带参数PH曲线几何特征及过渡曲线构造

Geometric Characteristics of PH Curve with Parameters and Construction of Transition Curve

摘要: 本文通过选取恰当的带参数Bézier曲线模型，得到其成为PH曲线的几何特征条件，构造了一类带参数的三次PH曲线。基于该曲线，构造了不互相包含两圆之间的过渡曲线，该曲线是G²连续的C型过渡曲线，并且在一定条件下，曲线内部的曲率有且仅有一个曲率极值点。数值例子验证了该方法的有效性。

Abstract: In this paper, by selecting the appropriate Bézier curve model with parameters, the geometric characteristic conditions of PH curve are obtained. A kind of cubic PH curve with parameters is constructed. Based on this curve, a transition curve is constructed. The curve is a second order continuous c-type transition curve, and the curvature inside the curve has only one curvature extreme point under certain conditions. Numerical examples show the effectiveness of the proposed method.

1. 引言

在CAD中，等距线在工业领域应用十分广泛，如机器人行走路线、数控机器加工等工业领域。Bézier曲线计算高效，但是它在求单位法向量时会涉及到求根公式，这会使其等距线不是有理多项式，并不兼容于CAD系统。Farouki提出了PH (Pythagorean hodograph)曲线 [1] ，其弧长函数和等距线为多项式或有理多项式，兼容于CAD系统。

到目前为止，关于PH曲线已经有了比较深入的研究，众所周知，对于给定Bézier曲线的控制多边形，其相关边长和内角不依赖于坐标选则的固有内在几何参量，具体数据可由实际测量获得，因此，从控制多边形的长度和角度来讨论曲线的几何性质无论在理论时，还是实际应用中都具有重要意义。Farouki [1] 和Sakalis给出具有不同控制顶点 ${\left\{P_i\right\}}_{i=0}^3$ 的3次Bézier曲线为PH曲线分离形式的边长的约束条件。文献 [1] 根据PH曲线的定义，构造了Bézier曲线形式的四次PH曲线。文献 [2] 给出了C-Bézier曲线成为了PH曲线条件的方法并证明。

在几何造型中，曲面曲线的形状调整是一个非常活跃的研究课题。近年来，为了满足几何造型工业中对曲线曲面调整的要求，国内外学者提出了许多不同的方法。其中带参数的曲线曲面逐渐成为一个研究热点，这些方法的主要目的是在曲线模型中引入参数，并通过修改参数的取值实现对曲线形状的调整。例如，文献 [3] 和文献 [4] 中的带形状参数的Bézier曲线、文献 [5] 和文献 [6] 中的带形状参数的B样条曲线，文献 [7] 和文献 [8] 中的带形状参数的三角曲线等。

另外，在CAGD中，由于几何拼接的需要，经常会涉及到平面上两条曲线之间的光滑拼接，例如，道路轨迹、机器人的行走路线、数控加工中机床的刀具中心轨迹的设计等等，一般都是通过构造过渡曲线来实现的。很多文献从不同角度围绕过渡曲线的设计展开研究，文献 [9] 以铁路中的过渡曲线为例，从反射值角度对多项式过渡曲线的形状进行了分化；文献 [10] 对两圆间一条三次Bézier曲线的过渡曲线进行了研究；文献 [11] [12] 对两圆之间应用了五次PH过渡曲线进行了研究。

本文得到带参数Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件，构造了一类带参数的三次PH曲线。并应用该曲线，构造了过渡曲线，这个曲线是G²连续的C型过渡曲线，并且当控制顶点不变时，通过参数的取值的改变可以调整过渡曲线的形状。

2. 带形状参数的m-Bézier曲线

定义1 带形状参数的m-Bézier曲线为

$P\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{3}{\sum }}{P}_i{B}_i^3\left(t\right)}$ (1)

其中 $B_0^3\left(t\right)=\left(1-mt\right){\left(1-t\right)}^2$， $B_1^3\left(t\right)=\left(2+m\right)t{\left(1-t\right)}^2$， $B_2^3\left(t\right)=\left(2+m\right)t{\left(1-t\right)}^2$， $B_3^3\left(t\right)=\left(1-m+mt\right)t^2$ 为m-Bézier曲线的基函数，m为参数， $P_i=\left(x_i{y}_i\right)$ 为三次PH曲线的控制顶点， $i=0,1,2,3$。

3. m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件

定理2.1 [2] 若平面参数曲线 $P\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ 分量导数表达式为：

$x^{\prime }\left(t\right)=w\left(t\right)(u^2\left(t\right)-v^2(\; t\; ))$

$y^{\prime }\left(t\right)=2w\left(t\right)u\left(t\right)v(\; t\; )$

其中 $u\left(t\right),v\left(t\right),w\left(t\right)$ 为实系数多项式，并且多项式 $u\left(t\right),v\left(t\right)$ 互质，则 $P\left(t\right)$ 曲线为PH曲线。

令 $u\left(t\right),v\left(t\right)$ 为一次多项式，

$\{\begin{array}{l}u\left(t\right)=u_0\left(1-t\right)+u_{1}t\\ v\left(t\right)=v_0\left(i-t\right)+v_{1}t\end{array}$ (2)

由m-Bézier曲线的基函数，并根据定理2.1得到

$u^2\left(t\right)-v^2\left(t\right)=\left(u_0^2-v_0^2\right)B_0^2\left(t\right)+\left(u_{0}u{}_1-v_0{v}_1\right)B_1^2\left(t\right)+\left(u_1^2-v_1^2\right)$

$2u\left(t\right)v\left(t\right)=2u_0{v}_0{B}_0^2\left(t\right)+\left(u_0{v}_1+u_1{v}_0\right)B_1^2\left(t\right)+2u_1{v}_1{B}_2^2(\; t\; )$

则

$x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}u{\left(t\right)}^2-v{\left(t\right)}^2\text{d}t}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{3}{\sum }}{x}_k{B}_k^3(\; t\; )}$

$y\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}2u\left(t\right)v\left(t\right)\text{d}t}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{3}{\sum }}{y}_k{B}_k^3(\; t\; )}$

得到满足PH曲线的控制顶点，

$\{\begin{array}{l}{P}_0=\left(x_0,y_0\right)\\ P_1=P_0+\frac{1}{2+m}\left(u_0^2-v_0^2,2u_0{v}_0\right)\\ P_2=P_0+\frac{1}{3}\left(u_0^2-v_2^2+u_0{u}_1-v_0{v}_1+\frac{m-1}{2+m}\left(u_1^2-v_1^2\right),2u_0{v}_0+u_0{v}_1+u_1{v}_0+\frac{2m-2}{2+m}{u}_1{v}_1\right)\\ P_3=P_0+\frac{1}{3}\left(u_0^2-v_0^2+u_0{u}_1-v_0{v}_1+\left(u_1^2-v_1^2\right),2u_0{v}_0+u_0{v}_1+u_1{v}_0+2u_1{v}_1\right)\end{array}$ (3)

其中 $P_0$ 任意选取，本文中取 $P_0=\left(0,0\right)$，取 $P_1-P_0=\left(1,0\right)$，故

$P^{\prime }\left(0\right)\left|\right|\left(1,0\right)$ (4)

将(3)式代入(2)式，计算得 $v_0=0$。由(3)式和(4)式经计算得

$\{\begin{array}{l}{P}_0=\left(0,0\right)\\ P_1=\left(\frac{1}{2+m}{u}_0^2,0\right)\\ P_2=\left(\frac{1}{3}{u}_0^2+\frac{1}{3}{u}_0{u}_1+\frac{m-1}{3\left(2+m\right)}\left(u_1^2-v_1^2\right),\frac{1}{3}{u}_0{v}_1+\frac{2m-2}{3\left(2+m\right)}{u}_1{v}_1\right)\\ P_3=\left(\frac{1}{3}{u}_0^2+\frac{1}{3}{u}_0{u}_1+\frac{1}{3}\left(u_1^2-v_1^2\right),\frac{1}{3}{u}_0{v}_1+\frac{2}{3}{u}_1{v}_1\right)\end{array}$ (5)

定理2.2如果m-Bézier曲线的控制多边形的边长及其两个顶角满足以下条件：

$\{\begin{array}{l}{L}_1=\frac{1}{2+m}\left(u_0^2+v_0^2\right)\\ L_2^2={\left(\frac{m-1}{2\left(2+m\right)}\right)}^2\left[\left(u_0^2+v_0^2\right)+\left(u_1^2+v_1^2\right)\right]+\frac{1}{9}\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_1^2+v_1^2\right)+2{\left(\frac{m-1}{2\left(2+m\right)}\right)}^2[{\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)}^2\\ -{\left(u_0{v}_1-u_1{v}_0\right)}^2]+\frac{2}{3}\left(\frac{m-1}{2\left(2+m\right)}\right)\left[\left(u_0^2+v_0^2+u_1^2+v_1^2\right)\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)\right]\\ L_3=\frac{1}{2+m}\left(u_1^2+v_1^2\right)\end{array}$ (6)

$\frac{\cos {\theta }_1}{\cos {\theta }_2}=\frac{\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}{\left(u_0^2+v_0^2\right)}^2\left(u_1^2+v_1^2\right)+F}{\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}\left(u_0^2+v_0^2\right){\left(u_1^2+v_1^2\right)}^2+G}$

$\begin{array}{c}F=\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}\left[{\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)}^2-{\left(u_1{v}_0-u_0{v}_1\right)}^2\right]\left(u_1^2+v_1^2\right)\\ -\frac{2}{3\left(2+m\right)}\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)\left(u_1^2+v_1^2\right)\\ G=\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}\left[{\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)}^2-{\left(u_1{v}_0-u_0{v}_1\right)}^2\right]\left(u_0^2+v_0^2\right)\\ -\frac{2}{3\left(2+m\right)}\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)\left(u_0^2+v_0^2\right)\end{array}$

其中 ${\left\{L_i=\left|P_{i-1}-P_i\right|\right\}}_{i=1}^3$ 为控制多边形的边长，此时m-Bézier曲线为PH曲线。其控制多边形如图所示：

证明：根据公式(3)中的坐标以及两点间距离公式我们可以得出控制多边形各边长为(6)式。

由余弦定理可得 $\cos {\theta }_1=\frac{L_1^2+L_2^2-L_{02}^2}{2L_1{L}_2}$， $\cos {\theta }_2=\frac{L_2^2+L_3^2-L_{13}^2}{2L_2{L}_3}$

$\frac{\cos {\theta }_1}{\cos {\theta }_2}=\frac{\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}{\left(u_0^2+v_0^2\right)}^2\left(u_1^2+v_1^2\right)+F}{\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}\left(u_0^2+v_0^2\right){\left(u_1^2+v_1^2\right)}^2+G}$

其中

$\begin{array}{l}F=\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}\left[{\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)}^2-{\left(u_1{v}_0-u_0{v}_1\right)}^2\right]\left(u_1^2+v_1^2\right)-\frac{2}{3\left(2+m\right)}\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)\left(u_1^2+v_1^2\right)\\ G=\frac{2\left(1-m\right)}{3{\left(2+m\right)}^2}\left[{\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)}^2-{\left(u_1{v}_0-u_0{v}_1\right)}^2\right]\left(u_0^2+v_0^2\right)-\frac{2}{3\left(2+m\right)}\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)\left(u_0^2+v_0^2\right)\end{array}$

由定理2.1得

当m = 0时， $\{\begin{array}{l}{L}_1=\frac{u_0^2+v_0^2}{3}\\ L_2^2=\frac{\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_1^2+v_1^2\right)}{9}\\ L_3=\frac{u_1^2+v_1^2}{3}\end{array}$，此时 $L_2^2=L_1{L}_3$ 显然成立。

根据(6)式控制多边形的边长长度满足的关系，由余弦定理可得

$\cos \angle P_0{P}_1{P}_2=\cos \angle P_1{P}_2{P}_3=\frac{-\left(u_0{u}_1+v_0{v}_1\right)}{\sqrt{\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_1^2+v_1^2\right)}}$

则可得

$\angle P_0{P}_1{P}_2=\angle P_1{P}_2{P}_3$ 或 $\angle P_0{P}_1{P}_2=\pi -\angle P_1{P}_2{P}_3$ 为进一步确定多边形两个夹角之间的关系，计算 $\sin \angle P_0{P}_1{P}_2,\sin \angle P_1{P}_2{P}_3$，即

$\begin{array}{l}\sin \angle P_0{P}_1{P}_2=\frac{\left(\Delta P_1\times \Delta P_0\right)\cdot z}{L_2{L}_1}\\ \sin \angle P_1{P}_2{P}_3=\frac{\left(\Delta P_2\times \Delta P_1\right)\cdot z}{L_3{L}_2}\end{array}$ (7)

其中z是单位向量，并与平面B(t)正交，则可得，

$\sin \angle P_0{P}_1{P}_2=\sin \angle P_1{P}_2{P}_3=\frac{u_1{v}_0-u_0{v}_1}{\sqrt{\left(u_0^2+v_0^2\right)\left(u_1^2+v_1^2\right)}}$，即 $\angle P_0{P}_1{P}_2=\angle P_1{P}_2{P}_3$

结合(7)式可知 $L_1=L_3,\frac{\cos {\theta }_1}{\cos {\theta }_2}=1,\cos {\theta }_1=\cos {\theta }_2$。

4. 构造三次带形状参数的PH过渡曲线

给定平面参数曲线方程 $P\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$，该参数曲线的切向量为 $P^{\prime }\left(t\right)=\left(x^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }\left(t\right)\right)$，曲线 $P\left(t\right)$ 的曲率为

$\kappa \left(t\right)=\left|P^{\prime }\left(t\right)\times P^{″}\left(t\right)\right|/{\left|P^{\prime }\left(t\right)\right|}^3$

其中

$P^{″}\left(t\right)=\left(x^{″}\left(t\right),y^{″}\left(t\right)\right)$ ；

$\left|P^{\prime }\left(t\right)\right|=\sqrt{{\left(x^{\prime }\left(t\right)\right)}^2+{\left(y^{\prime }\left(t\right)\right)}^2}$。

由(2)~(4)，可得：

$\{\begin{array}{l}\kappa \left(t\right)=\frac{2\left(u{v}^{\prime }-u^{\prime }v\right)}{{\left(u^2+v^2\right)}^2}\\ \kappa \left(0\right)=\frac{2\left(u_0{v}_1-u_1{v}_0\right)}{{\left(u_0^2+v_0^2\right)}^2}\\ \kappa \left(1\right)=\frac{2\left(u_0{v}_1-u_1{v}_0\right)}{{\left(u_1^2+v_1^2\right)}^2}\\ {\kappa }^{\prime }\left(t\right)=\left\{2\left[\left(u{v}^{″}-u^{″}v\right)\left(u^2+v^2\right)-4\left(u{v}^{\prime }-u^{\prime }v\right)\left(u{u}^{\prime }+v{v}^{\prime }\right)\right]\right\}/{\left(u^2+v^2\right)}^3\end{array}$ (8)

$\{\begin{array}{l}\kappa \left(0\right)=\frac{2u_0{v}_1}{u_0^4}\\ \kappa \left(1\right)=\frac{2u_0{v}_1}{{\left(u_1^2+v_1^2\right)}^2}\end{array}$ (9)

由(8)式可以得出 ${\kappa }_0$ 和 ${\kappa }_1$ 符号相同，所以在两圆不互相包含的情况下，过渡曲线是一个C型过渡曲线。

给定始末控制定点 $P_0$ 、 $P_3$，且 $P_0$ 的曲率圆心为 $C_0$，其曲率的半径为 $r_0$，由 $G^2$ 连续可得：

$\{\begin{array}{l}{P}_0=\left(0,0\right)\\ P^{\prime }\left(0\right)\left|\right|\left(1,0\right)\\ \left(\kappa \left(0\right),\kappa \left(1\right)\right)=\left(\frac{1}{r_0},\frac{1}{r_1}\right)\end{array}$

假设 $r_1>r_0$，若令：

$\lambda =\sqrt[4]{r_0/r_1}$ (10)

可得 $0<\lambda <1$。设控制多边形中 $P_1-P_0$ 与 $P_2-P_1$ 的夹角依次为 $\alpha$ 、 $\beta$，其中 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$， $0<\beta <\frac{\pi }{2}$，则

$v_1/u_1=\tan \frac{\alpha +\beta }{2}$

将(8)式和(9)式带入(6)式可得：

$\{\begin{array}{l}{u}_0=\sqrt{2}{r}_0^{\frac{3}{8}}{r}_1^{\frac{1}{8}}\sqrt{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}\\ u_1=\sqrt{2}{r}_0^{\frac{1}{8}}{r}_1^{\frac{3}{8}}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sqrt{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}\\ v_1=\sqrt{2}{r}_0^{\frac{1}{8}}{r}_1^{\frac{3}{8}}{\sin }^{\frac{3}{2}}\frac{\alpha +\beta }{2}\end{array}$

引理1 [3] (Kneser定理) Spiral上任何一点的曲率圆一定包含较小的曲率圆，并且一定被较大的曲率圆所包含。

由引理1可知，在两圆不相互包含的前提下，曲率内部必有极值点。为了使曲线尽可能光滑，要求曲线内部的极值点尽可能的少，本文假设所要构造的Ｃ型过渡曲线曲率有且仅有一个极值点。

下面讨论PH过渡曲线的存在性。

定理3.1 当两圆互不包含时，即当 $r>r_1-r_0$，若

$0<\cos \frac{\alpha +\beta }{2}<\lambda <1$

此时过渡曲线是一个Ｃ型过渡曲线。

证明 三次PH曲线导数为：

${\kappa }^{\prime }\left(t\right)=\frac{-8\left(u{v}^{\prime }-u^{\prime }v\right)\left(u{u}^{\prime }+v{v}^{\prime }\right)}{{\left(u^2+v^2\right)}^3}=\frac{-8f\left(t\right)}{{\left(u^2+v^2\right)}^3}$，其中

$\begin{array}{l}f\left(t\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{3}{\sum }}{f}_i\left(t\right)B_i^t\left(t\right);}\\ f_1=4r_0{r}_1^{3/4}{\sin }^3\frac{\alpha +\beta }{2}\left(r_1^{1/4}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}-r_0^{1/4}\right);\\ f_2=2r_0^{3/4}{r}_1^{3/4}{\sin }^3\frac{\alpha +\beta }{2}\left(r_1^{1/2}-r_0^{1/2}\right);\\ f_3=4r_0^{3/4}{r}_1{\sin }^3\frac{\alpha +\beta }{2}\left(r_1^{1/4}-r_0^{1/4}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\right)\end{array}$

当 $0<\cos \frac{\alpha +\beta }{2}<\lambda <1$ 时， $f_1<0,f_3>0$， $f\left(0\right)f\left(1\right)<0$，这时曲线有尽可能少的曲率极值点。所以

构造的过渡曲线是C型G²连续。

定理2 令端点曲率 ${\kappa }_0$， ${\kappa }_1$ 对应的曲率半径为 $r_0$， $r_1$， $\lambda =\sqrt[4]{r_0/r_1}$。如果

$0.5176<\lambda <1$ (11)

且

$r_1-r_0<r<m\left(\lambda \right)\left(r_1-r_0\right)$

其中 $m\left(\lambda \right)=\frac{\sqrt{9-8{\lambda }^2+14{\lambda }^4-8{\lambda }^6+9{\lambda }^8}}{3\left(1-{\lambda }^4\right)}$。

满足上述条件的三次PH过渡曲线是唯一的。

证明 给定曲线的两个端点 $P_0$ 、 $P_3$，三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆圆心和半径如图1所示。若圆心距为r，则有 $\left|C_1-C_0\right|=r$。

Figure 1. Coordinate system setting and end point curvature circle of cubic PH curve

图1. 三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆

由图1得： $C_0=\left(0,r_0\right)$， $C_1=\left(x_3-r_1\sin \left(\alpha +\beta \right),y_3+r_1\cos \left(\alpha +\beta \right)\right)$，则两圆之间的圆心距向量为 $C_1-C_0=\left(x_3-r_1\sin \left(\alpha +\beta \right),y_3+r_1\cos \left(\alpha +\beta \right)-r_0\right)$。

构造关于 $\frac{\alpha +\beta }{2}$ 的函数 $g\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)={\left|C_1-C_0\right|}^2-r^2$。令 $q=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}$，则 $0\le q<1$。将 $r_0={\lambda }^4{r}_1$ 带入 $g\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)$ 得到一个四次方程，它的变量是q，方程如下：

$\begin{array}{c}\tilde{g}\left(q\right)=-\frac{16}{9}{\lambda }^4{r}_1^2{q}^4+\frac{16}{9}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^2{q}^3+\frac{8}{9}{\lambda }^2\left(-1+{\lambda }^2\right)r_1^2{q}^2-\frac{16}{9}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^{2}q\\ +\frac{1}{9}\left[-9r^2+\left(9-8{\lambda }^2+14{\lambda }^4-8{\lambda }^6+9{\lambda }^8\right)r_1^2\right]\\ =0\end{array}$

由(10)式可得出结论， $0\le q=\cos \frac{\alpha +\beta }{2}<\lambda$。考虑方程 $\tilde{g}\left(q\right)=0$ 在开区间 $\left(0,\lambda \right)$ 内根的情况，根据函

数的零点存在性定理，方程 $\tilde{g}\left(q\right)=0$ 在区间 $\left(0,\lambda \right)$ 内可以有根的条件为 $\tilde{g}\left(0\right)\tilde{g}\left(\lambda \right)<0$。

$\begin{array}{c}\tilde{g}\left(0\right)=\frac{1}{9}\left[-9r^2+\left(9-8{\lambda }^2+14{\lambda }^4-8{\lambda }^6+9{\lambda }^8\right)r_1^2\right]\\ =\frac{9-8{\lambda }^2+14{\lambda }^4-8{\lambda }^6+9{\lambda }^8}{9{\left(1-{\lambda }^4\right)}^2}{\left(r_1-r_0\right)}^2-r^2\end{array}$，

$\begin{array}{c}\tilde{g}\left(\lambda \right)=\frac{1}{9}\left[-9{\lambda }^2+{\left(-1+{\lambda }^2\right)}^2\left(9+10{\lambda }^2+17{\lambda }^4\right)r_1^2\right]\\ =\frac{9+10{\lambda }^2+17{\lambda }^4}{9{\left(1+{\lambda }^2\right)}^2}{\left(r_1-r_0\right)}^2-r^2\end{array}$。

由 $0<\lambda <1$ 得： $0<\frac{\sqrt{9+10\lambda {}^2+17{\lambda }^4}}{3\left(1+{\lambda }^2\right)}<1$。因为 $r>r_1-r_0$，所以 $\tilde{g}\left(\lambda \right)<0$。由此得 $\tilde{g}\left(0\right)>0$。

由 $\tilde{g}\left(0\right)>0$ 得：

$\frac{\sqrt{9-8{\lambda }^2+14{\lambda }^4-8{\lambda }^6+9{\lambda }^8}}{3\left(1-{\lambda }^4\right)}\left(r_1-r_0\right)>r_0$

当 $0.5176<\lambda <1$ 时，上面所述的不等式成立。故当 $\left(r_1-r_0\right)<r<m\left(\lambda \right)\left(r_1-r_0\right)$ 时，有 $g\left(0\right)g\left(\lambda \right)<0$，此时方程 $\tilde{g}\left(q\right)=0$ 在 $\left(0,\lambda \right)$ 内一定有根。

上面已经讨论了方程 $\tilde{g}\left(q\right)=0$ 的根一定存在，下面讨论根的唯一性的。

由(11)式得：

${\tilde{g}}^{\prime }\left(q\right)=-\frac{16}{9}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^2+\frac{16}{9}{\lambda }^2{\left(-1+{\lambda }^2\right)}^2{r}_1^2{q}^2+\frac{16}{3}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^{2}q-\frac{64}{9}{\lambda }^4{r}_1^2{q}^3$，

且

${\tilde{g}}^{\prime }\left(0\right)=-\frac{16}{9}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^2<0,{\tilde{g}}^{\prime }\left(\lambda \right)=0$。

因为

$g^{″}\left(q\right)=\frac{16}{9}{\lambda }^2{\left(-1+{\lambda }^2\right)}^2{r}_1^2+\frac{32}{3}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^{2}q-\frac{64}{3}{\lambda }^4{r}_1^2{q}^2$，

$\begin{array}{c}\tilde{g}\left(q\right)=-\frac{16}{9}{\lambda }^4{r}_1^2{q}^4+\frac{16}{9}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^2{q}^3\\ +\frac{8}{9}{\lambda }^2\left(-1+{\lambda }^2\right)r_1^2{q}^2-\frac{16}{9}{\lambda }^3\left(1+{\lambda }^2\right)r_1^{2}q\\ +\frac{1}{9}\left[-9r^2+\left(9-9{\lambda }^2+14{\lambda }^4-8{\lambda }^6+9{\lambda }^8\right)r_1^2\right]\end{array}$

是一个二次函数其变量为q，并且该曲线的开口是向下的，

$\begin{array}{l}{\tilde{g}}^{″}\left(0\right)=\frac{16}{9}{\lambda }^2{\left(-1+{\lambda }^2\right)}^2{r}_1^2>0,\\ {\tilde{g}}^{″}\left(q\right)=\frac{16}{9}{\lambda }^2{r}_1^2\left(1-{\lambda }^4+4{\lambda }^2\left(1-{\lambda }^2\right)\right)>0\end{array}$

所以 ${\tilde{g}}^{\prime }\left(q\right)$ 是一个单调递增的函数。固 $\tilde{g}\left(q\right)=0$ 在开区间 $\left(0,\lambda \right)$ 内的根具有唯一性。

5. 数值例子

例1取 $m=1$，起始点 $P_0=\left(0,0\right)$，并选取 $r_0=1$，由定理2，可选 $r_1=1.5$，此时可设 $P_0$ 的曲率圆为 ${\Omega }_0$，它的圆心是 $\left(0,1\right)$，通过计算可得，所要构造的带参数的PH过渡曲线，其端点曲率圆的圆心距的取值区

间为 $\left(r_1-r_0\right)<r<3.3833\left(r_1-r_0\right)$。令 $r=3.3\left(r_1-r_0\right)$，得到结论 $\frac{\alpha +\beta }{2}=1.5448$，因此确定此带参数的三次

PH过渡曲线，如图2所示。

Figure 2. The cubic PH transition curve when $r_1=1.5$ (solid line part)

图2. $r_1=1.5$ 时的三次PH过渡曲线(实线部分)

例2令 $m=2$，起始点 $P_0=\left(0,0\right)$，并选取 $r_0=2$，由定理2，可选 $r_1=1.5$，此时可设 $P_0$ 的曲率圆为 ${\Omega }_0$，它的圆心是 $\left(0,1\right)$，通过计算可得，所要构造的带参数的PH过渡曲线，其端点曲率圆的圆心距的取值区

间为 $\left(r_1-r_0\right)<r<3.3833\left(r_1-r_0\right)$。令 $r=3.3\left(r_1-r_0\right)$，得到结论 $\frac{\alpha +\beta }{2}=1.5448$，因此确定此带参数的三次

PH过渡曲线，如图3所示。

Figure 3. The cubic PH transition curve when m = 2 (solid line part)

图3. 当m = 2时的三次PH过渡曲线(实线部分)

Figure 4. The cubic PH transition curve when m = 3 (solid line part)

图4. 当m = 3时的三次PH过渡曲线(实线部分)

例3令 $m=3$，起始点 $P_0=\left(0,0\right)$，并选取 $r_0=1$，由定理2，可选 $r_1=1.5$，此时可设 $P_0$ 的曲率圆为 ${\Omega }_0$，它的圆心是 $\left(0,1\right)$，通过计算可得，所要构造的带参数PH过渡曲线，其端点曲率圆的圆心距的取值区间

为 $\left(r_1-r_0\right)<r<3.3833\left(r_1-r_0\right)$。令 $r=3.3\left(r_1-r_0\right)$，得到结论 $\frac{\alpha +\beta }{2}=1.5448$，因此确定此带参数的三次

PH过渡曲线，如图4所示。

参考文献