Cantor集与Cantor函数性质探究

Research on the Properties of Cantor Sets and Cantor Functions

摘要: Cantor集是由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入的。因其构思精巧且性质独特，Cantor集应用广泛并且为众多数学问题提供了解决的思路和方法。而Cantor函数是由Cantor集构造的，它的特异性质也可以应用在很多数学问题中。它们特殊奇妙的性质使得其获得无与伦比的魅力，吸引了众多数学工作者对它进行探索和研究。本文从Cantor集与Cantor函数的构造出发，重点探讨了Cantor集与Cantor函数的性质。

Abstract: The Cantor set was introduced by the German mathematician Georg Cantor in 1883. Because of its ingenious conception and unique nature, Cantor set is widely used and provides ideas and methods for solving many mathematical problems. Cantor function is constructed from Cantor set, and its special properties can also be applied to many mathematical problems. Their special and wonderful nature makes them incomparable charm, which attracts many mathematicians to explore and study them. Starting from the construction of Cantor set and Cantor function, this paper mainly discusses the properties of Cantor set and Cantor function.

1. 引言

Cantor集是由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入的。因其构思精巧且性质独特，Cantor集应用广泛并且为众多数学问题提供了解决的思路和方法。而且，康托尔和其他数学家通过考虑Cantor集奠定了现代点集拓扑学的基础。而Cantor函数是定义在 $\left[0,1\right]$ 上的一个连续的、单调递增的、几乎处处可微的函数，在实际问题的求解中扮演着重要的角色，而且Cantor函数特殊奇妙的性质使得其获得无与伦比的魅力，吸引了众多数学工作者对它进行探索和研究。如它不满足Newton-Leibniz公式，它可以将疏朗集映成连续区间，它在 $\left[0,1\right]$ 上的导数 ${\Theta }^{\prime }\left(x\right)$ 几乎处处等于0，即 ${\Theta }^{\prime }\left(x\right)=0$ a.e.于 $\left[0,1\right]$ 且 ${\displaystyle {\int }_{\left[0,1\right]}{\Theta }^{\prime }\left(x\right)\text{d}m}=0$ 等。如此多特殊且奇妙的性质使得Cantor函数有着无与伦比的魅力吸引了众多数学工作者对它进行探索和研究。

因此，Cantor集与Cantor函数的研究备受国内外学者的关注。本文从Cantor集与Cantor函数的构造出发，重点探讨了Cantor集与Cantor函数的性质。

2. Cantor集

2.1. Cantor集构造

Cantor集是数学领域中一个十分重要的点集，也称为Cantor三分集或者Cantor完全集。有界闭区间 $\left[a,b\right]\left(a<b\right)$ 上的Cantor集的构造思想如下：

将有界闭区间 $\left[a,b\right]$ 三等分，如图1。

Figure 1. Schematic diagram of trisection of bounded closed interval $\left[a,b\right]$

图1. 有界闭区间 $\left[a,b\right]$ 三等分示意图

定义算子F：

$F^1=F\left(\left[a,b\right]\right)=\left[a,a+\frac{b-a}{3}\right]\cup \left[b-\frac{b-a}{3},b\right];$

$\begin{array}{l}{F}^2=F\left(F\left(\left[a,b\right]\right)\right)=\left[a,a+\frac{b-a}{3^2}\right]\cup \left[a+\frac{2\left(b-a\right)}{3^2},a+\frac{3\left(b-a\right)}{3^2}\right]\\ \cup \left[b-\frac{3\left(b-a\right)}{3^2},b-\frac{2\left(b-a\right)}{3^2}\right]\cup \left[b-\frac{b-a}{3^2},b\right].\end{array}$

以此类推得到

$\begin{array}{c}{F}^k=F\left(F^{k-1}\left(\left[a,b\right]\right)\right)\\ =\left[a,a+\frac{b-a}{3^k}\right]\cup \left[a+\frac{2\left(b-a\right)}{3^k},a+\frac{3\left(b-a\right)}{3^k}\right]\cup \cdots \\ \cup \left[b-\frac{\left(3^k-3\right)\left(b-a\right)}{3^k},b-\frac{\left(3^k-2\right)\left(b-a\right)}{3^k}\right]\cup \left[b-\frac{\left(3^k-1\right)\left(b-a\right)}{3^k},b\right].\end{array}$

这样就得到了集列 $\left\{F^k\left(\left[0,1\right]\right)\right\}$ 。

显然，该集列是递降的，并由单调有界定理知其是收敛集列。

记集列 $\left\{F^k\left(\left[0,1\right]\right)\right\}$ 的极限是Cantor集C，即

$C=\underset{k\to \infty }{\lim }{F}^k\left(\left[a,b\right]\right).$

为Cantor(三分)集，或者Cantor完全集，简称为Cantor集。

称 $G\triangleq \left(\left[0,1\right]\backslash C\right)$ 为Cantor余集。

2.2. Cantor集性质及证明

以下性质证明中用定义在 $\left[0,1\right]$ 上Cantor函数代替定义在 $\left[a,b\right]$ 上Cantor函数，因为有 $\left[0,1\right]~\left[a,b\right]$ 。其证明过程如下：

注意到

$\phi \left(t\right)=\left(1-t\right)a+tb,t\in \left[0,1\right]$

是区间 $\left[0,1\right]$ 到区间 $\left[a,b\right]$ 的一个一一对应，故区间 $\left[0,1\right]$ 与区间 $\left[a,b\right]$ 有相同的基数c。

性质1 Cantor集是有界闭集。

证 对 $\forall i\in {\mathbb{N}}_{+}$ ， $F^i\left(\left[0,1\right]\right)$ 是 $2^i$ 个长度为 $3^{-i}$ 的互不相交的闭区间的并集，而且由构造过程可知 $\left\{F^k\left(\left[0,1\right]\right)\right\}$ 是一个递降集列，由单调有界定理知该集列收敛，而且其极限集是一个递降闭集列的交，故C是有界闭集。

性质2 Cantor集是非空自密集。

证 设 $\forall x_0\in C$ ，则 $x_0\in F^i\left(i=1,2,\cdots \right)$ ，即对每一个i， $x_0$ 属于长度为 $\frac{1}{3^i}$ 的 $2^i$ 个闭区间中的一个。于是，对于 $\forall \delta >0$ ， $\exists n$ ，满足 $\frac{1}{3^i}<\delta$ ，使得 $F^i$ 中包含 $x_0$ 的闭区间含于 $\left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)$ 。这个闭区间内有两个端点，它们是C中的点而且总有一个不是 $x_0$ 。因此，说明 $x_0$ 是C的极限点。又由 $x_0$ 的任意性可知 $C^{\prime }\supset C$ ，故C为非空自密集。

注：由性质1和性质2可知，Cantor集是完全集。

性质3 Cantor集是疏朗集 [1]。

证 若想证明C是疏朗集，只需证明C的内部是空集即可。

对任意的点 $x_0\in C$ ，对 $\forall \delta >0$ ，取 $i\in {\mathbb{N}}_{+}$ ，使得 $3^{-i}<\delta$ 。

由于 $F^i\left(\left[0,1\right]\right)$ 是 $2^i$ 个互不相交的长度为 $3^{-i}$ 的闭区间的并，故 $x_0$ 的 $\delta$ -邻域 $\left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)$ 内必含有不属于 $F^i\left(\left[0,1\right]\right)$ 的点，从而含有G中的点。

设 $\forall y_0\in \left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)\cap G$ 。因为 $y_0$ 是开集 $\left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)\cap G$ 中的点，故存在 $\epsilon >0$ ，使得 ${\displaystyle \cup \left(y_0,\epsilon \right)}\subset \left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)\cap G$ ，亦即 ${\displaystyle \cup \left(y_0,\epsilon \right)}\subset \left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)$ ， ${\displaystyle \cup \left(y_0,\epsilon \right)}\cap C=\varnothing$ 。由 $y_0$ 的任意性知C的内部是空集，即C是疏朗集。

性质4 Cantor余集是开集，因它是 $\left[a,b\right]$ 中可列个互不相交的开区间的并，且这些开区间的长度之和为1。

证 事实上，

$G={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cup }}\left(\left[0,1\right]\backslash F^i\left(\left[0,1\right]\right)\right)}$

是可列个互不相交的开区间的并，而 $\left[0,1\right]\backslash F^i\left(\left[0,1\right]\right)$ 是其中那些长度为 $\frac{1}{3^i}$ 的互不相交的开区间的并，共 $2^{i-1}$ 个。它们的长度之和为 $\frac{2^{i-1}}{3^i}$ ，故构成G的那些开区间的长度之和为

$\underset{i=1}{\overset{\infty }{{\displaystyle \sum }}}\frac{2^{i-1}}{3^i}=1.$

性质5 Cantor集是零测度集。

证 事实上，因为

$C={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{\infty }{\cap }}{F}^i},$

其中的 $F^i$ (在构造C的过程中第i步的集合)是 $2^i$ 个长度为 $3^{-i}$ 的互不相交的闭区间的并集，所以我们有

$m^{*}\left(C\right)\le m^{*}\left(F^i\right)\le 2^i\cdot 3^{-i},$

从而得知 $m\left(C\right)=m^{*}\left(C\right)=0$ 。故，Cantor集是零测度集。

性质6 Cantor集C具有连续基数c [2]。

证 若要证明C具有连续基数c，只需证明 $C~\left[0,1\right]$ 。

将 $\left[0,1\right]$ 中的点用三进制小数表示，则对 $\left[0,1\right]$ 中任意一点 $x\in \left[0,1\right]$ 有 $x=0.a_1{a}_2\cdots a_k\cdots =\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+\cdots +\frac{a_k}{3^k}+\cdots$ ，其中 $a_i=0,1,2\left(i=1,2,\cdots ,k,\cdots \right)$ 。

设 $\forall x_0\in \left[0,1\right]\cap C$ 。因 $x_0$ 为C中的点，由Cantor集的构造过程可知，将 $x_0$ 用上述三进制小数表示成 $x_0=0.b_1{b}_2\cdots b_k\cdots$ 具有特点 $b_i=0,2\left(i=1,2,\cdots ,k,\cdots \right)$ 。

作映射 $\phi :C\to \left[0,1\right]$ ， $0.b_1{b}_2\cdots b_k\cdots \mapsto 0.c_1{c}_2\cdots c_k\cdots$ ，其中 $c_i=\{\begin{array}{l}0,b_i=0\\ 1,b_i=2\end{array}\left(i=1,2,\cdots ,k,\cdots \right)$ 显然， $\phi$ 是C到 $\left[0,1\right]$ 的一个一一对应，则称集合C与集合 $\left[0,1\right]$ 对等。

故知 $\overline{\stackrel{¯}{C}}=\overline{\stackrel{¯}{\left[0,1\right]}}=c$ 。

3. Cantor函数

3.1. Cantor函数构造

定义 $\text{Θ}\left(0\right)=0$ ， $\text{Θ}\left(1\right)=1$ ；在 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ 上，定义 $\text{Θ}\left(x\right)=\frac{1}{2}$ ；在 $\left(\frac{1}{3^2},\frac{2}{3^2}\right)$ 上，定义 $\text{Θ}\left(x\right)=\frac{1}{2^2}$ ；在 $\left(\frac{7}{3^2},\frac{8}{3^2}\right)$ 上，定义 $\text{Θ}\left(x\right)=\frac{3}{2^2}$ 。

一般地，对任意自然数k，在

$\left(\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}\right),\left(\frac{7}{3^k},\frac{8}{3^k}\right),\left(\frac{19}{3^k},\frac{20}{3^k}\right),\cdots ,\left(\frac{3^k-2}{3^k},\frac{3^k-1}{3^k}\right)$

上， $\text{Θ}\left(x\right)$ 的值分别定义为

$\frac{1}{2^k},\frac{3}{2^k},\frac{5}{2^k},\cdots ,\frac{2^k-1}{2^k}.$

当 $x\in C,x\notin \left\{0,1\right\}$ 时，定义

$\Theta \left(x\right)=\sup \left\{\Theta \left(t\right)|t\in G,t<x\right\},$

称此函数为Cantor函数。

即

$\Theta \left(x\right)=\{\begin{array}{ll}0\hfill & x=0\hfill \\ 1\hfill & x=1\hfill \\ \frac{1}{2}\hfill & x\in \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\hfill \\ \frac{1}{2^2}\hfill & x\in \left(\frac{1}{3^2},\frac{2}{3^2}\right)\hfill \\ \frac{3}{2^2}\hfill & x\in \left(\frac{7}{3^2},\frac{8}{3^2}\right)\hfill \\ ⋮\hfill & ⋮\hfill \\ \frac{1}{2^k}\hfill & x\in \left(\frac{1}{3^k},\frac{2}{3^k}\right)\hfill \\ \frac{3}{2^k}\hfill & x\in \left(\frac{7}{3^k},\frac{8}{3^k}\right)\hfill \\ \frac{5}{2^k}\hfill & x\in \left(\frac{19}{3^k},\frac{20}{3^k}\right)\hfill \\ ⋮\hfill & ⋮\hfill \\ \frac{2^k-1}{2^k}\hfill & x\in \left(\frac{3^k-2}{3^k},\frac{3^k-1}{3^k}\right)\hfill \\ ⋮\hfill & ⋮\hfill \\ \sup \left\{\Theta \left(t\right)|t\in G,t<x\right\}\hfill & x\in C,x\notin \left\{0,1\right\}\hfill \end{array}$

3.2. Cantor函数性质及证明

性质1 Cantor函数是 $\left[0,1\right]$ 上连续的单调不减函数 [3]。

证首先证明Cantor函数是单调不减的，可由上述的Cantor函数构造过程及其定义知，对 $\forall x<y\in \left[0,1\right]$ 有 $\text{Θ}\left(x\right)\le \text{Θ}\left(y\right)$ ，故Cantor函数是 $\left[0,1\right]$ 上的单调不减函数。又由Cantor函数的定义可知 $\text{Θ}\left(\left[0,1\right]\right)=\left[0,1\right]$ ，所以Cantor函数不可能有间断点，Cantor函数连续。

性质2 Cantor函数在 $\left[0,1\right]$ 上几乎处处可微。

证 由于Cantor函数 $\text{Θ}\left(x\right)$ 是在闭区间 $\left[0,1\right]$ 上的单调函数，又因为闭区间上的单调函数的不可微点集为零测集 [4]，所以Cantor函数在 $\left[0,1\right]$ 上的不可微点集是零测集，即Cantor函数在 $\left[0,1\right]$ 上几乎处处可微。

性质3 Cantor函数在 $\left[0,1\right]$ 中的可微点组成的集合的基数为c。

证 Cantor函数在 $\left[0,1\right]$ 中的可微点组成的集合为G，不可微点组成的集合为C。由Cantor集的性质5知 $mC=0$ ，易建立集合G与集合 $\left[0,1\right]$ 之间的一一对应。因此， $\overline{\stackrel{¯}{G}}=\overline{\stackrel{¯}{\left[0,1\right]}}=c$ 。

性质4 Cantor函数不是绝对连续函数。

证 注意到Cantor函数是依Cantor完全集C的结构构造的， $C={\lim }_{k\to \infty }{F}^k\left(\left[0,1\right]\right)$ 。而 $F^k\left(\left[0,1\right]\right)$ 是 $2^k$ 个互不相交的长度为 $\frac{1}{3^k}$ 的闭区间的并，故对任意的 $\delta >0$ ，存在 $k\in {\mathbb{N}}_{+}$ ，使 $2^k\cdot \frac{1}{3^k}<\delta$ 。

将构成 $F^k\left(\left[0,1\right]\right)$ 的所有闭区间从左到右记为

$\left[x_1,y_1\right],\left[x_2,y_2\right],\cdots ,\left[x_p,y_p\right],$

其中

$p=2^k,$

$0=x_1<y_1\le x_2<y_2\le \cdots \le x_p<y_p=1,$

$y_i-x_i=\frac{1}{3^k},i=1,2,\cdots ,p.$

所以

$\underset{i=1}{\overset{k}{{\displaystyle \sum }}}\left|y_i-x_i\right|=\frac{p}{3^k}=\frac{2^k}{3^k}<\delta .$

由于Cantor函数连续，且在Cantor余集G的每个构成区间上都取常值，故

$0=\text{Θ}\left(x_1\right)<\text{Θ}\left(y_1\right)=\text{Θ}\left(x_2\right)<\text{Θ}\left(y_2\right)=\cdots =\text{Θ}\left(x_p\right)<\text{Θ}\left(y_p\right)=1,$

因此有

$\underset{i=1}{\overset{k}{{\displaystyle \sum }}}\left|\text{Θ}\left(y_i\right)-\text{Θ}\left(x_i\right)\right|=1>\frac{1}{2}={\epsilon }_0.$

故Cantor不是绝对连续函数。

注：Cantor函数 $\text{Θ}\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上不是常值函数且几乎处处可微，且 ${\Theta }^{\prime }\left(x\right)=0$ a.e.于 $\left[0,1\right]$ ，故Cantor函数是 $\left[0,1\right]$ 上的Lebesgue奇异函数。

4. Cantor集和Cantor函数的应用

Cantor集和Cantor函数的构思巧妙，性质十分特别。Cantor集是Cantor在解三角级数问题时做出来的，它具有若干重要特征。Cantor函数是由Cantor集构造的，它的特异性质也可以应用在很多数学问题中。

4.1. Cantor集可作为否定命题的反例

i) Lebesgue可测集一定是Borel集 [5]。

Cantor集不为Borel集且它的外测度为零，故为Lebesgue可测集。

ii) 测度为零的集合一定是可列集 [6]。

因Cantor集 $\overline{\stackrel{¯}{C}}=c$ ，故其不是可列集且测度为零。

iii) 疏朗集均为孤立点集。

Cantor集为疏朗集，但 $C^{\prime }=C$ 是完全集，故不为孤立点集。

iv) 不含有孤立点的非空闭集一定含有内点。

Cantor是不含有孤立点的非空闭集，但由于其还是疏朗集，故其没有内点。

4.2. Cantor函数可作为否定命题的反例

i) 在连续映射下可测集的象一定可测。

Cantor函数 $\text{Θ}\left(x\right)$ ，令 $f\left(x\right)=\frac{x+\text{Θ}\left(x\right)}{2}$ ，则 $f:\left[0,1\right]\to \left[0,1\right]$ 为严格单调增的连续函数。并使得 $m\left(f\left(C\right)\right)=\frac{1}{2}$ ，其中C为Cantor集，取不可测集 $W\subset f\left(C\right)$ ，则有 $f^{-1}\left(W\right)\subset C$ 可测，使 $f\left(f^{-1}\left(W\right)\right)=W$ 不可测。

ii) 在连续映射下可测集的原象一定可测。

上例中的函数f为 $\left[0,1\right]$ 上的同胚映射，且其反函数 $f^{-1}$ 在 $\left[0,1\right]$ 上连续递增，可以使得可测集 $f^{-1}\left(W\right)$ 的原象W不可测。

iii) 所有连续函数均满足Newton-Leibniz公式。

Cantor函数 $\Theta \left(x\right)$ 不满足Newton-Leibniz公式。Cantor函数 $\Theta \left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上几乎处处可微，且 ${\Theta }^{\prime }\left(x\right)=0$ a.e.于 $\left[0,1\right]$ ，在 $\left[0,1\right]$ 上几乎处处连续，故R-可积。但是

${\displaystyle {\int }_0^1{\Theta }^{\prime }\left(x\right)\text{d}x}=0<1=\text{Θ}\left(1\right)-\text{Θ}\left(0\right).$

故不满足Newton-Leibniz公式。