环境污染对非线性偏害共生系统影响的动力学分析

Dynamic Analysis of the Influence of Environmental Pollution on a Nonlinear Amensalism System

摘要: 生态环境的严重污染已经威胁到了物种的生存，由此引起的灾害问题现已成为环境灾害中不可忽视的灾种之一。本文建立了一个非线性偏害共生模型，利用动力学分析方法得到污染率临界值m*的表达式，借助Dulac判别法证明了m < m*时，正平衡点是全局渐近稳定的，探讨了生态意义：污染率与抑制作用密切相关；一定条件下，环境污染对第二种群的最终数量会带来严重影响。

Abstract: Serious pollution of the ecological environment has threatened the survival of species. And environmental pollution has become one of the disasters that cannot be ignored. The expressions of threshold of pollution rate m* is obtained basic knowledge of dynamical system. Moreover, it is proved that when m < m* with the help of the Dulac method, the positive equilibrium is globally asymptotically stable. The ecological significance is discussed: the pollution rate is closely related to the inhibition coefficient, environmental pollution can have a serious impact on the final population of the second population.

1. 引言

人类社会现代工农业的飞速发展和其他生产活动所造成的环境污染，尤其是生态环境的严重污染，已经威胁到了物种的生存，主要体现在生物遗传多样性丧失，物种多样性丧失，最终导致生境单一化 [1]。目前环境污染灾害也已成为环境灾害中不可忽视的灾种之一，它既不像洪水和地震那样显而易见，然而，它却像癌细胞那样不声不响地缓慢地侵蚀着人们的生存基础 [2]。如某些污染事故泄漏的有毒气体和液体，当时表现并不强烈，而在几年甚至几十年后才发现是由某次污染事故引起种群DNA复制损伤、染色体畸变或免疫功能失调等造成的，如日本的水误病事件 [2] 等。

因此，有关这一方面的生物数学模型的建立和发展屡见不鲜，偏害共生系统是对一方有害而对另一方无利弊影响的共生模型，这种关系很常见 [3]，文献 [4] [5] 研究了B-D功能反应的两种群偏害模型，文献 [6] 研究了鱼群偏害共生动力学线性模型，但都少有关于环境污染偏害共生系统的研究。本文我们研究环境污染对非线性偏害共生系统影响的动力学分析，研究环境污染对种群生存的影响，对得出的结论给出生态意义，该结果对于保护物种生存和治理环境提供了可靠的科学依据。

2. 模型建立

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{N}_1}{\text{d}t}=r_1{N}_1\left(1-{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}-u{\left(\frac{N_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)\\ \frac{\text{d}{N}_{\text{2}}}{\text{d}t}=r_{\text{2}}{N}_{\text{2}}\left(1-{\left(\frac{N_{\text{2}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{3}}}\right)\end{array}$ (1.1)

系统(1.1)是Gilpin–Ayala模型 [7] [8] 的推广，Xiong在 ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_{\text{3}}=\text{1}$ 研究了鱼群偏害共生动力学的Lotka-Volterra模型 [9]，给出了稳定性分析 。其中 $N_1\ge 0,N_2\ge 0$，其它参数都为正数，项 $\frac{N_1}{P_1},\frac{N_2}{P_1}$ 分别表示第一二种群的已经利用空间， $1-\frac{N_1}{P_1},1-\frac{N_2}{P_1}$ 表示两种群未利用的空间，u代表第二种群对第一种群的抑制系数。文献 [9] 在 ${\alpha }_1>0,{\alpha }_2>0,{\alpha }_{\text{3}}\ge \text{1}$ 推广了该系统，本文在文献 [9] 的基础上，考虑到环境污染对偏害

共生系统的影响，在两个种群引入为环境污染率m，对系统(1.1)进行改进得到

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}{N}_1}{\text{d}t}=r_1{N}_1\left(1-{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}-u{\left(\frac{N_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m{N}_1=P\left(N_1,N_2\right)\\ \frac{\text{d}{N}_{\text{2}}}{\text{d}t}=r_{\text{2}}{N}_{\text{2}}\left(1-{\left(\frac{N_{\text{2}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{3}}}\right)-m{N}_{\text{2}}=Q\left(N_2\right)\end{array}$ (1.2)

3. 平衡点的存在性

结合实际，污染率不超过两种群内禀出生率的生态意义 [1]，即在 $m<\min \left\{r_1,r_2\right\}$ 条件下对系统(1.2)进行动力学分析。我们很容易得到系统(1.2)存在三个边界平衡点和一个正平衡点

$E_1\left(0,0\right)$, $E_2\left(P_1{\left(1-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_1}},0\right)$, $E_{\text{3}}\left(0,N_2^{*}\right)$, $E_{\text{4}}\left(N_1^{*},N_2^{*}\right)$

这里，正平衡点的存在条件是 $u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}+\frac{m}{r_1}<1$。其中 $N_{\text{1}}^{*}=P_1{\left(\text{1}-\frac{m}{r_1}-u{\left(\frac{N_2^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}$， $N_2^{*}=P_2{\left(1-\frac{m}{r_2}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_3}}$。需要指出，Wu在文献 [9] 研究了 $m=\text{0}$ 非线性的偏害共生动力学模型，给出了四个平衡点， $A_1\left(0,0\right),A_2\left(P_1,0\right),A_3\left(0,\widetilde{N_2^{*}}\right),A_4\left(\widetilde{N_1^{*}},\widetilde{N_2^{*}}\right)$，其中

$\widetilde{N_1^{*}}=P_1{\left(\text{1}-u{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}$, $\widetilde{N_2^{*}}=P_2$

接下来我们对系统(1.1) (1.2)的正平衡点进行比较，令

$\begin{array}{c}T\left(m\right)={\left(N_1^{*}\right)}^{{\alpha }_1}-{\left(\widetilde{N_1^{*}}\right)}^{{\alpha }_1}\\ =P_1^{{\alpha }_1}\left(u\left({\left(\frac{M_2^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}-{\left(\frac{N_2^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}\right)-\frac{m}{r_1}\right)\\ =P_1^{{\alpha }_1}\left(u{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}\left(1-{\left(\text{1}-\frac{m}{r_{\text{2}}}\right)}^{\frac{{\alpha }_{\text{2}}}{{\alpha }_{\text{3}}}}\right)-\frac{m}{r_1}\right)\end{array}$ (2.1)

再对 $T\left(m\right)$ 求两次导，得到

$\begin{array}{l}{T}^{\prime }\left(m\right)=P_1^{{\alpha }_1}\left(\omega {\left(\text{1}-\frac{m}{r_{\text{2}}}\right)}^{\frac{{\alpha }_{\text{2}}}{{\alpha }_{\text{3}}}-\text{1}}-\rho \right)\\ T^{″}\left(m\right)=P_1^{{\alpha }_1}\left(1-\frac{{\alpha }_{\text{2}}}{{\alpha }_{\text{3}}}\right)\frac{\omega }{r_{\text{2}}}{\left(\text{1}-\frac{m}{r_{\text{2}}}\right)}^{\frac{{\alpha }_{\text{2}}}{{\alpha }_{\text{3}}}-2}\end{array}$ (2.2)

其中 $\omega =\frac{u{\alpha }_2}{r_2{\alpha }_3}{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2},\rho =\frac{1}{r_1}$。由此，给出关于系统(1.1)和(1.2)正平衡点比较的一个充分性定理。

定理2.1：(1) $N_{\text{2}}^{*}<\widetilde{N_2^{*}}$ ；(2)若 $r_{\text{1}}=r_2=r$， ${\alpha }_{\text{2}}<{\alpha }_{\text{3}}$， $\frac{\rho }{\omega }<1$ 且 $u>{\left(\frac{P_{\text{1}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}$，有 $N_{\text{1}}^{*}>\widetilde{N_1^{*}}$。

证明：(1) 由于 $\widetilde{N_2^{*}}=P_{\text{2}}$， $N_{\text{2}}^{*}={\left(1-\frac{m}{r_2}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_3}}{P}_{\text{2}}$ 显然得证。

(2) 令

$m_0=\left(1-{\left(\frac{\rho }{\omega }\right)}^{1-\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_3}}\right)r_2$ (2.3)

显然，当 ${\alpha }_{\text{2}}<{\alpha }_{\text{3}}$， $\frac{\rho }{\omega }<1$ 时，可以得到 $m_{\text{0}}<r_2=r_{\text{1}}$，将(2.3)代入(2.2)得到

$T^{\prime }\left(m_{\text{0}}\right)=0$, $T^{″}\left(m_{\text{0}}\right)>0$， (2.4)

因此 $T\left(m\right)$ 在 $\left(0,m_{\text{0}}\right),\left(m_{\text{0}},r\right)$ 先减后增，又因为 $T\left(0\right)=\text{0}$，可以得到

$T\left(m_{\text{0}}\right)<\text{0}$ (2.5)

再由条件 $u>{\left(\frac{P_{\text{1}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}$ 得到

$\underset{m\to r^{-}}{\lim }T\left(m\right)=P_1^{{\alpha }_1}\left(u{\left(\frac{P_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}-\text{1}\right)>0$ (2.6)

由(2.5)，(2.6)可以得到 $T\left(m\right)$ 在 $\left(m_{\text{0}},r\right)$ 有唯一正根 $\xi$，且当 $m>\xi$ 时，满足

$T\left(m\right)>0$ (2.7)

考虑单调增函数 $y=x^{{\alpha }_2}\left({\alpha }_{\text{2}}\ge \text{1}\right)$，结合(1.3)和(1.9)，对于 $\forall m\in \left(\xi ,r\right)$，有 $N_{\text{1}}^{*}>\widetilde{N_1^{*}}$，这样定理2.1得证。

4. 平衡点的局部稳定性

系统(1.2)雅可比矩阵为

$J=\left[\begin{array}{cc}{J}_{11}& -\frac{r_{1}u{N}_1{\alpha }_2{N}_2^{{\alpha }_2-1}}{P_1^{{\alpha }_2}}\\ 0& J_{22}\end{array}\right]$ (3.1)

$J_{11}=r_1\left(1-{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}-u{\left(\frac{N_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right)-r_1{\alpha }_1{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}$ (3.2)

$J_{\text{22}}=r_{\text{2}}\left(1-{\left(\frac{N_{\text{2}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{2}}}-\frac{m}{r_{\text{2}}}\right)-r_{\text{2}}{\alpha }_{\text{3}}{\left(\frac{N_{\text{2}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{3}}}$ (3.3)

定理3.1：假设 ${\alpha }_{\text{2}}\ge \text{1}$ 时， $m<\min \left\{r_1,r_2\right\}$ 则有

(1) $E_1\left(0,0\right)$ 是不稳定的；

(2) $E_2\left({\left(1-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_1}},0\right)$ 是鞍点；

(3) $E_{\text{3}}\left(0,N_2^{*}\right)$，当 $m<r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$ 是鞍点；当 $m>r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$ 是稳定点；

(4) $E_{\text{4}}\left(N_1^{*},N_2^{*}\right)$ 当 $m<r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$ 是稳定点， $m>r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$ 是鞍点。

证明：(1) 由(3.1)知系统(1.2)在 $E_1$ 处的雅可比矩阵为

$J\left(E_1\right)=\left[\begin{array}{cc}{r}_1-m& 0\\ 0& r_2-m\end{array}\right]$ (3.4)

此时两个特征值分别是 ${\lambda }_1=r_1-m>0,{\lambda }_2=r_2-m>0$，可知 $E_1$ 是不稳定点。

(2) 系统(1.2)在 $E_2$ 处的雅可比矩阵为 $J\left(E_2\right)=\left[\begin{array}{cc}-{\alpha }_1\left(r_1-m\right)& 0\\ 0& r_2-m\end{array}\right]$，此时两个特征值分别是 ${\lambda }_1=-{\alpha }_1\left(r_1-m\right)<0,{\lambda }_2=r_2-m>0$，可知 $E_2$ 是鞍点。

(3) 系统(1.2)在 $E_3$ 处的雅可比矩阵为 $J\left(E_3\right)=\left[\begin{array}{cc}{r}_1\left(1-u{\left(\frac{N_2^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right)& 0\\ 0& -{\alpha }_3\left(r_2-m\right)\end{array}\right]$，

此时两个特征值分别是 ${\lambda }_1=r_1\left(1-u{\left(\frac{N_2^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right),{\lambda }_2=-{\alpha }_3\left(r_2-m\right)<0$，显然，当 $m<r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$ 时， ${\lambda }_{\text{1}}>0$，则 $E_3$ 是鞍点；当 $m>r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$ 时， ${\lambda }_{\text{1}}<0$，则 $E_3$ 是稳定点。

(4) 系统((1.2))在 $E_{\text{4}}$ 处的雅可比矩阵为 $J\left(E_4\right)=\left[\begin{array}{cc}-r_1{\alpha }_1{\left(\frac{N_1^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}& -\frac{r_{1}u{N}_1^{*}{\alpha }_2{\left(N_2^{*}\right)}^{{\alpha }_2-1}}{P_1{}^{{\alpha }_2}}\\ 0& -r_2{\alpha }_3{\left(\frac{N_2^{*}}{P_2}\right)}^{{\alpha }_1}\end{array}\right]$，此时两个特征值分别是 ${\lambda }_1=-r_1{\alpha }_1{\left(\frac{N_1^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}<0,{\lambda }_2=-r_2{\alpha }_3{\left(\frac{N_2^{*}}{P_2}\right)}^{{\alpha }_1}<0$，显然， $E_{\text{4}}$ 是稳定点。

5. 平衡点的全局稳定性

接下来要证明边界平衡点和正平衡点的稳定性，采用的方法是Wu [9]，Chen L. S. [10] 和Chen F. D. [11] 的基本方法。

定理4.1：(1) $m>r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$， $E_{\text{3}}\left(0,N_2^{*}\right)$ 是全局渐近稳定的；

(2) $m<r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$， $E_{\text{4}}$ 是全局渐近稳定的。

在证明此定理之前，先看一个引理。

引理4.1：考虑单种群系统

$\frac{\text{d}{N}_{\text{2}}}{\text{d}t}=r_{\text{2}}{N}_{\text{2}}\left(1-{\left(\frac{N_{\text{2}}}{P_{\text{2}}}\right)}^{{\alpha }_{\text{3}}}\right)-m{N}_{\text{2}}=N_{\text{2}}F\left(N_{\text{2}}\right)$ (4.1)

当 $r_{\text{2}}-m>0$ 时，系统(4.1)的唯一正平衡点 $N_2^{*}=P_2{\left(1-\frac{m}{r_2}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_3}}$ 是全局稳定的。

证明：(1) 显然

$\begin{array}{l}F\left(0\right)=r_{\text{2}}-m>0\\ F\left(+\infty \right)=-\infty \end{array}$ (4.2)

另外，当 $N_{\text{2}}\ge \text{0}$ 时，由(4.1)可以得到

$\frac{\text{d}F\left(N_{\text{2}}\right)}{\text{d}{N}_{\text{2}}}=-\frac{r_{\text{2}}{\alpha }_{\text{3}}{N}_2^{{\alpha }_{\text{3}}-1}}{P_2^{{\alpha }_{\text{3}}}{}_{\text{2}}}-m<0$ (4.3)

由(4.2)，(4.3)得到(4.1)在 $\left(0,+\infty \right)$ 单调递减，则 $N_2^{*}=P_2{\left(1-\frac{m}{r_2}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_3}}$ 是唯一零点。

这样，我们就能够得到

$\begin{array}{l}{N}_2^{*}>N_2>0,F\left(N_2\right)>0\\ 0<N_2^{*}<N_2,F\left(N_2\right)<0\end{array}$ (4.4)

则由(4.4)根据文献 [10] 引理2.1，系统(4.1)的唯一正平衡点 $N_2^{*}$ 是全局稳定的。

下面证明定理4.1(1)。

假设 $\left(N_{\text{1}}\left(t\right),N_{\text{2}}\left(t\right)\right)$ 是系统(1.2)的解，那么根据引理3.1可以得到

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{N}_2\left(t\right)=N_2^{*}$ (4.5)

则对于充分小的 $\epsilon >0$,不失一般性，可以设 $\epsilon <\frac{1}{2}{N}_2^{*}$，存在 $T_1>0$，有

$N_2\left(t\right)\ge N_2^{*}-\epsilon$ (4.6)

另外，我们考虑单调增函数 $y=x^{{\alpha }_2}\left({\alpha }_{\text{2}}\ge \text{1}\right)$ 当 $x>0$ 时，有

${\left(\frac{N_2\left(t\right)}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\ge {\left(\frac{P_2-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}$ (4.7)

另外，根据 $m>r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$，即 $1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}<0$，则对于充分小的 $\epsilon >0$，得到：

$r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m<0$ (4.8)

这样，系统(1.2)的第一个方程和(4.7)的右半部分不等式，当 $t\ge T_1$ 时，有

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{N}_1}{\text{d}t}\le r_1{N}_1\left(1-{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}-u{\left(\frac{N_2^{*}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m{N}_1\\ \le r_1{N}_1\left(1-u{\left(\frac{N_2^{*}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m{N}_1\end{array}$ (4.9)

因此，由(4.8)可以得到

$N_1\left(t\right)\le N_1\left(T_1\right)\exp \left\{\left(r_1\left(1-u{\left(\frac{N_2^{*}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m\right)\left(t-T_1\right)\right\}\to 0$ (4.10)

即

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{N}_1\left(t\right)=0$, (4.11)

由微分方程稳定理论 [3] 定理4.1(1)得证。

下面给出4.1(2)证明。根据 $m<r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$，即 $1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}>0$，则对于充分小的 $\epsilon >0$，得到：

$r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}+\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m>0$ (4.12)

根据(4.5)得到对于充分小的 $\epsilon >0$，当 $t\ge T_2$ 时，有

$N_2^{*}-\epsilon <N_2\left(t\right)<N_2^{*}+\epsilon$ (4.13)

对于充分小的 $\epsilon >0$，根据(4.8)式我们可以直接得到

$\begin{array}{c}\frac{\text{d}{N}_1}{\text{d}t}=r_1{N}_1\left(1-{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}-u{\left(\frac{N_2}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m{N}_1\\ \le r_1{N}_1\left(1-{\left(\frac{N_1}{P_1}\right)}^{{\alpha }_1}-u{\left(\frac{N_2^{*}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)-m{N}_1\\ \le \left(r_1\left(1-u{\left(\frac{N_2^{*}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right)-\frac{r_1{N}_1^{{\alpha }_1}}{P_1^{{\alpha }_1}}\right)N_1\end{array}$ (4.14)

根据文献 [11] 引理2.2，有

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\inf N_1\left(t\right)\ge P_1{\left(\text{1}-u{\left(\frac{N_2^{*}+\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}$ (4.15)

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\sup N_1\left(t\right)\le P_1{\left(\text{1}-u{\left(\frac{N_2^{*}-\epsilon }{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}$ (4.16)

由(4.15)，(4.16)，我们可以得到，对于充分小的 $\epsilon >0$，有

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{N}_1\left(t\right)=P_1{\left(\text{1}-u{\left(\frac{N_2^{*}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}=N_{\text{1}}^{*}$ (4.17)

下面我们再证明系统(1.2)不存在极限环，我们由(4.15)还可以得到

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\sup N_1\left(t\right)\le P_1{\left(1-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}$ (4.18)

根据(4.13)和(4.18),当对于充分小的 $\epsilon >0$，当 $t\ge T_2$ 时，系统(1.2)位于 $R_{+}^2$ 的解最终落在如下区域：

$D=\left\{\left(N_1,N_2\right)|N_1<P_1{\left(1-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{\text{1}}{{}^{{\alpha }_{\text{1}}}}}+\epsilon ,N_2<N_2^{*}+\epsilon \right\}$ (4.19)

我们再考虑Dulac函数 $V\left(N_1,N_2\right)=N_1{}^{-1}{N}_2{}^{-1}$，则

$\frac{\partial \left(VP\right)}{\partial N_1}+\frac{\partial \left(VQ\right)}{\partial N_2}=-\left(\frac{r_1{\alpha }_1}{N_2{P}_1^{{\alpha }_1}}{N}_1^{{\alpha }_1-1}+\frac{r_2{\alpha }_3}{N_1{P}_2^{{\alpha }_3}}{N}_1^{{\alpha }_3-1}\right)<0$ (4.19)

由Dulac判别法得到系统(1.2)在D内不存在极限环，由此可见， $E_{\text{4}}$ 是全局渐近稳定的。定理4.2(2)得证。

6. 生态意义

本文提出了一类两个种群都遭到环境污染，具有非线性偏害水平的种群偏害系统，讨论了平衡点

$E_1\left(0,0\right)$， $E_2\left(P_1{\left(1-\frac{m}{r_1}\right)}^{\frac{1}{{\alpha }_1}},0\right)$， $E_{\text{3}}\left(0,N_2^{*}\right)$， $E_{\text{4}}\left(N_1^{*},N_2^{*}\right)$ 的局部稳定性和全局稳定性。表1讨论了系统(1.2)在平衡点 $E_{\text{3}}$， $E_{\text{4}}$ 的生态意义，设污染率临界值 $m^{*}=r_1\left(1-u{\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{{\alpha }_2}\right)$。

Table 1. Ecological significance of the system (1.2) at the equilibrium point

表1. 系统(1.2)平衡点的生态意义

将文献 [6] 的Lotka-Volterra模型提出的抑制率和本文的污染作用临界值进行对比分析发现，设抑制作

用临界值 $u^{*}=\left(1-\frac{m}{r_1}\right){\left(\frac{N_{\text{2}}^{\text{*}}}{P_1}\right)}^{-{\alpha }_2}$，当 $m<m^{\text{*}}$ 时，我们会得到时 $u<u^{\text{*}}$，这该式表明环境污染会影响第二种

群对第一种群的抑制能力，二者密切相关。

另外，我们对比非线性偏害共生模型 [9]，可以发现关于系统(1.1)，(1.2)的一个有趣现象。两系统有各自唯一的正平衡点 $\left(\widetilde{N_1^{*}},\widetilde{N_2^{*}}\right)$， $\left(N_1^{*},N_2^{*}\right)$ 都是全局渐近稳定的，但在参数满足定理2.1条件下，有 $N_1^{*}>\widetilde{N_1^{*}}$， $N_{\text{2}}^{*}<\widetilde{N_2^{*}}$，这说明虽然两个种群环境污染率m相同，但对于系统(1.2)两个种群的最终数量会产生不同的影响。 $N_1^{*}>\widetilde{N_1^{*}}$ 说明受污染影响，第一种群最终数量未减反而增加， $N_{\text{2}}^{*}<\widetilde{N_2^{*}}$ 说明第二种群数量最终会减少，推广了文献 [12] 的结论。可以说，虽然偏害共生系统对第一种群有害而对第二种群无利弊影响，但因环境污染对第二种群的影响远高于第一种群，作为食物链终端的人类，将会成为环境污染的根本受害者。

基金项目

防灾科技学院教育研究与教学改革项目(JY2017A04)；河北省高等教育教学改革研究与实践项目(2017GJJG254)。