一类传递置换群的极小基

Minimal Bases of a Class of Transitive Permutation Groups

摘要: 群G作用在有限集合Ω上，Δ⊆Ω，G_(Δ)={x∈G|δ^x=δ,∀δ∈Δ}称为G在Δ上的逐点稳定子。若G_(Δ)=1，则称Δ为G群的基。若Σ⊆Ω是使得G_(Σ)=1成立的最小集合，则称Σ为群G的极小基。本文计算出对称群S_d与S_r的圈积S_dwrS_r以及它的子群D_2rwrS_r，Z_rwrS_r在某种非本原作用下的极小基。

Abstract: A group G acting on a finite set Ω, Δ⊆Ω, G_(Δ)={x∈G|δ^x=δ,∀δ∈Δ} is called a pointwise stabilizer on G. If G_(Δ)=1, Δ is called the basis of group G. If Σ⊆Ω is the smallest set that makes G_(Σ)=1 true, then Σ is called the minimal basis of group G. In this paper, the wreath product S_dwrS_r of symmetric groups S_d and S_r, the minimal basis of its subgroups D_2rwrS_r and Z_rwrS_r under some imprimitive action are calculated.

1. 引言

基是研究向量空间和线性变换的一个非常重要和有用的工具。尤其在线性变换中，每一个线性变换完全取决于它在基上的作用。类似的，在研究置换群的过程中，基也是有用的工具。设G作用在集合 $\Omega$ 上， $\Omega$ 的子集 $\Sigma$ 被称为G的基，若满足 $G_{\left(\Sigma \right)}=1$ ；换句话说，在群G中有且仅有单位元能稳定 $\Sigma$ 中的所有元素。在Dixon的经典著作 [1] 中给出了基的一些相关命题。

有限本原群的研究已经有了一些成果，具体参见Cameron (1981) [2] 和Praeger (1990) [3]。对于极小基的研究，Burness在 [4] 中给出了点稳定子属于S-collection的有限典型群的base sizes，他对有限散在单群的base sizes也进行了讨论，具体参考 [5]。Fawcett，Praeger在 [6] 中给出了非本原线性群的base sizes。在 [7] 中，Libeck对本原置换群的base sizes进行讨论。而本文主要利用圈积构造一些传递置换群，确定它们在某种非本原作用下的极小基和base sizes。

2. 预备知识

本节主要给出一些本文中要用到的基本概念及结果。

定义2.1 [1] 非空集合 $\Omega$ 到自身的一个双射，称为 $\Omega$ 的一个置换。 $\Omega$ 中全体置换构成的群，称为 $\Omega$ 上的对称群，记作 $sym\left(\Omega \right)$。

定义2.2 [1] 设 $\Omega$ 是一个非空集合，其中的元素称为一个点，群G在 $\Omega$ 上的一个作用是指G到 $sym\left(\Omega \right)$ 上的一个同态，即：

1) ${\alpha }^1=\alpha$， $\forall \alpha \in \Omega$，其中1代表G中的单位元；

2) ${\left({\alpha }^x\right)}^y={\alpha }^{xy}$， $\forall \alpha \in \Omega$， $\forall x,y\in G$。

定义2.3 [8] 设 $N,F$ 为两个抽象群。 $\sigma :F\to Aut\left(N\right)$ 是同态映射，则N与F的半直积G为：

$G=N:F=\left\{\left(x,a\right)|x\in N,a\in F\right\}$，

运算为 $\left(x,a\right)\left(y,b\right)=\left(x{y}^{\sigma {\left(a\right)}^{-1}},ab\right)$。

定义2.4 [8] 设G是群，H是有限集合 $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 上的置换群 $\left(H\le S_n\right)$，设N是n个G的直积： $N=\underset{n个}{\underset{︸}{G\times \cdots \times G}}$，对于任意 $h\in H$，映射 $\sigma \left(h\right)$ 是N的一个自同构：

${\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)}^{\sigma \left(h\right)}=\left(g_{1^{h^{-1}}},g_{2^{h^{-1}}},\cdots ,g_{n^h{}^{-1}}\right)$

可作N与H的半直积 $N:H=G^n:H$，叫做G和H的圈积，记作 $GwrH$。

$GwrH=\left\{\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n;h\right)|g_i\in G,h\in H\right\}$.

定义2.5 [8] 群G作用在有限集合 $\Omega$ 上， $\Delta \subseteq \Omega$， $G_{\left(\Delta \right)}=\left\{x\in G|{\delta }^x=\delta ,\forall \delta \in \Delta \right\}$ 称为G在 $\Delta$ 上的逐点稳定子。若 $G_{\left(\Delta \right)}=1$，则称 $\Delta$ 为群G的基。若 $\Sigma \subseteq \Omega$ 是使得 $G_{\left(\Sigma \right)}=1$ 成立的最小集合，则称 $\Sigma$ 为群G的极小基。

3. 传递置换群在非本原作用下的极小基

定理3.1 设 $\Delta =\left\{{\delta }_1,\cdots ,{\delta }_d\right\}$， $\Omega =\left\{1,\cdots ,r\right\}$ 对称群 $S_d$ 与 $S_r$ 的圈积 $S_{d}wr{S}_r$ 非本原作用在 $dr$ 个点上的极小基形如：

$\Sigma =\left\{\left({\delta }_{i_1},1\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_1},r\right),\left({\delta }_{i_2},1\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_2},r\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_{d-1}},1\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_{d-1}},r\right)\right\}$，

其中 $i_1,i_2,\cdots ,i_{d-1}$ 为集合 $\left\{1,2,\cdots ,d-1\right\}$ 中任意 $d-1$ 个元素， $\left|\Sigma \right|=\left(d-1\right)r$。

证明：令 $K=S_d$， $H=S_r$， $\Delta =\left\{{\delta }_1,\cdots ,{\delta }_d\right\}$， $\Omega =\left\{1,\cdots ,r\right\}$，

$G=KwrH=\underset{n个}{\underset{︸}{\left(K\times K\times \cdots \times K\right)}}:H=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)|k_i\in K,h\in H\right\}$

设 $\Gamma =\Delta \times \Omega =\left\{\left({\delta }_1,1\right),\left({\delta }_1,2\right),\cdots ,\left({\delta }_1,r\right),\cdots ,\left({\delta }_d,1\right),\left({\delta }_d,2\right),\cdots ,\left({\delta }_d,r\right)\right\}$，故 $\left|\Gamma \right|=dr$，群G在集合 $\Gamma$ 的非本原作用如下：

$\phi :G\to S_{\Gamma }$

$x\mapsto \phi \left(x\right):{\left(\delta ,i\right)}^x={\left(\delta ,i\right)}^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}=\left({\delta }^{k_i},i^h\right)$

下面考虑逐点稳定子 $G_{\left(\Sigma \right)}=1$ 时， $\Sigma$ 中有哪些元素。

令 ${\alpha }_1=\left({\delta }_1,1\right)$， ${\alpha }_2=\left({\delta }_1,2\right)$， $\cdots$， ${\alpha }_r=\left({\delta }_1,r\right)$，则：

$G_{{\alpha }_1}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|{\alpha }_1^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}={\alpha }_1\right\}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|{\left({\delta }_1,i\right)}^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}=\left({\delta }_1^{k_1},1^h\right)=\left({\delta }_1,1\right)\right\}$

$G_{{\alpha }_2}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|{\alpha }_2^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}={\alpha }_2\right\}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|{\left({\delta }_1,i\right)}^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}=\left({\delta }_1^{k_2},2^h\right)=\left({\delta }_1,2\right)\right\}$

$⋮$

$\begin{array}{c}{G}_{{\alpha }_r}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|{\alpha }_r^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}={\alpha }_r\right\}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|{\left({\delta }_1,i\right)}^{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)}=\left({\delta }_1^{k_r},r^h\right)=\left({\delta }_{\text{1}},r\right)\right\}\\ =\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|k_r\in K_{{\delta }_{\text{1}}},h\in H_r\right\}\end{array}$

故

$G_{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)\in G|k_1,k_2,\cdots ,k_r\in K_{{\delta }_1},h\in H_{1,2,\cdots ,r}\right\}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;1\right)\in G|k_1,k_2,\cdots ,k_r\in K_{{\delta }_1}\right\}$

因为 $K=S_d$，所以要使 $G_{\left(\Sigma \right)}=\left(1,1,\cdots ,1;1\right)=1$，则K至少要稳定 $\left(d-1\right)$ 个点，即 $K_{{\delta }_1{\delta }_2\cdots {\delta }_{d-1}}=S_{\left\{{\delta }_d\right\}}=1$，故：

$G_{\left(\Sigma \right)}=\left\{\left(k_1,k_2,\cdots ,k_r;h\right)|k_i\in K_{{\delta }_1{\delta }_2\cdots {\delta }_{d-1}},h\in H_{12\cdots r}\right\}=1$，

所以群 $G=KwrH=S_{d}wr{S}_r$ 非本原作用在 $\Gamma =\Delta \times \Omega$ 上的极小基形如：

$\Sigma =\left\{\left({\delta }_{i_1},1\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_1},r\right),\left({\delta }_{i_2},1\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_2},r\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_{d-1}},1\right),\cdots ,\left({\delta }_{i_{d-1}},r\right)\right\}$， $\left|\Sigma \right|=\left(d-1\right)r$.

定理3.2：设 $\Omega =\left\{1,\cdots ,r\right\}$，当r为偶数时，二面体群 $D_{2r}$ 与对称群 $S_r$ 的圈积 $D_{2r}wr{S}_r$ 非本原作用在 $r^2$ 个点上的极小基形如 $\Sigma =\left\{\left(i,1\right),\cdots ,\left(i,r\right),\left(j,1\right),\cdots ,\left(j,r\right)\right\}$，其中 $j\ne i+\frac{r}{2}$， $\left|\Sigma \right|=2r$。

当r为奇数时，极小基形如 $\Sigma =\left\{\left(i,1\right),\cdots ,\left(i,r\right),\left(j,1\right),\cdots ,\left(j,r\right)\right\}$，其中任意 $i,j\in \Omega$， $\left|\Sigma \right|=2r$。

证明：令 $N=D_{2r}$， $H=S_r$

$G=D_{2r}wr{S}_r=\underset{r个}{\underset{︸}{\left(D_{2r}\times D_{2r}\times \cdots \times D_{2r}\right)}}:S_r=\left\{\left(n_1,n_2,\cdots ,n_r;h\right)|n_i\in N,h\in H\right\}$

设 $\Gamma =\Omega \times \Omega =\left\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\cdots ,\left(1,r\right),\cdots ,\left(r,1\right),\left(r,2\right),\cdots ,\left(r,r\right)\right\}$，则 $\left|\Gamma \right|=r^2$。

群G在集合 $\Gamma$ 上的作用同定理3.1，现在考虑逐点稳定子 $G_{\left(\Sigma \right)}=1$ 时， $\Sigma$ 中有哪些元素。

首先考虑二面体群 $D_{\text{2}r}$ 的点稳定子群：

我们知道二面体群的点稳定子 ${\left(D_{\text{2}r}\right)}_i=\left\{\left(1\right),x\right\}$，其中x为二阶元，下面考虑什么时候二面体群的点稳定子为1。

情况1：r为偶数时， $D_{2r}=\langle \left(1,2,3,\cdots ,r\right),\left(2,r\right)\left(3,r-1\right)\cdots \left(\frac{r}{2},\frac{r+4}{2}\right)\rangle$。

那么此时由二面体群的生成元可知当 $i\ne j+\frac{r}{2}$ 时， ${\left(D_{2r}\right)}_{i,j}=1$。所以当r为偶数时，使得逐点稳定子 $G_{\left(\Sigma \right)}=1$ 的最小集合为：

$\Sigma =\left\{\left(i,1\right),\left(i,2\right),\cdots ,\left(i,r\right),\left(j,1\right),\left(j,2\right),\cdots ,\left(j,r\right)\right\}$，其中 $j\ne i+\frac{r}{2}$。

即当r为偶数时， $G=D_{2r}wr{S}_r$ 非本原作用在 $\Gamma$ 上极小基形如 $\Sigma$， $\left|\Sigma \right|=2r$。

例如：

当 $r=4$ 时， $\Omega =\left\{1,2,3,4\right\}$，二面体群 $D_8=\langle \left(1,2,3,4\right),\left(2,4\right)\rangle$，如下图所示：

稳定点1，就要稳定点3，故 $D_8$ 中稳定一个点的只有单位元与一个二阶元，即 ${\left(D_8\right)}_1={\left(D_8\right)}_3=\left\{\left(1\right),\left(2,4\right)\right\}$， ${\left(D_8\right)}_2={\left(D_8\right)}_4=\left\{\left(1\right),\left(1,3\right)\right\}$，故有：

${\left(D_8\right)}_{1，2}={\left(D_8\right)}_{1，4}={\left(D_8\right)}_{2,3}={\left(D_8\right)}_{3，4}=\left\{\left(1\right)\right\}=1$

$3=1+\frac{r}{2}=1+\frac{4}{2}$， $4=2+\frac{r}{2}=2+\frac{4}{2}$

当 $r=6$ 时， $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$，二面体群 $D_{12}=\langle \left(1,2,3,4,5,6\right),\left(2,6\right)\left(3,5\right)\rangle$，如下图所示：

则有 ${\left(D_{12}\right)}_1={\left(D_{12}\right)}_4=\left\{\left(1\right),\left(2,6\right)\left(3,5\right)\right\}$， ${\left(D_{12}\right)}_2={\left(D_{12}\right)}_5=\left\{\left(1\right),\left(1,3\right)\left(4,6\right)\right\}$， ${\left(D_{12}\right)}_3={\left(D_{12}\right)}_6=\left\{\left(1\right),\left(1,5\right)\left(2,4\right)\right\}$

$4=1+\frac{r}{2}=1+\frac{6}{2}$， $5=2+\frac{r}{2}=2+\frac{6}{2}$， $6=3+\frac{r}{2}=3+\frac{6}{2}$

情况2：当r为奇数时，二面体群：

$D_{\text{2}r}=\langle \left(1,2,\cdots ,r\right),\left(2,r\right)\left(3,r-1\right)\cdots \left(\frac{r+1}{2},\frac{r+3}{2}\right)\rangle$

此时稳定 $\Omega$ 中任意一个元素的也只有单位元与一个二阶元，故可知：

${\left(D_{2r}\right)}_{i,j}=\left\{\left(1\right)\right\}=1$ 其中 $i,j\in \Omega$，所以当r为奇数时， $G=D_{2r}wr{S}_r$ 非本原作用在 $\Gamma$ 上极小基形如 $\Sigma =\left\{\left(i,1\right),\left(i,2\right),\cdots ,\left(i,r\right),\left(j,1\right),\left(j,2\right),\cdots ,\left(j,r\right)\right\}$，其中 $i,j\in \Omega$， $\left|\Sigma \right|=2r$。

定理3.3：设 $\Omega =\left\{1,\cdots ,r\right\}$，循环群 $Z_r$ 与对称群 $S_r$ 的圈积 $Z_{r}wr{S}_r$，非本原作用在 $r^2$ 个点上的极小基形如 $\Sigma =\left\{\left(i,1\right),\cdots ,\left(i,r\right)\right\}$，其中任意 $i\in \Omega$， $\left|\Sigma \right|=r$。

证明：令 $G=Z_{r}wr{S}_r=\left(Z_r\times Z_r\times \cdots \times Z_r\right):S_r$， $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$

$\Gamma =\Omega \times \Omega =\left\{\left(1,1\right),\left(1,2\right),\cdots ,\left(1,r\right),\cdots ,\left(r,1\right),\left(r,2\right),\cdots ,\left(r,r\right)\right\}$， $\left|\Gamma \right|=r^2$

G在集合 $\Gamma$ 上的作用同以上两个定理，现在同样考虑逐点稳定子 $G_{\left(\Sigma \right)}=1$ 时， $\Sigma$ 中有哪些元素。

因为 $Z_r$ 本原正则作用在 $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,r\right\}$ 上，故任意 $i\in \Omega$ 有 ${\left(Z_r\right)}_i=1$，则要使逐点稳定子 $G_{\left(\Sigma \right)}=\left(1,1,\cdots ,1;1\right)=1$，需要稳定 $\left(i,1\right),\left(i,2\right),\cdots ,\left(i,r\right)$ 这r个点，其中任意 $i\in \Omega$。

故群 $G=Z_{r}wr{S}_r$ 非本原作用在 $\Gamma$ 上的极小基 $\Sigma =\left\{\left(i,1\right),\left(i,2\right),\cdots ,\left(i,r\right)\right\}$，任意 $i\in \Omega$，且 $\left|\Sigma \right|=r$。