公平性指派问题及其进化求解算法

Fair Assignment Problem and Its Genetic Algorithm

摘要: 针对任务指派中指派结果可能存在工作负荷分布极不平衡的问题，建立了公平性指派问题优化模型，并设计了求解模型的进化算法。以指派后代理的工作负荷与负荷均值的差值大小度量工作负荷的不均衡状况，将上述差值的平方和作为工作负荷的公平性指标。基于经典线性指派问题，构建了公平指派问题的优化模型。将相关问题按是否具有固定均值分为两类，并对两类问题的特征和求解策略加以分析。为提高计算效率，针对第二类指派问题的模型特征，设计了一种可求解过程中保持解的可行性的改进遗传算法。通过多个算例计算，并与Lingo软件求解结果对比，验证了模型和算法的合理性和有效性。研究表明：1) 一般情况下，公平性指派问题是一类具有NP-hard特征的三次指派问题；2) 追求公平的指派结果可能导致整体的工作负荷量增加；3) 所设计的遗传算法可高效求解各种规模的公平指派问题，但往往只能给出局部最优解；4) 变异系数对求解结果有显著影响，过大或过小的变异系数值均不利于算法求得最佳解。

Abstract: In order to solve the highly unbalanced working load distribution possibly shown after assignment, this paper formulated the optimization model of fair assignment problem and designed a genetic algorithm to solve this model. In view that the difference between the working load of an agents and the average of working load reflects the unbalance state of working load, the sum of the square of the above differences was defined as the index of fairness of working load. Based on the classic linear assignment problem, this paper constructed the optimization model of fair assignment problem. The paper grouped the related problems into two categories according to whether the average is a constant and analyzed the properties and solution strategies of the two categories. To improve the efficiency of solving the problem in the second category, this paper designed a modified genetic algorithm that remains the feasibility of solutions obtained during the iterations. Through computing several examples and comparing the results with that of Lingo software, this paper verified the rationality and effectiveness of the new model and algorithm. This study shows the following: 1) In general, fair assignment problem is a type of cubic assignment problem with NP-hard property. 2) Pursuing a fair assignment result may lead to an increased total working load. 3) The designed genetic algorithm can solve various scales of fair assignment problem, but usually only give a local optimal solution. 4) The mutation coefficient has a noticeable impact on the final solution and a too big or too small mutation coefficient has negative influence on searching a better solution.

1. 引言

在给定工作负荷条件下，经典的指派问题指的是将n项任务指派给n个代理来完成，使得指派后总的工作负荷总量最小。指派问题不仅在数学规划的理论研究方面有重要价值，也在实践中得到了广泛应用。该问题可以利用匈牙利算法在计算时间复杂度为 $\text{Ο}\left(n^3\right)$ 的条件下有效求解。但是现实中任务的指派不仅仅需要考虑最小化总的工作负荷，工作负荷在代理之间是否分配均衡，或言公平，也是需要重点关注的现实问题。公平的指派结果不仅可以消减代理之间由于工作负荷差异较大产生的不满情绪，促进团队合作和增强工作积极性，而且也为企业、组织和团体的长期健康发展和组织文化培育提供支持。与经典指派问题和与之关联的二次指派问题受到广泛关注和深入研究不同，公平性指派问题却少有问津。针对上述问题，本文将尝试定义指派问题的工作负荷公平性指标，构建相应的优化模型，并给出求解模型的一种有效启发式算法。

下面按时间顺序对相关文献做一个简单介绍。文献 [1] 建立了有资格限制的指派问题的数学模型，并通过将效益矩阵转化为求解矩阵，从而将有资格限制的指派问题化为传统的指派问题来求解。文献 [2] 考虑了一类非确定型指派问题，针对人员有无工作数限制分情况加以讨论，并借鉴Floyd算法的负回路思想，提出了一种迭代算法。文献 [3] 提出了一种求解指派问题的新的离散粒子群算法。文献 [4] 总结了求解二次分配问题的方法，并提及了三次指派问题发展历史与现状。指出三次指派问题是一类极难的NP-hard问题，但由于缺乏应用场景，基本很少被关注。文献 [5] 针对从m个人中派出k ( $0<k\le \min \left\{m,n\right\}$ )个人去完成n项任务中的k项任务，且使总效率最高类的指派问题给出了一种反点求解方法。文献 [6] 对匈牙利算法寻找独立零的次序进行了改进，从而避免了匈牙利算法通常需要进行多次试分配的不足。针对广义指派问题，即一人多事或一事多人的情形，文献 [7] 设计了一种改进的离散粒子群优化算法。文献 [8] 研究了一事多人的情形下，如何给每个人指派工作，才能使总工期和总耗时最短，给出了一种向量标记算法。文献 [9] 提出指派问题的纳什均衡解，并证明有限指派问题有且仅有纯纳什均衡解。文献 [10] 讨论了从m个公司选取k个去投资n个项目中的k项的总收益最大的非均衡投资问题，提出了反点算法。在经典指派问题的最优解不唯一条件下，文献 [11] 提出了一个考虑个体理性的指派问题多重最优解的择优方法，从而保证了指派问题最优解的唯一性。针对指标间相关联的模糊多目标指派问题，基于广义模糊测度和Choquet积分的模糊权重信息集结算子，文献 [12] 给出了一种将模糊多目标指派问题转化为传统指派问题的算法。针对一个代理可以被指派多个任务的非平衡指派问题，以最小化指派后工作负荷的平方和为优化目标，文献 [13] 建立了相应的指派问题模型，并给出了利用线性化技术处理后模型的分支定界算法。文献 [14] 通过将指派结果按满意度排序，并对排序后结果进行部分加权求和，从而定义了指派结果的公平性度量指标。以上述指标为目标文献 [14] 建立了对应指派问题模型，并证实该问题具有NP-hard特征。针对一个代理可以被指派多个任务的非平衡指派问题，文献 [15] 给出了一种改进的匈牙利算法。考虑指派中可能存在的冲突约束，文献 [16] 给出了求解该问题的改进分支定界算法。文献 [17] 提出通过搜索多个经典线性指派问题可行解满足实际指派的多样化需要，并给出了相应的确定多个解的方法。文献 [18] 提出了一种求解经典指派问题的改进粒子群算法。针对移动通信中的拥堵，文献 [19] 建立了以成本最小为目标的资源指派问题模型。针对有给定偏好产品集合的顾客，在部分满足顾客需求条件下，通过定义产品序列价值函数，以最大化整体的价值为目标，文献 [20] 建立了相应的指派模型，并给出了一种近似解求解方法。针对目标体系衡量存在差异的多目标指派问题，文献 [21] 给出了一种将综合评价法与匈牙利法相结合的求解方法。文献 [22] 讨论了介于经典的指派问题与三维指派问题之间的一类可分解为二阶段决策的特殊三维匹配问题，并给出了一种多项式时间算法。考虑乘客的步行距离，以最小化分配到停机坪的飞机数为目标，文献 [23] 建立了飞机的登机口分配模型，并提出了相应的分支定界和定向搜索算法。

与现有研究相比，本研究的主要贡献在于：a) 提出了公平性指派问题，并定义了指派结果的公平性度量指标，构建了对应的优化模型；b) 对公平性指派问题进行了分类，对分类后的问题特征和求解策略进行了阐述；c) 设计了求解公平性指派问题的遗传算法，比较验证了算法的有效性，并对算法的参数进行了灵敏度分析。

2. 公平性指派问题

2.1. 优化模型

指派问题是指将n个任务分派给n个代理，每个代理需完成一项任务，任务不可分割。令 $i\in I$ 表示一个典型代理，I为代理集合； $j\in J$ 表示一个典型任务，J为任务集合。令 $x_{i,j}$ 表示第i个代理是否执行第j个任务，如果执行，其值为1；否则，其值为0。上述指派问题的基本约束如下：

${\displaystyle \underset{i\in I}{\sum }{x}_{i,j}}=1,\forall j\in J,$ (1)

${\displaystyle \underset{j\in J}{\sum }{x}_{i,j}}=1,\forall i\in I,$ (2)

$x_{i,j}\in \left\{0,1\right\},\forall i,j,$ (3)

式(1)表示任意给定的一项任务会被指派给唯一代理去执行；式(2)表示任一代理仅会执行一项任务；式(3)限定变量 $x_{i,j}$ 只能取值0或1。令x为由所有 $x_{i,j},i\in I,j\in J$ 构成的决策向量。为简化表述，令X表示满足约束式(1~3)的变量x的可行域。

一项任务j被指派给一个代理i的指派结果可被称为一个匹配(Matching)，记作 $\left(i,j\right)$。对应任一可行的匹配，有一个工作负荷。令 $c_{i,j}$ 为对应匹配 $\left(i,j\right)$ 的工作负荷。则在给定x的条件下总的工作负荷可按下式计算：

$z_1\left(x\right)={\displaystyle \underset{i}{\sum }{\displaystyle \underset{j}{\sum }{c}_{i,j}{x}_{i,j}}}.$ (4)

经典的线性指派问题以最小化总的工作负荷为优化目标，可表述为 ${\min }_{x\in X}{z}_1\left(x\right)$。利用匈牙利算法可对经典的线性指派问题加以有效求解，相应的算法计算时间复杂度为 $\text{Ο}\left(n^3\right)$。

与关注指派后整体的工作负荷大小不同，本文将目光转向指派后工作负荷在代理群体中的分布，力图平衡各代理的工作负荷，从而实现公平的任务指派。下面首先定义指派结果的公平性指标。指派后代理群体的平均工作负荷可按下式计算：

$c_{av}\left(x\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j{c}_{i,j}{x}_{i,j}}}}{n}.$ (5)

平均工作负荷又称工作负荷均值。各代理的实际工作负荷与均值的差异体现了指派结果的公平性。最理想的公平状态是各代理的实际工作负荷相等，即等于工作负荷均值。基于上述观察，可定义工作负荷的公平性指标如下：

$z_2\left(x\right)={\displaystyle \underset{i}{\sum }{\displaystyle \underset{j}{\sum }{\left(c_{ij}-c_{av}\left(x\right)\right)}^2{x}_{i,j}}},$ (6)

式(6)中， $c_{av}\left(x\right)$ 由式(5)计算得到。显然， $z_2\left(x\right)$ 的值越小，指派的工作负荷结果就越公平。理想条件下， $z_2\left(x\right)$ 的值最小可取0。以最小化 $z_2\left(x\right)$ 为目标，以式(1~3)为约束，得到公平性指派问题的优化模型为：

${\min }_{x\in X}{z}_2\left(x\right).$ (7)

2.2. 分类与性质

观察式(6)可知，如果 $c_{av}\left(x\right)$ 不因x而改变，是一个常数，则公平性指派模型(7)就会退化为一个线性的指派问题。因此我们将上述具有固定均值的公平性指派问题称为第一类公平性指派问题。下面给出该类问题的一种具体形式。

定理 1：假设下述条件 $c_{i,j}=a_i+b_j,\forall i\in I,j\in J$ 成立，那么就有 $c_{av}=\left({\displaystyle {\sum }_i{a}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{b}_j}\right)/n$。

证明：

$c_{av}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j\left(a_i+b_j\right)x_{i,j}}}}{n}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{\displaystyle {\sum }_j\left(a_i{x}_{i,j}+b_j{x}_{i,j}\right)}}}{n}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{a}_i}\left({\displaystyle {\sum }_j{x}_{i,j}}\right)+{\displaystyle {\sum }_j{b}_j}\left({\displaystyle {\sum }_i{x}_{i,j}}\right)}{n}=\frac{{\displaystyle {\sum }_i{a}_i}+{\displaystyle {\sum }_j{b}_j}}{n}$。□

定理1表明，当一个匹配 $\left(i,j\right)$ 的工作负荷 $c_{i,j}$ 等于与代理i独立相关的工作负荷 $a_i$ 和与任务j独立相关的工作负荷 $b_j$ 之和时，无论如何指派，得到的工作负荷均值为一定值。第一类公平性指派问题属于线性指派问题，因此可以利用匈牙利算法直接进行求解。

除了上述具有固定均值的公平性指派问题，大多数情况下 $c_{av}\left(x\right)$ 会随着x的改变而改变。我们将具有可变工作负荷均值的公平性指派问题称为第二类公平性指派问题。由约束(1~3)，易知下面的等式与取值约束成立：

$x_{i,j}^2=x_{i,j},\forall i\in I,j\in J$ (8.1)

$x_{i,j}{x}_{i,k}=0,\forall j\ne k,i\in I$ (8.2)

$x_{i,j}{x}_{k,j}=0,\forall i\ne k,j\in J$ (8.3)

$x_{i,j}{x}_{k,l}\in \left\{0,1\right\},\forall i\ne k,j\ne l$ (8.4)

$x_{i,j}{x}_{k,l}{x}_{m,n}\in \left\{0,1\right\},\forall i\ne k\ne m,j\ne l\ne n$ (8.5)

将式(5)的 $c_{av}\left(x\right)$ 表达式带入式(6)，然后将式(6)做代数展开，易知得到的展开式中一定含有(8.5)形式的三次项。因此，可知一般情况下，问题(7)属于三次指派问题。三次指派问题是一类极难的NP-hard问题，目前还没有有效方法可以求得规模较大的该类问题的精确最优解。对该类问题常见的求解策略是设计具有针对性的启发式方法。

3. 进化算法的设计

本节将对遗传算法(Genetic Algorithm-GA)的具体的操作进行设计，以期使之适用于三次指派问题的求解。设计的算法在执行过程中保持了解的可行性。在各种算法操作(如交叉与变异)中始终保持解的可行性将可以避免大量的冗余计算。

3.1. 解的表达与关键算子

应用GA首先需确定一个合理的解的表达方式。在GA中，一个可行解也被称为一个个体。本文采取的指派问题可行解表达方式为 $g=\left(j_1,j_2,j_3,\cdots ,j_k,\cdots ,j_n\right)$。这里g代表一个个体，而 $j_k$ 代表指派给第k个代理的任务的序号。在算法中为了区分不同的个体，用 $g_m$ 表示个体m，其具体的表示式为 $g_m=\left(j_{1,m},j_{2,m},j_{3,m},\cdots ,j_{k,m},\cdots ,j_{n,m}\right)$，其中 $j_{k,m}$ 表示个体m的第k个代理所指派的任务的序号。

GA中个体g的适应值 $f_g$ 定义为目标函数值的相反数，即 $f_g=-z_2\left(x\right)$ 满足 $x_{i,j_i}=1,\forall i\in I$。如无特别说明，算法中提到的随机分布均为相应的给定区间或集合上的均匀分布。在利用锦标赛法从群体中选择个体时，令函数Tournament(G, k)表示先从群体集合G中随机取出k个个体，然后通过比较k个个体的适应值确定适应值最高的个体。而函数Random(n)表示从1到n的自然数中随机取出一个数。

下面给出GA中交叉算子的具体操作：

步骤 0：设当前种群为G，锦标赛规模为s，而 $g_m=\left(j_{1,m},j_{2,m},j_{3,m},\cdots ,j_{k,m},\cdots ,j_{n,m}\right)$ 为有待决定其具体组成的新个体。令 $j_{k,m}=null$, $\forall k$，这里null表示对应的量待定。令集合 $G\left(m\right)={\left\{j_{k,m}\right\}}_k$。

步骤1：选取两个个体： $g_1=\text{Tournament}\left(G,s\right)$ 和 $g_2=\text{Tournament}\left(G,s\right)$。

步骤2：确定两个交叉点：先计算两个随机位置 $n_1=\text{Random}\left(n\right)$ 和 $n_2=\text{Random}\left(n\right)$ ；然后确定两个具体的交叉点 $p_1=\min \left\{n_1,n_2\right\}$ 和 $p_2=\max \left\{n_1,n_2\right\}$。

步骤3：对所有 $k\in \left\{1,2,3,\cdots ,n\right\}$ 执行：如果( $k<p_1$ )或( $k>p_1$ )，令 $j_{k,m}:=j_{k,1}$。

步骤4：执行如下循环迭代，完成新可行个体生成：

for k=1:n {

if ( $j_{k,2}\notin G\left(m\right)$ ) {

for s=1:n { if ( $j_{s,m}==null$ ) { $j_{s,m}=j_{k,2}$ ; $G\left(m\right):=G\left(m\right)\cup \left\{j_{s,m}\right\}$ ;break;}}

}

}

相对于交叉算子，变异算子操作比较简单。设变异系数为 $\beta$，而当前需对其执行变异操作的个体为 $g_m=\left(j_{1,m},j_{2,m},j_{3,m},\cdots ,j_{k,m},\cdots ,j_{n,m}\right)$。变异的具体操作如下：

for k = 1:n {if ( $\text{Random}\left(n\right)<\beta$ ) {令 $p=\text{Random}\left(n\right)$ ; $j_{k,m}:=j_{p,m}$ ; $j_{p,m}:=j_{k,m}$ ;}}

3.2. 算法步骤

基于上述的概念定义和算子，本文设计的具体GA算法执行流程如下：

步骤0：初始化。设定种群规模 $\left|G\right|$ 、锦标赛规模s、复制比例 $ϵ$ 、变异系数 $\beta$ 、最大迭代次数 $N_{\max }$。令当前迭代次数 $\tau :=0$。

步骤1：生成初始种群。生成一个数字1到n的随机排列，作为一个个体。按种群规模 $\left|G\right|$，重复个体生成操作，形成初始种群 $G^{\left(0\right)}$。

步骤2：复制。利用锦标赛法，从当前种群选取 $\text{Round}\left(ϵ\left|G\right|\right)$ 个个体作为新一代种群的复制个体。这里函数 $\text{Round}\left(ϵ\left|G\right|\right)$ 表示取最接近 $ϵ\left|G\right|$ 的整数。

步骤3：交叉和变异。利用上文介绍的交叉算子得到一个新个体，然后对其实施变异操作，最后得到一个可行的新个体。重复上述操作 $\left[\left|G\right|-\text{Round}\left(ϵ\left|G\right|\right)-1\right]$ 次，得到一个新个体集合。

步骤4：合成新的种群。将步骤2和3得到的所有可行个体和当前种群中的最优个体组合，形成新一代的种群 $G^{\left(\tau +1\right)}$。

步骤5：终止判断。如果 $\tau +1<N_{\max }$，转步骤2；否则，终止算法，输出当前最优可行解。

4. 算例分析

本节将通过具体算例来验证模型与方法的有效性。利用Java程序语言实现了上节给出的GA算法，数值实验是在NetBeans IDE 12.3开发环境下运行，采用的计算机处理器为Intel® Core i7-1065G7 CPU。算法的基本参数设定如下：种群规模 $\left|G\right|=100$ 、锦标赛规模 $s=5$ 、复制比例 $ϵ=0.1$ 、变异系数 $\beta =0.015$ 、最大迭代次数 $N_{\max }=200$。本节结束部分将对上述参数取值进行灵敏度分析。

首先，分析一个 $n=10$ 的简单算例。对应的工作负荷矩阵 $C_{10\times 10}$ 如下：

$C_{10\times 10}=\left[\begin{array}{cccccccccc}30& 53& 26& 63& 49& 59& 28& 23& 49& 32\\ 20& 26& 25& 69& 42& 25& 24& 46& 23& 40\\ 62& 28& 44& 47& 66& 21& 41& 62& 57& 58\\ 59& 64& 67& 66& 49& 25& 20& 39& 55& 61\\ 32& 28& 63& 66& 60& 34& 38& 59& 20& 49\\ 34& 67& 44& 62& 21& 50& 26& 45& 32& 46\\ 37& 23& 55& 23& 66& 40& 49& 38& 58& 47\\ 43& 33& 28& 32& 23& 21& 61& 53& 62& 64\\ 26& 60& 36& 45& 43& 47& 32& 68& 35& 41\\ 64& 51& 51& 31& 36& 56& 33& 33& 47& 68\end{array}\right]$。

由于问题规模较小，200次迭代的计算耗时小于0.001秒。对问题进行3次求解，算法的3次运算迭代表现在图1中给出。其中两次计算的最终结果相同，具体为：最终的 $c_{av}=47.4$，目标函数值 $z_2\left(x\right)=56.4$，而求得的最佳个体为(9, 8, 4, 5, 10, 3, 7, 1, 6, 2)。而另一次的计算结果为：最终的 $c_{av}=47.5$，目标函数值 $z_2\left(x\right)=68.5$，而具体的最佳个体为(9, 8, 3, 5, 10, 6, 7, 1, 4, 2)。从图1的数据可以看出GA算法具有较高的可靠性和一致的收敛特征。

为了进一步验证算法的有效性，表1中给出了6个不同规模的指派问题。表1中 $\left[\underset{\_}{c},\bar{c}\right]$ 表示对应工作负荷矩阵中工作负荷的上下限，而一个匹配的具体的工作负荷是随机从区间 $\left[\underset{\_}{c},\bar{c}\right]$ 中取出的一个整数。问题对应的工作负荷矩阵 $C_{20\times 20}$ 在表1之后给出，其它负荷矩阵限于篇幅，在此略去。

Figure 1. Performance of 3 times of implementation of algorithm

图1. 算法3次计算的迭代表现

Table 1. Different assignment problem

表1. 不同的指派问题

对应表1给出的6个问题，表2给出了分别利用GA算法和商业优化软件Lingo自带求解器计算的结果。由于Lingo在超长计算时间(超过数小时)条件下仍然无法针对问题4、5和6给出一个可行解，因此表2中没有相关的计算信息。从表2可知，Lingo的计算时间从15秒迅速增加到35分37秒，而GA的计算时间均小于千分之一秒(Netbean软件显示的计算时间为0秒，即小于机器可识别的0.001秒)。在迭代次数列，GA算法总的迭代次数设为200，小括号内的数值为算法收敛到最佳解时的迭代次数；对于Lingo软件而言，该列显示了Lingo自带求解器求解的迭代次数。从表2中的迭代次数数据可知，GA算法实际需要的收敛迭代次数小于181次，而Lingo自带求解器求解所需的迭代次数从16万次增加到了1450多万次。

从6个问题求解的指派结果看，两种方法均得到了问题1的相同最优解；对于问题2和3，GA算法仅给出了较好的局部最优解，Lingo给出了全局最优解；对问题4到6，GA算法仍可在短时间内给出了较好的局部最优解，而Lingo在经过数小时计算也无法给出了问题的一个可行解。表2中的数据也表明以追求指派结果的公平性为目的时，可能会造成指派后整体的工作负荷量较大，例如GA对问题3和5的计算，得到的工作负荷均值均靠近工作负荷取值范围的上界。因此，实际指派时，有必要在目标中加入代表工作负荷总量的加权项。考虑到上述转变并不会增加问题求解的难度，因此本文不再对此做进一步分析。上述各种比较证实了GA算法在处理实际问题时的高效性和具有处理大规模问题的能力。

Table 2. Comparison of results from different methods

表2. 不同方法的计算结果比较

一般而言启发式算法的求解效果不仅与其具体的操作规则有关，也会受到设定的具体参数值的影响。因此，有必要对相关的算法参数进行灵敏度分析。以表1中给出的问题3为例，对GA相关的参数——种群规模 $\left|G\right|$ 、锦标赛规模s、复制比例 $ϵ$ 、变异系数 $\beta$ 、最大迭代次数 $N_{\max }$ 进行了有关灵敏度计算，结果发现：除变异系数 $\beta$ 外，其它参数的不同取值(如 $\left|G\right|$ 从20到200的范围内取值，s从3到30的范围内取值， $ϵ$ 在区间[0.1, 0.5]上取值，而 $N_{\max }$ 从200到500的范围内取值)，对算法的最终结果影响不大。变异系数 $\beta$ 取不同值时对算法的最终结果有较为明显的影响，图2给出了当 $\beta$ 分别取0.005、0.015和0.05时，算法的迭代计算表现。我们发现 $\beta$ 的值过小或过大均不利于算法求得较好的指派结果，而当 $\beta$ 的值靠近0.015时，算法的表现最好。上述结果说明在实际应用GA求解公平性指派问题时应对其变异系数进行必要的试算，从而确定 $\beta$ 较理想的取值。

Figure 2. Influence of mutation coefficient $\beta$ on the results of algorithm

图2. 变异系数 $\beta$ 对算法计算结果的影响

5. 结论

本文得到的主要研究结论包括：a) 以各个代理的工作负荷与负荷均值的差的平方和作为度量指派后工作负荷公平性的指标是合理的，以上述指标为优化对象建立的公平性指派问题模型在一般情况下属于具有NP-hard特征的三次指派问题；b) 与商业优化软件Lingo的计算结果相比，本文所设计的遗传算法具有计算耗时少，且可有效处理各种规模问题的优势，但是也存在一般情况下仅能得到局部最优解的缺点；c) 计算结果显示以公平性为指派唯一目标时，可能产生过大的总工作负荷量，因此实际应用时需将公平性和效率一并考虑；d) 算法的灵敏度分析显示，除变异系数外，算法的计算效果受其他参数具体取值变化的影响甚微，而过大过小的变异系数对算法获得较好解均有负面影响。

以本研究为基础，可以进一步深入研究的方向包括：分析指派中追求效率和公平性两者之间的相互影响；尝试其他启发式方法，进一步优化算法获取最优解的能力；结合实践，进一步丰富和改进问题的约束和优化目标。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(71801153, 71871144)；上海市自然科学基金项目(18ZR1426200)。

NOTES

^*通讯作者。