GM(1,1)模型在桥梁沉降监测中的应用

Application of GM(1,1) Model in Bridge Settlement Monitoring

摘要: 针对建筑物安全建设运营过程中存在的稳定性欠佳问题，文章以大良洼特大桥为例，利用GM(1,1)模型分析现有水准数据，对其沉降速率进行建模并开展预测分析，并将预测结果与真实值进行比较。最终在灰色模型拟合的强大功能下，通过实验发现残差值基本处于千分之毫米，在桥梁施工监测预测中取得了较好的效果，能够较好地反应该桥梁后期沉降趋势。因此预估，如采用以沉降速率为参量的GM(1,1)模型进行预报分析，在其他实验区有可能有预警作用或潜在影响。

Abstract: In view of the settlement problems existing in the process of building safety construction and operation, this paper takes Daliangwa Extra-Large Bridge as an example, uses GM(1,1) model to analyze the existing leveling data, models and predicts its settlement rate, and compares the predicted results with the real values. Finally, under the powerful function of gray model fitting, it was found that the residual value was basically in thousandths of a millimeter through experiments, which achieved a good effect in bridge construction monitoring and could well reflect the settlement trend of the bridge in the later period. Therefore, GM(1,1) model with rates parameter is recommended for forecasting analysis.

1. 引言

预应力混凝土桥梁作为交通枢纽的重要一环，良好的抗扰动能力以及刚性的应力结构，带来了整体性能尚佳，伸缩比稳定等优点 [1] [2] [3] [4]。但是高速铁路特大桥的架设过程中往往伴随着一系列的梁体沉陷问题。因此桥梁的施工过程需要持续不断地监控，这主要是为了实现以下目的：第一：桥梁的几何形态需满足图纸要求；第二：桥梁的应力状态符合设计要求；第三：保证在施工的过程中桥梁的各项指标能够被实时分析处理，从而保证作业安全 [5]。

2. 实验背景

为保障广大群众的人生安全，对于梁体必须长期做好监测工作，及时准确分析变形规律。国内外对于梁体沉陷研究模型的研究在不断地前行: 单一预测模型的应用方面来说，国内的夏文龙学者在研究中介绍了可以通过了灰色预测模型来完成，在路基沉降和梁体大型桩基的沉降变形等方面该学者做出了较为理想的预测结果 [6]；王正新 [7] 教授则引入了一种加权的修正双曲线法，在对灰色模型理论的应用过程中得到了很好的优化。另在组合预测模型的应用上，大量的自我完善案例表明：组合预测模型要远好于单一预测模型 [8] [9] [10] [11] [12]，比如有学者将MNN (Manual Neural Networks)组合模型与ARIMA (Auto-Regressive Moving Average Model)结合起来，就取得了良好的效果。

目前已有一些较为成熟的预测模型可以应用在一线工作中，这些模型的主要特点是不只局限于单一模型，而是多模型融合贯通，通过模型之间的优势互补，提高了模型的容错能力 [13] [14] [15] [16]。依据目前水平来看，在某些桥梁标高预测的实例中GM(1,1)模型应用的最为广泛，但是在大量的案例数据中发现GM(1,1)模型实际上是存在一定的病态性 [17] [18] [19] [20] [21]，对该模型还需加以修正。近几年，随之而来的则是一种新的拟合方法——累积法。这一方法的出现，让人们将其运用在广大灰色理论的参数预测或估算过程中，逐步形成了一套有前景的方法体系 [22] - [30]，通过这一技术在很大程度增加了GM(1,1)的舒展性，可以部分解决了传统模型在大量样本数据下的病态问题。

国内外学者在近些年来先后提出超过三十种变形预测预报的算法和模型，这些算法和模型大致可分为5类：1) 确定性预报模型，如斋藤模型 [31]；2) 统计预报模型，其代表性的模型有灰色GM(1,1)模型、Verhulst [32] 模型等；3) 非线性预报模型，其代表的有突变理论模型 [33]、协同预报模型 [34] 等；4) 宏观预测模型 [35]，其是根据当地地质因素建立相适应的模型；5) 空间预报模型 [36]。基于上述分析，本文以灰色系统理论为基础，建立以速率为参量的GM(1,1)预报模型。结合大良洼特大桥的监测数据进行实例分析，验证了有效性。

3. 灰色模型GM(1,1)理论研究

早在20世纪80年代，邓聚龙学者就将灰色系统理论首次提出来，目前已被广泛应用到众多领域中。主要被应用于解决某些数学模型中的不确定性问题，相对于那些不具有已知数据量和辅助条件较多的劣势情况下表现出了极强的适应力，在工业、建筑、金融等领域，灰色模型得到了广阔的舞台。该模型的特点可简述为以下四方面：

1) 在样本数据少欠佳的情况下可以很好的发挥作用；

2) 系统分析过程中对于新信息展现出了更好的处理能力；

3) 通过文字描述和数学分析可以对处理结果实现随时可视分析；

4) 整个过程是动态的，是一个边分析边调整、优化的迭代过程，并利用模型随时更新的数据信息再次迭代分析。

GM(1,1)模型即为对某一数据序列用累加的方式生成一组趋势明显的新数据序列，按照新的数据序列的长趋势建立模型进行预测，然后再用累减的方法进行逆向计算，恢复原始数据序列，进而得到预测结果。原理如下，设一组原始数据为：

$x^0=\left(x^0\left(1\right),x^0\left(2\right),x^0\left(3\right),\cdots ,x^0\left(n\right)\right)$ (1)

n为数据个数。对 $x^0$ 累加以便弱化随机序列的波动性和随机性，得到新的数列为：

(2)

其中

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{x}^{\left(0\right)}\left(i\right);k=1,2,\cdots ,n}$ (3)

根据(2)生成 $x^{\left(1\right)}$ 的邻均值等权数列：

$z^1=\left(z^1\left(2\right),z^1\left(3\right),\cdots ,z^1\left(k\right)\right),k=2,3,\cdots ,n$ (4)

又因为

$z^{\left(1\right)}=0.5x^{\left(1\right)}\left(k-1\right)+0.5x^{\left(1\right)}\left(k\right),k=2,3,\cdots ,n$ (5)

即可建立GM(1,1)的灰色微分方程：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(1\right)}\left(k\right)=b$ (6)

$a,u$ 设为待解系数，分别称为发展系数和灰色作用量，设 $\hat{a}$ 为待估参数向量，即 $\hat{a}={\left(a,b\right)}^{\text{T}}$，则灰度微分方程最小二乘估计参数满足

${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)={\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left[x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right]\left(1-{\text{e}}^a\right){\text{e}}^{-ak},k=1,2,\cdots ,n-1$ (7)

带入矩阵

$B=\left[\begin{array}{cc}-Z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -Z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -Z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right],Y_n=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ x^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ ⋮\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\right]$ (8)

再建立灰色微分方程的白化方程

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}}{\text{d}t}+a{x}^{\left(1\right)}=b$ (9)

白化方程的解为

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(t\right)=\left({\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-at}+\frac{b}{a}$ (10)

那么对应的GM(1,1)灰色微分方程的响应时间序列为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left({\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(0\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-at}+\frac{b}{a}$ (11)

在此假设取 $x^{\left(1\right)}\left(0\right)=x^{\left(0\right)}\left(1\right)$，则

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left[{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right]{\text{e}}^{-at}+\frac{b}{a},k=1,2,\cdots ,n-1$ (12)

再做累减还原可得

${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)={\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left[x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right]\left(1-{\text{e}}^a\right){\text{e}}^{-ak},k=1,2,\cdots ,n-1$ (13)

4. 研究区概况

大良洼特大桥位于宁夏、甘肃交界处的甜水堡镇，整体长度约2 km，属于银西高铁甘宁段，跨越黄土高原，是我国“八纵八横”高速铁路网一纵的重要环组，该特大桥的剖面示意图详见图1。地理位置处于黄土高原中心区，中国第二级阶梯。由黄土塬、川、沟壑、山、梁等地貌组成，下垫情况复杂。地处半干旱半湿润地区，年降水量约为110 mm至860 mm，年均蒸发量约720 mm至1420 mm，干燥指数10至15，夏季温暖，盛行东南风，雨热同期。干旱、冰雹、局地大暴雨等重大气象灾害及由此引发的山洪和泥石流等自然灾害时有发生，由于特殊的地质构造和地形地貌，水土流失严重，情况不容乐观。

Figure 1. Section diagram of Daliangwa Super Major Bridge

图1. 大良洼特大桥剖面示意图

5. 工程实例

大型以及特大型桥梁的动态监测。所获取的是梁体的三维信息，测站点坐标的变化反映两次测期梁体的稳定程度，由于存在不可抗力影响，这些数据的数值往往处于不可预估的状态，监测点的噪声多数为白噪声。

本文选取西北地区大良洼特大桥的沉降观测数据作为研究对象，在梁体外设立永久基准点，定期控制联测。根据要求在梁面挠度的监测中，在中央隔离带两侧按每孔跨中、L/4、支点等位置均布设超过五个点位，测点固定在底板。本次实例采用徕卡LS15精密电子水准仪进行，现场作业时，从一侧永久基准点出发，联测所有监测点位，跨桥到达另一基准点，数据采集按规范作业，为确保数据安全，人工和仪器同时记录，平差后生成监测报表和变形趋势图。监测周期为12个月共28期数据，利用Python语言进行预测模型的建立，建立灰色GM(1,1)模型，利用前六期形变速率数据进行预测后期形变速率，单位为毫米/次(mm/t)，进而与真实观测值进行对比。平差后生成的监测报表可见表1，对生成的监测报表制作出真实值和预测值的趋势图可见图2，真实值和预测值的残差值见图3。以观测对象的数据与模型预测结果进行比较分析，真值与预测值如表1所示。

Table 1. Real observed values and GM(1,1) predicted values

表1. 真实观测值与GM(1,1)预测值

Figure 2. Comparison of predict value with real value

图2. 预测值与真实值对比

Figure 3. Residual value distribution of each stage

图3. 各期残差值分布

通过大良洼特大桥监测结果表1和趋势图2得知，梁体的变形随时间位移而下降，GM(1,1)模型的预测结果也随之收敛，在桥梁监控标高预测的应用中具有良好的精度，图3也显示残差值最大处出现在第12期数据出，为−0.023 mm/t，次峰出现在第6期，为−0.022 mm/t，预测初始时残差较大处除外，其余残差均保持在千分之单位。能够实现很好的拟合，平滑性足够好，说明了灰色模型在预测梁体沉降的试验中是行之有效的。

6. 结束语

本文利用灰色GM(1,1)模型，利用Python语言编程，对大良洼特大桥进行沉降速率的预测。以29个周期的数据为基础，通过对预测值与真实值进行对比分析，得出了：

1) 梁体纵轴方向变形随时间而收敛；

2) GM(1,1)模型与实际监测结果误差处于千分之单位，验证了有效性。

使用该模型使得预测模型的病态性得到了很好的解决，具有独特的优势。预测结果符合实际规律，对于沉降监测的预测具有积极的意义，可以给其他区域提供良好的范例。

基金项目

贵州省科学技术基础研究计划项目“基于GPS的地壳弹塑性形变反演模型研究”(编号：黔科[2017]1054)；国家自然科学基金项目“基于地表拓扑特征的无控制点矿山变形监测与预警”(编号：41701464)；贵州大学研究生创新基地建设项目“测绘科学与技术研究生创新实践基地建设项目”(编号：贵大研CXJD[2014]002)。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。