非正则覆盖图的加权Zeta函数

Weighted Zeta Functions of Irregular Graphs

摘要: 本文主要研究非正则覆盖图的加权zeta函数的基本性质。Ihara和Sato研究了正则覆盖图的加权zeta函数的行列式表示和极点分布，本文的主要目的就是将正则覆盖图推广到非正则覆盖图的形式，讨论非正则覆盖图的加权zeta函数的分解为zeta函数的乘积的形式以及不同的非正则覆盖图的加权zeta函数之间的联系。

Abstract: In this paper, we will mainly research on the basic properties of weighted zeta functions of irregular covering of graphs. Ihara and Sato had major researched on the determinant expressions and boundary of the poles of the weighted zeta functions of regular covering of graphs. The major point of this paper is extending to the irregular of graphs. We will present a factorization of the weighted zeta function of an irregular covering of graph by a series of zeta functions and the relationship between different weighted zeta functions of irregular covering of graphs.

1. 引言

图的zeta函数的主要是研究图的正则覆盖或者非正则覆盖的加权zeta函数的基本性质，包括研究图的zeta函数的行列式表示，函数的零点和极点的分布范围等。文献 [1] [2] Ihara通过引入Ihara zeta函数来研究正则覆盖图的zeta函数的表达式，Ihara主要研究图的正则覆盖，通过电压分配来研究正则覆盖图的加权函数的行列式表示，并且通过行列式表示来研究Ihara zeta函数的零点和极点的范围。之后，文献 [3] Sato等数学家将无向图的正则覆盖推广至有向图的正则覆盖，并且得到了有向图的Ihara zeta函数的表达式。在此之后，文献 [4] 冯荣权，金珠英等数学家推广了电压分配的概念，引入图束的概念来研究图的覆盖的基本结构。文献 [5] Morita引入了Ruelle zeta函数来研究有向图的加权zeta函数的零点和极点的分布。

目前关于图的加权zeta函数的研究都是在正则覆盖图上，因为正则覆盖图有比较简单的代数结构。所以本文主要讨论将正则覆盖图推广至非正则覆盖图，主要是在正则覆盖的基础上，通过引入商图的概念来构造非正则覆盖图，因此非正则覆盖图的结构比正则覆盖图更加复杂，通过计算非正则覆盖图的加权zeta函数，就能得到更精确的加权zeta函数的分解形式和极点的分布范围。

本文考虑的图均为简单图，主要是通过引入正则覆盖图的商图来构造非正则覆盖图，并且通过计算来给出非正则覆盖图的加权zeta函数分解为zeta函数的具体形式，再通过具体的例子来验证计算结果的准确性。

2. 预备知识

本节给出一些本文中所需要的基本概念。

定义 2.1 (文献 [1] ) 设G是一个简单的连通图， $V\left(G\right)=\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}$ 是G的顶点集，E(G)是G的无向边的集合， $D\left(G\right)=\left\{\left(u,v\right)|\left(u,v\right)\in E\left(G\right)\right\}$ 是G的有向边的集合。

定义2.2 (文献 [1] ) 设G是一个简单连通图，设 $\Gamma$ 是一个有限群。映射 $\alpha :D\left(G\right)\to \Gamma$ 是一个电压分配，若 $\alpha \left(u,v\right)=\alpha {\left(v,u\right)}^{-1}$ 对任意 $\left(u,v\right)\in D\left(G\right)$ 均成立。通过电压分配，可以构造图G的正则覆盖图 $G^{\alpha }$ ：

$V\left(G^{\alpha }\right)=V\left(G\right)\times \Gamma ,$

其顶点为 $\left(u,h\right)$，其中 $u\in V\left(G\right),h\in \Gamma$。在图 $G^{\alpha }$ 中，边 $\left(\left(u,h\right),\left(v,k\right)\right)$ 在图 $G^{\alpha }$ 中，当且仅当对于 $G^{\alpha }$ 中的任意的边 $\left(u,v\right)$，均有 $\left(u,v\right)\in D\left(G\right)$，并且 $k=h\alpha \left(u,v\right)$。

定义2.3 (文献 [1] [2] ) 令 $G^{\alpha }$ 是G的正则覆盖图，B是 $\text{Γ}$ 的子群，设 $\left|\Gamma \right|=n$， $\left|B\right|=m$， $\left|\Gamma /B\right|=t$，可以得到群 $\Gamma /B=\left\{B{g}_1,B{g}_2,\cdots ,B{g}_t\right\}$，则存在置换电压分配 $\varphi :D\left(G\right)\to S_t$ 使得 $H=G^{\varphi }$，图H定义为正则覆盖图 $G^{\alpha }$ 的商图。

定义2.4 (文献 [5] ) 设图G是一个连通图， $V\left(G\right)=\left\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\right\}$，则图G的权重矩阵 ${\left(W_{ij}\right)}_{1\le i,j\le n}$ 是一个 $n\times n$ 维矩阵，其定义如下：

$\left(w_{ij}\right)=\{\begin{array}{l}{w}_{ij}\left(v_i,v_j\right)\in D\left(G\right),\\ 0\end{array}$

定义2.5 (文献 [5] ) 图G的加权zeta函数的定义如下：

$Z_G\left(u,w\right)={\displaystyle \underset{\left(C\right)}{\prod }{\left(1-w\left(C\right)u^{\left|C\right|}\right)}^{-1}},$

这里的[C]是图G上所有的素圈的等价类的集合。

3. 基本结果

引理3.1 (文献 [3] ) 循环群 $S_n$ 中的任意一个元素均可唯一分解为不相交的轮换的乘积。

例如对于 $S_5$ 中的元素 $\left(\begin{array}{c}12345\\ 23154\end{array}\right)=\left(123\right)\left(45\right)$，就是一个分解形式，并且分解是唯一的。设 $\rho$ 是 $S_n$ 中

的一个元素，则其可以分解为不相交的轮换的乘积。令 $p_i$ 为长度为i的轮换的个数，则 $\left(p_1,p_2,\cdots ,p_n\right)$ 为 $S_n$ 的圈结构(文献 [3] [4] )。

定义3.2 对于循环群 $S_n$ 中的任意一个元素 $\gamma \in S_n$， $\gamma$ 的置换矩阵 $P_{\gamma }={\left(p_{ij}^{\left(\gamma \right)}\right)}_{1\le i,j\le n}$ 的定义如下：

$p_{ij}^{\left(\gamma \right)}=\{\begin{array}{l}1\gamma \left(i\right)=j,\\ 0\end{array}$

引理3.3 (Sato) (文献 [6] ) 设G是一个顶点数为n，边数为m的简单无向连通图， $\Gamma$ 是一个有限群，再通过电压分配 $\alpha :D\left(G\right)\to \Gamma$ 构造图 $G^{\alpha }$，假设 $G^{\alpha }$ 是连通的。令 $\rho$ 是群 $\Gamma$ 的不可约表示，d是 $\rho$ 的度，则正则覆盖图 $G^{\alpha }$ 的加权zeta函数的行列式表示为：

$Z_G{\left(u,\rho ,\alpha ,w\right)}^{-1}={\left(1-u^2\right)}^{\left(m-n\right)d}\det \left(I_{dn}-u\left(\underset{g\in \Gamma }{{\displaystyle \sum }}\rho \left(g\right)\otimes W_g\right)+u^2\left(d\circ Q\right)\right).$

这里的权重矩阵 $W_g={\left(w_{uv}^{\left(g\right)}\right)}_{u,v\in V\left(G\right)}$ 的定义如下：

$w_{uv}^{\left(g\right)}=\{\begin{array}{l}w\left(u,v\right)\left(u,v\right)\in D\left(G\right)以及g=\alpha \left(u,v\right)成立,\\ 0\end{array}$

并且有 $Q=D-I$， $d\circ Q=I_d\otimes Q$。

引理3.3是Sato和Mizuno证明的关于正则覆盖图的加权zeta函数的行列式表示，在此基础上，我们将给出一个非正则覆盖图的加权zeta函数分解为zeta函数的具体表达式。

定理3.4 设G是一个顶点数为p，边数为q的简单连通图，设图G是无向的， $\Gamma$ 是一个有限群，再通过电压分配 $\alpha :D\left(G\right)\to \Gamma$ 构造图 $G^{\alpha }$，W(G)为图G的权重矩阵，令B为 $\Gamma$ 的子群，则可以通过置换电压分配 $\varphi :D\left(G\right)\to S_t$ 来构造 $G^{\alpha }$ 的商图 $H=G^{\varphi }$。令 $k=\langle \left\{\varphi \left(u,v\right)|\left(u,v\right)\in D\left(G\right)\right\}\rangle$ 是 $S_t$ 的子群，通过置换矩阵来构造k的置换表示： $P:k\to GL\left(t,C\right)$，因此对于任意 $\gamma \in k$，均有 $P\left(\gamma \right)=P_{\gamma }$，其中 $P_{\gamma }$ 是 $\gamma$ 的置换矩阵。令表示 ${\rho }_1=1,{\rho }_2,\cdots ,{\rho }_l$ 是k的所有不可约不等价的表示， $f_1=1,f_2,\cdots ,f_l$ 分别是 ${\rho }_i$ 的度， $m_1=1,m_2,\cdots ,m_l$ 分别是 ${\rho }_i$ 的重数，则置换表示P等价于矩阵 $m_1\circ {\rho }_1\oplus m_2\circ {\rho }_2\oplus \cdots \oplus m_l\circ {\rho }_l$，则非正则覆盖图H的加权zeta函数为：

$Z_H\left(\tilde{w},u\right)=\underset{i=1}{\overset{l}{{\displaystyle \prod }}}{Z}_G{\left(u,{\rho }_i,\varphi ,w\right)}^{m_i}$ (1)

证明：令 $V\left(G\right)=\left\{V_1,V_2,\cdots ,V_p\right\}$，将图 $H=G^{\varphi }$ 中的路分为t个矩阵块，在这个路的矩阵块下, 我们考虑图H的加权矩阵W(H)。这t个矩阵块分别为： $\left(V_1,1\right),\left(V_2,1\right),\cdots ,\left(V_p,1\right);\cdots ;\left(V_1,t\right),\left(V_2,t\right),\cdots ,\left(V_p,t\right)$。

对任意 $\gamma \in k$，根据置换矩阵的定义有：若 $j=\gamma \left(i\right)$，则有 $p_{ij}^{\gamma }=1$。在非正则覆盖图H中，等式 $j=\varphi \left(u,v\right)i$ 成立，当且仅当 $B{g}_j=\alpha \left(u,v\right)B{g}_i$ 成立。则可知图H的置换矩阵也是 $P_{\gamma }$。因此若 $\left(u,v\right)\in D\left(G\right)$， $\varphi \left(u,v\right)=\gamma$，则有 $j=\gamma \left(i\right)$，并且有 $\left(\left(u,B{g}_i\right),\left(v,B{g}_j\right)\right)\in D\left(H\right)$。因此通过分析可知W(H)可以表示为：

$W\left(H\right)=\underset{\gamma \in \Gamma }{{\displaystyle \sum }}{P}_{\gamma }\otimes W_{\gamma },$

这里的 $W_{\gamma }={\left(w_{uv}^{\left(\gamma \right)}\right)}_{u,v\in V\left(G\right)}$，若 $\left(u,v\right)\in D\left(G\right)$， $\varphi \left(u,v\right)=\gamma$，则有 $w_{uv}^{\left(\gamma \right)}=w\left(u,v\right)$。反之则为0。因为

$P:k\to GL\left(t,C\right)$ 是k的置换表示，所以存在非奇异矩阵T使得 $T^{-1}{P}_{\gamma }T=m_1\circ {\rho }_1\oplus m_2\circ {\rho }_2\oplus \cdots \oplus m_l\circ {\rho }_l$ 成立。令矩阵 $A=\left(T^{-1}\otimes I_p\right)W\left(H\right)\left(T\otimes I_p\right)$，将 $T^{-1}{P}_{\gamma }T$ 代入到矩阵A中可以得到：

$A=\underset{\gamma \in \Gamma }{{\displaystyle \sum }}\left\{m_1\circ {\rho }_1\oplus m_2\circ {\rho }_2\oplus \cdots \oplus m_l\circ {\rho }_l\right\}\otimes W_{\gamma }.$

又因为 $m_1{f}_1+m_2{f}_2+\cdots +m_l{f}_l=t$，并且图G的权重矩阵 $W\left(G\right)={\displaystyle {\sum }_{\gamma \in \Gamma }{W}_{\gamma }}$，因此根据引理3.3并将矩阵A和W(H)的表达式代入可以得到：

$\begin{array}{c}{Z}_H{\left(\tilde{w},u\right)}^{-1}={\left(1-u^2\right)}^{\left(q-p\right)t}\det \left(I_{pt}-uW\left(H\right)+I_t\otimes \left(D-I_p\right)u^2\right)\\ ={\left(1-u^2\right)}^{q-p}\det \left(I_p-W\left(G\right)+\left(D-I_p\right)u^2\right)\\ \times {\displaystyle {\prod }_{i=2}^l{\left\{{\left(1-u^2\right)}^{\left(q-p\right)f_i}\det \left(I_{p{f}_i}-u{\displaystyle {\sum }_{\gamma \in \Gamma }{\rho }_i\left(\gamma \right)\otimes W_{\gamma }}+\left(I_{f_i}\otimes \left(D-I_p\right)u^2\right)\right)\right\}}^{m_i}}.\end{array}$

根据引理3.3，通过比较加权zeta函数的形式可以得到等式(1)成立，因此定理3.4成立。

定理3.4将正则覆盖图推广至非正则覆盖图的加权zeta函数，从定理3.4我们还能推导出正则覆盖图的zeta函数的两个定理。

推论3.5 设图G是一个连通图， $\Gamma$ 是一个有限群， $\alpha :D\left(G\right)\to \Gamma$ 是一个电压分配，则 $G^{\alpha }$ 是G的正则覆盖图，假设 $G^{\alpha }$ 是连通的，W(G)是图G的权重矩阵，则有：

$Z_{G^{\alpha }}\left(\tilde{w},u\right)=\underset{\rho }{{\displaystyle \prod }}{Z}_G{\left(u,\rho ,\alpha ,w\right)}^{\mathrm{deg}\rho }.$ (2)

这里的 $\rho$ 是 $\Gamma$ 的所有不等价不可约表示。

推论3.6 (Sato) 设图G是一个连通图，令 $N=\left\{1,2,3,\cdots ,n\right\}$，通过置换电压分配 $\varphi :D\left(G\right)\to S_n$ 构造覆盖图 $G^{\varphi }$，设 $W=W\left(G\right)$ 为图G的权重矩阵，则 $G^{\varphi }$ 的zeta函数为：

$Z{\left(G^{\varphi },u\right)}^{-1}=\underset{\left[C\right]}{{\displaystyle \prod }}\underset{j=1}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}{\left(1-u^{\left|C\right|j}\right)}^{c_j}.$ (3)

这里的[C]是G中的素圈的等价类的集合， $c_j$ 是 $S_n$ 的圈结构。

通过定理3.4，推论3.5和推论3.6，可以算出不同覆盖图的Ihara zeta函数的表达式，下表1列出了图G的正则覆盖和非正则覆盖的Ihara zeta函数的联系和区别。

Table 1. Ihara zeta functions of different coverings of graph

表1. 图G的不同覆盖的Ihara zeta函数

注释：其中 $k=ord\left(\alpha \left(C\right)\right)$。

根据定理3.4，要计算图G的非正则覆盖图的加权zeta函数，必须要先算出置换表示P的度 $f_i$ 和重数 $m_i$ 的值，下面给出计算重数 $m_i$ 的方法。

定理3.7 设图G是一个连通图，W(G)是图G的权重矩阵， $\Gamma$ 是一个有限群，B为 $\Gamma$ 的子群，通过电压分配 $\alpha :D\left(G\right)\to \Gamma$ 可以构造图G的正则覆盖图 $G^{\alpha }$，假设 $G^{\alpha }$ 是连通的。通过构造置换电压分配 $\varphi :D\left(G\right)\to S_t$ 可以构造 $G^{\alpha }$ 的商图H，假设H也是连通的。令 $k=\langle \left\{\varphi \left(u,v\right)|\left(u,v\right)\in D\left(G\right)\right\}\rangle$ 是 $S_t$ 的子群，通过置换矩阵来构造k的置换表示： $P:k\to GL\left(t,C\right)$。令 ${\sigma }_1=1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_n$ 是群B的所有不可约表示， $p_i$ 是表示 ${\sigma }_i$ 的度，其中 $p_1=1$。令 ${\rho }_1=1,{\rho }_2,\cdots ,{\rho }_m$ 是 $\Gamma$ 的所有不可约表示， $f_i$ 是表示 ${\rho }_i$ 的度， $m_i$ 是 ${\rho }_i$ 在置换表示P中的重数。因为B是 $\Gamma$ 的子群，所以存在从B的表示 $\sigma$ 到 $\Gamma$ 的诱导表示(见文献 [7] )，记为 ${\sigma }_i^{*}=In{d}_B^{\Gamma }{\sigma }_i$，由诱导表示可知：

${\sigma }_i^{*}=e_{i1}\circ {\rho }_1\oplus e_{i2}\circ {\rho }_2\oplus \cdots \oplus e_{im}{\rho }_m\left(1\le i\le n\right).$ (4)

则可以得到：

$f_j=m_j+e_{2j}{p}_2+e_{3j}{p}_3+\cdots +e_{nj}{p}_n\left(1\le j\le m\right).$ (5)

其中 $m_1=1$。

证明：通过置换电压分配 $\varphi :D\left(G\right)\to S_t$，可以构造图 $H=G^{\varphi }$。根据文献 [3] 中的图覆盖的基本性质可知，存在电压分配 $\tau :D\left(H\right)\to B$ 使得 $H^{\tau }=G^{\alpha }$，又根据文献 [6] [8] 中的Bartholdi zeta函数的分解形式可知：

$\zeta \left(G^{\alpha },{\tilde{w}}_{G_{\alpha }},u,t\right)=\zeta \left(G,w,u,t\right)\underset{j=2}{\overset{m}{{\displaystyle \prod }}}\zeta {\left(w,u,t,{\rho }_j,\alpha \right)}^{f_i}.$ (6)

又因为 $H^{\tau }=G^{\alpha }$，所以将 $H^{\tau }$ 代入到式子(6)可得：

$\zeta \left(G^{\alpha },{\tilde{w}}_{G_{\alpha }},u,t\right)=\zeta \left(H^{\tau },{\tilde{w}}_{G_{\alpha }},u,t\right)=\zeta \left(H,{\tilde{w}}_H,u,t\right)\underset{i=2}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}{\zeta }_H{\left({\tilde{w}}_H,u,t,{\sigma }_i,\tau \right)}^{p_i}.$ (7)

再根据文献 [3] 中的Bartholdi zeta函数的恒等式可得：

${\zeta }_H\left({\tilde{w}}_H,u,t,{\sigma }_i,\tau \right)={\zeta }_G\left(w,u,t,{\sigma }_i^{*},\alpha \right).$ (8)

将等式(8)代入式子(7)可得：

$\zeta \left(G^{\alpha },{\tilde{w}}_{G_{\alpha }},u,t\right)=\zeta \left(H,{\tilde{w}}_H,u,t\right)\underset{j=1}{\overset{m}{{\displaystyle \prod }}}\underset{i=2}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}{\zeta }_G{\left(w,u,t,{\rho }_j,\alpha \right)}^{e_{ij}{p}_i}.$ (9)

将等式(6), (7)代入到等式(9)可得：

$\zeta \left(H,{\tilde{w}}_H,u,t\right)\underset{j=1}{\overset{m}{{\displaystyle \prod }}}\underset{i=2}{\overset{n}{{\displaystyle \prod }}}{\zeta }_G{\left(w,u,t,{\rho }_j,\alpha \right)}^{e_{ij}{p}_i}=\zeta \left(G,w,u,t\right)\underset{j=2}{\overset{m}{{\displaystyle \prod }}}{\zeta }_G{\left(w,u,t,{\rho }_j,\alpha \right)}^{f_i}.$

等式移项可得：

$\zeta \left(H,{\tilde{w}}_H,u,t\right)=\zeta {\left(G,w,u,t\right)}^{1-e_{21}{p}_2-e_{31}{p}_3-\cdots -e_{n1}{p}_n}\underset{j=2}{\overset{m}{{\displaystyle \prod }}}\zeta {\left(w,u,t,{\rho }_j,\alpha \right)}^q.$

其中 $q=f_j-e_{2j}{p}_2-e_{3j}{p}_3-\cdots -e_{nj}{p}_n$。

又因为 $m_j$ 是 ${\rho }_j$ 在置换表示P中的表示重数，则有 $m_j=q$，所以等式：

$m_j=f_j-e_{2j}{p}_2-e_{3j}{p}_3-\cdots -e_{nj}{p}_n\left(1\le j\le m\right).$

成立，所以定理3.7成立。

推论3.8 在定理3.7中，因为 $m_1=1$，则有：

$e_{i1}=0\left(2\le i\le n\right).$

并且因为 $m_j\ge 0$，则不等式：

$f_j\ge e_{2j}{p}_2+e_{3j}{p}_3+e_{4j}{p}_4+\cdots +e_{nj}{p}_n\left(2\le j\le m\right).$

成立，这个不等式是代数表示论文献 [7] 中关于表示的重数和度的重要不等式。所以可以看出，通过研究非正则覆盖图的加权zeta函数，可以从不同的角度来研究群的结构。

4. 例子

设G是一个连通图，顶点数为m，边数为s，设 $\Gamma$ 是 $S_3$，则可以通过置换电压分配 $\varphi :D\left(G\right)\to S_3$，可以构造图 $G^{\varphi }$，并且 $G^{\varphi }$ 是图G的3-fold覆盖图 [9]。先求 $S_3$ 的所有不可约表示：对称群 $S_3$ 一共有3个不可约表示，第一个是平凡表示 ${\rho }_1=1$，第二个表示 ${\rho }_2$ 是符号表示，这两种表示的次数是1，第三个表示是矩阵表示，次数是2，具体的形式如下：

${\rho }_3\left(1\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\rho }_3\left(\left(132\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}{u}^2& 0\\ 0& u\end{array}\right),{\rho }_3\left(\left(23\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}0& u^2\\ u& 0\end{array}\right)$

${\rho }_3\left(\left(123\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}u& 0\\ 0& u^2\end{array}\right),{\rho }_3\left(\left(12\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}0& u\\ u^2& 0\end{array}\right),{\rho }_3\left(\left(13\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

其中 $u=\exp \frac{2\pi i}{3}$。

因此， $S_3$ 的置换表示为： $P={\rho }_1\oplus {\rho }_3$，表示 ${\rho }_1$ 和 ${\rho }_3$ 在P中的重数为1 [10]。根据文献 [4] 中的图覆盖定理可得， $G^{\varphi }$ 的Ihara zeta函数的行列式表示为：

${\zeta }_{G^{\varphi }}{\left(u\right)}^{-1}={\zeta }_G{\left(u\right)}^{-1}{\left(1-u^2\right)}^{2\left(s-m\right)}\det \left(I_{2m}-\left(\underset{\gamma \in S_3}{{\displaystyle \sum }}A\left(G_{\left(\varphi ,\gamma \right)}\right)\otimes {\rho }_3\left(\gamma \right)\right)u+\left(Q_G\otimes I_2\right)u^2\right).$

其中 $Q_G=D_G-I_m$， $A\left(G_{\left(\varphi ,\gamma \right)}\right)$ 是图 $G_{\left(\varphi ,\gamma \right)}$ 的邻接矩阵。

为了求出 $G^{\varphi }$ 的Ihara zeta函数的具体形式，可以假设图G为完全图 $K_4$ 去掉一条边，如图1所示，其顶点集为 $\left\{v_1,v_2,v_3,v_4\right\}$，边 $\left(v_2,v_4\right)$ 的权为(23)，边 $\left(v_3,v_4\right)$ 的权为(12)，其余的边的权为1，其中(23)，(12)是 $S_3$ 中的元素，则图G的Ihara zeta函数为：

${\zeta }_G{\left(u\right)}^{-1}=\left(1-u^2\right)\left(1-u\right)\left(1+u^2\right)\left(1-u^2-2u^3\right)\left(1+u+2u^2\right).$

Figure 1. An S₃-voltage assignment on the diamond graph

图1. 菱形图上的S₃-电压分配

接下来计算 $G^{\varphi }$ 的Ihara zeta函数。首先， $G^{\varphi }$ 的邻接矩阵 [4] [11] 如下：

$A\left(G_{\left(\varphi ,\left(23\right)\right)}\right)=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}& \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}& \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\end{array}\right),A\left(G_{\left(\varphi ,\left(12\right)\right)}\right)=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}& \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}& \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\end{array}\right),A\left(G_{\left(\varphi ,\left(1\right)\right)}\right)=\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}& \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}& \begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\end{array}\right).$

显然，其余的邻接矩阵均为0矩阵。

因此，将邻接矩阵A代入到 $G^{\varphi }$ 的Ihara zeta函数的行列式表示中可得：

${\zeta }_{G^{\varphi }}{\left(u\right)}^{-1}={\zeta }_G{\left(u\right)}^{-1}\left(1+u+2u^2+u^3+2u^4\right)p.$ (10)

其中p的值为： $p={\left(1-u^2\right)}^2\left(1-u-u^3+2u^4\right)\left(1-u+2u^2-u^3+2u^4\right)\left(1+u+u^3+2u^4\right)$。

从等式(10)可以得出结论：若 $G^{\varphi }$ 为G的n-fold图覆盖，则 ${\zeta }_G{\left(u\right)}^{-1}$ 整除 ${\zeta }_{G^{\varphi }}{\left(u\right)}^{-1}$。

5. 结论

本文主要讨论了图的非正则覆盖的加权zeta函数的基本性质，给出了非正则覆盖图的加权zeta函数的分解形式以及图的非正则覆盖的群表示系数的求解公式。从本文的定理和推论可以看出，相较于正则覆盖图，非正则覆盖图的结构更加复杂，所得出的结论也更具有普遍性。同时可以通过非正则覆盖图的加权zeta函数来研究群表示的性质，从而进一步研究群的结构。关于非正则覆盖图的加权zeta函数的零点和极点的分布，需要更进一步的计算和研究。

致谢

非常感谢审稿人对论文提出的宝贵意见，同时也十分感谢指导老师对论文的写作提供的帮助。