Morrey空间到Bloch空间上Vloterra型算子的有界性

The Boundedness of Vloterra-Type Operator from Morrey Space to Bloch Space

摘要: 近年来Volterra型算子的有界性吸引了很多学者的兴趣，在这篇文章中，我们主要刻画了Vloterra型算子 J_g和积分算子I_g从Morrey空间L^2,λ(D)到Bloch空间B上的有界性，其中0 < λ < 1。除此之外，我们还研究了算子J_g和算子I_g从Q_p空间到Bloch空间B上的有界性。以上研究，进一步完善了Volterra型算子的性质。

Abstract: In recent years, the boundedness of Volterra-type operator has attracted many scholars’interests. In this paper, we characterize the boundedness of the Volterra-type operator J_g and integral operator I_g from Morrey space L^2,λ(D) to Bloch space B, where 0 < λ < 1. In addition, we also investigate the boundedness of operator J_g and operator I_g from Q_p space to Bloch space B. The above studies have further improved the properties of Volterra-type operator.

1. 引言

Vloterra型算子 $J_g$ 和积分算子 $I_g$ 很早就引起了众多学者的研究，其中，学者Pommerenke第一次研究了在Hardy空间上的算子 $J_g$ [1]。此后，众多学者研究了在Hardy空间和Bergman空间上的算子 $J_g$ [2] [3] [4]。

学者Siskakis和Zhao又研究了在BMOA上的算子 $J_g$ [5]，其中BMOA空间是由有界平均振动的解析函数构成。在文献 [6] 中，学者Xiao研究了 $Q_p$ 空间上的算子 $J_g$ 和算子 $I_g$。在文献 [7] 中，我们可以发现此文章研究了在Fock空间上关于算子 $J_g$ 的有界性和紧性。作者Wu研究了从Hardy空间到解析Morrey空间的算子J_g [8]。在文献 [9] 中，作者详细描绘了在解析Morrey空间上积分算子的相关性质，此空间正是我们文章中所研究的。本文主要研究Morrey空间 $L^{2,\lambda }\left(D\right)$ 、Bloch空间B和 $Q_p$ 空间，读者可以阅读参考文献 [10] [11] [12] [13] 详细了解以上空间。

本文主要刻画了Vloterra型算子 $J_g$ 和积分算子 $I_g$ 从Morrey空间 $L^{2,\lambda }\left(D\right)$ 到Bloch空间B，其中 $0<\lambda <1$，以及从 $Q_p$ 空间到Bloch空间B上的有界性。为此，我们先给出一些相关定义以及证明中需要用到的相关引理。此外，本文在证明中的C和 $C^{\prime }$ 均为常数且： $0<C,C^{\prime }<\infty$。

2. 定义

令 $D=\left\{z:\left|z\right|<1\right\}$ 是复平面上的单位开圆盘以及 $\partial D=\left\{z:\left|z\right|=1\right\}$。 $H\left(D\right)$ 是由D上所有解析函数组成的一个空间，而空间 $H^{\infty }\left(D\right)$ 是D上所有有界的解析函数所组成的。此外，对于Hardy空间 $H^2\left(D\right)$ 的相关定义和性质，读者可以阅读参考专著 [10]。

定义1.1 [9] 令 $0<\lambda \le 1$，Morrey空间 $L^{2,\lambda }\left(D\right)$ 是由Hardy空间 $H^2\left(D\right)$ 上的f组成并满足：

$\underset{I\in \partial D}{\sup }{\left(\frac{1}{{\left|I\right|}^{\lambda }}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(\varsigma \right)-f_I\right|}^2\frac{\left|\text{d}\varsigma \right|}{2\pi }}\right)}^{\frac{1}{2}}<\infty$，

其中弧 $I\subset \partial D$ 并且 $\left|I\right|=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_I\left|\text{d}\left(\varsigma \right)\right|}$ 是I的标准长度。

定义1.2 [10] Bloch空间B是由 $f\in H\left(D\right)$ 并满足： $\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty$ 组成的一个空间，范数定义如下：

${\Vert f\Vert }_B=\left|f\left(0\right)\right|+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty$。

定义1.3 对于 $0<p<\infty$， $Q_p$ 空间由 $f\in H\left(D\right)$ 并满足：

${\Vert f\Vert }_{Q_p}=\left|f\left(0\right)\right|+\underset{a\in D}{\sup }{\left[{\displaystyle {\int }_D\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)\right]}^{\frac{1}{2}}<\infty$

所组成的，其中 $a\in D$ 以及 ${\sigma }_a\left(z\right)=\frac{a-z}{1-\bar{a}z}$。

定义1.4 令 $g\in H\left(D\right)$，对于 $f\in H\left(D\right)$，Volterra型算子 $J_g$ 定义如下：

$J_{g}f\left(z\right)={\displaystyle {\int }_0^{z}f\left(\varsigma \right)g^{\prime }\left(\varsigma \right)\text{d}\varsigma }$， $z\in D$。

另一个内积算子 $I_g$ 定义如下：

$I_{g}f\left(z\right)={\displaystyle {\int }_0^z{f}^{\prime }\left(\varsigma \right)g\left(\varsigma \right)\text{d}\varsigma }$， $z\in D$。

3. 引理

引理2.1 [9] 令 $0<\lambda <1$，如果 $f\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$，则存在一个常数 $C>0$ 使得：

$\left|f\left(z\right)\right|\le C\frac{{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{1-\lambda }{2}}}$。

引理2.2 令 $0<\lambda <1$，如果 $f\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$，则存在一个常数 $C>0$ 使得：

$\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\le C\frac{{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}}{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{3-\lambda }{2}}}$。

引理2.3 [9] 假设 $s>-1$ 、 $r>0$ 和 $t>0$。如果 $t<s+2<r$，则存在一个常数 $C>0$ 使得：

${\displaystyle {\int }_D\frac{{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^s}{{\left|1-\bar{b}z\right|}^r{\left|1-\bar{a}z\right|}^t}\text{d}A\left(z\right)}\le C\frac{1}{{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{r-s-2}{\left|1-\bar{a}b\right|}^t}$，

其中 $a\in D$， $b\in D$。

引理2.4 [9] 假设 $0<\lambda <1$ 以及 $f\in H\left(D\right)$，则下列条件等价：

(1) $f\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$ ；

(2) $\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_D{\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}<\infty$，

其中 ${\sigma }_a\left(z\right)=\frac{a-z}{1-\bar{a}z}$。

引理2.5 令 $0<p<\infty$，如果 $f\in Q_p$，则存在一个常数 $C>0$ 使得：

$\left|f\left(z\right)\right|\le C\log \frac{2}{1-{\left|z\right|}^2}{\Vert f\Vert }_{Q_p}$，

以及

$\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\le C\frac{1}{1-{\left|z\right|}^2}{\Vert f\Vert }_{Q_p}$。

4. 主要结论

定理3.1 令 $0<\lambda <1$ 以及 $g\in H\left(D\right)$，则有 $J_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 有界当且仅当 $\underset{z\in D}{\sup }\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty$。

证明必要性：证明当 $\underset{z\in D}{\sup }\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty$ 时， $J_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 是有界的。

对任意 $f\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$，我们有：

${\Vert J_{g}f\Vert }_{{\rm B}}=\left|J_{g}f\left(0\right)\right|+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|J_g{f}^{\prime }\left(z\right)\right|=0+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$，

因此，我们只需要考虑 $\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$ 这一项，在此之前，我们先考虑 $\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$。根据引理1，我们可以得到：

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le C\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\frac{{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}}{{(1-{\left|z\right|}^2)}^{\frac{1-\lambda }{2}}}\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|=C{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{1+\lambda }{2}}{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$，

因为 $0<\lambda <1$，所以 ${\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{1+\lambda }{2}}$ 有界，又有 $\underset{z\in D}{\sup }\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty$，所以我们有

$\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}$，

即 $J_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 是有界的。

充分性：证明当 $J_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 有界时， $\underset{z\in D}{\sup }\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|<\infty$。

令 $f_b\left(z\right)=\left(1-{\left|b\right|}^2\right){\left(1-\bar{b}z\right)}^{\frac{\lambda -2}{2}}$，其中 $b\in D$ 是固定的，则有 ${f^{\prime }}_b\left(z\right)=\frac{\lambda -2}{2}\left(-\bar{b}\right)\left(1-{\left|b\right|}^2\right){\left(1-\bar{b}z\right)}^{\frac{\lambda -4}{2}}$，所以，根据引理3我们可以得到：

$\begin{array}{l}\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_D{\left|{f^{\prime }}_b\left(z\right)\right|}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ =\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_D\frac{{\left(\lambda -2\right)}^2}{4}{\left|\bar{b}\right|}^2{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^2}\frac{1}{{\left|1-\bar{b}z\right|}^{4-\lambda }}\frac{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}{{\left|1-\bar{a}z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)\\ \le C\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{2-\lambda }{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^2{\displaystyle {\int }_D\frac{1-{\left|z\right|}^2}{{\left|1-\bar{b}z\right|}^{4-\lambda }{\left|1-\bar{a}z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)}\\ \le C\underset{a\in D}{\sup }\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{2-\lambda }{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^2}{{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\left|1-\bar{a}b\right|}^2}=C\underset{a\in D}{\sup }\frac{\left(1-{\left|a\right|}^2\right){\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{1+\lambda }}{{\left|1-\bar{a}b\right|}^2}<\infty \end{array}$

所以，根据引理4可知， $f_b\left(z\right)\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$，又因为 $J_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 是有界的，所以有

$\begin{array}{c}C{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}\ge \underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\\ \ge \left(1-{\left|b\right|}^2\right)\left(1-{\left|b\right|}^2\right){\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -2}{2}}\left|g^{\prime }\left(b\right)\right|\\ ={\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda +2}{2}}\left|g^{\prime }\left(b\right)\right|\\ \ge C^{\prime }\left|g^{\prime }\left(b\right)\right|\end{array}$

因此对任意 $b\in D$，都有

$\underset{z\in D}{\sup }\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{L^{,\lambda }}<\infty$。

综上，证明完成。

定理3.2 令 $0<\lambda <1$ 以及 $g\in H\left(D\right)$，则有 $I_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 有界当且仅当 $\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}\left|g\left(z\right)\right|<\infty$。

证明必要性：证明当 $\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}\left|g\left(z\right)\right|<\infty$ 时， $I_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 是有界的。

对任意 $f\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$，我们有

${\Vert I_{g}f\Vert }_{{\rm B}}=\left|I_{g}f\left(0\right)\right|+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|I_g{f}^{\prime }\left(z\right)\right|=0+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|$

因此，我们只需要考虑 $\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|$ 这一项，在此之前，我们先考虑 $\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|$。根据引理2我们有：

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|\le C\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\frac{{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}}{{(1-{\left|z\right|}^2)}^{\frac{3-\lambda }{2}}}\left|g\left(z\right)\right|=C{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}\left|g\left(z\right)\right|$

因为 $\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}\left|g\left(z\right)\right|<\infty$，所以我们有

$\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}$，

即 $I_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 是有界的。

充分性：证明当 $I_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 有界时， $\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}\left|g\left(z\right)\right|<\infty$。

令 $f_b\left(z\right)=\left(1-{\left|b\right|}^2\right){\left(1-\bar{b}z\right)}^{\frac{\lambda -3}{2}}$，其中 $b\in D$ 是固定的，则有 ${f^{\prime }}_b\left(z\right)=\frac{\lambda -3}{2}\left(-\bar{b}\right)\left(1-{\left|b\right|}^2\right){\left(1-\bar{b}z\right)}^{\frac{\lambda -5}{2}}$，所以根据引理3我们可以得到：

$\begin{array}{l}\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_D{\left|{f^{\prime }}_b\left(z\right)\right|}^2\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)\text{d}A\left(z\right)}\\ =\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{1-\lambda }{\displaystyle {\int }_D\frac{{\left(\lambda -3\right)}^2}{4}{\left|\bar{b}\right|}^2{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^2}\frac{1}{{\left|1-\bar{b}z\right|}^{5-\lambda }}\frac{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}{{\left|1-\bar{a}z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)\\ \le C\underset{a\in D}{\sup }{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{2-\lambda }{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^2{\displaystyle {\int }_D\frac{1-{\left|z\right|}^2}{{\left|1-\bar{b}z\right|}^{5-\lambda }{\left|1-\bar{a}z\right|}^2}\text{d}A\left(z\right)}\\ \le C\underset{a\in D}{\sup }\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{2-\lambda }{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^2}{{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{2-\lambda }{\left|1-\bar{a}b\right|}^2}=C\underset{a\in D}{\sup }\frac{\left(1-{\left|a\right|}^2\right){\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{\lambda }}{{\left|1-\bar{a}b\right|}^2}<\infty \end{array}$

由此，根据引理4可知， $f_b\left(z\right)\in L^{2,\lambda }\left(D\right)$，又因为 $J_g:L^{2,\lambda }\left(D\right)\to {\rm B}$ 是有界的，所以有：

$\begin{array}{c}C{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}\ge \underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|\\ \ge C^{\prime }\left(1-{\left|b\right|}^2\right)\left(1-{\left|b\right|}^2\right){\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -5}{2}}\left|g^{\prime }\left(b\right)\right|\\ =C^{\prime }{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}\left|g\left(b\right)\right|\end{array}$

所以对任意 $b\in D$，都有

$\underset{z\in D}{\sup }{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^{\frac{\lambda -1}{2}}\left|g\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{L^{2,\lambda }}<\infty$。

综上，证明完成。

定理3.3 令 $0<p<2$ 以及 $g\in H\left(D\right)$，则有 $I_g:Q_p\to {\rm B}$ 有界当且仅当 $g\left(z\right)\in H^{\infty }\left(D\right)$。

证明必要性：证明当 $g\left(z\right)\in H^{\infty }\left(D\right)$ 时， $I_g:Q_p\to {\rm B}$ 是有界的。

对任意 $f\in Q_p$，我们有：

${\Vert I_{g}f\Vert }_{{\rm B}}=\left|I_{g}f\left(0\right)\right|+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|I_g{f}^{\prime }\left(z\right)\right|=0+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|$，

因此，我们只需要考虑 $\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|$ 这一项，在此之前，我们先考虑 $\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|$。根据引理5我们可以得到：

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|\le C\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\frac{{\Vert f\Vert }_{Q_p}}{1-{\left|z\right|}^2}\left|g\left(z\right)\right|=C{\Vert f\Vert }_{Q_p}\left|g\left(z\right)\right|$，

因为 $g\left(z\right)\in H^{\infty }\left(D\right)$，所以我们有：

$\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{Q_p}$，

即 $I_g:Q_p\to {\rm B}$ 是有界的。

充分性：证明当 $I_g:Q_p\to {\rm B}$ 有界时， $g\left(z\right)\in H^{\infty }\left(D\right)$。

令 $f_b\left(z\right)={\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^5{\left(1-\bar{b}z\right)}^{-\left(p+2\right)}$，其中 $b\in D$ 是固定的，则有 ${f^{\prime }}_b\left(z\right)=\left(p+2\right)\bar{b}{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^5{\left(1-\bar{b}z\right)}^{-\left(p+3\right)}$，所以根据引理3我们可以得到：

$\begin{array}{c}{\Vert f_b\Vert }_{Q_p}=\left|f_b\left(0\right)\right|+\underset{a\in D}{\sup }{\left[{\displaystyle {\int }_D{\left|{f^{\prime }}_b\left(z\right)\right|}^2{\left(1-{\left|{\sigma }_a\left(z\right)\right|}^2\right)}^p\text{d}A\left(z\right)}\right]}^{\frac{1}{2}}\\ ={\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^5+\underset{a\in D}{\sup }{\left[{\displaystyle {\int }_D{\left(p+2\right)}^2}{\left|\bar{b}\right|}^2{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{10}\frac{1}{{\left|1-\bar{b}z\right|}^{2p+6}}\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^p{\left(1-{\left|z\right|}^2\right)}^p}{{\left|1-\bar{a}z\right|}^{2p}}\text{d}A\left(z\right)\right]}^{\frac{1}{2}}\\ \le 1+C\underset{a\in D}{\sup }{\left[\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^p{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{10}}{{\left|1-{\left|b\right|}^2\right|}^{p+4}{\left|1-\bar{a}b\right|}^{2p}}\right]}^{\frac{1}{2}}=1+C\underset{a\in D}{\sup }\frac{{\left(1-{\left|a\right|}^2\right)}^{\frac{p}{2}}{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{\frac{6-p}{2}}}{{\left|1-\bar{a}b\right|}^p}<\infty \end{array}$

由此定义可知， $f_b\left(z\right)\in Q_P$，又因为 $I_g:Q_p\to {\rm B}$ 是有界的，所以有

$\begin{array}{c}C{\Vert f\Vert }_{Q_p}\ge \underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f^{\prime }\left(z\right)\right|\left|g\left(z\right)\right|\\ \ge \left(1-{\left|b\right|}^2\right)\left(p+2\right)\left|\bar{b}\right|{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^5{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{-\left(p+3\right)}\left|g\left(b\right)\right|\\ \ge C^{\prime }{\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{3-p}\left|g\left(b\right)\right|\end{array}$

因为 $0<p<2$，所以 ${\left(1-{\left|b\right|}^2\right)}^{3-p}$ 有界，显然对任意 $b\in D$，都有：

$\underset{z\in D}{\sup }\left|g\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{Q_P}<\infty$，

即 $g\left(z\right)\in H^{\infty }\left(D\right)$。

综上，证明完成。

定理3.4 令 $0<p<2$ 以及 $g\in H\left(D\right)$，则当 $\underset{z\in D}{\sup }\log \frac{2}{1-{\left|z\right|}^2}\left|g\left(z\right)\right|<\infty$ 时， $J_g:Q_p\to {\rm B}$ 有界。

证明：对任意 $f\in Q_p$，我们有：

${\Vert J_{g}f\Vert }_{{\rm B}}=\left|J_{g}f\left(0\right)\right|+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|J_g{f}^{\prime }\left(z\right)\right|=0+\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$

因此，我们只需要考虑 $\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$ 这一项，在此之前，我们先考虑 $\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|$。根据引理5可得：

$\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le C\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\log \frac{2}{1-{\left|z\right|}^2}{\Vert f\Vert }_{Q_p}\left|g\left(z\right)\right|$

因为 $\underset{z\in D}{\sup }\log \frac{2}{1-{\left|z\right|}^2}\left|g\left(z\right)\right|<\infty$，所以我们有

$\underset{z\in D}{\sup }\left(1-{\left|z\right|}^2\right)\left|f\left(z\right)\right|\left|g^{\prime }\left(z\right)\right|\le C{\Vert f\Vert }_{Q_p}$，

即 $J_g:Q_p\to {\rm B}$ 是有界的。