四次间接PH曲线的几何特征

Geometric Characteristics of Quartic Indirect PH Curves

摘要: 四次间接PH曲线根据其导数的表示可以分为两类，本文介绍了两类四次间接PH曲线的几何特征。主要方法是用Bernstein形式的复多项式表示平面Bézier曲线并且通过引入辅助控制顶点将几何特征转化为非线性方程求解问题，使得四次平面曲线成为间接PH曲线的条件可以用控制多边形上的几何约束来描述。

Abstract: Quadric indirect PH curves can be divided into two types according to the expression of their derivatives. This paper introduces the geometric characteristics of two kinds of quadric indirect PH curves. The plane Bézier curves are represented by using the Bernstein form of complex polynomials. The geometric features are transformed into nonlinear equations by introducing auxiliary control vertices. Then the conditions of quartic plane curves to be indirect PH curves can be described by the geometric constraints on the control polygon.

1. 引言

Bézier曲线在计算机辅助几何设计(CAGD)中有着广泛的应用，包括数控加工、铁路设计、形状混合等等，然而一般的Bézier曲线不是有理形式的。平面适当参数化的多项式曲线有有理偏移的充要条件是其速端曲线的平方范数最多有两个奇数重复根，这样的曲线可以分为两类：PH曲线和间接PH曲线。

对于PH曲线的研究相对深入。近几年来，文献 [1] 通过加入辅助线，用几何方法求出三次PH曲线控制多边形的弦长，从而构造出满足初始条件的控制多边形。文献 [2] 在一定条件下，可以证明两圆之间存在唯一的三次PH过渡曲线。文献 [3] 研究四次PH曲线的插值构造问题，并将PH曲线的构造问题转化成方程求解问题；该作者同样也运用了此种方法研究三次PH曲线的插值构造问题，在文献 [4] 分析了四次PH曲线的控制多边形的几何性质，推导出了控制点之间的几何关系；文献 [5] 研究了平面五次Bézier曲线为PH曲线的充要条件，并给出了初始条件下五次PH曲线的Hermite插值构造方法；文献 [6] 对离散数据进行G1-Hermite插值，给出一种基于空间五次PH曲线充分必要条件的构造方法；文献 [7] [8] 等研究了六次和七次PH曲线的Hermite插值构造及几何特征；另外，文献 [9] 探讨了7次Bézier曲线是PH曲线的充要条件得到了7次PH曲线的控制多边形的性质；文献 [10] 讨论了PH曲线为7次PH曲线的G2边界数据(点、一阶导数和曲率)的Hermite插值问题。文献 [11] 根据高次PH曲线其Bézier控制多边形的角度和边的长度并给出了构造辅助点的可行方法。文献 [12] [13] 等研究了PH曲线的应用相关问题。

然而对于间接PH曲线的研究相对较少。文献 [14] 在一定的端点条件下构造了G1，C1和C2的Hermite插值曲线，并提出了OR样条逼近Bézier曲线的方法；文献 [15] 给出了三次间接PH曲线的完整的几何表征，并利用曲线给出了C1-Hermite插值的简单几何构造，但是该方法不能扩展到四次和五次间接PH曲线中；文献 [16] 使用平面Bézier曲线的复表示来推导出四次间接PH曲线的一个代数刻画和两个几何刻画，可以自然扩展到二次和三次PH曲线但扩展到四次极为复杂，具有一定的难度；文献 [17] 利用导矢曲线的定理推出了四次间接PH曲线的控制多边形边长和角度的几何判别条件，只局限于第一类间接PH曲线，对于第二类没有给出其几何理论；文献 [18] 采用高斯消去法得到五次间接PH曲线的几何约束条件且此类曲线在几何造型中的应用有待进一步研究。

尽管前人已经推出了四次间接PH曲线的控制多边形的条件，但是该方法从导矢定理的条件出发，只推导出一类四次间接PH曲线的几何特征，并不适用于第二类间接PH曲线，方法复杂且具有一定的局限性。本文以间接PH曲线的代数条件为基础，通过引入辅助控制顶点的几何的方法得到间接PH曲线满足的非线性约束条件，将其转化成方程求解代数问题进而分别得到了两类四次间接PH曲线的几何特征。该方法计算简单，如果给出Bézier控制多边形可以确定四次多项式曲线是否为间接PH曲线。

2. 四次间接PH曲线及其分类

定理1 [18] 一条平面参数曲线 $P\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$ 是间接PH曲线当且仅当其一阶导数可分解为：

$P^{\prime }\left(t\right)=\rho \left(t\right)R\left(t\right)W^2\left(t\right)$ (1)

其中 $\rho \left(t\right)$ 是关于t的实多项式， $R\left(t\right),W\left(t\right)$ 为复多项式。

根据 $P^{\prime }\left(t\right)$ 因式分解的次数不同，四次间接PH曲线可以分为两大类：

第1类. $\rho \left(t\right)$ 为实常数， $R\left(t\right)$， $W\left(t\right)$ 为一次复多项式时，在本文我们称 $P\left(t\right)$ 为第1类四次间接PH曲线。

第2类. $\rho \left(t\right)$ 为实二次多项式， $R\left(t\right)$ 为一次复多项式时，在本文我们称 $P\left(t\right)$ 为第2类四次间接PH曲线。

Duan [17] 等已经分析了第一类普通四次间接PH曲线的几何判断方法及速端分解式等等，本文通过引入辅助控制顶点给出了两类四次间接PH曲线的几何特征更简洁的证明。

3. 第1类四次间接PH曲线的几何特征

在此种情况下， $P\left(t\right)$ 可以写成如下形式：

$P^{\prime }\left(t\right)=\left[a_0\left(1-t\right)+t\right]{\left[z_0\left(1-t\right)+z_{1}t\right]}^2$ (2)

其中 $a\in \text{R}$， $z_0,z_1\in C$。

将(2)式展开可以得到

$P^{\prime }\left(t\right)=a_0{z}_0^2{\left(1-t\right)}^3+\left(2a_0{z}_0{z}_1+z_0^2\right)t{\left(1-t\right)}^2+\left(a_0{z}_1^2+2z_0{z}_1\right)t^2\left(1-t\right)+z_1^2{t}^3$ (3)

与(3)式比较Bernstein多项式系数，有

$\{\begin{array}{l}{a}_0{z}_0^2=4\Delta P_0\hfill \\ \begin{array}{l}2a_0{z}_0{z}_1+z_0^2=12\Delta P_1\\ a_0{z}_1^2+2z_0{z}_1=12\Delta P_2\\ z_1^2=4\Delta P_3\end{array}\hfill \end{array}$ (4)

在这里我们引入辅助控制顶点 $L_i$， $i=1,2$ ：

$\{\begin{array}{l}{L}_1=P_1+\frac{1}{12}{z}_0^2=P_2-\frac{a_0}{6}{z}_0{z}_1\\ L_2=P_2+\frac{1}{6}{z}_0{z}_1=P_3-\frac{a_0}{12}{z}_1^2\end{array}$ (5)

则有

$a_0=\frac{\Delta P_0}{3\left(L_1-P_1\right)}=\frac{P_2-L_1}{L_2-P_2}=\frac{3\left(P_3-L_2\right)}{\Delta P_3}$

因此 $a_0$ 可以作为形状调节因子，调节曲线的形状。四次间接PH曲线的控制多边形有如下图1表示：

Figure 1. The Bézier control polygon of the first class of quartic indirect PH curves

图1. 第1类四次间接PH曲线的Bézier控制多边形

换句话说，等式(4)和(5)等价于

$\{\begin{array}{l}{z}_0^2=12\left(L_1-P_1\right)\\ z_0{z}_1=6\left(L_2-P_2\right)\\ z_1^2=4\Delta P_3\\ z_0{z}_1=-\frac{6}{a_0}\left(L_1-P_2\right)\\ z_1^2=-\frac{12}{a_0}\left(L_2-P_3\right)\\ z_0^2=\frac{4}{a_0}\Delta P_0\end{array}$ (6)

由于辅助点的选取已经满足了对于角度的约束，因此控制多边形长度的条件可以立即导出，根据 ${\left(z_0{z}_1\right)}^2=z_0^2{z}_1^2$，我们有

$\{\begin{array}{l}{\left[\frac{6}{a_0}\left(L_1-P_2\right)\right]}^2=\frac{4}{a_0}\Delta P_0\frac{12}{a_0}\left(L_2-P_3\right)\\ {\left[6\left(L_2-P_2\right)\right]}^2=12\left(L_1-P_1\right)4\Delta P_3\\ \left[6\left(L_2-P_2\right)\right]\left[-\frac{6}{a_0}\left(L_1-P_2\right)\right]=4\Delta P_3\frac{4}{a_0}\Delta P_0\end{array}$ (7)

综上，第1类四次间接PH曲线的充要条件可以表述为以下定理：

定理2 一个平面4次Bézier曲线是第1类间接PH曲线当且仅当

$\begin{array}{l}3{\Vert L_1{P}_2\Vert }^2=4\Vert \Delta P_0\Vert \Vert L_2{P}_3\Vert \\ 3{\Vert L_2{P}_2\Vert }^2=4\Vert \Delta P_3\Vert \Vert P_1{L}_1\Vert \\ 9\Vert L_1{P}_2\Vert \Vert P_2{L}_2\Vert =4\Vert \Delta P_0\Vert \Vert \Delta P_3\Vert \end{array}$

定理2揭示了第1类所有适当参数化的4次Bézier曲线的一个几何刻画，我们用Bézier控制多边形以及辅助控制顶点的构造给出了这一几何特性。

4. 第2类四次间接PH曲线的几何特征

考虑一条曲线是第2类四次间接PH曲线的条件，给定四次Bézier曲线 $P\left(t\right)$，控制顶点 $P_i,i=0,\cdots ,4$ 以及两个辅助控制顶点 $Q_i,i=1,2$。在这里 $Q_0$ 为 $P_0{P}_1$ 上的点， $Q_1$ 为 $P_4{P}_3$ 上的点，且 $Q_0{Q}_1$ 交于点 $P_2$ (如图2)。现在给出第2类四次间接PH曲线的一个充要条件：

定理3 平面参数曲线 $P\left(t\right)$ 是一条第2类四次间接PH曲线当且仅当

$\begin{array}{l}\Vert \Delta P_0\Vert \Vert Q_1-P_2\Vert =3\Vert Q_0-P_1\Vert \Vert P_2-Q_0\Vert \\ 9\Vert Q_0-P_1\Vert \Vert P_3-Q_1\Vert =\Vert \Delta P_0\Vert \Vert \Delta P_3\Vert \\ 3\Vert Q_1-P_2\Vert \Vert P_3-Q_1\Vert =\Vert \Delta P_3\Vert \Vert P_2-Q_0\Vert \end{array}$

证明 根据定理1， $P\left(t\right)$ 是第2类四次间接PH曲线当且仅当

$P^{\prime }\left(t\right)=\left[a_0{\left(1-t\right)}^2+2a_{1}t\left(1-t\right)+a_2{t}^2\right]\left[z_0\left(1-t\right)+t\right]$ (8)

其中 $a_0,a_1\in R$， $z_0\in C$。

将(8)式展开得到

$P^{\prime }\left(t\right)=a_0{z}_0{\left(1-t\right)}^3+\left(2a_1{z}_0+a_0\right)t{\left(1-t\right)}^2+\left(a_2{z}_0+2a_1\right)t^2\left(1-t\right)+a_2{t}^3$

将其与Bernstein多项式系数进行比较，得到关于 $a_0,a_1,a_2$ 和 $z_0$ 的四个非线性方程组

$\{\begin{array}{l}{a}_0{z}_0=4\Delta P_0\\ 2a_1{z}_0+a_0=12\Delta P_1\\ a_2{z}_0+2a_1=12\Delta P_2\\ a_2=4\Delta P_3\end{array}$ (9)

由辅助点 $Q_i,i=1,2$ 的定义，知

$\{\begin{array}{l}{Q}_0=P_1+\frac{1}{12}{a}_0=P_2-\frac{1}{6}{a}_1{z}_0\\ Q_1=P_2+\frac{1}{6}{a}_1=P_3-\frac{1}{12}{a}_2{z}_0\end{array}$ (10)

Figure 2. The control polygons and auxiliary control vertices of the second class of quartic indirect PH curves

图2. 第2类四次间接PH曲线的控制多边形和辅助控制顶点

当且仅当所有方程相容时，方程组(9)和(10)才有解，通过考虑实变量和复变量，可以得到

$\{\begin{array}{l}{a}_0{z}_0=4\Delta P_0\\ a_0=12\left(Q_0-P_1\right)\\ a_1{z}_0=6\left(P_2-Q_0\right)\\ a_1=6\left(Q_1-P_2\right)\\ a_2{z}_0=12\left(P_3-Q_1\right)\\ a_2=4\Delta P_3\end{array}$

由于辅助点 $Q_i,i=1,2$ 的选取已经满足了对于角度的要求，长度的条件我们可以根据上式得出

$\{\begin{array}{l}4\Delta P_0\cdot 6\left(Q_1-P_2\right)=12\left(Q_0-P_1\right)\cdot 6\left(P_2-Q_0\right)\\ 12\left(Q_0-P_1\right)\cdot 12\left(P_3-Q_1\right)=4\Delta P_3\cdot 4\Delta P_0\\ 6\left(Q_1-P_2\right)\cdot 12\left(P_3-Q_1\right)=4\Delta P_3\cdot 6\left(P_2-Q_0\right)\end{array}$

上述每一步都是可逆的，因此省略了充分性的证明。

综上，对于第2类四次间接PH曲线的几何特征我们可由上式得出。