件。

证明：取 $c\in ℝ$ 并假设 $\left\{u_n\right\}$ 是水平c上的PS序列，即 $J\left(u_n\right)\to c$ 和在 ${\left(H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)\right)}^{*}$ 内有 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$。这意味着存在一个常数 $M>0$，使得

$\left|J\left(u_n\right)\right|\le M$. (3.2)

根据 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$，可得

$o\left(1\right)\Vert u_n\Vert =\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n\rangle ={\Vert u_n\Vert }^2-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u_n\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}$. (3.3)

计算(3.2) $-\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }$ (3.3)得，

$\begin{array}{c}M+o\left(1\right)\Vert u_n\Vert \ge \frac{1}{2}{\Vert u_n\Vert }^2-\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\\ -\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\Vert u_n\Vert }^2+\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\\ =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }\right){\Vert u_n\Vert }^2\end{array}$

这意味着 $\left\{u_n\right\}$ 有界。通过通常论证，存在一个子序列仍然记为 $\left\{u_n\right\}$ 且存在 $u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 使得

· 在 $H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 中， $u_n\rightharpoonup u$ ；

· 在 $L^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }\left(\Omega \right)$ 中， ${\left|x\right|}^{-\frac{s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}{u}_n\to {\left|x\right|}^{-\frac{s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}u$ ；

· $u_n$ 在 $\Omega$ 上几乎处处收敛到u。

接下来，我们证明 $u_n$ 到u是强收敛。首先，根据以上分析，可得当 $n\to \infty$ 时，

${\Vert u_n{\left|x\right|}^{-\frac{s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}-u{\left|x\right|}^{-\frac{s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\Vert }_{L^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }\left(\Omega \right)}\to 0$.

因为 $J^{\prime }\left(u_n\right)\to 0$ 和 $u_n\rightharpoonup u$，所以 $\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n-u\rangle \to 0$ 且显然有 $\langle J^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle \to 0$。

因此，当 $n\to \infty$ 时，一方面有

$\langle J^{\prime }\left(u_n\right)-J^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle \le \left|\langle J^{\prime }\left(u_n\right),u_n-u\rangle \right|+\left|\langle J^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle \right|=o\left(1\right)$，

另一方面有，

$\langle J^{\prime }\left(u_n\right)-J^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle ={\Vert u_n-u\Vert }^2-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}\left({\left|u_n\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-2-\epsilon }{u}_n-{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-2-\epsilon }u\right)}\left(u_n-u\right)$.

根据Hölder不等式，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u_n\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-2-\epsilon }u\left(u_n-u\right)}\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u_n\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }\left|u_n-u\right|}\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s\cdot \frac{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}{\left|u_n\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }{\left|x\right|}^{-s\cdot \frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\left|u_n-u\right|}\\ \le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u_n\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\right)}^{\frac{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}{\Vert {\left|x\right|}^{\frac{-s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\left|u_n-u\right|\Vert }_{L^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }\left(\Omega \right)}\\ \le C{\Vert u_n\Vert }^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }{\Vert u_n{\left|x\right|}^{\frac{-s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}-u{\left|x\right|}^{\frac{-s}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}\Vert }_{L^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }\left(\Omega \right)}=o(\; 1\; )\end{array}$

同理可得， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-2-\epsilon }u\left(u_n-u\right)}=o\left(1\right)$。因此，

$o\left(1\right)=\langle J^{\prime }\left(u_n\right)-J^{\prime }\left(u\right),u_n-u\rangle ={\Vert u_n-u\Vert }^2+o\left(1\right)$，

即在 $H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 中 $u_n\to u$ 且对任意 $c\in ℝ$，泛函J都满足 ${\left(PS\right)}_c$ 条件。

引理3.2：泛函J允许在非负函数集内存在 ${\left(PS\right)}_c$ 序列，其中

$c=\underset{g\in \Gamma }{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }J\left(g\left(t\right)\right)$， $\Gamma =\left\{g\in C\left(\left[0,1\right],H_0^1\left(\Omega \right)\right):g\left(0\right)=0,J\left(g\left(1\right)\right)<0\right\}$.

证明：接下来我们证明J满足山路引理的所有假设。显然， $J\left(0\right)=0$。

由加权Hardy-Sobolev不等式可得

$J\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{1}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }u}\ge \frac{1}{2}{\Vert u\Vert }^2-C_1{\Vert u\Vert }^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }$.

对任意 $a,s$，我们选择足够小的 $\epsilon$ 使得 $2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon >2$。根据以上分析，存在 $\rho ,e>0$，使得对任意 $u\in \left\{u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right):\Vert u\Vert =e\right\}$ 有 $J\left(u\right)\ge \rho$。此外，对任意 $u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$，有

$J\left(tu\right)=\frac{t^2}{2}{\Vert u\Vert }^2-\frac{t^{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }}{2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-s}}{\left|u\right|}^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }u$.

因此，当 $t\to +\infty$ 有 $J\left(tu\right)\to -\infty$。因此，我们可以选择合适的 $t_0>0$，使得 $J\left(t_{0}u\right)<0$。根据山路引理，可知J允许存在 ${\left(PS\right)}_c$ 序列，并且由于对任意的 $u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$，都有 $J\left(\left|u\right|\right)\le J\left(u\right)$，故这个序列可以在非负函数集合中被选择。证毕！

通过引理3.1、3.2和山路引理，我们得到了问题(1.1)的一个非负解 $u\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$，再通过极大值原理，该解是正解。

3.2. 径向对称性证明

接下来，记问题(1.1)中的 $2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon =p>0$，并研究解 $u_{\epsilon }\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 的奇异性和径向对称性。根据标准椭圆的正则性理论得， $u_{\epsilon }\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \backslash \left\{0\right\}\right)\cap C^1\left(\bar{\Omega }\backslash \left\{0\right\}\right)$。因此， $u_{\epsilon }\left(x\right)$ 的奇点是原点。

假设 $u_{\epsilon }\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 满足问题(1.1)。令 $\upsilon \left(x\right)={\left|x\right|}^{\nu }u\left(x\right)$， $\nu =\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)-\sqrt{{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2-\mu }$，可得

$\{\begin{array}{l}-div\left({\left|x\right|}^{-2a-2\nu }\nabla \upsilon \right)={\left|x\right|}^{-\left(2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon \right)\nu -s}{\upsilon }^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon },\upsilon >0x\in \Omega ,\\ \upsilon =0x\in \partial \Omega .\end{array}$ (3.4)

根据标准椭圆的正则性理论得， ${\upsilon }_{\epsilon }\left(x\right)\in C^2\left(\Omega \backslash \left\{0\right\}\right)\cap C^1\left(\bar{\Omega }\backslash \left\{0\right\}\right)$。

引理3.3：(1) $\upsilon \left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a-2v}\right)$ ；(2) $\upsilon \left(x\right)$ 在 $\Omega$ 上有界。

证明：(1)对任意满足(1.1)的 $u\left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$，根据加权Hardy不等式，我们有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-2a-2\nu }{\left|\nabla \upsilon \right|}^2}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-2a-2\nu }{\left|{\left|x\right|}^{\nu }\nabla u+\nu {\left|x\right|}^{\nu -2}ux\right|}^2}\\ \le 2\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla u\right|}^2+{\nu }^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{u^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}}\right)\\ \le C\end{array}$

因此， $\upsilon \left(x\right)={\left|x\right|}^{\nu }u\left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a-2v}\right)$。

(2)根据引理2.2提到的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，得对任意 $u\left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a-2\nu }\right)$ 有

${\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ge C_{m,n}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\left|u\right|}^{p\left(m,n\right)}}\right)}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)}}$, (3.5)

其中 $m=-2a-2\nu$， $n=-\left(2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon \right)\nu -s$， $p\left(m,n\right)=2^{*}\left(a,s\right)+\frac{\epsilon \nu }{\sqrt{{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2-\mu }}$。

注意到 $\upsilon \left(x\right)$ 满足

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m\nabla \upsilon \cdot \nabla \phi }={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\upsilon }^p\phi }$， $\forall \phi \in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^m\right)$.

定义 ${\upsilon }_l=\min \left\{\upsilon \left(x\right),l\right\}$， $l>1$。设 $t>1$，取上式中 $\phi =\upsilon \cdot {\upsilon }_l^{2\left(t-1\right)}\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^m\right)$ 得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla \upsilon \right|}^2{\upsilon }_l^{2\left(t-1\right)}}+2\left(t-1\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla {\upsilon }_l\right|}^2{\upsilon }_l^{2\left(t-1\right)}}={\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\upsilon }^{p+1}{\upsilon }_l^{2\left(t-1\right)}}$。

因此，

$\begin{array}{c}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\left(\upsilon \cdot {\upsilon }_l^{t-1}\right)}^{p\left(m,n\right)}}\right)}^{\frac{2}{p\left(m,n\right)}}\le C_{m,n}^{-2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla \left(\upsilon \cdot {\upsilon }_l^{t-1}\right)\right|}^2}\\ \le 2C_{m,n}^{-2}\left({\left(t-1\right)}^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla {\upsilon }_l\right|}^2{\upsilon }_l^{2\left(t-1\right)}}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla \upsilon \right|}^2}{\upsilon }_l^{2\left(t-1\right)}\right)\\ \le 2C_{m,n}^{-2}t{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\upsilon }^{p+2t-1}}\end{array}$ (3.6)

根据(3.6)和Levi’s定理，由 $\upsilon \in L^{p+2t-1}\left(\Omega ,{\left|x\right|}^n\right)$ 可知 $\upsilon \in L^{tp\left(m,n\right)}\left(\Omega ,{\left|x\right|}^n\right)$。

接下来定义

$\{\begin{array}{l}p-1+2t_0=p\left(m,n\right),\\ p-1+2t_{j+1}=p\left(m,n\right)t_j,\end{array}$ (3.7)

$\{\begin{array}{l}{M}_0={\left(C\cdot C_{m,n}^{-2}\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}},\\ M_{j+1}={\left(2C_{m,n}^{-2}{t}_j{M}_j\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}},\end{array}$ (3.8)

其中 $j=0,1,2,\cdots$，C是满足 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^m{\left|\nabla \upsilon \right|}^2}\le C$ 的固定常数。

由(3.7)可得

$t_j=\frac{{\left(2^{-1}p\left(m,n\right)\right)}^{j+1}\left(p\left(m,n\right)-p-1\right)+p-1}{p\left(m,n\right)-2}$。

结合(3.8)和 [9] 中类似计算可得 $\exists d>0$ (d与j无关)使得 $M_j\le {\text{e}}^{d{t}_j-1}$。

又因为 $2<p+1<p\left(m,n\right)$，故对所有 $j\ge 0$ 都有 $t_j>1$ 且当 $j\to +\infty$ 时 $t_j\to +\infty$。

结合(3.6)、(3.7)和(3.8)，得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\upsilon }^{p+2t_1-1}}\le {\left(2C_{m,n}^{-2}{t}_0\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\upsilon }^{p+2s_0-1}}\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}}\\ \le {\left(2C_{m,n}^{-2}{t}_0\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}}{\left(C^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}}{C}_{m,n}^{-p\left(m,n\right)}\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}}\\ \le {\left(2C_{m,n}^{-2}{t}_0{M}_0\right)}^{\frac{p\left(m,n\right)}{2}}\\ \le M_1\end{array}$

类似地我们有， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^n{\upsilon }^{p+2t_j-1}}\le M_j$。

记 $C\left(\Omega ,n\right)=\underset{x\in \Omega }{\max }{\left|x\right|}^{-n}$，并根据 $p-1+2t_{j+1}=p\left(m,n\right)t_j$ 可得

$\begin{array}{c}{\left|\upsilon \right|}_{L^{p\left(m,n\right)t_j}\left(\Omega \right)}\le {\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\upsilon \right|}^{p\left(m,n\right)t_j}{\left|x\right|}^n\cdot {\left|x\right|}^{-n}}\right)}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)t_j}}\\ \le C{\left(\Omega ,n\right)}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)t_j}}{\left|\upsilon \right|}_{L^{p\left(m,n\right)t_j}\left(\Omega ,{\left|x\right|}^n\right)}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)t_j}}\\ \le C{\left(\Omega ,n\right)}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)t_j}}{M}_{j+1}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)t_j}}\\ \le C{\left(\Omega ,n\right)}^{\frac{1}{p\left(m,n\right)t_j}}{\text{e}}^{\frac{d}{p\left(m,n\right)t_j}}\end{array}$

对上述不等式两边取极限并利用当 $j\to +\infty$ 时 $t_j\to +\infty$，得 ${\left|\upsilon \right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}\le {\text{e}}^{\frac{d}{p\left(m,n\right)}}$。证毕！

根据引理3.3，可知 $\upsilon \left(x\right)={\left|x\right|}^{\nu }u\left(x\right)$ 在 $\Omega$ 内有上界。对于 $\upsilon \left(x\right)={\left|x\right|}^{\nu }u\left(x\right)$ 的下界我们有

引理3.4:假设 $u\left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a-2v}\right)$ 满足问题(1.1)，则对任意 $B_{\rho }\subset \subset \Omega$，都存在一个 $C\left(\rho \right)>0$ 使得对

$\forall x\in B_{\rho }\subset \subset \Omega$ 都有 $u\left(x\right)\ge C\left(\rho \right){\left|x\right|}^{-\nu }$。

证明：令 $f\left(x\right)=\min \left\{{\left|x\right|}^{-s}{u}^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }\left(x\right),l\right\}$， $l>0$，则 $f\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$。

假设 $u_1\ge 0$ 且 $u_1\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 是下面线性方程的解；

$\{\begin{array}{l}-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla u_1\right)=\mu \frac{u_1}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}+f,x\in \Omega ,\\ u_1=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (3.9)

记 $U=u-u_1$，则 $U\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a}\right)$ 且U满足

$\{\begin{array}{l}-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla U\right)=\mu \frac{U}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}+g,x\in \Omega ,\\ U=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (3.10)

其中 $g\ge 0$ 且 $0\le \mu <{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2$。

由引理2.3可知，问题(3.9)和(3.10)有解。再根据加权Hardy不等式和比较原理 [10]，可知u是问题(3.9)的一个上解且 $0\le u_1\le u$。证明如下，将(3.10)的两边同时乘以 $U^{-}:=\max \left\{0,-U\left(x\right)\right\}$ 并分部积分可得

$-{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla U^{-}\right|}^2}=-{\displaystyle {\int }_{\Omega }\mu \frac{{\left(U^{-}\right)}^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }g{U}^{-}}$.

这意味着 $U^{-}=0$，即 $U\ge 0$。

根据引理3.3得，存在一个常数 $C_1>0$ 使得 $0\le u_1\le u\le C_1{\left|x\right|}^{-\nu }$，因此我们只需证明 $u_1$ 有下界即可。

因为在 $\Omega$ 中 $u_1\cancel{\equiv }0$， $u_1\ge 0$ 且 $-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla u_1\right)\ge 0$，所以存在 $\delta >0$ 和充分小的 $\rho >0$ 使得对任意 $x\in B_{2\rho }$ 都有 $u_1\ge \delta$。选择合适的 $C\left(\rho \right)>0$ 且 $C\left(\rho \right)$ 满足当 $\left|x\right|\ge \rho$ 时 $C\left(\rho \right){\left|x\right|}^{-\nu }\le \delta$，并取 $\omega ={\left(u_1-C{\left|x\right|}^{-\nu }\right)}^{-}$。因为 ${\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}{\left|\nabla {\left|x\right|}^{-\nu }\right|}^2}<\infty$ 和 $u_1\in H_0^1\left(B_{\rho }\right)$，所以 $\omega \in H_0^1\left(B_{\rho }\right)$。

结合(3.9)和 ${\left|x\right|}^{-\nu }$ 是 $-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla u\right)-\mu \frac{u}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}=0$ 的弱解的事实，可知 $u_1$ 和 ${\left|x\right|}^{-\nu }$ 的线性组合是 $-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla u_1\right)=\mu \frac{u_1}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}+f$ 的弱解。因此

$-div\left({\left|x\right|}^{-2a}\nabla \left(u_1-C{\left|x\right|}^{-\nu }\right)\right)=\mu \frac{u_1-C{\left|x\right|}^{-\nu }}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}+f$.

对上式两边同时乘以 $\omega$ 并分部积分得

$-{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla \omega \right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{\Omega }\mu \frac{{\omega }^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}={\displaystyle {\int }_{\Omega }f\omega }\ge 0$.

又因为 $0\le \mu <{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2$，所以 $\omega \equiv 0$。

$\omega \equiv 0$ 还有第二种证法：只需证明 $-{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla \omega \right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}\mu \frac{{\omega }^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}\ge 0$ 即可。显然

$\begin{array}{c}0>-{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}{\left|x\right|}^{-2a}{\left|\nabla \omega \right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}\mu \frac{{\omega }^2}{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}}\\ ={\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}{\left|x\right|}^{-2a}\nabla \left(u_1-C{\left|x\right|}^{-\nu }\right)\cdot \nabla \omega -{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}\frac{\mu }{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}\left(u_1-C{\left|x\right|}^{-\nu }\right)\omega }}\\ ={\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}f\omega -C\left({\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}{\left|x\right|}^{-2a}\nabla {\left|x\right|}^{-\nu }\cdot \nabla \omega -{\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}\frac{\mu }{{\left|x\right|}^{2\left(1+a\right)}}{\left|x\right|}^{-\nu }\omega }}\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{B_{\rho }}f\omega }+\frac{C\nu }{{\rho }^{2a+\nu +1}}{\displaystyle {\int }_{\partial B_{\rho }}\omega }\\ >\frac{C\nu }{{\rho }^{2a+\nu +1}}{\displaystyle {\int }_{\partial B_{\rho }}\omega }\ge 0\end{array}$

显然矛盾，证毕！

结合引理3.3和引理3.4，我们得到

命题3.5:假设 $u\left(x\right)\in H_0^1\left(\Omega ,{\left|x\right|}^{-2a-2v}\right)$ 满足问题(1.1)且 $0\le \mu <{\left(\sqrt{\bar{\mu }}-a\right)}^2$，则对任意 ${\Omega }^{\prime }\subset \subset \Omega$，都存在两个正常数 $C_1$ 和 $C_2$，使得

$\{\begin{array}{l}u\left(x\right){\left|x\right|}^{\nu }\ge C_1,\forall x\in {\Omega }^{\prime }\in \Omega ,\\ u\left(x\right){\left|x\right|}^{\nu }\le C_2,\forall x\in \Omega .\end{array}$

最后我们给出定理1.1的证明。

定理1.1的证明：根据以上分析，我们只需证明 $\upsilon \left(x\right)$ 在 $\Omega$ 中是径向对称的。根据标准椭圆的正则性理论，我们有 $\upsilon (x)\in C^2\left(\Omega \backslash \left\{0\right\}\right)\cap C^1\left(\bar{\Omega }\backslash \left\{0\right\}\right)$。由(2.4)可知，

${\partial }_i\left({\left|x\right|}^{-2a-2\nu }{\partial }_i\upsilon \right)+{\left|x\right|}^{-\left(2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon \right)\nu -s}{\upsilon }^{2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon }=0$. (3.11)

当 $\beta =-2a-2\nu$， $\alpha =-\left(2^{*}\left(a,s\right)-\epsilon \right)\nu -s$， $q=2^{*}\left(a,s\right)-1-\epsilon$ 和 $K=1$ 时，(3.11)显然满足引理2.4中的条件。证毕！