太阳轮刚度对行星机构浮动量影响规律的研究

Study on the Influence Law of Sun Wheel Stiffness on Floating Quantity of Planetary Mechanism

摘要: 以某2K-H型行星齿轮机构为研究对象，建立行星齿轮机构的力学模型并推导其运动微分方程。参照该行星齿轮机构给定的基本参数，研究了太阳轮支撑刚度对行星轮系中心件的浮动量的影响。通过数值仿真计算发现太阳轮支撑刚度对太阳轮浮动量有显著影响。太阳轮的浮动量会随着太阳轮支撑刚度的减小会明显增大。本文研究结论对2K-H型行星齿轮机构的动态优化设计具有一定的指导意义。

Abstract: Taking a 2K-H type planetary gear mechanism as the research object, the mechanical model of the planetary gear mechanism is established and its motion differential equation is deduced. According to the basic parameters given by the planetary gear mechanism, the influence of the support stiffness of the sun gear on the floating quantity of the central part of the planetary gear system is studied. Through numerical simulation, it is found that the support stiffness of the solar wheel has a significant effect on the floating amount of the sun gear. The floating amount of the sun gear will obviously increase with the decrease of the support stiffness of the sun gear. The conclusion of this pa-per has a certain guiding significance for the dynamic optimization design of 2K-H planetary gear mechanism.

1. 引言

在行星齿轮传动系统的均载与动力学设计中，影响因素很多，中心件的浮动量就是重要因素之一。如果能从中找出影响中心件浮动量的主要因素，并通过分析得到其变化规律，将会为整个传动系统的均载与动力学设计提供重要的理论基础和参考价值。国内外学者关于行星齿轮的动力学研究浩如烟海，国内外专家黄康、焦映厚、秦大同、方宗德等人在此方面做出了杰出贡献 [1] [2] [3] [4] [5]，但是专门针对太阳轮刚度对行星机构浮动量影响规律的研究却不多见。

本论文以某型号2K-H型行星齿轮机构为研究对象，参照给定的基本参数，通过改变太阳轮刚度参数值，定性分析太阳轮刚度对行星轮系中心件的浮动量的影响规律。

2. 2K-H型行星齿轮机构的力学模型及运动微分方程

本文研究的行星轮系动传动简图以及力学模型分别如图1和图2所示。图1中1代表行星机构的输入端，2代表行星轮，3代表行星架，4代表输出端，5代表太阳轮，6代表内齿圈。图2中太阳轮、行星架、第i个行星轮的角位移分别以 ${\theta }_{\text{s}}$ 、 ${\theta }_{\text{c}}$ 、 ${\theta }_{\text{p}i}$ 表示；太阳轮、第i个行星轮、内齿圈的基圆半径分别以 $r_{\text{bs}}$ 、 $r_{\text{bp}i}$ 、 $r_{\text{br}}$ 表示；行星架半径以 $r_{\text{c}}$ 表示，其值为太阳轮与行星轮的节圆半径之和，标准安装下亦即太阳轮与行星轮的分度圆半径之和；太阳轮与第i路行星轮组成的外啮合副的啮合刚度、啮合阻尼系数、半齿侧间隙、综合啮合误差分别以 $k_{\text{sp}i}$ 、 $c_{\text{sp}i}$ 、 $b_{\text{sp}i}$ 、 $e_{\text{sp}i}$ 表示；内齿圈与第i路行星轮组成的内啮合副的啮合刚度、啮合阻尼系数、半齿侧间隙、综合啮合误差分别以 $k_{\text{rp}i}$ 、 $c_{\text{rp}i}$ 、 $b_{\text{rp}i}$ 、 $e_{\text{rp}i}$ 表示。图中太阳轮、行星轮以及内齿圈的齿数分别以 $z_{\text{s}}$ 、 $z_{\text{p}i}$ 、 $z_{\text{r}}$ 表示。

Figure 1. Transmission diagram of star gear transmission system

图1. 星齿轮传动系统传动简图

Figure 2. Dynamic model of planetary gear transmission system

图2. 行星齿轮传动系统动力学模型

模型中的太阳轮可以浮动，并假设太阳轮支撑刚度为k_s，阻尼系数为c_s，太阳轮水平和数值位移分别以H_s和V_s表示。由拉格朗日方程，可以列出行星齿轮传动系统的的弯扭耦合动力学方程如1式所示：

$\{\begin{array}{l}{m}_{\text{s}}{\ddot{x}}_{\text{s}}+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left(F_{\text{sp}i}^p+F_{\text{sp}i}^d\right)}=F_{\text{D}}\\ m_{\text{s1}}{\ddot{H}}_{\text{s}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left(F_{\text{sp}i}^p+F_{\text{sp}i}^d\right)}\sin \left[\alpha -\frac{2\pi }{N}\left(i-1\right)\right]+k_{\text{s}}x+c_{\text{s}}\stackrel{\dot{}}{x}=0\\ m_{\text{s1}}{\ddot{V}}_{\text{s}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left(F_{\text{sp}i}^p+F_{\text{sp}i}^d\right)}\cos \left[\alpha -\frac{2\pi }{N}\left(i-1\right)\right]+k_{\text{s}}y+c_{\text{s}}\stackrel{\dot{}}{y}=0\\ m_{\text{p}i}{\ddot{x}}_{\text{p}i}-\left(F_{\text{sp}i}^p+F_{\text{sp}i}^d\right)+\left(F_{\text{rp}i}^p+F_{\text{rp}i}^d\right)=0\\ m_{\text{c}}{\ddot{x}}_{\text{c}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left(F_{\text{sp}i}^p+F_{\text{sp}i}^d\right)}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left(F_{\text{rp}i}^p+F_{\text{rp}i}^d\right)}=-F_{\text{L}}\end{array}$， $i=1,2,\cdots ,N$ (1)

式中，m_s为太阳轮质量，m_pi为第i个行星轮质量，m_c为内齿圈质量， $F_{\text{sp}i}^p$ 和 $F_{\text{rp}i}^p$ 分别表示系统第i路外、内啮合副上的动态啮合力， $F_{\text{sp}i}^d$ 和 $F_{\text{rp}i}^d$ 分别表示系统第i路外、内啮合副上的啮合阻尼力，F_D为行星机构输入载荷，F_L表示机构输出载荷。

3. 太阳轮支撑刚度对系统动态特性的影响

当传递功率为P = 5.5 KW，太阳轮支撑刚度量纲为k_s = 1 × 10⁶ N/m，齿侧间隙量纲为b = 1 × 10⁻⁵ m，齿轮误差量纲为e_a = 1 × 10⁻⁶ m，输入转速为n_s = 4000 r/min。

Figure 3. The floating track of the center of the sun wheel when k_s = 1 × 10⁶ N/m

图3. k_s = 1 × 10⁶ N/m时的太阳轮中心浮动轨迹

Figure 4. The floating amount of the sun gear axis when k_s = 1 × 10⁶ N/m

图4. k_s = 1 × 10⁶ N/m时的太阳轮轴心浮动量

Figure 5. The floating amount of the sun wheel abscissa when k_s = 1 × 10⁶ N/m

图5. k_s = 1 × 10⁶ N/m时的太阳轮横坐标浮动量

Figure 6. The floating amount of the sun wheel ordinate when k_s = 1 × 10⁶ N/m

图6. k_s = 1 × 10⁶ N/m时的太阳轮纵坐标浮动量

其他参数不变，当太阳轮支撑刚度增至k_s = 1 × 10⁵ N/m时太阳轮浮动仿真如图7~10所示。

Figure 7. The floating track of the center of the sun when k_s = 1 × 10⁵ N/m

图7. k_s = 1 × 10⁵ N/m时的太阳轮中心浮动轨迹

Figure 8. The floating amount of the sun gear axis when k_s = 1 × 10⁵ N/m

图8. k_s = 1 × 10⁵ N/m时的太阳轮轴心浮动量

Figure 9. The floating amount of the sun wheel abscissa when k_s = 1 × 10⁵ N/m

图9. k_s = 1 × 10⁵ N/m时的太阳轮横坐标浮动量

Figure 10. The floating amount of the sun wheel’s ordinate when k_s = 1 × 10⁵ N/m

图10. k_s = 1 × 10⁵ N/m时的太阳轮纵坐标浮动量

其他参数不变，当太阳轮支撑刚度增至k_s = 1 × 10⁷ N/m时太阳轮浮动仿真如图11~14所示。

Figure 11. The floating track of the center of the sun wheel when k_s = 1 × 10⁷ N/m

图11. k_s = 1 × 10⁷ N/m时的太阳轮中心浮动轨迹

Figure 12. The floating amount of the sun gear axis when k_s = 1 × 10⁷ N/m

图12. k_s = 1 × 10⁷ N/m时的太阳轮轴心浮动量

Figure 13. The floating amount of the sun wheel abscissa when k_s = 1 × 10⁷ N/m

图13. k_s = 1 × 10⁷ N/m时的太阳轮横坐标浮动量

Figure 14. The floating amount of the sun wheel’s ordinate when k_s = 1 × 10⁷ N/m

图14. k_s = 1 × 10⁷ N/m时的太阳轮纵坐标浮动量

对比图3~14可以得到太阳轮支撑刚度太阳轮浮动量的影响规律：太阳轮支撑刚度对太阳轮浮动量的影响非常巨大，当支撑刚度k_s = 1 × 10⁵ N/m时，太阳轮中心的浮动范围在原点中心1.2 × 10⁻⁴ m内；当支撑刚度k_s = 1 × 10⁶ N/m时，太阳轮中心的浮动范围在原点中心1 × 10⁻⁴ m内；当支撑刚度k_s = 1 × 10⁷ N/m时，太阳轮中心的浮动范围在原点中心0.6 × 10⁻⁴ m内。总之，随着太阳轮支撑刚度的减小，太阳轮浮动量会显著增大，有利于各路外啮合副的均载性能。

4. 结论

1) 本文建立了某型号2K-H行星齿轮传动系统的弯扭耦合动力学模型，并推导了其运动微分方程，为浮动特性的仿真分析奠定了基础。

2) 太阳轮支撑刚度对太阳轮浮动量的影响非常巨大。在考查范围内，随着太阳轮支撑刚度的减小，太阳轮浮动量会显著增大，有利于各路外啮合副的动载性能。

基金项目

安徽省教育厅自然科学重点项目(KJ2020A0073)；安徽省自然科学基金项目(2108085ME167)；安徽省重点研究与开发计划项目(201904a05020005)；安徽省科技重大专项(201903a02050014)。

NOTES

^*通讯作者。